Épreuve écrite d aalyse et probabilités Notatios et défiitios Le problème traite de certaies propriétés cocerat les racies de polyômes dot les coefficiets sot aléatoires. Das tout le problème, l espace R sera mui du produit scalaire caoique usuel défii, si x = x,..., x et y = y,..., y, par x, y = x k y k. La orme euclidiee associée sera otée x = x, x. La sphère uité de R sera otée S. C est par défiitio S = {x R, x = }. La boule uité fermée de R sera otée B = {x R, x }. La mesure de Lebesgue sur R sera otée λ, voire λ s il y a pas d ambiguité sur la valeur de. Les coefficiets biomiaux serot otés = k k=! O pourra aussi utiliser la ota- k! k! tio C k. Si u 0 et v 0 sot deux suites de ombres réels, o dit que u est domiée par v, et o ote u Ov ou bie u = Ov, s il existe ue costate C telle que u C v à partir d u certai rag. Partie I Asymptotique du ombre de zéros O défiit das cette partie pour t > 0 et N les trois foctios A t = 2 t 2 + 2t, B t = + + t + t 2+2 et δ t = A 2 t Bt. 2 O admettra provisoiremet que A t B t pour tout t > 0, ce qui garatit la défiitio de δ t.. Calculer + A t dt. 2. Les iégalités des questios a, b et c suivates sot demadées pour tout t > 0. a Justifier que δ t A t B2 t A t b O pose ϕ t = + t 2+2 Motrer que ϕ t 2t + 2t 2 page 34
c Vérifier que δ t A t + tϕ t. d E déduire que la suite + e Détermier u équivalet simple de 3. O pose N t = δ t A t dt O lorsque ted vers +. + δ t dt lorsque ted vers +. + t 2 2+2 + 2 + t 2 2t + t2 2 2 D t = de sorte que δ t 2 = N t D t 2t + t2 2 + t 2 2+2 2 pour tout t > 0. a À l aide d u développemet limité, détermier les valeurs de N 0, N 0, N 0. E déduire l itégrabilité de δ t e 0. b Vérifier que + t 2 e 2 pour tout t [0, ]. O ote B l esemble des suites de foctios g de classe C 3 de [0, ] das R, pour lesquelles il existe M tel que g t, g t, g t et g t soiet tous iférieurs à M pour tout t das [0, ] et pour tout. Motrer que B est ue algèbre, puis que N est das B. c Déduire des questios précédetes que 4. a Vérifier que + t t 2 t 2+2 0 δ t dt O. 0 pour tout t >. O pourra utiliser sas démostratio l iégalité x + 2 valable pour tout x > 0. x b O démotrera ultérieuremet que E = 4 + π t 2 + 2 t 2 2 t 2+2 dt 2 est le ombre moye de racies réelles d u polyôme de degré dot les coefficiets sot aléatoires. À l aide du chagemet de variable t = + x, détermier u équivalet de E lorsque ted vers +. page 35
Partie II Balayages orthogoaux sur la sphère II.A - Ue mesure ivariate sur la sphère Das cette partie, est u etier fixé 3. O costruit ue mesure sur la sphère S, héritée de la mesure de Lebesgue λ. Pour toute partie A S, o défiit le côe egedré par A comme l esemble C = { t.x t [0, ], x A }. Lorsque C est mesurable, o pose alors λ S A = λ C λ B O a e particulier λ SS =. O admet que les images réciproques de borélies de R par des restrictios à S de foctios mesurables sur R sot mesurables. La présece de dessis clairs sera vivemet appréciée.. Vérifier que pour tout h > 0 o a λ S S [ h, h] [, ] 2 h λ B 2. Motrer que λ S est ivariate par rotatio, i.e. pour toute rotatio vectorielle r de R et pour toute partie mesurable A S o a λ S ra = λ S A. 3. O défiit, lorsque 0 α β 2π, le quartier de disque Ω α,β comme l esemble Ω α,β = { r cos θ, r si θ r [0, ], θ [α, β] }, puis le quartier de sphère Q α,β comme l esemble des poits x,..., x S tels que x, x 2 Ω α,β. Vérifier que lorsque θ et θ sot positifs et que θ + θ 2π, alors E déduire que λ S Q α,β = β α 2π λ S Q 0,θ+θ = λ S Q 0,θ + λ S Q 0,θ. Das toute la suite du problème, lorsque a et b sot deux poits de S, o appelle logueur d arc etre a et b la quatité Lab = Arc cos a, b. 4. Soit a et b deux poits de S. Motrer l existece d ue costate K idépedate de a et b telle que b a K b a 2 Lab b a + K b a 2. page 36
5. O cosidère θ [0, π] et les deux poits de S défiis par a =, 0,..., 0 et b = cos θ, si θ, 0,..., 0. Détermier e foctio de θ la quatité λ S {x S x, a x, b 0 }. De faço géérale, a et b état cette fois-ci quelcoques das S, vérifier que λ S {x S x, a x, b 0 } = Lab π II.B - Balayages orthogoaux Soit t γt ue foctio régulière défiie sur u segmet I R et à valeurs das S. Pour tout poit a S, o défiit le ombre de passages orthogoaux e a pedat l itervalle J I par N J a = Card { t J a γt }, le cardial état à valeur das N {+ }. L aire orthogoale balayée par γ est alors A I = N I a dλ S a = a S + k.λ S N I k. O admet la mesurabilité des foctios N J. O se place ici das le cas où γ est de classe C 2 sur I et qu il existe M R tel que pour presque tout a S, N I a M. Par ailleurs, o ote γ = sup γ t et γ = sup γ t. t I t I. Soit a S et h > 0. a Motrer que si a, γt a, γt + h 0, alors N [t,t+h] a. b Vérifier que si N [t,t+h] a 2, alors o peut trouver c das [t, t + h] tel que a soit orthogoal à γ c. E déduire que a, γt h 2 γ. c Motrer la même iégalité lorsque l o a a, γt a, γt + h > 0 et N [t,t+h] a. 2. a Déduire des résultats précédets que les quatités suivates peuvet être majorées par u terme proportioel à h 2 et e dépedat pas de t : i λ S N [t,t+h] Lγtγt + h π ii A γt γt + h [t,t+h] π b Vérifier alors que A I = π I γ t dt. page 37
