Calcul de primitives et d intégrales. () Calcul de primitives et d intégrales 1 / 53

Calcul de primitives et d intégrales () Calcul de primitives et d intégrales 1 / 53

1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 2 / 53

Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 3 / 53

Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I à valeurs réelles. On appelle primitive de f sur I toute fonction F à valeurs réelles définie et dérivable sur I telle que F = f. () Calcul de primitives et d intégrales 4 / 53

Proposition Soit f une fonction continue sur I. Si F est une primitive de f, alors les primitives de f sur I sont toutes les fonctions de la forme F + C où C R. Démonstration. Il est clair que toute fonction de la forme F + C est une primitive de f sur I. Réciproquement, si G est une primitive de f sur I alors la fonction G F est dérivable sur I de dérivée (G F ) = G F = f f = 0. Ainsi, la fonction G F est constante sur I et il existe C R tel que G = F + C. () Calcul de primitives et d intégrales 5 / 53

Exemple: Les primitives sur R de la fonction polynomiale f : x x 3 + 2x + 3 sont toutes les fonctions F de la forme : x R, F (x) = 1 4 x 4 + x 2 + 3x + C, où C R. () Calcul de primitives et d intégrales 6 / 53

Nous admettrons le résultat d existence suivant : Théorème Soit I un intervalle de R. Toute fonction continue sur I à valeurs réelles possède une primitive sur I. () Calcul de primitives et d intégrales 7 / 53

Corollaire Soit I un intervalle de R, a un élément de I et k un réel quelconque. Pour toute fonction réelle f continue sur I, il existe une unique primitive F de f vérifiant F (a) = k. Démonstration. Existence : D après le théorème précédent, f possède une primitive H. Posons F = H + k H(a). D après la proposition 1, la fonction F est une primitive de f. On a F (a) = H(a) + k H(a) = k. Unicité : Si G est une primitive de f telle que G(a) = k, il existe une constante réelle C telle que : x I, F (x) = G(x) + C. Comme F (a) = k et G(a) = k, on a k = k + C donc C = 0 et F = G. Exemple: La fonction ln est l unique primitive sur ]0, + [ de la fonction x 1 x qui s annule en 1. () Calcul de primitives et d intégrales 8 / 53

Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b appartenant à I, l intégrale de f entre a et b est le nombre réel par b a f (x)dx = F (b) F (a) où F désigne une primitive quelconque de f sur I, et ce quel que soit l ordre des réels a et b. Remarque: b a f (x) dx Cette définition est licite puisque si F 2 désigne une autre primitive de f sur I, il existe C R tel que F 2 = F + C et on a alors F 2 (b) F 2 (a) = F (b) + C (F (a) + C) = F (b) F (a). La variable x qui apparait sous le signe intégral est une variable muette. Les deux notations même intégrale. b a f (x) dx et b a f (t) dt représentent la () Calcul de primitives et d intégrales 9 / 53

Relation de Chasles Proposition Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c appartenant à I, on a b a f (x) dx = c et ce quel que soit l ordre des réels a, b et c. a b f (x) dx + f (x) dx c Démonstration. Soit F une primitive de f sur I. On a c a b f (x)dx + f (x)dx = F (c) F (a) + F (b) F (c) c = F (b) F (a) = b a f (x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 10 / 53

Linéarité Proposition Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soit a, b I et λ R. On a b b b (λf (x) + g(x))dx = λ f (x)dx + g(x)dx. a a a Démonstration. On note F et G des primitives respectives de f et g sur I. La fonction λf + G est alors une primitive de λf + g sur I. On a alors b a (λf (x) + g(x))dx = (λf + G)(b) (λf + G)(a) = λf (b) + G(b) λf (a) G(a) = λ(f (b) F (a)) + (G(b) G(a)) = λ b a f (x)dx + b a g(x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 11 / 53

Théorème Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit a I. La fonction P définie pour tout x I par P(x) = x a f (t)dt est l unique primitive de f sur I qui s annule en a. Démonstration. Puisque f est continue sur I, elle admet une primitive F sur I. Pour tout x I, on a P(x) = F (x) F (a) donc P est bien une primitive de f sur I. On a P(a) = F (a) F (a) = 0. Elle est unique d après le corollaire 1. () Calcul de primitives et d intégrales 12 / 53

