D.S. º9 : Produit scalaire, Primitives, Échatilloage TS Jeudi 2 mai 20, 2h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio: ± + Techique : ± + Note : 20 Raisoemet : ± + Bous de poit itégré puisque la somme des poits fait 2 SUJET D /6,5 Exercice. Partie I. Étude de la covergece d'ue suite e x Soit u 0 la suite défiie par u = 0 +e d x. x Motrer que u 0 +u =. 2 Calculer u. E déduire u 0. Motrer que pour tout etier aturel, u 0. 4 a Motrer que pour tout etier aturel o ul, u + +u = e. b E déduire que pour tout etier aturel o ul, u e. 5 Détermier la limite de u 0. Partie II. Calcul des termes de cette suite au moye d'u algorithme. E utilisat la relatio de récurrece de la questio 4a, compléter l'algorithme ci-cotre afi qu'il demade e etrée et qu'il affiche e sortie la valeur de u. Etrées : Saisir u etier. Iitialisatio :............ Traitemet : Pour k allat de...... à..... Sorties.................. U Fi Pour Afficher U / Exercice 2. Das u lycée qui comporte quatre classes de termiale S, ue mère d'élève qui se trouve être ue statisticiee, s'étoe du fait qu'il 'y ait que 9 filles sur les 0 élèves de la classe de TS. Elle ajoute qu'au vu de l'itervalle de fluctuatios asymptotique au seuil de 95%, il semble que les filles soiet sous-représetées das cette classe. Le professeur pricipal lui répod que suite aux chagemets de classe de début d'aée liés à des problèmes de covoiturage par exemple ou au désir de certais élèves de rester avec leurs copais, il a pu se produire u déséquilibre das ue classe doée mais qu'il lui semble que globalemet, les filles e sot pas sous-représetées e TS au iveau de lycée. Il promet alors à la mère d'étudier la questio avec l'aide la professeure de mathématiques de la classe et de la recotacter ultérieuremet avec des réposes. TS TS2 TS TS4 Les deux eseigats se mettet doc au travail et obtieet de l'admiistratio les doées suivates : Filles 9 4 6 Garços 2 5 2 6 Cette mère d'élève a-t-elle raiso de dire qu'au vu de l'itervalle de fluctuatios asymptotique au seuil de 95%, il semble que les filles soiet sous-représetées das cette classe? 2 a Les filles sot-elles sous-représetées e TS das ce lycée? b Das u lycée avec 6 élèves de TS, quel est l'effectif miimal de filles à avoir e TS pour que l'o e puisse pas dire que les filles sot sous-représetées e TS?
/2,5 /0,75 /,75 /9 Exercice. Ria fait u stage à l'insee au cours duquel o lui demade de calculer la probabilité que le ombre de garços à aître e Frace l'aée prochaie soit supérieur ou égal à 420 000. So resposable de stage lui dit que les démographes estimet à 5,2% la probabilité qu'u bébé à aître soit u garço et que sur ue aée o prévoit eviro 820 000 aissaces. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X qui doe le ombre de garços à aître sur ue aée? 2 Ria essaie doc de faire le calcul demadé avec cette loi mais les ombres e jeu sot trop gros pour sa calculatrice qui affiche «dépassemet de capacité» 2. Mais Ria a ue idée pour trouver cette probabilité au moye de sa calculatrice : Commet va-t-elle s'y predre pour trouver ue approximatio de la probabilité cherchée? Quelle valeur trouve-t-elle? Exercice 4. ABCDEF est u prisme droit de hauteur AD=2. Sa base ABC est u triagle rectagle isocèle e A tel que AB=. I et J sot les milieux respectifs de [BC] et [AD]. /,5 /,25 /4,25 Costructio géométrique sas coordoées de la sectio du prisme par EIJ. a Motrer que les droites EI et CF sot sécates e u poit M que l'o placera sur la figure ci-dessus. b Motrer que les droites MJ et AC sot sécates e u poit N que l'o placera sur la figure ci-dessus. c Costruire sur la figure ci-dessus la trace de la sectio du prisme par le pla EIJ. 2 Coordoées des sommets de la sectio das u repère bie choisi. O muit l'espace du repère A ; AB, AJ, AC. a Motrer que le vecteur est ormal au pla EIJ. b E déduire ue équatio du pla EIJ. c Détermier les coordoées du poit N. Étude de la sectio obteue. a Doez ue valeur arrodie à 0, degrés près de l'agle ÎEJ. b Détermier les coordoées du poit G d'itersectio des diagoales de cette sectio et préciser sa positio sur IJ e doat la valeur de λ pour laquelle IG=λ IJ. c Dessier cette sectio e vraie gradeur. O predra 4 cm comme uité. INSEE=Istitut atioal de la statistique et des études écoomiques. L'INSEE est chargé de la productio, de l'aalyse et de la diffusio des statistiques officielles e Frace 2 C'est e tout cas ce qu'affiche ma calculatrice. O rappelle qu' u prisme droit est u solide possédat deux faces superposables appelées bases et dot toutes les autres faces sot des rectagles.
