Cocours Mies-Pos 2 MP - Suje 2 - Corrigé Cee correcio a éé rédigée par Frédéric Bayar, e a bééficié des remarques judicieuses de Chrisia Alger. Si vous avez des remarques à faire, ou pour sigaler des erreurs, hésiez pas à écrire à : mahweb@free.fr Mos-clés : meilleure approximaio polyômiale, module de coiuié, série de Fourier, covoluio, diagoalisaio, polyômes orhogoaux Commeaires : C es u problème assez classique, qui fai approcher des focios coiues par des polyômes. Das la première parie, o voi que la rapidié de covergece es proporioelle à la lissicié de la focio. Das la deuxième, o cosrui effeciveme ue suie de polyômes qui coverge uiforméme vers oue focio coiue. Le mélage ere les paries aalyse e les paries algèbre fai de ce problème u bo es des coaissaces de prépa. Tou à fai das le syle Mies/Pos! Première Parie I..a. Nous commeços par prouver que le module de coiuié es défii sur ],+ [. Soi doc h >. Alors, pour ou x, y de I, avec x y h, o a : ϕx ϕy ϕx + ϕy 2M, où ϕ es borée par M. L esemble A h = { ϕx ϕy ; x y h, x,y I} es ue parie o vide de R, majorée : il possède ue bore supérieure, ce qui prouve l exisece de ω ϕ h. E oure, pour < h h, alors A h A h, ce qui prouve supa h supa h, ou ecore ω ϕ h ω ϕ h : ω ϕ es croissae! I..b. Si x,y so das I, avec x y h + h, soi z das le segme [x,y] ou [y,x] el que x z h e z y h. Alors : ϕx ϕy ϕx ϕz + ϕz ϕy ω ϕ h + ω ϕ h. O passe à la bore supérieure pour ous les x,y de ce ype : ω ϕ h + h ω ϕ h + ω ϕ h. Par ue récurrece immédiae, o e dédui que : ω ϕ h ω ϕ h. Si < λ <, o a : ω ϕ λh ω ϕ h + λω ϕ h. Sio, o pose = [λ], e : ω ϕ λh ω ϕ h + ω ϕ λ h ω ϕ h + ω ϕ h + ω ϕ h + λω ϕ h.
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 I..c. C es juse la défiiio de l uiforme coiuié qu o ous demade de formuler!!! Si ϕ es uiforméme coiue, soi ε >. Alors il exise η > el que x y η = ϕx ϕy ε. E passa à la bore sup, o voi que ωη ε, e pour ou < h < η, alors ω ϕ h ω ϕ η ε. C es bie que lim h ω ϕ h =. La réciproque es ecore plus facile. I..d. Si ϕ es coiue sur le segme I, elle es borée par ϕ, e le héorème des accroissemes fiis ous di que ϕ es k-lipschiziee, avec k = ϕ. E pariculier, x y h implique ϕx ϕy h ϕ. I.2.a. Nous avos : λ E uilisa la propriéé admise pour F : λ = 2 4 siθ/2 dθ =. siθ/2 k= + Mais e ijθ dθ =, pour j eier o ul, e : k= + k 2 e ikθ = k= + k 2 e 2ikθ + k 2 e ikθ dθ. j= + k= +, k j k j e ik+jθ. E iégra, ous e gardos que les ermes pour lesquels e 2ikθ = e e ik+jθ =. O rouve doc : λ = 2 + 2 j 2 dθ j= = 2 + 2 2j + j2 2. E uilisa le rappel du exe : E pariculier, à l ifii, λ 2. I.2.b. Nous savos que : λ = 2 + j= = 2 +. 2 α = si 4 4 = 4 si 4 4 si 4. Nous effecuos u développeme limié : 4 si 4 = 6 + o = 4 A 6 + o 6, avec A. D où : α = A 6 + o 6 8 + o 8, ce qui prouve bie que α es équivalee e à A 2. Si o oe β = α, alors β A e, e doc β es borée sur u voisiage de, meos sur ],δ]. Sur [δ,π/2], β es ue focio coiue sur u compac, doc es borée. hp://mahweb.free.fr 2
