Formulaon Mxe Vesse-Déplacemen pour Vscoélascé - Confronaon Expérmenale e Numérque VT. Pam a,, L. Slva a, H. Dgonne a, C. Comeaud a, N. Bllon a, T. Coupez a a Cenre de Mse en Forme des Maéraux, MINES ParsTec, Rue Claude Daunesse, Sopa Anpols cedex, France Correspondng auor. Tel: +33 4 93 67 89 7, E-mal address: vu-u.pam@mnes-parsec.fr Résumé. L ojecf de ce raval es de modélser le comporemen des maéraux polymère njecés sous sollcaons dynamques par une approce monolque. Basé sur les équaons de Naver-Sokes, nous proposons une méode des élémens fns mxes avec une nerpolaon P1+/P1 ulsan le déplacemen (ou la vesse) e la presson en an que prncpales varales. La ecnque mplémenée ulse un mallage composé de rangles (2D) ou de éraèdres (3D) [6]. Le u de cee approce es de modélser le comporemen vscoélasque des maéraux polymère où les mleux vsqueux e élasques son mélangés en ulsan une approce mulpasque en vesse e déplacemen. L'dée de ase es d'ulser une formulaon mxe (u, v, p) avec un modèle de fermeure Fdu ( / dv, ), où les deux camps u e v représenen les prncpales varales de la déformaon e de la vesse de déformaon. Mos clefs: vscoélascé, approce monolque, méode des élémens fns mxes, formulaon lagrangenne e eulérenne. 1. INTRODUCTION A l'ssue des ravaux acuels, nous pouvons prédre numérquemen les propréés mécanques de pèces njecées en compose, où la marce es ermo-élasque ou yper-élasque. Les modèles développés jusqu'à aujourd'u on éé mplémenés dans le code de calcul Rem3D, logcel du CEMEF e dédé à la smulaon de l'njecon de polymères, asé sur la loèque élémens fns CmL. Dans le cadre de nore proje de recerce, nous nous néressons à un comporemen plus réalse pour la marce. Ans, nous consdérons une marce du ype polymère sem-crsalln, qu aura un comporemen vscoélasque (de l'éa lqude à l'éa solde) e évenuellemen élasovscoplasque (à l'éa solde). Les ojecfs de ce raval son d'mplémener e/ou ulser des approces numérques qu von permere de raer des prolèmes pysques els que la vscoélascé, le couplage flude-srucure e srucure-srucure, le conac mul-corps ou les grandes vesses du solde (nere). L arcle es srucuré comme su. Tou d'aord, les équaons du prolème vscoélasque à l'éa solde seron déallées. Nous développerons ensu l approce monolque e la résoluon par élémens fns mxe de ce prolème. Le comporemen du maérau es supposé vscoélasque compressle e peu êre décr par une approce lagrangenne ou eulérenne. Deux méodes de smulaon son applquées : la résoluon par déplacemen-presson (u-p) avec un seul ncrémen e la résoluon ncrémenale par vessepresson (v-p). La comparason enre les approces lagrangenne e eulérenne, cee dernère asée sur la méode Level-Se [11], sera présenée. Exemples en racon e compresson d'une géomére smple permera d'llusrer e de valder nore méodologe. Ensue, nous comparons les résulas de la smulaon avec les données expérmenales pour le PMMA. 2. RESOLUTION PAR APPROCHE MONOLITHIQUE 2.1. Naver-Sokes avec Exra-conrane pour Modèle Comporemen VscoElasque Compressle Le couplage monolque consse à résoudre les équaons relaves à la srucure au flude dans un même sysème. C'es-à-dre que les prolèmes mécanques dans les domanes flude e solde en neracon son smulanémen calculés. Ce ype de couplage donne une salé ncondonnelle du scéma de couplage. Dans le u de poursuvre cee approce, nous cosssons un solveur flude pour
