Univesité de Bougogne Dépatement de Mathématiques Licence de Mathématiques Compléments d analyse Chapite 5: Séies entièes, fonctions holomophes Dans ce chapite, on tavaille dans C: les fonctions f considéées sont des fonctions complexes de la vaiable complexe z: z C, f(z) C. On note D(a, ) le disque ouvet de cente a et de ayon > dans C et D (a, ) le disque ouvet pivé de son cente: D(a, ) = {z C, z a < }, D (a, ) = {z C, < z a < }. 1. Définition et exemples de séies entièes Définition (Séie entièe) Soit (a n ) n N une suite de nombes complexes. Si z est un nombe complexe, la séie a n z n s appelle une séie entièe et les a n sont les coefficients de a n z n, z s appelle la vaiable de la séie. Exemples 1/ a n = 1 pou tout n, la séie z n est la séie géométique, elle convege si et seulement si z < 1. Sa somme est la fonction f définie su D(, 1) pa: f(z) = z n = 1 1 z. 2/ a n = 1 n!, la séie a n z n convege absolument pou toute valeu de z. Sa somme est une fonction définie su tout C que l on appelle l exponentielle complexe: e z = z n n!. 3/ a p = sauf si p est un caé et a n 2 = 1 pou tout n. On note z n2 la somme de cette séie qui convege absolument si z < 1 et divege gossièement si z 1. 4/ a n = 1 n. La séie z n n divege gossièement si z > 1, convege absolument si z < 1, convege si z = 1, divege si z = 1. 2. Rayon de convegence 1
C est une notion fondamentale. On s intéesse à la convegence absolue de la séie a n z n. Soit I l ensemble des nombes éels positifs ou nuls tels que la suite ( a n n ) n N est majoée. appatient à I, si appatient à I et si <, alos appatient aussi à I. Donc I est l union des intevalles [O, ] pou : I = I[, ]. Comme O appatient à tous ces intevalles et que chaque intevalle est connexe, I est connexe c est un intevalle. (On peut aussi pose R = + si I n est pas majoée et R = sup(i) sinon alos [, R[ I.) Lemme d Abel (Convegence absolue et nomale de la séie) Soit a n z n une séie entièe et z un nombe complexe tel que (a n z n ) est bonée, alos: a. Pou tout z tel que z < z, la séie a n z n est absolument convegente, b. Pou tout tel que < z, la séie a n z n est nomalement convegente su D(, ). Si on a b, on a aussi a. Penons donc < z. Pou tout z tel que z et tout n, on a: ( ) n ( ) n z a n z n = a n z n a n z n. z z Pa ( hypothèse, il existe M tel que pou tout n, a n z n M, et la séie numéique de teme géneal n M z ) est convegente. Ceci pouve b. Définition (Rayon de convegence) Si I n est pas majoé, on dit que le ayon de convegence de a n z n est infini, on le note R =. Si I est majoé, on dit que le ayon de convegence de la séie a n z n est R = sup I. Si I n est pas majoé, on a I = [, + [ et la séie a n z n convege absolument pou tout z de C. Si I est majoé, on a soit I = [, R], soit I = [, R[ et la séie convege absolument pou tout z de C tel que z < R et a n z n divege pou tout z de C tel que z > R. Si le teme généal d une séie ne tend pas ves, la séie divege. Dans ce cas, on dit que cette séie divege gossièement. Poposition (La divegence est gossièe) Si R est fini, la séie a n z n divege gossièement pou tout z tel que z > R. C est en fait évident, si z > R, la suite (a n z n ) n est pas bonée, elle ne tend donc pas ves. Le disque D(, R) de cente et de ayon R s appelle le disque de convegence de la séie n a nz n. Su le cecle z = R, la séie peut convege patout, divege patout, convege en cetains points, divege en d autes points. Calcul patique du ayon de convegence Gâce à d Alembet, si la limite suivante existe: lim a n+1 n a n = l (fini ou infini), alos R = 1 l (R = si l est infini, R = si l = ). 2
