Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Eercices Page sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07
Calcul umérique. Défiitios de base Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Calculer le quotiet et le reste de a divisé par b (divisio euclidiee) puis calculer le résultat (e posat la divisio) approché à la ième décimale : a. a =, b = 4 ; b. a =, b = 6 ; c. a = 4, b = 897.. puissaces d u ombre. Calculer : a. (,6.0 ) ; b.,.,. 8 0 0 0 ; c. (,. ) 7 0 ; d. 4, 6. 0 00,. 0 e., 8. 0 + 0,. 0 ; f. 6 ; g., 44 0, 6 0, 64 ; h. 00 8 + 98. Les réels et y sot-ils égau? a. = et y = ; b. c. = 0 et y = 0 ; d. = + et y = +. Logarithmes Simplifier : a. log 0 (000) ; b. log 0 (0,0) ; c. log () + log (0,6) d. log 0 ; e. log 0 (0,07) ; f. 8 log 0 ( ) 00.4 grades et petites valeurs, ordre de gradeur. Calculer la valeur eacte et l eprimer e otatio scietifique : a., 78. 0 0, 9. 0 ; b.,.,. 8 0 0 0 ; c. (,. ) 7 0 ; d. = et y = ; ; g. 8 l ( ) 4, 6. 0 00,. 0 e., 8. 0 + 0,. 0. Ordre de gradeur : simplifier mauellemet pour obteir u résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis doé par la calculatrice : 6 4,. 0,. 0 7,. 0,. 0,. 0, 4. 0 a. ; b. ; c. 4, 7, 4 9, 8,, 07 6,, 4,. 0 6,. 0, 6, 8, ; d. 4, 0 4, 0 4, 0,,,. calcul fractioaire ; e.. 0 46. 0 789. 0 4 678 9 ; f. 4 7 864 4. Doer la valeur eacte du résultat sous la forme d ue fractio irréductible : a. + + 6 ; b. 4 4 6 7 7 9 ; c. + + ; d. + + ; e. + ; 7 6 4 4 4 f. + ; g. 7 7 7, + 4 ; h. 9, 7 6 + 7 8 4 9 ; i. + 6 4 ; j. + + + ; ; Page sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07
.6 proportios et pourcetages Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet a. Sachat qu il faut 00 grammes de farie et œufs pour faire trete petits gâteau, combie faut-il de farie et d œufs pour faire soiate quize petits gâteau? Et si l o veut e faire cet ciquate? b. 8 petites baaes sot équilibrées par poids de 0 grammes et poids de grammes. Combie dois-je retirer de baaes si j ai retiré u poids de 0 grammes et que j ai rajouté poids de grammes? c. Trois tuyau débitats chacu m par heure permettet e ue jourée de 8 heures d arroser 0 hectares. Ayat augmeté la surface à arroser de %, Pedat combie de temps dois-je arroser maiteat avec les tuyau? d. O place u capital C 0 = 000 à itérêts composés au tau auel t = %. Chaque aée, les itérêts sot calculés à partir du capital possédé à l aée précédete puis vieet s ajouter à ce capital. Eprimer C + e foctio de C et de t, calculer le capital possédé au bout de 0 as, et dire au bout de combie de temps o obtiedra le double du capital de départ. e. U capital de 000 est déposé à itérêts composés pedat 7 as. Détermier le tau d itérêt auel sachat que ce capital a produit 69 d itérêts. f. U article vaut 79 TTC. Le tau de TVA s élève à 8,6 %. Quel est le motat HT? g. Das u article de presse, o peut lire que le pri du gasoil à la pompe a augmeté successivemet de %, 8% et 0%, puis a baissé de %. Etre les istats iitial et fial, quelle a été le tau de variatio du pri du gasoil? h. Vous placez u capital le er javier au tau auel de 6% mais vous désirez retirer votre arget au bout de 6 mois. Combie retirerez-vous?.7 Iterpolatio liéaire iterpolatio ou etrapolatio Das chaque cas, o doe deu poits E et F. O doe ue coordoée d u poit M aligé avec E et F, il s agit de trouver l autre! a. E( ; 8), F( ; ), M(4 ;?) ; b. E(- ; ), F( ; 4), M(? ; 6) ; c. E(6 ; ), F( ; -8), M(4 ;?).8 opérateur somme. Ecrire avec l'opérateur somme les epressios