Exercice. SUITES RECURRENTES - EXERCICES CORRIGES O cosidère la site ( ) défiie par ) Etdier la mootoie de la site ( ) ) a) Démotrer qe, por tot etier atrel, b) Qelle est la limite de la site ( )? = por tot etier atrel. + = + + ) Cojectrer e expressio de e foctio de, pis démotrer la propriété aisi cojectrée. > Exercice. = O cosidère la site défiie por tot N par + = + ) Motrer qe por tot etier N, ) Motrer qe la site est strictemet croissate. ) Motrer qe la site est covergete et détermier sa limite. Exercice. La site ( ) est défiie par = et por tot etier N, = + +. ) a) Démotrer qe por tot,. b) E dédire qe por tot,. c) E dédire la atre de la site ( ). ) O défiit la site ( v ) par v = 8 +. a) Démotrer qe ( v ) est e site géométriqe décroissate dot o doera la raiso et le premier terme. b) Démotrer qe por tot N, = 7 + 6. c) Vérifier qe por tot N, = x + y où ( ) o précisera por chace le premier terme et la raiso. d) E dédire l expressio de Exercice. = k k = Sr e droite D mie d repère ( ; ) atrel, o ote : ) Placer les poits A, B, A, B ) Les poits A et S e foctio de. x est e site géométriqe et ( ) y est e site arithmétiqe dot O i, A et B sot les poits d abscisses respectives et. Por tot etier A + le barycetre de ( A ) et ( ), B, ; B + le barycetre de ( A ) et ( ) B ot por abscisses respectives a et b. Aisi a = et b = a a b b a b Démotrer qe por tot de N, = ( + + ) et = ( + ) + ) a) Démotrer, par récrrece, qe por tot etier atrel : a = b) E dédire qe : a = + a et b = + b ) a) Exprimer a et b e foctio de. b) Détermier les limites de a et b qad ted vers + c) Iterpréter ce résltat à l aide des poits A et B., B, ; Page /7
Exercice. est défiie par : cos Soit réel tel qe = et + = + por tot etier atrel ) Calcler les trois premiers termes de la site e foctio de (O rappelle qe, por tot réel x, o a : cos x = cos x ) ) Motrer, par récrrece, qe por tot etier atrel, o a = cos ) Soit ( v ) la site défiie, por tot etier atrel, par v = La site ( ) Détermier la limite de la site ( v ) ) E dédire qe ( ) est covergete ; qelle est sa limite? Page /7
SUITES RECURRENTES CORRECTION Exercice ) Por tot etier, = + + > pisqe N. Aisi, por tot N, + > + >, doc la site ( ) est strictemet croissate. ) a) Démotros par récrrece sr, qe la propriété P() «Iitialisatio : Pisqe = >, la propriété P() est vraie Hérédité : Spposos la propriété P() vrai por etier, c est-à-dire > + + > + +, c est-à-dire > + + +. >» est vraie por tot N >. Alors : Mais pisqe + + = + + + = ( + ) + > ( + ), o a doc ( ) P(+) P Aisi ( ) P( ) Aisi, por tot N, > +, qi est la propriété + +, ce qi achève la phase d hérédite, et la démostratio par récrrece. b) Pisqe por tot N, > ) O calcle sccessivemet : = + + = = + + = 9 = + + = 6 lim >, et pisqe + = + O cojectre qe, por tot N, ( ) = +, o e coclt par mioratio, qe lim = + = +» Démotros cette propriété par récrrece sr N. O ote P() la propriété «( ) = = + Hérédité : Spposos la propriété P() vraie por etier. Alors Iititalisatio : O verifie qe P() est vraie pisqe ( ) ( ) ( ) + = + + = + + + = + + + + = + + = +, qi est atre qe la propriété P(+), ce qi achève la phase d hérédite, et la démostratio par récrrece. = + Aisi, por tot N, ( ) Exercice ) Notos P() la propriété et démotros par récrrece sr qe P() est vraie por tot N Iitialisatio : La propriété est vraie por = pisqe = Hérédité : Spposos la propriété P() vraie por etier, c est-à-dire. O écrit alors sccessivemet : + + + c est-à-dire 9 + +, et e tilisat la croissace de la foctio racie carrée sr [ [ ;+, o obtiet + 9, c est-à-dire + doc +, ce qi prove qe la propriété P(+) est vraie. E coclsio, la propriété P() est vraie por tot N, c est-à-dire : Por tot N, ) Notos P() la propriété «+» et démotros par récrrece sr qe P() est vraie por tot N Iitialisatio : La propriété est vraie por = pisqe = + = Hérédité : Spposos la propriété P() vraie por etier, c est-à-dire +. O écrit alors sccessivemet : Page /7