Gâce à Cauchy, si la limite suivante existe: lim n n an = l (fini ou infini), alos R = 1 l (R = si l est infini, R = si l = ). Ceci donne les convegences des exemples de 1. Pouvons pa exemple Cauchy: si lim n n a n = l >, alos si < 1 l, la suite ( n a n tend ves l < 1, les temes de la suite sont donc inféieus à 1 à pati d un cetain ang, donc à pati d un cetain ang a n n < 1 et la suite (a n n ) est majoée, I, donc 1 l R. Si > 1 l, la suite ( n a n tend ves l > 1, les temes de la suite sont donc supéieus à α > 1 à pati d un cetain ang, la suite (a n n ) tend ves l infini, n est pas majoée, / I, donc 1 l R. De façon généale, on a la fomule d Hadamad. Poposition (Fomule d Hadamad) Si { n a n } est boné, posons l = lim sup{ n ) a n } = inf (sup{ p a p, p n}, n n sinon, posons l = +. Alos on a: R = 1 l. Supposons que l est fini et positif. Soit < 1 l, ou 1 > l, il existe N tel que sup{ p a p, p N} < 1. Donc p N, p a p p < 1, a p p < 1, la suite ( a n n ) est bonée et I. Donc 1 l R. Si > 1 l, soit tel que > > 1 l. Alos l > 1, pou tout n, sup{ p a p, existe p n tel que pn p n n et a pn p n > 1, apn p n > 1. p n} > 1, il a: On constuit pa écuence une suite (p k ) telle que p k+1 > p k pou tout k et a pk p k a pk p k > ( ) pk apk p k > ( ) pk + > 1. On et la suite ( a n n ) n est pas bonée, / I. Donc 1 l R. Les cas l = ou l = se démontent de même, mais il n y a qu une inégalité à pouve. 3. Opéations su les séies entièes Polongeons à R l ode su R en posant a < pou tout a de R. On peut alos pale de min{r, R }, max{r, R } si R et R sont éels ou. 3
Poposition (Somme de séies entièes) Soit a n z n et b n z n deux séies entièes de ayon de convegence espectifs R et R. Alos le ayon de convegence R de la séie (a n + b n )z n véifie toujous R min{r, R } et si R R, R = min{r, R }. Le ayon de convegence de la séie λa n z n est R si λ, si λ =. Il suffit de appele que la somme de deux séies convegentes est une séie convegente. Le ayon de la séie (a n + b n )z n peut ête beaucoup plus gand que min{r, R } (penez b n = a n = 1 pou tout n pa exemple). On sait que les temes de degé au plus n du poduit de deux polynômes de degé n: P (z) = a + a 1 z +... + a n z n et Q(z) = b + b 1 z +... + b n z n sont de la fome c p z p avec On pose donc c p = a b p + a 1 b p 1 +... + a p b. Définition (Poduit de deux séies entièes) Le poduit des deux séies entièes a n z n et b n z n est la séie entièe c n z n où c n = a b n + a 1 b n 1 +... + a n b n. Poposition (Poduit de deux séies entièes) Soit a n z n une séie entièe de ayon de convegence R et b n z n une séie entièe de ayon de convegence R. Alos la séie entièe c n z n poduit de ces séies a un ayon de convegence R tel que R min{r, R }. De plus pou tout z tel que z < min{r, R }, on a: ( + + ) ( + ) c n z n = a n z n b n z n. On monte que la séie c n z n est absolument convegente si z < min{r, R }. En fait pou ces z, les deux séies a n z n et b n z n sont absolument convegentes, donc il existe M et M tels que pou tout N: N N a n z n M, b n z n M. Mais alos, pou tout N, N c n z n = N a n b +... + a b n z n N a n b z n +... + a b n z n N N a p z p b q z q MM. p= 4 q=