suivates : a. + + + 4 4 + ; b. + ² + ³ + + ; c. q 9 + p q 8 + p q 7 + p q 6 + + p 8 q + p 9. Calculer les sommes proposées : a. 4 i ; b. 00 ( i ) 6 i e. ( + ) 9 00 ; c. ( i + b) 6 sachat que i.9 différets types de moyees ; d. 6 0 0 8 ; = 00 et i = 6. Das chaque eercice, résoudre le cas cocrètemet puis associer au résultat la défiitio d ue des moyees vues e remise à iveau, tout e vérifiat la formule doée pour cette moyee. a. U avio fait u trajet etre la ville A et la ville B distates de 60 km à la vitesse moyee de00 km/h à vide. Lourdemet chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyee de 00 km/h. Quelle est la vitesse moyee sur le trajet aller-retour? Page sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07
Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet b. Soiet ciq plaques carrées de côtés respectifs,, 7, et 6 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dot l'aire est la moyee arithmétique des aires des ciq plaques? c. Le pri d'u article augmete de 0 % la première aée, puis de 0 % la deuième aée, et baisse de 0 % la troisième aée. Quel a été le pourcetage moye d'augmetatio par a? calcul littéral. mise e forme et défiitios. calcul littéral das des cas simples. Développez les produits remarquables suivats : a. ( + )² ; b. ( - )² ; c. ( - )² ; d. (6 - )(6 + ) ; e. ( + )( - ) ; f. (- - )² ; g. (-7 - (-))² ; h. (y - (-))² ; i. (y - + )² ; j. ( - + y)(y + - ). Etablir le triagle de VOUS (à l image du triagle de Pascal) qui permet d établir les coefficiets des polyômes obteus e calculat ( a + b).. Développer ( ) 7, e déduire la valeur de 9 7. 7 4. Développer ( + ), e déduire la valeur de 7.. Soit le ombre M = 7 + 6 7 6. O souhaite coaître sa valeur eacte. a. Calculer P = ( 7 + 6 )( 7 6 ) sas calculatrice. b. Eprimer M ² e foctio de P, puis coclure sur la valeur de M. 6. Résoudre das R après avoir élimié les valeurs iterdites : a. + = ; b. + = + ; c. + 0 > 0 ; d. 4 + 7. Trouver le moye d obteir ue écriture simplifiée de A + B C, A, B et C positifs, sous la forme a + b c, lorsque c est possible (dire sous quelles coditios ça l est). Applicatio : doez ue écriture simplifiée de 7 + 6.. polyômes.4 opératios sur les polyômes. Additios, multiplicatios ; simplifier : 4 a. ( + 7) + ( 4 + 6 ) ; b. ( 8 ) ( ) ( + + + + ) ( + ) 8 9 7 4 ; c. ( + )( )( ). Doer les racies des polyômes ci-dessous : P a b c d P = + a. ( ) = ( + )( + ) ; b. ( ) d. P( ) = + ; e. ( ). Divisios : P = 4 + 70 7 ; c. ( ) P = 7 ; a. Diviser selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré : b. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : + + Page 4 sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07
Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet 4 4 + + c. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : + d. 4 4 + + selo les puissaces CROISSANTES avec u reste de degré 4 + 4 + + e. Diviser selo les puissaces CROISSANTES : 4 f. Diviser selo les puissaces DÉCROISSANTES : + + 4. Décompositio sur les racies du diviseur : Diviser les deu polyômes suivats puis obteir la décompositio sur les racies du diviseur du reste (divisios par les puissaces décroissates) : DIVIDENDE : ( ) 00, DIVISEUR : ( ) P = + + + a. Eprimer le quotiet Q ( ) et le Reste R ( ) de b. Calculer les deu racies du diviseur ( ) R( ) c. Décomposer D( ) R( ) d. Calculer P ( ), D( ), Q( ), D( ) ( ) ( ) P D. D = + à l aide des racies du diviseur. de deu fractios. Que peut o alors écrire? raisoemet et mise e équatio. Raisoemet