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 Remarquos que das l expressio de I, il y a pas de sigularié e, car la focio se prologe par coiuié e! Nous effecuos le chageme de variable u = das I : Maiea, remarquos que si 4 E pariculier : + I = 2 O e dédui : I = 2 /2 si 4 d., e doc la focio si4 es iégrable sur [,+ [. I 2 + si 4 + d 2 π/2 si 4 d = O coclu car + π/2 Pour esimer J, remarquos la covergece de + D où : + π/2 + si 4 d. si 4 d si 4 d. si 4 d ed vers quad ed vers +. si 4 d, puis le fai que α A2 2 si ],π/2[. J /2 A 2. A 2. si 4 A 2 d /2 + 2 si 4 2 d si 4 2 d. I.2.c. Remarquos d abord que l iégrale es posiive, car la quaié à iégrer l es. Esuie, ous avos : + K d = K d + si4 /2 λ si 4 /2 d. Pour la première iégrale, la majoraio es facile : K d K d. D aure par, pour ],π[, Or, si4 /2 si 4 /2 [ = si 4 /2 si 4 /2 /2 4 = α/2 si 4 /2 + 6 si4 /2. ] + si4 /2 /2 4 λ α/2 si 4 /2d C λ 2 C λ C 2, /2 α si 4 d hp://mahweb.free.fr
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 où la derière iégalié es ue coséquece de l équivale de λ obeu e I.2.a. D aure par, λ si 4 /2 π/2 = C 2 + C 2. 2 si 4 d Cee derière iégrale es doc elle aussi borée, ce qui perme de coclure. I..a. Nous allos uiliser u procédé for uile e mahémaiques, qui s appelle la covoluio, e perme d approcher des focios par des focios plus régulières! Prouvos d abord que j [g] es pair. E effe, si θ R, j [g] θ = g θ K d = gθ + K d = gθ K d = gθ K d = j [g]θ. Esuie, ous savos ous l avos déjà cosaé à la quesio I.2.a. que K es u polyôme rigoomérique de degré 2 2. E pariculier, il exise des réels a j, pour 2 2 j 2 2, els que : Nous avos alors : K θ = j [g]θ = = = = 2 2 j= 2+2 2 2 j= 2+2 a j e ijθ. gθ K d guk θ udu gu aj 2 2 j= 2+2 a j e ijθ e iju du gue iju du e ijθ. Coraireme à ce que l éocé aoce, o e rouve pas u polyôme, mais bel e bie u polyôme rigoomérique de degré iférieur ou égal à 2 2. Remarquos qu e fai, la parié de j [g] ous perme d écrire : j [g]θ = 2 2 j= b j cosjθ. O se servira de ce résula e I.4.a. I..b. Claireme, θ θ, d où : gθ gθ ω g = ω g + ω g, hp://mahweb.free.fr 4
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 où o s es servi libreme des résulas de I..b. Par suie : gθ j [g]θ gθ gθ K d + K dω g M ω g, où o a uilisé I.2.c, e la parié de K. I.4.a. D après ce que ous avos aocé, P x = 2p j= b j cosjarc cosx. Comme il es admis que x cosjarc cos x es u polyôme de degré j, P es u polyôme de degré au plus 2p. I.4.b. Nous savos que f f P f. Si x [,], soi θ el que cos θ = x. Alors : Il rese à remarquer que ω g fx P x = gθ j p+ [g]θ M ω g. p + 2ω g, ce que l o fai grâce à I..a, e : p+ ω g 2 + ω g ω g ω g. p + I.4.c. Si l o y réfléchi u peu, c es presque évide, car si Q es par exemple ue suie de polyômes qui perme d approcher f, alors Q Q permera d approcher f Q. Si f es coiûeme dérivable sur I, d après I.4.b. e I..d., ous savos que, pour ou polyôme de degré, alors : f = f Q 2M ω f Q 2 M f Q. Maiea, o pred l if de ous les polyômes Q das E : Q décri alors E, e if{ f Q ; Q E } = f. CQFD. I.4.d. Par récurrece immédiae : f Maiea, f k C, e d après I.4.b. : 2M k... k + kf k. k f k 2M ω f k. k Mais f k es uiforméme coiue sur I, car coiue sur ce compac o applique le héorème de Heie, doc ω f k k si +. Il e es de même de k f k. Ceci, couplé à doe f = o k. hp://mahweb.free.fr 5