La séie c n z n est donc bien absolument convegente. 4. Fonctions holomophes Définition et Poposition (Séie déivée) Soit a n z n une séie entièe. On appelle séie déivée de cette séie la séie (n + 1)a n+1 z n. Si R est le ayon de convegence de la séie a n z n, alos le ayon de convegence de sa séie déivée est encoe R. Soit < R et tel que < < R. La suite ((n + 1) a n+1 n ) est majoée pa: ( ) n 1 (n + 1) a n+1 n = (n + 1) a n+1 n+1 M an+1 n+1 si M est un majoant de la suite ((n + 1) ( ) n 1 ) qui tend ves. Donc la suite ((n + 1) a n+1 n ) est bonée, le ayon de convegence R de la séie déivée est tel que R R. Si maintenant > R, on sait que la suite ( a n n ) n est pas bonée, donc la suite ((n + 1) a n+1 n = 1 ((n + 1) a n+1 n+1 ) n est pas bonée non plus, R R, donc R = R. Définition (Fonction holomophe) Soit f une fonction complexe de la vaiable complexe. On dit que cette fonction est C-déivable en un point z s il existe un nombe complexe noté f (z ) tel que: ou: f(z) f(z ) lim = f (z ), z z z z ε >, η > tel que z, < z z < η = f(z) f(z ) f (z ) z z < ε. Une fonction C-déivable en tout point d un ouvet U de C est dite holomophe su U. La fonction z f (z) s appelle la fonction déivée de f Si on note z = x + iy, on peut considée la fonction f comme une fonction F de U R 2 dans R 2 en posant f(x + iy) = P (x, y) + iq(x, y) ou : F (x, y) = [ ] P (x, y). Q(x, y) Die que f (z ) = a + ib est la déivée de f en z = x + iy[, c est ] die que F est difféentiable a b en (x, y ) et que sa matice jacobienne en ce point est J =. En effet, d une pat z = [ ] b a [ ] x2 + y 2 = x h, d aute pat f y (z )(h + ik) = (a + ib)(h + ik) = ah bk + i(ak + bh) = J. k Donc = lim f(z + (h + ik)) f(z ) h+ik (a + ib) h + ik [ ] 1 = [ lim ] h [ ] h h F (x + h, y + k) F (x, y ) J. k k k 5
Ce qui veyt die que F est difféentiable en (x, y ) et que sa matice jacobienne est J, ou: P x (x P, y ) = a, y (x, y ) = b Q x (x Q, y ) = b, y (x, y ) = a J est la matice d une similitude diecte (composée d une dilatation et d une otation). Les fonctions P et Q ne sont pas quelconques, elles véifient: P x (x, y ) P y (x, y ) = Q y (x, y ) = Q x (x, y ) Théoème (La somme d une séie entièe est holomophe) Soit a n z n une séie entièe de ayon de convegence R >. Alos la fonction f définie su U = D(, R) pa: f(z) = a n z n est holomophe su U et sa fonction déivée est: f (z) = na n 1 z n 1. n=1 En paticulie f et f sont continues su D(, R) Remaquons d abod qu on ne peut pas utilise le théoème de convegence unifome de la suite des déivées éelles vu au pemie chapite ca on pale ici de déivée complexe et en fait la notion de C-déivabilité est tès difféente et beaucoup plus contaignante que la notion de R-déivabilité ou même de difféentiabilité su R 2, comme on le vea plus loin. Montons donc diectement le théoème. On se place en z tel que z < R, on choisit et avec z < < < R. On calcule: f(z) f(z ) z z n=1 Le teme d ode n = 1 s annule, il este: f(z) f(z ) na n 1 z n 1 = z z n=1 na n 1 z n 1 = n=2 = (z z ) n=1 a n (z n z n ) z z na n z n 1. ( a n z n 1 + z n 2 z +... + z n 1 nz n 1 ) n=2 (n k)z k 1 z n k 1 a n n 1 k=1. Si on fait tende z ves z, on peut se esteinde aux z tels que z <. Alos la séie n a n 1 n k=1 (n k)zk 1 z n k 1 est absolument convegente puisque son teme généal est majoé pa: n 1 a n (n k) n 2 n(n 1) = a n n 2 n(n 1) ( ) n 2 = an 2 2 n 2, k=1 6