Définition On dit qu une fonction f est de classe C 1 sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable sur I et si sa dérivée f est continue sur I. () Calcul de primitives et d intégrales 13 / 53

Primitives usuelles La façon la plus simple de trouver une primitive d une fonction f est de reconnaître en f la dérivée d une fonction usuelle. On omet à chaque fois la constante dans l expression des primitives. x k (k R\{ 1}) x k+1 k + 1 1 x k (k R\{1}) 1 1 1 k x k 1, 1 x 2 1 x, 1 x 2 x, x R + x R + ou R 1 x ln x, x e x e x, R + ou R a x ax ln a () Calcul de primitives et d intégrales 15 / 53

cos x sin x, sin x cos x 1 cos 2 (x) ou 1 + tan2 x tan x, tan x ln cos x, x ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ x ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ (k Z) (k Z) ch x sh x; sh x ch x 1 ch 2 (x) ou 1 th2 x th x th x ln(ch x) () Calcul de primitives et d intégrales 16 / 53

1 1 x 2 1 1 + x 2 Arctan x arcsin x, x ] 1; 1[ () Calcul de primitives et d intégrales 17 / 53

Reconnaître la dérivée de la composée de deux fonctions Il est facile de trouver une primitive d une fonction lorsque celle-ci s exprime sous la forme de la dérivée de la composée de deux fonctions. Proposition Soit u est une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et g est une fonction continue sur J. On note G une primitive de g sur J. Une primitive sur I de la fonction f définie par est la fonction F = G u. x I, f (x) = u (x) g(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 18 / 53

u (x)(u(x)) k Fonction u (x) u(x) (k R\{ 1}) Primitive (u(x)) k+1 k+1 2 u u (x) u(x) u (x) e u(x) u (x) cos(u(x)) ln u(x) e u(x) sin(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 19 / 53

Fonction u (x) sin(u(x)) u (x) ch(u(x)) u (x) sh(u(x)) Primitive cos(u(x)) sh(u(x)) ch(u(x)) u (x) 1 + (u(x)) 2 Arctan(u(x)) u (x) 1 (u(x)) 2 Arcsin(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 20 / 53

Transformations d expressions Pour obtenir une primitive d une fonction f continue sur I, il est parfois nécessaire de transformer l expression de f pour reconnaitre des fonctions que l on sait intégrer. () Calcul de primitives et d intégrales 22 / 53

Linéarisation d un polynôme trigonométrique Si f contient des produits ou des puissance de cosinus et/ou sinus, on linéarise l expression (en remplaçant chaque sinus/cosinus l aide de la formule d Euler, puis en développant tout). On obtient alors une somme de termes en cos(lx) ou sin(mx) qu on sait primitiver. Exemple: Calculer π 0 sin 2 (x) cos 2 (x) dx () Calcul de primitives et d intégrales 23 / 53

Cas des fractions rationnelles simples Pour trouver une primitive d une fraction rationnelle, on la décompose en éléments simples (c.f le cours sur les fractions rationnelles). Les termes de la décomposition en éléments simples sont alors plus faciles à intégrer : 1 Les termes de la forme ax+b (avec a, b des constantes) ont une primitive de la forme C ln(ax + b) avec C une constante. 1 Les termes de la forme avec k 1 ( et a, b des constantes) (ax+b) k ont une primitive de la forme Les termes de la forme 1 Les termes de la forme changement de variable. x 2 +1 λx+µ ax 2 +bx+1 C (ax+b) k 1 avec C une constante. ont une primitive de la forme arctan(x). seront primitivés avec la formule de () Calcul de primitives et d intégrales 24 / 53

Exemple: Calculer 1 0 x 3 x + 2 dx. En effectuant la division euclidienne de X 3 par X + 2, on obtient X 3 = (X 2 2X + 4)(X + 2) 8 de sorte que pour tout x [0; 1], on a On obtient ainsi x 3 x + 2 = x 2 2x + 4 8 x + 2. () Calcul de primitives et d intégrales 25 / 53