+ + +, + et tilisat la croissace de la foctio racie carrée sr [ [ + +, ce qi prove qe la propriété P(+) est vraie. ;+, o obtiet + + +, c est-à-dire E coclsio, la propriété P() est vraie por tot N, c est-à-dire : La site est strictemet croissate. ) Pisqe est strictemet croissate et majorée, elle coverge vers e limite l. Pisqe por tot etier, + = f ( ) avec f : x x ( ) l = f l. O résot l éqatio l l l l l obtiet ( ) ( ) +, qi est cotie sr [ [ ;+, la limite l vérifie = + = et >, e calclat le discrimiat de l éqatio. O 6 = = 6 =, doc l éqatio admet dex soltios réelles distictes. l = = et + 6 l = =. La coditio l > (et par aillers le fait qe por tot etier N, ) etraîe le fait qe : la limite de la site est. Exercice ) a) Démotros qe por tot, Iitialisatio : O calcle sccessivemet = + = pis = + = + = et efi = + = + =. O vérifie alors qe 8 Hérédité : O sppose qe por etier, O a alors, et pisqe, doc par somme +, c est-à-dire +. Coclsio : Por tot, b) Pisqe por tot,, o ara doc : Por tot, + O sppose qe. E posat m =, o a alors m, et o appliqe l iégalité précédete à m =. O obtiet m m + c) Pisqe lim = +, o e dédit, par mioratio, qe lim = + + + v = + + + = + = + = v ) a) Por tot N, 8( ) ( 8 ) + La site( v ) est doc e site géométriqe de raiso et de premier terme v = 8 + = 8. Pisqe v > et pisqe la raiso appartiet à l itervalle ] ;[, la site ( ) 8 N, v = v = 8 = 8 b) Pisqe por tot N, coclt qe, por tot N, 8 = + 8 7 6 = + c) Si o pose, por tot N, v sera strictemet décroissate. De pls, por tot = + = +, o e v =, et pisqe por tot N, v 8 ( v 8 ) x = 7 et y = 6, alors : Page /7
- La site ( x ) est géométriqe de raiso x et de premier terme x = 7. (E effet, x x + + 7 = = 7 = 7 = 7 ) y est arithmétiqe de raiso et de premier terme y = 6. (E effet, - La site ( ) ( ) ( ) y+ y = + 6 6 = et y = 6 = 6 ) d) E décomposat la somme S = k e dex sommes : S = k = ( xk + yk ) = xk + yk k = k = k = k = k = les formles relatives ax sommes de termes de sites arithmétiqes et géométriqes, O obtiet : = 7 = et, et e tilisat + + y + y 6 6 + xk et yk = ( + ) = ( + ) = ( + )( 6) k = k = O obtiet aisi S = = + ( + )( 6) Exercice ) k = k A le barycetre de ( A ) et ( B ), B le barycetre de ( A ) et ( ) O obtiet doc :, + a 8,, doc a = = a + b 6 B,, doc b = = A + est le barycetre de ( A ) et ( B ) doc a = = ( a ) ), a, a + b, b + = = a + b a = + = + B + est le barycetre de ( A ) et ( B ) doc ( ), ) a) Iitialisatio : O vérifie qe : ( ) Hérédité : O cosidère qe por etier atrel, a = O calcle alors : a + b + a + 8b a + b a + + = ( a ) + ( a + b ) = = = a Or a = d après l hypothèse de récrrece. Coclsio : Por N, a = b) Pisqe por tot N, a =, alors b = a et a = b. Aisi, l égalité a = + ( a b ) + deviet ( ) a + = a a a a a + = = L égalité b = + ( a b ) + deviet ( ) b + = b b b b b + = + = Page /7
) a) La site a est doc géométriqe de raiso a = a =. et de premier terme a =. Aisi, por tot etier N, De même, por tot N, b = b) La raiso des sites géométriqes a et b appartiet à l itervalle ]- ;[, doc lim a = et lim b = c) Lorsqe ted vers +, les poits A et B se rapprochet assi près qe l o vet de l origie O de la droite gradée. + + Exercice ) De l égalité x =, o e dédit + cos x = cos cos x cos x Aisi, = cos, Pis = + = + cos = ( + cos ) = + cos = cos = cos = cos Pisqe, o ara doc cos, et aisi cos = cos doc = cos Esite = + = + cos = + cos = + cos = cos = cos = cos Pisqe, o ara doc cos, et aisi cos = cos doc = cos 8 Efi, = + = + cos = cos cos cos cos cos + = + = = = Pisqe, o ara doc cos, et aisi cos = cos doc = cos 6 ) Motros par récrrece, qe por tot etier atrel, o a = cos Notos Q la propriété «= cos» La propriété est vraie por =,,, d après les calcls ci-desss Spposos la propriété Q p vraie por certai etier p N, c est-à-dire p = cos p x Alors, pisqe + cos x = cos, o calcle : p cos + = + p = + = cos cos cos cos cos p + p = + = = = p p+ p+ p+ Pisqe, o ara doc cos p+ p p +, et aisi cos = cos doc p+ p+ p + = cos p + C est la propriété Q p +, qi achève la phase d hérédité, et la démostratio par récrrece. ) Pisqe >, lim = + doc lim = + + Page 6/7
lim cos = cos = +, c est-à-dire ) Par compositio avec la foctio cosis qi est cotie e, o trove ( ) lim cos = +. Aisi lim = + Page 7/7