que n(n 1) 2 pouvé que: ( ) n 2 et que an n 2 est le teme généal d une séie convegente. On a donc f(z) f(z ) z z n=1 na n 1 z n 1 z z n=2 n 1 a n k=1 k n 2 = z z M(). En faisant tende z z ves, on obtient le théoème. En fait la écipoque est vaie: toute fonction holomophe su un ouvet U est développable en séie entièe au voisinage de chacun des points z de U. Coollaie Si f est la somme d une séie entièe a n z n, de ayon de convegence R >, alos f est indéfiniment C-déivable et a n = f (n) () n. n! C est clai, puisqu on vient de voi que f (z) est la somme d une séie entièe de même ayon de convegence que f. On peut donc ecommence k fois et on obtient: f (k) (z) = n k n(n 1)... (n k + 1)a n z n, donc f (k) () = k!a k. 5. Fomule de Cauchy Théoème (Fomule de Cauchy) Soit f : D(, R) C une fonction holomophe su D(, R) et telle que la fonction déivée f de f soit continue su D(, R). C est en paticulie le cas si f(z) = n a nz n est la somme d une séie entièe de ayon de convegence R. Soit < < R alos pou tout z de D(, ), f(z) = 2π f(e it ) 2π e it z eit dt. Ce théoème est un point essentiel de la théoie des fonctions holomophes. Il est en fait vai même si on ne suppose pas f continue. Pou tout x [, 1], on pose: ϕ(x) = 2π 2π f ( z + x(e it z) ) e it z e it dt. Remaquons que la fonction f étant continuement C-déivable, la fonction ψ : (x, t) f ( z + x(e it z) ) 7
de [, 1] dans C est difféentiable. Sa déivée patielle en x est: ψ f ( z + (x + h)(e it z) ) f ( z + x(e it z) ) (x) = lim x h h ( z + (x + h)(e it z) ) f ( z + x(e it z) ) f = lim h h(e it z) = f ( z + x(e it z) ) (e it z). h(e it z) h Maintenant on intège su le compact [, 2π] la fonction ψ(x,t) e it z eit dont la déivée est continue, on a donc: ϕ (x) = 2π 2π xψ(x, t) e it z eit dt = 2π f ( z + x(e it z) ) e it dt. 2π Mais d aute pat, la déivée patielle de ψ pa appot à t est: Donc pou tout x ], 1[: Finalement, on a donc ϕ(1) = ϕ() ou: 2π 2π t ψ(x, t) = f ( z + x(e it z) ) xie it. ϕ (x) = 1 2π 1 ψ(x, t) dt = [ψ(x, t)]t=2π t= =. 2πix t 2πix f(e it ) e it z eit dt = 2π 2π Calculons cette denièe intégale. On a z < donc: e it e it z = 1 1 ( ze it ) = f(z) e it z eit dt = f(z) 1 2π 2π ( ) ze it n, e it e it z dt. Cette séie convege nomalement su [, 2π], donc on peut invese l intégale et la somme et: Cela pouve note théoème. 1 2π e it 2π e it z dt = ( z ) n 1 2π e int dt = 1. 2π Définition (Intégale le long d un chemin) Soit γ : [a, b] C une chemin c est à die une application continue, de classe C 1 pa moceaux. Soit f une fonction complexe de la vaiable complexe z, définie et continue su un ouvet U de C contenant l image γ = γ( a, b]) de γ. On appelle intégale de f le long de γ et on note f(ζ) dζ γ le nombe complexe: b f(ζ) dζ = f(γ(t)) γ (t) dt. γ a 8