résoudre ces prolèmes. Pour le comporemen vscoélasque, nous consdérons dans un premer emps le modèle de Kelvn-Vog [4] (fgure 1). En effe, avec ce modèle, l'élascé es parfaemen conservée, c es-à-dre qu'un oje déformé peu revenr à sa poson nale, ce qu nous perme d'éuder e d'opmser le solveur acuel. La résoluon du prolème vscoélasque de Kelvn-Vog peu êre lée à un prolème d'neracon flude-srucure. L'ojecf es de mere en œuvre un solveur général qu perme de modélser le comporemen des pèces njecées en maéraux polymères à la fos sous sollcaons dynamques mas auss pendan le procédé. E η FIGURE 1. Scéma représene modèle Kelvn-Vog en 1-D dmenson Avec modèle vscoélasque de Kelvn-Vog, le enseur des conranes es défn par: vscoelasc E( u) 2 f ( v) (1) où E ( u) e 2 f ( v) son les conranes élasques e conranes vsqueuses. Pour un comporemen élasque compressle, le enseur des conranes élasques es écr: 2 ( u) r ( u) I E où e son les coeffcens de Lamé, E es le module de Young, es le coeffcen de 2(1 ) Posson, r. es la race, I es le enseur d dené, e ( u) es le enseur des conranes de Caucy e le enseur de déformaon. 1 1 Connassan la presson ydrosaque p r (2 3 ) r ( u ), le enseur des conranes peu auss 3 3 s'écrre: 2 2 ( u) r( u) I pi 3 2 En ulsan p r ( u) p, la conrane élasque compressle es redéfne comme: 3 2 ( u) pi Selon la méode de résoluon adopée (eulérenne ou lagrangenne), en pees déformaons, la formulaon fore du comporemen vscoélasque compressle peu êre dédure comme sysème d'équaons (2) : v vc v 2 ( v) 2u v p f dp p v p v p vc p (2) d du u u vcu v d où vc vvmallage es la vesse de convecon ( vmallage dans le cas euléren ou v mes v dans le cas lagrangen), v e p son la vesse e la presson, f son les ermes de force volumques, (1 )(1 2 ) p es le coeffcen de compresslé. E
A parr du sysème d'équaons (2), remplaçan le erme 2 ( v) 2 ( ) ( v) par 2 ( v) e déplaçan la pare "exra-conrane" 2 u vers le second memre des équaons de Naver-Sokes compressle, nous oenons le sysème d'équaons à résoudre (3): v vc v 2 ( v) p f p v p vc p u u v vcu ( ) fh( ) soldh( ) ( ) fh( ) sold 1H( ) (3) (4) La densé e la vscosé son défns par les équaons (4) où es la foncon de dsance sgnée à l nerface, H ( ) es une foncon de ype Heavsde, sera lée à la alle de malle. 2.2. La Résoluon en Elémens Fns Mxes Pour éalr la formulaon fale des équaons de Naver-Sokes, nous défnssons les espaces 1 fonconnelsv ( H ( )) d 1, V ( H ( )) d e P L 2 ( ) où L 2 ( ) es l espace de Leesgue des foncons carrées sommales sur un domane, e H 1 ( ) es l'espace de Soolev nclus dans L 2 ( ) e d es la dmenson de l'espace : 2 2 L ( ) q, q dv ; H 1 ( ) ql 2 ( ), q( L 2 ( )) d ; H 1 1 ( ) qh ( ), q sur (5) Dans le cas vscoélasque compressle, les effes d'nere dynamque e la force volumque on éé néglgés. Le prolème dscre Galerkn consse donc à résoudre le prolème mxe (6), où les espaces vecorelsv, P, V son consrues dans le u d'approcerv, P ev. Trouve v, p V, P el que ( w, q ) ( V, P ): p, w 2 ( v ): ( w ) 2 u : w p u v, q p, q, q (6) Le déplacemen dscre u es calculé par l'ncrémen précéden (7): u v u v c, V (7) Nous ulsons la méode des élémens fns mxes avec l élémen P1+/P1+, alors non seulemen la vesse es enrce par l'ajou d'un degré de leré (appelée foncon ulle) dans le cenre des élémens [5] [6], mas auss la presson es enrce par une foncon ulle. La foncon ulle vau 1 au cenre des élémens e es nulle aux fronères. Ans, nous consdérons une décomposon de la vesse e de la presson en pee e grande écelle v v v; p p p, par conséquen, les équaons (6) peuven se mere sous la forme d'une marce (8):