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 Deuxième Parie II..a. E es de degré. C es e effe le oyau de l applicaio liéaire : φ : E R 2 P P,P, qui es de rag 2. Remarquos esuie que les polyômes e k so ous das E, e comme leurs degrés so éagés ie ils o deux à deux des degrés différes, o prouve facileme que e k 2k es ue famille libre. Comme elle compred élémes, la coaissace de la dimesio de E fai que l o sai que c es ue base de ce espace vecoriel. II..b. Il suffi e fai de prouver que, pour k compris ere 2 e, alors degφ e k k. C es évide. Pour calculer les élémes diagoaux, il suffi de calculer le coefficie domia. Mais : φ e k x = x 2 kk x k 2 + Rx où degr k = kk x k + Qx où degq k. Les coefficies diagoaux so doc les kk, pour k alla de 2 le erme e hau à gauche jusque. E pariculier, le polyôme caracérisique de φ es : X + 2X + 2... X +. Il es scidé, à racies simples, doc l edomorphisme φ es diagoalisable, les valeurs propres éa les µ k = kk. E pariculier, il exise ue base Q k 2k de veceurs propres, Q k éa associé à µ k. Si Q k x = a p x p +..., le coefficie domia de x 2 Q k es a ppp, e l égalié des coefficies domias de kk Q k e x 2 Q k doe : a ppp = a p kk. Doc p = k e le degré de Q k es k. II..c. Comme e - so racies de P, P x = Rx x + x. Alors, P xqx x 2 = RxQx se prologe par coiuié e e -, e l iégrale es effeciveme défiie. E oure, si JP,P =, c es, avec les mêmes oaios, que x2 R 2 xdx =, ce qui es possible x x 2 R 2 x es coiue e posiive, que si R es ideiqueme ulle, soi P es le polyôme ul. II..d. Pour k j, ous calculos Q j Q k e remplaça Q j resp Q k par so expressio e focio de Q j resp. Q k, puis e réalisa ue iégraio par paries. O rouve : Q j xq k x Q j Q j Q k = x 2 dx = xq kx dx = Q µ j µ jxq kxdx, j e Q j,q k = Q µ jxq kxdx. k Comme µ j µ k, o a Q j Q k = : la base B es orhogoale das E. II.2.a. Nous avos : P xq xdx = x 2 P xq xdx. Comme d P, o a d [ x 2 P ] e x 2 P es u éléme de E. E pariculier, x 2 P x s écri k=2 c kq k, où les c k so des réels. D où : x 2 P xq xdx = c k Q k xq xdx. hp://mahweb.free.fr 6 k=2
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 Maiea, Q k xq xdx = µ où la derière égalié es coséquece de I..d. E résumé, P xq xdx =. Q k xq x x 2 =, II.2.b.i. C es u raisoeme rès classique quad o parle de polyômes orhogoaux, qu il vau mieux savoir faire! Si Q adme u zéro de muliplicié impair e x i, alors Q s aule e chage de sige e x i. Maiea, x x i Q x s aule oujours e x i, mais e chage plus de sige. Par coséque, R Q garde u sige cosa sur [,], es pas parou ulle, e es coiue. Doc : R xq xdx. E pariculier, d après l aliéa a., degr 2. Mais comme Q s aule aussi e e, R es de degré au plus 2 car Q a au plus racies. D où degr = 2. II.2.b.ii. Si Q a pas de racies de muliplicié impaire das ],[, alors ce polyôme garde u sige cosa, y es