par récurrece D = +. Motrer par récurrece que, pour tout etier supérieur ou égal à, i = ( + )( + ) 6, ce derier état eprimé sous la forme d ue somme et efi que i = i.. Motrer par récurrece que la dérivée ième de la foctio ( + ) i =. e est ( + )e, puis que. La spirale de Pythagore : Cette «spirale» est ue successio de côtés de triagles rectagles bâtis les us à partir des autres. Le premier est isocèle est les côtés perpediculaires sot de logueur. So hypotéuse sert de base au triagle rectagle, dot le côté perpediculaire est à ouveau de logueur. L hypotéuse du triagle sert de base au triagle, et aisi de suite. Motrer par récurrece que la logueur de l hypotéuse du triagle est +. Page sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07
. Mise e équatio d u problème Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet. Vol au vet : U avio de tourisme, dot la vitesse das l air calme est de 0 km/h, va d ue ville A à ue ville B et reviet aussitôt à la ville A. la distace AB vaut 08 km. Pedat la durée du vol, le vet a soufflé de maière uiforme das la directio (AB), das le ses A vers B. Calculez la vitesse du vet, sachat que l avio a mis, pour reveir ue demi-heure de plus qu à l aller.. Vol au vets : Das la même situatio que précédemmet, mais das u cas gééral, o ote V la vitesse de l avio (fiée), v celle du vet (fiée) et D la distace AB (fiée). Motrer que quelle que soit la vitesse o ulle du vet, l avio mettra toujours plus de temps pour faire l aller-retour que s il y avait pas de vet.. Tai : U tai pred u cliet à l aéroport, le ramèe chez lui puis reviet à l aéroport. L aller-retour lui a pris 0 miutes (dot miutes d arrêt devat le domicile du cliet). La vitesse moyee à l aller a été 6 km/h et au retour 4 km/h. Quelle est la distace etre le domicile du cliet et l aéroport? 4. O fait le mur : U maço a mis jours pour moter so mur. So collègue, mois epérimeté et plus frêle, a mis 4 jours pour le même travail. Ils s associet pour moter u troisième mur, idetique au deu premiers. Combie de temps mettrot-ils e travaillat esemble (o suppose qu ils e perdet pas de temps à discuter et qu ils travaillet sas s arrêter jusqu à ce que le mur soit fii)?. Balace commerciale : Ue etreprise fabrique des pèse-persoes ultra-précis, qu elle commercialise das le mode etier Or le poids d ue persoe (P = mg) déped de sa masse m et aussi de g! U homme achète ue balace e Frace et s y pèse ; elle affiche : 80kg. Il emmèe sa balace e voyage e Equateur et se pèse là-bas. Quel «poids» (e fait : masse e kg) affichera sa balace? (o cosidère que la masse de cet homme est ivariable ; o predra pour valeurs de g : 9,8 e Frace et 9,78 e Equateur) 6. Problèmes géométriques : a. Parmi tous les triagles rectagles dot l hypotéuse mesure 0 cm, trouver celui qui a la plus grade aire. b. U côe est posé sur sa base circulaire, horizotale. A quelle hauteur faut-il faire ue coupe horizotale de ce côe pour que les deu parties détachées aiet le même volume? 7. Problèmes umériques : a. Vous avez as, soit le double de l âge que j avais lorsque vous aviez l âge que j ai. Quel est mo âge? b. Trouver deu etiers cosécutifs dot la différece des carrés vaut. c. Soit a et b deu etiers positifs. Motrer que si a² - b² est u ombre premier, alors a et b sot forcémet deu etiers cosécutifs (o pourra raisoer par cotraposée, c'est-à-dire essayer de motrer que le cotraire de la coclusio implique le cotraire de l hypothèse). Page 6 sur 6 RAN Calcul et raisoemet E - Rev 07