Avv A vp A vp v Bv Avv A v v p A vp Bv Avp Av p Bp p App A pp Avp p Avp App App Bp (8) ; Avp p, w Avv 2 ( v ): ( w ), Avp p, w Av p p w Bp 2 Avv v : w ; Avp p, w ; Ap p ', p p p p q ; App p, q; App p, q ( u u ), ( u u ) q ; Bp, q ( ) ; Bv 2 u : w ; 2 Bv u : w La marce (8) es une marce symérque défne posve que nous avons mse en œuvre dans le solveur. Noez que par la sue de nos smulaons, la "presson de la ulle" p a éé mse à zéro pour les smulaons qu reven à ulser la méode des élémens fns mxes avec le P1+/P1 élémen où seule la vesse es enrce par une foncon ulle. 3. RESULTATS NUMERIQUES L'écanllon es fxé sur un ord e ré sur l'aure en mposan un déplacemen (Fg.3), pus relâcé. Nous esons l'erreur nrodue par le solveur Naver-Sokes compressle avec exra-conrane en pees e grandes déformaons. En effe, dans le cas élasque compressle parfa, l'écanllon do revenr exacemen à sa forme nale. Nous avons essayé de smuler ce es par deux méodes de calcul : lagrangenne e eulérenne dans lequel nous avons ulsé un solveur élémens fns mxe Naver-Sokes où le prolème for e dscre es présené en pare précédene. La comparason de ces deux méodes nous perme de prédre la capacé de nore solveur acuel, de donner une vue général sur ses performances mas auss les pons fors e les pons fales à compléer ou à amélorer. Donc, l ojecf à erme es de raer des prolèmes pysques plus complqués els que la vscoélascé, le couplage flude-srucure e srucure-srucure, le conac mul-corps ou les effes d nere. Encasremen Tracon Rera u mp FIGURE 3: Essa de racon d une éprouvee. Scéma représene la forme nale, en racon e fnale FIGURE 2: Essa de racon par méode eulérenne 3.1. Méode Lagrangenne Pour un Prolème Elasque Compressle Fgure 3 monres la smulaon par la méode lagrangenne avec la déformaon de mallage. Donc, l algorme de calcul en racon e en rera par un seul ncrémen de calcul son llusrés dans les équaons (9) e (1):
2 ( u) p u p p u umposed n order En racon, on mpose un déplacemen umposed au ord nféreur 2 ( u) p 1 1 2 ( u1) (9) (1) u p p u 1 u umposed n order Nous ploons le reour en mposan un déplacemen u mposé opposé à celu en racon Nous pouvons décomposer un grand déplacemen en pluseurs pes déplacemens: 2 ( v) p x x x 1 2 ( u ) ( u ) 1 1 p ' p ( v) x u u 1v1 x 1 (11) où u, v es le déplacemen e la vesse à l ncrémen, x es la confguraon à l ncrémen acuel, es l opéraeur (dvergence, graden) en confguraon acuel x. Avec cee méode (équaons 11), le calcul en grandes déformaons es consué par pluseurs ncrémens de calcul en pees déformaons ce qu nous perme de mnmser l erreur provoquée par rappor au calcul par un seul ncrémen (équaons 9 e 1). 3.2. Méode Eulérenne pour un Prolème Elasque Compressle Nous consdérons le même cas, mas dans un conexe euléren, décr dans la Fg.2. Nous défnssons ros domanes avec vscosés dfférenes: le domane solde (grs) es fxé dans le au e celu en as es mole, le domane d'ar (leu) e le domane d éprouvee (rouge). Les équaons de calcul son llusrés dans (12): x 2 ( v) p 2H( ). u p p u v du u vu v d (12) v s 2E (, x) ( x) 2 1 ( ) (13) Nous ulsons la méode Level-Se pour ransporer l'nerface qu représene les dfférenes pases. En effe, en rason de la complexé d'écoulemen, le graden de la foncon peu devenr rès rade e nsale, 1 n'es pas assuré. Donc, l'éape de rénalsaon es ndspensale [2]. Nous ulsons une nouvelle formulaon de méode Level-Se pour suvre le mouvemen de l'nerface [7], donc le ranspor ou la rénalsaon convecve es monré dans les équaons (13) où s es le sgne de β (nalemen α), d / d, e son le emps e le emps fcf, E es l'épasseur de mélange. 3.3. Comparason des Résulas Numérques 3.3.1. Meode Lagrangen