Pa exemple dans la fomule de Cauchy, comme γ(t) = e it pacout le cecle Γ de cente et de ayon, losque t vaie de à 2π on écit la fomule de Cauchy sous la fome: f(z) = 1 f(ζ) 2iπ ζ z dζ = 1 f(ζ) 2iπ ζ z dζ, en sous-entendant que le cecle est pacouu dans le sens positif. γ Coollaie (Une fonction holomophe est développable en séie entièe en tout point) Soit f une fonction holomophe su un ouvet U de C et telle que la déivée f de f soit continue. Soit z un point de U et R > tel que D(z, R) U. Alos su D(z, R), f s écit: f(z) = Γ a n (z z ) n, le ayon de convegence de cette séie est au moins R. On pose g(z) = f(z + z ) Alos g est définie et continuement C-déivable su D(, R). On écit donc la fomule de Cauchy: g(z) = 1 2π f(e it e it ) 2iπ e it z dt = 1 2iπ = 1 2iπ = 2π 2π z n [ 1 2iπ f(e it 1 ) 1 ( ze it ) dt ( ) ze f(e it it n ) dt 2π f(e it ) e int n ] dt = a n z n, La séie convege en effet nomalement su [, 2π], donc on peut invese l intégale et la somme. La séie convege pou tout z tel que z <. Son ayon de convegence est donc au moins R. On en déduit que f(z) = g(z z ) = a n (z z ) n, On dit que la fonction f est analytique su U. 6. Pincipe des zéos isolés, théoème de Liouville Théoème (Pincipe des zéos isolés) Soit a n z n une séie entièe de ayon de convegence positif et f sa somme: f(z) = a n z n. 9
S il existe une suite (z p ) de nombes non nuls tels que z p et f(z p ) = pou tout p, alos a n = quel que soit n. Supposons que les a n ne soient pas tous nuls et soit q le pemie indice tel que a q. Alos: f(z) = a n z n = z q n=q a q+n z n, la séie a q+n z n a même ayon de convegence que la séie définissant f. Sa somme g(z) = a q+n z n, est donc continue en. Comme z p et f(z p ) = zpg(z q p ) =, on a g(z p ) = pou tout p, pa continuité g() = a q =, ce qui est absude donc tous les a n sont nuls, f est la fonction identiquement nulle. Si f et g sont les sommes de deux séies entièes a n z n et b n z n qui coïncident au voisinage de f(z) = g(z) si z est petit, alos les séies f et g coïncident (a n = b n ). Coollaie (Cas des fonctions holomophes su U) Soit f une fonction holomophe su un ouvet connexe U. Si l ensemble des points de U où f s annule a une valeu d adhéence dans U alos f = su U. Un point z tl que f(z) = est appelé un zéo de f. Die que l ensemble des zéos de f dans U a un point d accumulation danns U, c est die qu il existe une suite (z n ) de points de U tels que f(z n ) = et s n w avec w U. Mais alos, on peut développe g(z) = f(w + z) en séie entièe au voisinage de (su D(, R)) et d apès le pincipe des zéos isolés, tous les coefficients de cette séie sont nuls, f(z) = si z w < R. Maintenant soit V l ensemble des zéos non isolés de f, c est à die l ensemble des w de U tels qu il existe R > tel que f(z) = pou tout z de D(w, R). Cet ensemble n est pas vide. Si w V, tout point z de D(w, R) est dans V, V est ouvet. Soit z n une suite de points de V qui tend ves w U. Si {z n } est fini, la suite est stationnaie et w = z N est dans V, sinon, on vient de voi que w V. Donc V est femé dans U. U étant connexe, V = U et f =. Lemme (Fomule de Cauchy evisitée) Soit f holomophe dans U, z un point de U, D(z, R) un disque de cente z, inclus dans U, < < R et γ le cecle γ (t) = z + e it. Le développement de f dans D(z, R) s écit: f(z) = a n (z z ) n, alos, pou tout k, a k = 1 2π 2π k f(z + e it )e ikt dt. 1