pas parou ul, e es coiu : l iégrale de Q sur I es doc pas ulle. Ceci coredi II.2.a., avec P =. C es doc que ce cas es impossible, e o es revoyé à i. Mais le résula de i. prouve que Q a au mois racies disices :, -, e les x i. Comme Q es de degré, ce so exaceme les racies de Q : elles so doc de muliplicié, e siuées das I. II..a. u es claireme liéaire. E oure, si u P =, alors P es u polyôme de degré au plus qui possède au mois + racies. P es doc le polyôme ul. O e dédui que u es ijecive, e comme dime = dimr +, u es u isomorphisme. O e dédui immédiaeme l exisece e l uicié de I [f]. E oure : I [f P ]y k = f P y k = I [f] P y k, e comme I [f] P E, l uicié ous perme de coclure à l égalié de I [f] P e I [f P ]. II..b. Q + s écri : Q + x = x y... x y, e doc Q +x = j= i j x y i. O e dédui que : { si j k L k y k = si j = k. E pariculier, le polyôme P = k= fy kl k x vérifie u P = fy,...,fy. Comme P E, c es bie que P = I [f]. II..c. O a les iégaliés successives : fx I [f]x fx P x I [f] P x f P + I [f P ]x f P + f P y k L k x + k= L k x f P. II.4.a. v es liéaire, e si v P =, alors x y 2... x y 2 divise P, e comme degp 2 +, écessaireme P =, e v es u isomorphisme. L exisece, e l uicié de H [f] so alors immédiaes. H [] vau bie sûr d ailleurs H P = P pour ou polyôme de degré 2. Remarque : Démorer le résula admis es pas rop compliqué, mais juse u peu calculaoire. Il suffi de calculer l expressio de gauche, e sa dérivée, e y k, e vérifier que l o rouve fy k resp. f y k. k= hp://mahweb.free.fr 7
Mies-Pos 2 - MP - Suje 2 II.4.b. Le calcul doe : Mais, d ue par : L kx = Q +xx y k Q + x x y k 2 Q + y. k e d aure par : O e dédui que : Q +xx y k = Q +y k x y k + Q +y k x y k 2 + o x y k 2, Q + x = Q +y k x y k + Q +y k x y k 2 + o x y k 2. 2 L ky k = Q y k 2Q + y k. Maiea, d après l équaio différeielle relia Q + à Q +, o a Q +y k =, soi Ly k = pour k alla de à. Pour calculer L y e L y, ous allos dériver l équaio différeielle vérifiée par Q + : x 2 Q + x 2xQ +x = µ + Q +x. Pour x =, o rouve : De même : L y = µ + 4 L y = µ + 4 II.4.c. Nous appliquos la formule admise pour calculer H [f], avec f =, e x I : =.. L k x 2 2x L y 2x + L y. k= E ous aida des siges de L y e L y déermiés auparava : L k x 2 = + 2x L y + 2x + L y k=. La deuxième iégalié se dédui e appliqua l iégalié de Cauchy-Schwarz. II.5. Nous avoc doc : f I [f] + + f P 2 f P, e ceci pour ou polyôme P de E. O opimise e P : f I [f] 2 f. E pariculier, si f es coiue, e dérivable, o sai que f = o, e la suie de polyômes I [f] coverge uiforméme vers f sur I. Si f es C, la covergece es rès rapide, puisqu e o pour ou k. k Remarque : Nous approchos doc f par so polyôme d ierpolaio de Lagrage aux pois y k. Cela e marcherai pas si o preai des pois d ierpolaio équidisas ce qui semblerai le plus logique, alors que cela covie parfaieme si o pred des racies successives de polyômes orhogoaux. Pour plus de reseigemes à ce suje, o pourra lire l excelle livre de J.P. Demailly, Aalyse Numérique des Equaios différeielles. hp://mahweb.free.fr 8