u u 1 (a) FIGURE 5. Déplacemen (a) e presson () en racon e rera () FIGURE 4. Déplacemen de ulle en racon u e reour u 1 La fgure 5 monre le déplacemen e la presson en racon e en rera pour un essa de racon élasque compressle. Avec 1% de déformaon, en rera, on rerouve exacemen la forme nale de l'écanllon avec une erreur de l'ordre de 1-11 pour le déplacemen e 1-8 de la presson, donc l vérfe nore méodologe dans le cas élasque. En oure, dans la formulaon où la vesse es enrce avec des ulles, on oen égalemen une vesse de ulle parfaemen opposées enre de racon e de reour Fg.4. Cela nous perme de confrmer que la soluon de nore algorme cé dans les équaons (9,1) es exace, c'es à dre en reour, nous rouvons: u 1 u; u 1 u and p 1 où u 1 es le déplacemen en rera, u 1 es "le déplacemen de la ulle" en rera e p1 es la presson en rera. 3.3.2. Méode Eulérenne Les résulas oenus par la méode eulérenne son mons précs que ceux oenus par la méode de Lagrange (Fg.6). Dans ce cas, la forme de l écanllon es représenée par l'nerface ar/écanllon. Il apparaî des dfférences enre la racon e le reour. On précse que la déformaon es de 3%, ce qu es relavemen mporan, donc l'erreur nrodue es due à la Level-Se, le mallage ou encore l exraconran. Inal Tracon Reurn FIGURE 6. Essa de racon en euléren. La forme déformée es représenée par l sovaleur de foncon Level-Se Dans cee secon nous remarquons les conclusons suvanes enre les méodes de Lagrange e Euler: Pour la méode de Lagrange avec un ncrémen, les résulas son sasfasans, nous oenons un reour parfa, même avec 1% de déformaon. Pour la méode ncrémenale de Lagrange, nous avons remarqué des nsalés dans les résulas oenus pour une déformaon supéreure à 3%, lorsque la pare élasque domne. Cec peu êre explqué, d une par, par le fa que la pare de la conrane explcée dans le second memre des
équaons (11) es mporan ce qu nrodu une pare d ellpcé dans la résoluon sous la forme mxe [2]. E d aure par, nore solveur acuel es valale pour des pees déformaons, où nous n'avons gardé que les ermes du premer ordre, donc nous n'avons pas prs en compe les ermes non-lnéaré. Néanmons, nous avons esé le solveur dans des cas dépassan cee ypoèse, e donc des nsalés on éé oservées lors de la smulaon. 3.4. Comparason Expérmenale-Smulaon pour PMMA Dans le u de valder nos méodologes, nous avons réalsé des essas expérmenaux e comparer par rappor à la smulaon. Dans cee secon, nous déalleron les résulas expérmenaux e comparason avec ceux numérques. Le comporemen du PMMA dépend de la empéraure, dans sa pase de ranson auour 12 C, le comporemen du polymère cange rapdemen de l'éa solde à l'éa lqude. Dans le u de smuler le comporemen du polymère en dfférenes pase, nous avons esé des essas à parr de 9 C à 163 C avec deux ypes de sollcaon: carge/décarge e relaxaon. Le cycle (carge/décarge) e relaxaon on éé réalsés à 9 C e 11 C avec une vesse de déformaon,1s-1. A 163 C où le maérau commence à s écouler, seul l essa de relaxaon avec une vesse de déformaon.25s-1 a éé réalsé en rason de ses dffculés expérmenales. Tous les ess on éé effecués à l'ade de l exensomères vdéo, nous avons analysé les mages séquenelles avec le logcel ARAMIS qu permeen de mesurer les vra déformaons en 3 dmensons. 16 12 (a) 2 1,6 () 8 4 1,2,8,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5 Axal Sran Axal Sran FIGURE 7. Carge/décarge es. Comparason enre (a) 9 C -.1s -1 e () 11 C -.1s -1 12 1 8 6 4 2 (a) 9 C 11 C 5 1 15 2 25 3 35 4,E-2 3,E-2 2,E-2 1,E-2,E+,E+ 4,E+1 8,E+1 1,E+2 165 C FIGURE 8. Relaxaon ess. Comparason enre (a) 9 C -.1s -1, 11 C -.1s -1 and () 163 C -.25s -1 Le modèle classque de Kelvn-Vog a éé ulsé pour analyser des résulas expérmenaux. Les paramères assocés son donnés dans le aleau suvan : () TABLEAU 1. Idenfcaon des paramères de Kelvn-Vog Inssons sur le fa que ce modèle devra êre encore améloré. Touefos, la reproducon de la premère éape (pare lnéare) de la coure de carge, 2 méodes : méode lagrangenne e méode eulérenne on serv à valder nore méodologe, en 2D e en 3D. En Fg.9, nous comparons les