Exemple: Calculer une primitive sur R de x x 2 x 2 + 1. Exemple: Calculer 3 2 dx x 2 1 On a x 2 1 = (x 1)(x + 1). On sait qu il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout x [2; 3], 1 x 2 1 = 1 (x 1)(x + 1) = a x 1 + b x + 1. Les techniques de calcul du chapitre sur les fractions rationnelles donnent a = 1 2 et b = 1 2. On en déduit : () Calcul de primitives et d intégrales 26 / 53

La méthode d intégration par parties Théorème Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle I et soit a, b deux éléments de I. On a b [ ] b b u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx. a a a () Calcul de primitives et d intégrales 28 / 53

Démonstration. Les fonctions u, v, u et v étant continues sur I, les fonctions u v et uv le sont également et possèdent donc des primitives sur I. Puisque uv est dérivable de dérivée (uv) = u v + uv, la fonction uv est une primitive de la fonction u v + uv. Autrement dit, b ce qui donne l égalité b a a ( u (t)v(t) + u(t)v (t) ) dt = [ ] b u(x)v(x) a b [ ] b u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx = u(x)v(x) a a d où provient la formule d intégration par parties. () Calcul de primitives et d intégrales 29 / 53

Remarque: La méthode d intégration par parties sert à calculer des primitives de produit de deux fonctions, en primitivant l une et dérivant l autre. Elle peut être utile pour éliminer dans un produit une fonction qui n est pas simple à primitiver (comme ln, Arcsin, Arctan...) et dont la dérivée s intègre plus aisément. Elle permet aussi de calculer des intégrales dépendant d un paramètre par récurrence (par exemple les intégrales de Wallis, voir exercice). () Calcul de primitives et d intégrales 30 / 53

Une petite astuce... Il arrive souvent qu on utilise la formule d intégration par parties, alors qu aucun produit n apparaît à priori dans la fonction f à primitiver... L astuce consiste à considérer que l on intègre le produit 1 f. Exemple: Calculer une primitive de ln sur R +. () Calcul de primitives et d intégrales 31 / 53

Intégrales de fonctions de la forme f (x) = P(x) e ax où P R[X ] et a R Le principe est d appliquer plusieurs fois la méthode d intégration par parties en dérivant le polynôme, ce qui finit par le faire disparaitre. Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction f : R R t (t 2 + 3t) e t. Remarque: Plus généralement, on peut montrer par récurrence que si P est un polynôme de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n tel que les primitives sur R de x P(x) e x sur R sont les fonctions de la forme x Q(x) e x +C où C R. () Calcul de primitives et d intégrales 32 / 53

Fonctions de la forme f (x) = P(x) cos(ax) ou f (x) = P(x) sin(ax) où P R[X ] et a R On applique plusieurs fois la méthode d intégration par parties en dérivant le polynôme. Exemple: Calculer π 0 (x 2 + 2x 3) sin(2x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 33 / 53

Changement de variable Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle J à valeurs dans R. Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans J. Soit a et b deux éléments de I. On a b a (f ϕ)(x) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ(a) f (y) dy. () Calcul de primitives et d intégrales 35 / 53

Démonstration. Soit F une primitive de f sur J. La fonction (f ϕ) ϕ est la dérivée de la fonction F ϕ et elle est continue sur [a, b] car f ϕ et ϕ le sont. Par conséquent, on a b a (f ϕ)(x) ϕ (x) dx = F ϕ(b) F ϕ(a) = F (ϕ(b)) F (ϕ(a)) = ϕ(b) ϕ(a) f (y) dy. () Calcul de primitives et d intégrales 36 / 53

Technique Disons que l on veuille effectuer un changement de variable dans l intégrale b a f (x) dx. Cette méthode s applique de deux manières différentes : () Calcul de primitives et d intégrales 37 / 53

