Calcul différentiel optimisation (L MIDO), juin 06 Corrigé Vrai ou faux? Justifier votre réponse.. Soit A n. Si A est borné, l adhérence de A est bornée. Vrai. Comme A est borné, il existe > 0 tel que x pour tout x A (pour une certaine norme sur n ). Soit y adh(a). Il existe une suite (x k ) k A telle que x k y quand k. Donc x k y, par continuité de la norme, y. Donc adh(a) est borné. Alternative : L adhérence de A est l intersection de tous les fermés contenant A. Comme A est borné, il existe une boule fermée contenant A. Soit > 0 le rayon de cte boule. Donc, pour tout x adh(a), on a x.. La limite suivante existe : lim (x,y,z) (0,0,0) xyz x + y + z. Vrai. Pour tout (x, y, z) 3 \{(0, 0, 0)}, on a xyz (x, y, z) 3 x + y + z (x, y, z) = (x, y, z) 0 lorsque (x, y, z) 0. 3. Soit une application f :, soit (a, b). (a) Si (x, y) 0 (x, y) 0 pour tout (x, y), alors f(a + h, b + k) f(a, b) pour tout h 0 k 0. Vrai. On écrit f(a + h, b + k) f(a, b) = f(a + h, b + k) f(a + h, b) + f(a + h, b) f(a, b). Par le théorème de la moyenne pour les fonctions d une variable, il existe c, c tels que f(a + h, b + k) f(a + h, b) = (a + h, c)k 0 f(a + h, b) f(a, b) = (c, b)h 0.
emarque : si on suppose en plus que f est différentiable, on peut immédiatement appliquer le théorème de la moyenne pour les fonctions de plusieurs variables : il existe (c, c ) tel que f(a + h, b + k) f(a, b) = f(c, c ), (h, k) 0. emarque : Pour n >, la notion de fonction croissante sur n n existe pas. (b) Si (a, b) 0 (a, b) 0, alors il existe un voisinage de (a, b) tel que f(a + h, b + k) f(a, b) pour tout h 0 k 0 dans ce voisinage. Faux. Prenons la fonction f :, (x, y) x y. Cte fonction adm un maximum local en (0, 0) donc (0, 0) = (0, 0) = 0. Or, pour tout h, k > 0 on aura f(h, k) < 0 = f(0, 0). 4. Soit un ensemble convexe U n, soit L : m n une application linéaire. Alors V = {x m : L(x) U} est convexe. Vrai. Soient x, y V. Montrons que z = ( t)x+ty V pour tout t [0, ]. Il suffit de voir que L(z) U. Par linéarité de L, on a L(z) = ( t)l(x) + tl(y). Puisque x, y V, on a L(x), L(y) U, donc par convexité de L, on a ( t)l(x)+l(y) U, donc L(z) U. emarque : Sans l hypothèse de convexité sur U, la proposition est fausse : si U n est pas convexe, si L est l identité, alors V = U n est pas convexe. 5. Il existe une application f : deux fois différentiable sur, telle que f (x) > 0 pour tout x, telle que g :, (x, y) f(x) f(y) admte au moins un extremum (local ou global) sur. Faux. Si g adm un extremum en un point (a, b), alors la hessienne de g ne peut pas être indéfinie en ce point. Or, pour tout (x, y), la hessienne de g est donnée par H g (x, y) = ( f (x) 0 0 f (y) Son déterminant est donc strictement négatif par l hypothèse sur f, donc la hessienne est indéfinie en tout point de. ).