conranes par la smulaon e les résulas expérmenaux. Rappelons que nous smulons que la pase où le comporemen du maérau rese lnéare. Ces comparasons monren un on accord enre les smulaons e les essas expérmenaux avec une erreur nféreure à 1% quelle que so la méode, en 2D ou en 3D. Les résulas de la premère éape de monrer un on ndcaeur poenel de nos ravaux fuurs. 16 Expermenal Smulaon_Euleran_2D Smulaon_Lagrangan_3D Smulaon_Lagrangan_2D 3 Expermanal Smulaon_Euleran_2D Smulaon_Lagrangan_2D Smulaon_Lagrangan_3D,4 Expermenal Smulaon_Lagrangan_2D Smulaon_Lagrangan_3D Smulaon_Euleran_2D (a) () (c) 12 8 4 2 1,3,2,1 4 8 12 16 2 4 8 12 16 2 4 6 8 FIGURE 9. Conrane de cargemen à 9 C (a), 11 C () e 163 C (c) 3.5. Conclusons e perspecves Lors de ce raval, nous avons d'aord pu monrer la valdaon du solveur exsan dans CmL dans les cas classques de racon e reour élasque compressle. Comparason enre la smulaon e l'expérence donne un on pon pour nore fuur raval. Ces cas de smulaon nous monren la capacé de nore acuel solveur Naver-Sokes. Il démonre qu avec un solveur dédé noammen au flude, nous pouvons égalemen résoudre les prolèmes de l neracon flude-srucure ou le comporemen vscoélasque par une approce monolque. Touefos, l ulsaon d un smple modèle vscoélasque de Kelvn-Vog amène une dffculé pour modélser ou le cycle de cargemen/décargemen ou relaxaon. Les perspecves pour la sue es de développer au sen de la lrare CmL, un solveur générale permean de modélser un comporemen vscoélasque générque e le couplage fludesrucure par une approce monolque. Cela sgnfe d enrcr le comporemen du polymère par des comporemens plus complexes comme le modèle de Zener. En oure, nous pourrons élargr l applcaon smuler un cas d'mpac. REMERCIEMENTS Ce raval s nscr dans le proje Rem3D Impac avec le souen fnancer du consorum Rem3D, que nous remercons. REFERENCES 1. I. Bauška. Te fne elemen meod w penaly. Mas. Comp., 27,221-228 (1973). 2. O. Basse. Smulaon numérque d écoulemens mul-fludes sur grlle de calcul. Tèse de docora, Ecole Naonale supéreure des Mnes de Pars (26). 3. F. Brezz. On e exsence, unqueness and approxmaon off saddle pon prolems arsng from Lagragan mulplers. RAIRO Modélsaon Maemacal Analyzes Numercal, 8,129-151 (1974). 4. H.F. Brnson, L.C. Brnson. Polymer Engneerng Scence and Vscoelascy, An Inroducon. Sprnger edon, 28. 5. T. Coupez, Sale-salzed fne elemen for 3D formng calculaon. CEMEF, nernal repor (1996). 6. T. Coupez and S. Mare. From a drec solver o a parallel erave solver n 3D formng smulaon. Inernaonal Journal of Supercompuer and Applcaons, 11:25, 1997. 7. T. Coupez. Rénalsaon convecve e locale des foncons Level Se pour le mouvemen de surfaces e d nerfaces. Journées Acvés Unversares de Mécanque, La Rocelle, France 26. 8. E. Hacem, B. Rvaux, T. Kloczko, H. Dgonne, T. Coupez. Salzed fne elemen meod for ncompressle flows w g Reynolds numer. Journal of Compuaonal Pyscs, 21. ISSN 21-9991, DOI: 1.116/j.jcp.21.7.3. 9. A. Legay, J. Cessa, T. Belyscko. An Euleran-Lagrangan meod for flud-srucure neracon ased one level ses. Compu. Meods Appl. Mec. Engrg, 195 (26) 27-287. 1. A. Paccn. Développemen d un modèle élémens fns 3D applqué à la smulaon d opéraons crurgcales des ssus mous. Tèse de docora, Ecole Naonal Supéreur des Mnes de Pars, 25. 11. J.A. Sean, S. Oser. Frons propagang w curvaure dependen speed: Algorms ased on Hamlon-Jaco formulaons. Journal of Compuaonal Pyscs, 1988, 79 :12-49. 12. L. Vlle, L. Slva and T. Coupez. Conveced Level Se meod for e numercal smulaon of Flud Bucklng. In. J. Numer. Me. Fluds 2; :1 6.