1er cas. On exprime une nouvelle variable en fonction de l ancienne : t = ϕ(x). Cette technique est très utilisée lorsque la fonction f est presque sous la forme f (x) = ϕ (x)g(ϕ(x)). Il faut alors effectuer chacune des étapes suivantes : 1 Vérification du caractère C 1 : On verifie que ϕ est bien de classe C 1 sur le segment d extrémités a et b. 2 Transformation des bornes : On transforme les bornes de l intégrale : si x = a, alors t = ϕ(a) et si x = b, alors t = ϕ(b). 3 Transformation de l intégrande : On transforme ensuite f (x) dx en effectuant les opérations suivantes : 1 calcul de la différentielle dt = ϕ (x) dx ; 2 écriture de f sous la forme f (x) = g ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx ; 3 remplacement de ϕ (x) dx par dt et de ϕ(x) par t. 4 Écriture de la nouvelle intégrale.. et calcul, bien sûr. () Calcul de primitives et d intégrales 38 / 53

Exemple: Calculer 5π/2 0 cos(x) cos(sin x) dx () Calcul de primitives et d intégrales 39 / 53

2ème cas : On exprime l ancienne variable en fonction d une nouvelle : x = ψ(t). Il s agit de reprendre le processus à l envers. Il faut alors effectuer chacune des étapes suivantes : 1 Transformation des bornes de l intégrale. On détermine α et β tel que ψ(α) = a et ψ(β) = b. 2 Vérification du caractèrec 1 On vérifie que ψ est de classe C 1 sur le segment d extrémités α et β. 3 Transformation de l intégrande On effectue ensuite la transformation de f (x) dx en effectuant les opérations suivantes : 1 calcul de la différentielle dx = ψ (t) dt ; 2 remplacement de dx par ψ (t) dt 3 remplacement de x par ψ(t) ; 4 Écriture de la nouvelle intégrale Exemple: Calculer 1 1 1 x 2 dx. () Calcul de primitives et d intégrales 40 / 53

Attention : Lorsqu on exprime la nouvelle variable en fonction de l ancienne t = ϕ(x), on doit voir apparaître dans l intégrale ϕ (x)dx et ϕ(x). Si on n y arrive pas, on peut essayer de transformer la relation t = ϕ(x) pour exprimer x en fonction de t (x = ψ(t)), ce qui ramène à la deuxième méthode. Lorsqu on exprime l ancienne variable en fonction de la nouvelle, il faut bien vérifier que le changement de variable est bien de classe C 1 entre les bornes de la nouvelle l intégrale... sinon on court à la catastrophe. () Calcul de primitives et d intégrales 41 / 53

Calcul de primitives d éléments simples par changement de variable affine On veut primitiver dx + e ax 2 + bx + c, a, b, c, d, e R, = b2 4ac < 0. On fait ces trois étapes dans l ordre, en sautant les étapes si nécessaire (voir exemples plus bas). Si d 0 (c est à dire si il y a du x au numérateur), on fait apparaitre la dérivée du dénominateur au numérateur en ajustant les constantes. Ce qui permet de séparer l élément simple en deux fractions. Une fraction est de la forme u u (de primitive en ln u ) et une autre est de 1 la forme ax 2 +bx+c. 1 On s occupe de. Si au dénominateur, on a le terme bx, on ax 2 +bx+c utilise une identité remarquable pour faire apparaitre un carré + une constante. On fait un changement de variable pour se ramener à une 1 fraction du type Ax 2 +B. () Calcul de primitives et d intégrales 42 / 53

1 Quand il ne reste qu un élément de la forme, on fait un Ax 2 +B deuxième changement de variable pour se ramener à une fraction du 1 type, dont une primitive est arctan x. x 2 +1 Il est possible de faire en une seule fois les deux changements de variable pour aller plus vite. () Calcul de primitives et d intégrales 43 / 53

Faire apparaitre au numérateur la dérivée du dénominateur Si y a du x au numérateur, on fait apparaitre la dérivée du dénominateur au numérateur. Ce qui permet de calculer le début de la primitive. Il 1 restera un terme en à primitiver ensuite. Exemple: Calculer ax 2 +bx+c 1 0 2x x 2 + 2x + 2 dx. Le discriminant du trinôme x 2 + 2x + 2 est strictement négatif, donc on ne peut pas décomposer davantage, c est un élément simple. On utilise le x du numérateur pour faire apparaitre la dérivée du dénominateur. () Calcul de primitives et d intégrales 44 / 53