6. Soit une application convexe différentiable f : n, soient a n b n deux points critiques de f. Alors f(a) = f(b). Vrai. Comme f est convexe, elle atteint un minimum global en tout point critique, d où f(a) = f(b). emarque : Il peut y avoir plusieurs points critiques, mais la valeur de la fonction en ces points doit être la même. 7. Soit une application continue f : telle que f(x, y) = 0 pour tout (x, y) tels que x + y =. Alors f atteint un extremum (local ou global) en au moins un point de. Vrai. La fonction f est continue sur le fermé borné B = {(x, y) : x + y }, atteint donc ses bornes sur c ensemble. Voyons que f adm un extremum en un point de l intérieur de B, car alors f adm un extremum local en ce point. Si ce n était le cas, alors f restreinte à B devrait atteindre son minimum son maximum sur le cercle C = {(x, y) : x +y = }. Or f s annule sur c ensemble, donc le minium serait égal au maximum. Donc f serait constante sur B, donc admtrait un extremum local en tout point intérieur. Exercices Indiquez seulement brièvement vos calculs.. On donne pour tout x. Calculer π I = π cos(xy)e y dy = e x y cos(y)e y dy On dérive deux fois le membre de gauche de droite par rapport à x : d cos(xy)e y dx dy = y cos(xy)e y dy π π Posant x =, on trouve I = 0. d dx e x = (x )e x /. 3
. Soit une application deux fois différentiable φ :, soit l application Exprimer f : n, x φ( x ). f(x) = n i= f (x) i en fonction de x des dérivées première secondes de φ. On calcule (x) = x i φ ( x ) i f (x) = φ ( x ) + 4x i φ ( x ). i Donc f = nφ ( x ) + 4 x φ ( x ). 3. Soit f : une application différentiable qui vérifie x (x, y) + y (x, y) = 0 pour tout (x, y). Calculer la dérivée de φ : +, r π 0 f(r cos t, r sin t) dt. Si on suppose que f est de classe C, on calcule pour tout r > 0 π φ (r) = cos t (r cos t, r sin t) + sin t 0 (r cos t, r sin t) dt = π 0 dt = 0 r 0 par hypothèse. emarque : Il n est pas nécessaire de supposer que f est de classe C, car en fait f est constante sur. En eff, l hypothèse entraîne, pour tout (x, y) d f(λx, λy) = 0 dλ pour tout λ > 0. Dès lors f est constante sur toutes les demi-droites qui partent de l origine (origine non-comprise). Ensuite, comme f est différentiable, elle est continue en l origine, donc constante. 4
4. Soit la fonction f :, (x, y) + x 3y. x y eprésenter graphiquement le domaine de f (le plus grand ensemble au sens de l inclusion où la formule qui définit f a un sens algébrique). Ecrire le domaine comme une union de deux parties convexes de, étudier la convexité de f sur chacune de ces parties. Le domaine de f s écrit D = {(x, y) : x > y} {(x, y) : x < y} =: D D, où D D sont convexes (ce sont des demi-plans). Etudions la convexité de f sur D. La fonction z /z est convexe sur {z : z > 0}. Dès lors, l application D : (x, y) /(x y) est convexe comme composée d une application convexe avec une application linéaire. Comme l application (x, y) x 3y est linéaire, elle est convexe. Donc f est convexe sur D comme somme de fonctions convexes. Pareillement, on trouve que f est concave sur D. 5. Soit l application f :, (x, y) (e x +y e). Déterminer l ensemble des points critiques de f, le représenter graphiquement. Dire si ces points critiques correspondent à des extrema de f donner leur nature éventuelle (maxium ou minimum local ou global). On calcule que f = (0, 0) sur l ensemble {(x, y) : x + y = } {(0, 0)}. L ensemble des points critiques est donc l union du cercle de centre (0, 0) de rayon, du point (0, 0). Comme f est positive, f atteint un minimum global en tous les points qui satisfont x + y =. Au voisinage de (0, 0), on calcule, e x +y e = e + (x + y ) + O((x + y ) ). Comme e < 0 x + y > 0 pour tout (x, y) (0, 0), on trouve (e x +y e) < (e 0 e) = ( e) pour tout (x, y) (0, 0) dans un voisinage de l origine. Donc f adm un maximum local en (0, 0). Ce n est pas un maximum global puisque f(x, y) pour (x, y). 5