Corrigé Corrigé de l'exercice. e x Partie I. O cosidère la suite u défiie pour tout etier aturel par u = d x. x 0+e a u 0 +u = 0+e dx+ e x x 0+e dx. Par liéarité de l'itégrale, u +u = +e x x 0 0+e dx= d x=[x]0 =. x 0 e x e x b u = d x. O pose f x= x 0+e +e x, o remarque que f = u' u où ux=+e x >0. f a pour primitive F= lu. u =[ l+e x ] 0 =l2 l+e. u =l 2e e+ D'après la questio.a., u 0 = u = l2+l+e =le+ l2 u 0 =l e+ 2 2 Pour tout etier aturel, et pour tout réel x, e x >0 et +e x >0 doc e x +e x>0. L'itégrale sur l'itervalle [0;] d'ue foctio positive est positive doc u est positive ou ulle. e +x a Pour tout etier aturel >0, u + +u = d x+ 0 +e x x d x. Par liéarité de l'itégrale, 0+e e +x +e u + +u = x e x e x + dx= dx= e x dx= 0 +e x 0 +e x 0 [ e ] e x = N *, u 0 + +u = e. b Pour tout etier aturel o ul, d'après la questio 2., u 0 doc u + 0 or, d'après la questio., u = e u + doc u e. N*, u e. e x 4 Pour tout etier aturel, 0 u e. Or lim e + =0 car e ted vers 0 aisi que. Selo le théorème des gedarmes, la suite u coverge aussi vers zéro. Partie II. Etrées : Saisir u etier. Remarques: Iitialisatio : l 2e O démarre à k = car o divise par k doc k =0 est e+ U impossible. Du coup, o iitialise U à U=u =l 2e e+. Traitemet : Pour k allat de à Ceci permet de calculer u 2 avec la formule de récurrece e k U U k puisque d'après.a e u =u 2...etc. La boucle avec Fi Pour k = calcule u 2, la boucle avec k =2 calcule u...etc. Sorties Afficher U La boucle avec k = calcule u +, o arrête doc la boucle à k = pour avoir u e sortie. Corrigé de l'exercice 2. O commece par compléter le tableau e ajoutat ue lige et ue coloe pour les totaux. TS TS2 TS TS4 TOT Filles 9 4 6 52 Garços 2 5 2 6 64 TOT 0 29 28 29 6 Supposos que das cette classe les filles e soiet i sous-représetées i sous-représetées. C'est otre hypothèse iitiale, celle que ous voulos tester. La proportio théorique de filles sous cette hypothèse est de 50% càd p=0,5. Il y a 0 élèves das la classe doc =0. Pour la classe de TS, l'itervalle de l'itervalle de fluctuatios asymptotique au seuil de 95% est avec =0 et p=0,5 p p p p IFA TS p,96 ; p+,96 =[ ] [2 %; 68% ]. Comme les coditios 0,p 5 et p 5 sot remplies, pour eviro 95% des échatillos de 0 idividus tirés au hasard, la proportio de fille devrait être das cet itervalle. Or das cette classe la fréquece observée f = 9 =0 % appartiet pas à cet itervalle. O rejette doc l'hypothèse iitiale : La mère d'élève a raiso 0 de dire qu'au vu de l'itervalle de fluctuatios asymptotique au seuil de 95%, il semble que les filles soiet sous-représetées das cette classe.
2 a Les filles sot-elles sous-représetées e TS das ce lycée? Même démarche avec u différet : Supposos que das ce lycée les filles e soiet i sous-représetées i sous-représetées. C'est otre hypothèse iitiale, celle que ous voulos tester. La proportio théorique de filles sous cette hypothèse est de 50% càd p=0,5. Il y a 6 élèves de TS das ce lycée doc =6. Pour ce lycée, l'itervalle de l'itervalle de fluctuatios asymptotique au seuil de 95% est avec =6 et p=0,5 p p p p IFA Lyc p,96 ; p+,96 =[ ] [40,9 % ;59, %]. Comme les coditios 0,p 5 et p 5 sot remplies, pour eviro 95% des échatillos de 6 idividus tirés au hasard, la proportio de fille devrait être das cet itervalle. Or das ce lycée la fréquece observée f = 52 =44,8% appartiet à cet itervalle. O e peut pas rejeter l'hypothèse iitiale : O e peut pas 6 affirmer que les filles sot sous-représetées e TS das ce lycée. b Das u lycée avec 6 élèves de TS, quel est l'effectif miimal de filles à avoir e TS pour que l'o e puisse pas dire que les filles sot sous-représetées e TS? O viet de voir que pour =6, il faut au mois 40,9% de filles. Il faut doc au mois 40,9% de 6 filles càd 48 filles. 49% de 6=47,4 Corrigé de l'exercice. Pour chaque aissace, il y a deux issues possibles : Le bébé est soit u garço cosidéré comme u succès soit u fille. Les aissaces sot idépedates et idetiques das le ses où la probabilité d'avoir u garço est la même à chaque aissace. La variable aléatoire X qui doe le ombre de garços à aître sur ue aée compte le ombre de succès das ce schéma de Beroulli, elle suit doc ue loi biomiale avec =820000 et p=0,52. 