Faire apparaitre un carré + constante au dénominateur On fait apparaître une identité remarquable au dénominateur en utilisant le terme en x 2 et le terme en x, et on compense avec une constante. Après 1 le changement de variable, on a une fraction du type avec a, b at 2 +b constantes non nulles. Exemple: (suite) Il reste à calculer 1 0 dx x 2 + 2x + 2 On fait apparaître une identité remarquable au dénominateur en utilisant le terme en x 2 et le terme en x () Calcul de primitives et d intégrales 45 / 53

Faire apparaitre la dérivée d une Arctangente. On veut calculer une 1 primitive de avec a et b deux nombres réels strictement positifs, at 2 +b c est à dire calculer pour tout x R : x dt at 2 + b L objectif est de faire apparaitre 1 y 2 +1 0 qu on sait primitiver. 1 On factorise b au dénominateur pour faire apparaître le +1. 1 at 2 + b = 1 b ( a b t2 + 1 ) 2 On regroupe l autre terme dans un seul carré : 1 at 2 + b = 1 ( ( ) b a b t) 2 + 1 3 On fait le changement de variable y = a b t (le terme dans le carré). () Calcul de primitives et d intégrales 46 / 53

On fait le changement de variable y = a b t dans l intégrale x 0 dt at 2 + b On a dy = a b dt et les bornes qui deviennent 0 et a b x. Donc x 1 x 0 at 2 + b dt = 1 a ( ( ) b dt 0 b a b t) 2 a + 1 b = = 1 a b x ab 0 a b x 0 1 b b (y 2 + 1) a dy 1 y 2 + 1 dy = 1 arctan ab ( ) a b x () Calcul de primitives et d intégrales 47 / 53

Quotients de polynômes trigonométriques Supposons que l on soit amené à calculer une primitive d une fonction rationnelle en sin et cos, c est-à-dire d un quotient de polynômes trigonométriques de la forme f (x) = P(sin(x), cos(x)) Q(sin(x), cos(x)) où P(X, Y ) et Q(X, Y ) désignent des polynômes à deux indéterminées. On pense alors à effecter un changement de variable du type u = cos(x), u = sin(x) ou u = tan(x). La plupart du temps, il est facile de voir le ou lesquels de ces changements de variable est possible et permet de mener à bien le calcul. () Calcul de primitives et d intégrales 48 / 53

Par exemple, pour calculer π/2 0 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) on voit sans peine que l intégrande s écrit sous la forme dx 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) = 2 cos(x) 2 + cos 2 (x) cos (x) dx si bien qu il est naturel de poser u = cos(x), la fonction cos étant bien de classe C 1 sur [0, π/2]. On obtient alors : = 1 0 π/2 0 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) dx = 0 1 2u 2 + u 2 du 2u [ ] 1 2 + u 2 du = ln(2 + u 2 ) = ln(3) ln(2). 0 () Calcul de primitives et d intégrales 49 / 53

Si le changement de variable à effectuer ne vous saute pas aux yeux, au-delà des classique u = cos x, u = sin x, u = tan x, on peut essayer u = cos(2x) ou u = tan( x 2 ) avec les formules de l angle moitié (qui sont à savoir!). Il faut faire attention lorsque l on effectue un changement de variable avec la fonction tangente de ne pas intégrer sur un intervalle contenant un élément de la forme π + kπ (k Z). 2 Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction x sin3 (x) 1 + cos 2 (x). () Calcul de primitives et d intégrales 50 / 53

Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer On peut exploiter certaines propriétés des fonctions pour simplifier le calcul d une intégrale : Soit a R et f une fonction paire et continue, alors a a f (t)dt = 0 a f (t)dt + a 0 f (t)dt = 2 a Soit a R et f une fonction impaire et continue, alors a a f (t)dt = 0 a f (t)dt + a 0 0 f (t)dt = 0 f (t)dt Soit a, b R et f une fonction T -périodique et continue, alors b+t a+t f (t)dt = b a f (t)dt Toutes ces propriétés se prouvent par changement de variable. () Calcul de primitives et d intégrales 52 / 53

Exemple: Calculer I = 2π 0 sin 3 (x) 1 + cos 2 (x) dx. () Calcul de primitives et d intégrales 53 / 53