Termiale S Ch1 SUITES PARTIE 1 récurrece et suites borées Das tout le chapitre, les etiers cosidérés sot aturels, c'est-à-dire positifs ouls I Raisoemet par récurrece 1 / Itroductio Exercice 1 : soit u réel a > 0 O cosidère les propriétés suivates écrites au rag, où est u etier aturel o ul } R : " 10 1 est divisible par 9" } S : "1 2 + 2 + + + 1 = ( + 1 )( + 2) " a / Écrire chaque propriété au rag 1 puis idiquer pour chaque propriété si elle est vraie au rag 1 b / O suppose chacue de ces propriétés vraies au rag? Peut-o alors dire qu'elle est aussi vraie au rag + 1 a / } R 1 : " 10 1 = 9 est divisible par 9 " ; R 1 est vraie } S 1 : "1 2 = 1 2 " ; S 1 est vraie b / } O suppose que R est vraie c'est-à-dire que : 10 1 est divisible par 9 A-t-o aussi R +1 vraie? 10 +1 1 = 10 10 1 + 10 1 + 9 = 10 10 1 = 10 10 1 Or 10 1 est divisible par 9 doc il existe u etier k tel que : 10 1 = 9k ; o écrit alors : 10 +1 1 = 10 9k + 9 = 9 10k + 1 = 9k ' avec k ' = 10k + 1 coclusio : R +1 est vraie } O suppose que S est vraie c'est-à-dire que : 1 2 + 2 + + + 1 A-t-o aussi S +1 vraie? 1 2 + 2 + + + 1!######### "########## $ + + 1 = ( + 1) ( + 2) = ( + 1) ( + 2) + 1 ( = + 1 )( + 2) + coclusio : S +1 est vraie 2 / Le pricipe de récurrece ( + 2) + ( + 1) ( + 2) = ( + 1 )( + 2)
Le pricipe du raisoemet : suppose que la relatio est vraie à u rag k, k 0 peut alors e déduire que la relatio est vraie pour tout 0 o vérifie que la relatio que l'o cherche à démotrer est vraie à u rag 0 O et o prouve qu'elle est ecore vraie au rag suivat k + 1 O Axiome de récurrece Soit P ue propriété dépedat de l'etier et 0 désige u etier O suppose que l'o a les deux assertios suivates : iitialisatio : P 0 est vraie; hérédité : pour u etier k 0, o a : P k Alors : pour tout etier 0, P est vraie vraie implique P ( k + 1) vraie ; Remarques } U axiome est ue propriété admise qui sert de base à la costructio d'ue théorie (ue des traces les plus aciees du raisoemet par récurrece se trouve das le Traité du triagle arithmétique de Pascal (17ème s) Cet axiome est lié à la costructio de l'esemble N) } Ue propriété vérifiat la deuxième assertio est dite héréditaire à partir du rag 0 : e effet elle se trasmet dombre etier k à so successeur k + 1 } La phase d'iitialisatio, simple à vérifiée est éamois idispesable E effet, ue propriété héréditaire peut être fausse (exemple : la propositio " 2 est u multiple de " est héréditaire; pourtat, pour tout etier, cette propositio est fausse) RÉSUMÉ Exercice 2èIégalité de BERNOULLI Démotrer, pour etier aturel, la propriété B iitialisatio : 1+ x suivate : pour tout ombre réel x > 0, o a : ( 1+ x) 1+ x 0 = 1 = 1+ 0 x ; ce qui sigifie que B( 0) est vraie hérédité de B : soit k! quelcoque et fixé tel que pour tout réel x > 0 o a : 1+ x O a : ( 1+ x) k+1 = ( 1+ x) ( 1+ x ) k k ( 1+ kx), qui est strictemet positif, o obtiet : 1+ x ( 1+ x) k+1 1+ kx + x + kx 2 c'est-à-dire ( 1+ x) k+1 1+ ( k + 1)x + kx 2 ( 1) Or d'après l'hypothèse de récurrece : 1+ x E multipliat de chaque côté par 1+ x ( 1+ x) 1+ x k ( 1+ kx) soit k 1+ kx
or kx 2 > 0 doc 1+ ( k + 1)x + kx 2 1+ ( k + 1)x 2 D'après ( 1) et ( 2), o obtiet : ( 1+ x) k+1 1+ k + 1 Aisi, pour tout etier aturel, o a : 1+ x x c'est-à-dire que B k + 1 est vraie 1+ x ( x réel strictemet positif) II Comportemet d'ue suite umérique Étudier le comportemet d'ue suite ( ), c'est étudier les propriétés dombre lorsque l'etier deviet de plus e plus grad : variatios, ecadremet, comportemet à l'ifii 1 / Ses de variatio d'ue suite Défiitios (rappels) Soit ue suite défiie sur! O dit qu'ue suite est croissate lorsque, pour tout, +1 O dit qu'ue suite est décroissate lorsque, pour tout, u u +1 O dit qu'ue suite est mootoe lorsqu'elle est croissate ou décroissate O dit qu'ue suite est costate lorsque pour tout, = +1 Poit méthode (rappels)è motrer qu'ue suite est croissate, décroissate Il s'agit de motrer que : pour tout etier aturel, +1 (pour décroissate) O peut : soit utiliser la ature de la suite, arithmétique ou géométrique ; soit étudier le sige de +1 ; et 1, lorsque ( ) est ue suite à termes strictemet positifs ; soit comparer +1 soit utiliser u raisoemet par récurrece das le cas d'ue suite croissate ou que +1 ( pour défiie par = f, peser à utiliser les variatios de la foctio f Exercice è Préciser e justifiat si les affirmatios suivates sot vraies ou fausses : la suite ( ) défiie sur! par = 2 est décroissate la suite ( v ) défiie sur! par v = 2 est décroissate Étudios le sige de +1 : +1 = + 1 2 ( + 1) ( 2 ) = 2 2 1 1+ 2 + = 2 2 Pour tout etier, 2 2 < 2 < 0 c'est-à-dire : +1 < 0 coclusio : pour tout etier, +1 < et doc le suite est décroissate (propositio vraie)