C est clai puisqu on a pou tout t: f(z + e it ) = a n n e int et que cette séie convege nomalement (en t), donc: 2π f(z + e it )e ikt dt = 2π a n n e int e ikt dt = 2π a n n e i(n k)t dt = 2πa k k. Théoème de Liouville (Une fonction entièe et bonée est constante) Soit f une fonction holomophe su tout C (on dit que f est entièe) et bonée alos f est constante. f se développe en en f(z) = a,z n, le ayon de convegence de cette séie est infini. Il existe M tel que f(z) M pou tout z de C. Soit >, on écit la fomule ci-dessus en : Donc: a k = 1 2π 2π k f(e it )e ikt dt. a k 1 2π 2π k f(e it ) dt M k. Ceci est vai pou tout >, donc si k >, si on fait tende ves l infini, on voit que a k = pou tout k >, f(z) = a pou tout z, f est constante. Coollaie 1 (Le théoème de d Alembet-Gauss) Tout polynôme non constant P à coefficient complexe a aumoins une acine. On suppose que le polynôme ne s annule pas. Alos la fonction P (z) = a + a 1 z +... + a n z n (n >, a n ) f(z) = 1 P (z) est bien définie su C et déivable en tout point. Le calcul usuel donne: f (z ) = P (z ) P 2 (z ). 11
f est donc une fonction entièe. Montons que f est bonée. D abod si z tend ves l infini, on peut écie, comme en seconde année: 1 f(z) = ( ) a n z n a a n z + a n 1 a n z +... + a n 1 n 1 a n z + 1 donc lim z f(z) z n = 1 a n et lim z f(z) =. On peut donc touve R > tel que z > R implique f(z) 1. Maintenant, f est continue donc bonée su le compact D(, R). Il existe M > tel que sup z R f(z) M. Soit: sup f(z) max 1, M. z C Le théoème de Liouville nous dit que f est constante. Donc P = 1 f aussi, ce qui est absude. P a au moins une acine. Ce théoème est fondamental en algèbe. Il n existe pas de peuve complètement algèbique de ce ésultat. Coollaie 2 (Pincipe du maximum) Soit f une fonction holomophe su un ouvet U, on suppose que la déivée de f est continue su U. On appelle maximum de f un maximum de la fonction z f(z). On appelle maximum local un maximum de la fonction z f(z) su un disque ouvet D(z, R) U. Alos, su un ouvet U connexe, une fonction f non constante n a pas de maximum local. En paticulie, si f est définie su U et si D(z, R) U, si f n est pas constante su D(z, R), alos tous les points z tels que: f(z) = sup f(w) sont su le bod du disque: w z = R. w z R Supposons que z soit un masimum local de f, c est à die qu il existe R > tel que D(z, R) U et f(z) f(z ) pou tout z de D(z, R). Alos f est développable en séie entièe de ayon de convegence au moins R au voisinage de z ou: f(z + w) = a n w n ( w < R). Die que f n est pas constante su U, c est die que f a a des zéos isolés su U, donc que f n est pas constante su D(, R): il existe n > tel que a n. On peut écie pou tout < R, f(z + e it ) = a n n e int. Comme cette séie convege nomalement en t [, 2π], le développement qui est écit ici est la séie de Fouie de la fonction ϕ : t f(z + e it ): c k (ϕ) = 1 π f(z + e it ) e ikt dt = 1 π a n n e int e ikt dt 2π π 2π π = a n n 1 π e i(n k)t dt = a k k. 2π π 12
On peut donc applique Paseval: f(z ) 2 = a 2 a n 2 2n = 1 π f(z + e it ) 2 dt 1 π f(z ) 2 dt = f(z ) 2. 2π π 2π π Donc a n = pou tout n 1 et f est constante su D(z, R), ce qui est absude. 13