2 Ria va utiliser le théorème de Moivre-Laplace qui permet d'approximer ue loi biomiale par ue loi ormale. O a E X=μ= p=820 000 0,52=49840 et l'écart-type σ= p p 452,64. P X 420 000=P X σ μ 420000 μ σ P i 420000 49840 Z 452,64 P Z 0,55 6,2% i Par l'applicatio pratique du théorème de Moivre Laplace, utilisable car 0,p 5 et p 5 où Z suit la loi ormale cetrée réduite 0; La probabilité que le ombre de garços à aître e Frace l'aée prochaie soit supérieur ou égal à 420 000 est d'eviro 6 %. Corrigé de l'exercice 4. a Les droites EI et CF sot toutes deux coteues das le pla BCE. Comme elles sot coplaaires et o parallèles, elles sot sécates. b Les droites MJ et AC sot toutes deux coteues das le pla ACD. Comme elles sot coplaaires et o parallèles, elles sot sécates. [LHG : O atted avat tout le mot «coplaaires» das votre justificatio.] c Sectio du prisme par le pla EIJ. Les poits E, I et J appartieet par défiitio au pla EIJ doc la seule chose à prouver est que N appartiet au pla EIJ. Or le poit M appartiet à la droite EI coteue das le pla EIJ doc le poit M appartiet au pla EIJ. Esuite, puisque M et J appartieet au pla EIJ, la droite MJ aussi. Or le poit N appartiet à la droite MJ doc le poit N appartiet au pla EIJ. Les poits E, I, J et N sot doc les poits d'itersectio des arêtes du prisme avec le pla EIJ, il e reste doc plus qu'à les joidre pour obteir la sectio. 2 A 0 0 0 B 0 0 C 0 0 D 0 0 2 E 0 2 I / 2 2 0 J 0 / 0 et o verra que N 0 0 / et G / 4 4 / 2. / 2a Pour motrer que le vecteur est ormal au pla EIJ, il suffit de motrer que est orthogoal à deux vecteurs o coliéaires du pla EIJ [LHG : Cette phrase est idispesable]. 4
Par le calcul, avec EI /2 2 / 2 et EJ 0, o a bie EI= EJ=0. 2b E déduire ue équatio du pla EIJ. Soit P u poit de l'espace. P x, y, z EIJ JP. =0 x y. z =0 x y z+=0 Équatio de EIJ : x y z+=0 2c Détermier les coordoées du poit N. N AC doc il existe t tel que AN=t AC, ce qui doe x N =0, x N =0 et z N =t. E reportat ces coordoées das l'équatio du pla EIJ, o obtiet t=z=, d'où N 0;0;. Étude de la sectio obteue. a Doez ue valeur arrodie à 0, degrés près de l'agle ÎEJ. EI /2 2 d'où EI = 2 et EJ d'où EJ = 2. / 2 0 EI. EJ = 2 +2= 5 2 = 2 2 cos ÎEJ d'où 5 2 =cos ÎEJ d'où cosîej = 5 6 d'où ÎEJ,6 b Détermier les coordoées du poit G d'itersectio des diagoales de cette sectio et préciser sa positio sur IJ e doat la valeur de λ pour laquelle IG=λ IJ. I 0 /2 et IJ /2 { x= t doc y=+ 2t t R est ue représetatio paramétrique de IJ, e choisissat z= t 2 IJ comme vecteur directeur de IJ. N 0 0 / et NE { x= s 2 doc / y= 2s s R est ue représetatio paramétrique de NE. z=/ / s { t = s L + 2t = 2 s L Les coordoées de G satisfot les deux équatios. O résout doc 2. t = 2 s L 2L +L 2 :+4t=0 càd t= 4. O reporte cette valeur das L, par ailleurs o multiplie L par { t = / 4 et o obtiet alors le système suivat, équivalet au système iitial : s = /4. E remplaçat s t = s et t par leurs valeurs das la derière équatio, o voit que le système est compatible doc G a pour coordoées G 4 ; 2 ; 4. IG 2 /4 et IJ / 2 2 doc IG= 2 IJ. Autremet dit, G est le milieu de [IJ]. / c Costructio IEJN e vraie gradeur : O trace le triagle EIJ coaissat EI, EJ et ÎEJ. Quelqu'u qui 'a pas su calculer l'agle ou qui 'est pas sûr de so calcul peut aussi calculer EI, EJ et IE et tracer le triagle EIJ coaissat la logueur de tous ses côtés. Esuite, o place G le milieu de [IJ] et o trace EG. O sait que N EG. O calcule la logueur IN= 0 6. Le cercle de cetre I et de rayo 0 uités de logueur à 6 multiplier par 4 pour avoir des cetimètres coupe EG e N. Autre méthode pour tracer N : O peut aussi calculer IN et JN et tracer le triagle IJN coaissat la logueur de tous ses côtés. Vérificatio de la figure : D'après b les diagoales doivet se couper au milieu de [IJ]. 5