O a v = 2 1 ; ( v ) est doc ue suite géométrique de 1er terme v 0 = 2 et de raiso q = 1 Doc v 0 est égatif et 0 < q <1 doc la suite v est croissate Exercice 4 La suite ( ) est défiie par u 1 = 1 et vérifie pour tout!, la relatio +1 = 7, afficher so uage de poits et cojecturer ses a) A la calculatrice, costruire la table de valeurs de variatios b) Démotrer, e utilisat u raisoemet par récurrece, que tous les termes de la suite u positifs et motrer que cette suite est décroissate à partir d'u certai rag à préciser sot strictemet a) calculatrice b) Démotros par récurrece que pour tout etier 1, > 0 iitialisatio : u 1 = 1 doc u 1 > 0 hérédité : supposos que u k > 0 Alors u k+1 = 7u k k > 0 Aisi, pour tout etier 1, > 0 ses de variatio de la suite ( ) : les termes de la suite état strictemet positifs pour tout 1, o peut comparer +1 à 1 : +1 = 7 1 pour 7 O e déduit qu'à partir du rag = 7, la suite est strictemet décroissate
2 / Suites majorées, miorées, borées Défiitio Soit M et m deux ombres réels O dit que la suite est : majorée par M si, pour tout!, M ; miorée par m si, pour tout!, m ; borée si pour tout!, m M (c'est-à-dire si la suite est à la fois majorée et miorée) Remarques U miorat 'est pas uique; preos l'exemple de la suite suite est doc miorée par 0 mais aussi par tout réel égatif 1 1 = 1 1 ; 1 2 ; 1 ; Pour tout!, 1 > 0 Cette Toute suite croissate est miorée par so 1er terme E effet, das ce cas, u 1 u 0 Toute suite décroissate est majorée par so 1er terme E effet, das ce cas, u 1 u 0 Exemple Les suites si!! ; ( cos )! ; ( 1) sot majorées par 1 et miorées par ( 1), doc elles sot borées Poit méthode Pour motrer que M est u majorat ou m est u miorat de la suite tout etier aturel : M ou m O peut : soit étudier le sige de M ou de m ; soit utiliser u raisoemet par récurrece, il s'agit de prouver que pour Exercice 5 Soit la suite défiie sur! par u 0 = 0 et +1 = + 1 Motrer par récurrece que, pour tout!, 0 2 O le vérifiera graphiquemet Soit P la propriété " 0 2 " Démotros par récurrece que cette propriété st vraie pour tout! est vraie iitialisatio : u 0 = 0 doc 0 u 0 2 ; P 0 hérédité de P : soit k! quelcoque et fixé tel que 0 u k 2 O a 1 u k + 1 Or la foctio racie carrée est strictemet croissate sur 1; doc : 1 u k + 1 Comme 0 1 et 2 (car 4 ), o e déduit que 0 u k + 1 2 Doc P k + 1 est vraie coclusio : pour tout!, 0 2 Exercice 6
O place 10 000 sur u compte rémuéré à 4% Chaque aée, o effectue u retrait de 500 sur ce compte O appelle C le capital à la fi de l'aée C 0 = 10 000 a) Calculer C 1 ; C 2 ; C b) Exprimer C +1 e foctio de C c) Écrire e lagage aturel puis sur la calculatrice, u algorithme permettat de calculer C où est u etier choisi par l'utilisateur d) Vérifier les résultats du a) e) À l'aide de cet algorithme, cojecturer le ses de variatio de la suite C f) Motrer que la suite C a) C 1 = 10 000 + 0,04 10 000 500 = 9 900 C 2 = 9 900 + 0,04 9 900 500 = 9 796 C 2 = 9 796 + 0,04 9 796 500 = 9 687,84 b) Pour tout etier, C +1 = 1,04 C 500 c) Algorithme permettat de calculer C : e) La suite C est majorée par 10 000 et e déduire le ses de variatio de la suite ( C ) Saisir Tat que k faire : C pred la valeur 10 000 ; k pred la valeur 1 ; C pred la valeur 1,04* C 500 ; k pred la valeur k + 1 ; Fi Tat que Afficher C semble doc décroissate f) Soit P la Pté défiie pour tout etier, par : " C 10 000 est vraie est vraie cad : C k 10 000 Iitialisatio : C 0 = 10 000 doc P 0 Hérédité : O suppose que pour k etier quelcoque fixé, P k P( k + 1) vraie? C k 10 000 alors 1,04C k 10 400 1,04 C k 500 9 900 C k+1 9 900 10 000 doc pour tout, C 10 000, et C est majorée par 10 000 Ses de variatio : C +1 C = 1,04C 500 C = 0,04C 500 Or 0,04C 500 0,04 10 000 500 cad C +1 C 100 < 0 La suite C est doc décroissate Pour le DS ce qu'il faut savoir démotrer ue propriété / ue égalité par récurrece costruire graphiquemet ue suite géérée par ue relatio de récurrece, afficher sa table de valeur costruire graphiquemet ue suite géérée par ue formule explicite, afficher sa table de valeur écrire u algorithme calculat u terme doé d'ue suite défiie de maière explicite ou par récurrece, qui permet de trouver u seuil étudier la mootoie d'ue suite démotrer qu'ue suite est ('est pas) majorée, miorée, borée