Partie III Le ombre moye de zéros d u polyôme III.A - Coefficiets de même loi gaussiee O cosidère des variables aléatoires a,..., a gaussiees, idépedates, de moyee ulle et de variace. Leur loi joite est défiie par P a,..., a A = e x 2 2π /2 2 dλ x. O se doe foctios f, f 2,..., f, format u système libre das l espace des foctios de classe C 2 d u itervalle I das R. O défiit la foctio aléatoire f = a f + + a f, et o s itéresse au ombre moye de zéros de la foctio f sur l itervalle I. O suppose que les f k e s aulet pas simultaémet ; o pose vt = f t,..., f t et γt = vt vt O suppose aussi qu il existe u ombre M tel que, presque sûremet, f admet mois de M zéros sur I. a. Soit a = a,..., a. La variable a est à valeurs das a S. Motrer que la loi de a a a est ivariate par rotatio, i.e. P a A = P a r A pour toute rotatio vectorielle r de R et tout borélie A. Das la suite, o admettra que la loi de A a a est λ S. 2. Motrer que le ombre moye de zéros de f sur l itervalle I est γ t dt π I O predra garde au fait que I est pas forcémet u segmet. 3. Motrer que γ t 2 = 2 ϕ t, t, où ϕ est défiie sur u ouvert autour de la droite x y y = x par ϕx, y = l vx, vy. 4. E déduire que le ombre moye de zéros réels d u polyôme P = a 0 +a X + +a X, aléatoire de degré, dot tous les coefficiets a k sot idépedats et de même loi gaussiee de moyee ulle et de variace, est doé par la valeur E défiie à la derière questio de la première partie. III.B - Ue classe de polyômes circulaires Das toute cette partie, est u etier fixé. À u polyôme P X = a 0 + a X + + a X o associe le polyôme homogééisé P X, Y = a 0 Y +a XY + +a X Y +a X, élémet du sous-espace vectoriel E de R[X, Y ] egedré par les moômes X k Y k pour k {0,..., }. Pour tout θ R o défiit l opérateur L θ qui à P X, Y E associe le polyôme L θ P = P cos θx + si θy, si θx + cos θy. page 38
. a Motrer que L θ est u edomorphisme de E. Que vaut L θ L θ? b O associe chaque élémet de E à ses coordoées das la base caoique X k Y k 0 k. L θ est alors assimilé à u edomorphisme de R +. Motrer que L θp = A.L θ P, avec θ 0 0 0.... 2... A = 0...... 0.......... 0 0 0 la matrice A = a i,j 0 i état défiie par les relatios 0 j a i,j = j si j = i + a i,j = j si j = i a i,j = 0 sio o pourra d abord vérifier la relatio e θ = 0. c Prouver qu il existe ue uique matrice D diagoale à coefficiets positifs, dot le premier coefficiet diagoal est, et telle que B = DAD soit ue matrice atisymétrique. Préciser les coefficiets de D. d E déduire que pour tout θ il existe ue matrice orthogoale Qθ telle que pour tout P E o a DL θ P = QθDP. 2. O cosidère ue suite a 0,..., a de variables aléatoires, idépedates, de lois gausiees de moyee ulle et de variace Vara k =, ce qui sigifie que la loi joite k des variables a k k /2 est similaire avec + à la place de à celle qui est doée das le préambule de la partie III.A. a Soit P E défii par P = a k X k Y k. O fixe θ R. Motrer que la variable aléatoire L θ P à valeurs das E a la même loi que P. b Calculer le ombre moye de zéros réels de P coteus das l itervalle ]a, b[, où a < b avec a, b élémets de R {, + }. Partie IV Quelques résultats sur les séries aléatoires IV.A - Majoratio du ombre de racies d u polyôme O cosidère das cette partie u polyôme P = a k X k à coefficiets complexes de degré. O défiit la mesure de P par MP = a max, z où le produit est pris sur l esemble des racies complexes de P, répétées avec leur multiplicité. page 39
/2. O défiit la orme de P par P = a k 2. a Motrer que pour tout polyôme Q à coefficiets complexes, et pour tout z C, o a l égalité X + zqx = zx + QX. b E déduire que MP P. 2. O cosidère 0 < ρ < et o suppose a 0 0. Motrer que le ombre de racies de module iférieur à ρ 2 est iférieur à a 2 kρ 2k l l a 0 ρ IV.B - Cas de la série + a k k! x k O cosidère ue suite a k k 0 de variables aléatoires idépedates, de loi gaussiee de moyee ulle et de variace. Pour toute foctio g, o défiit Z [a,b] g, élémet de N {+ }, par Z [a,b] g = Card { t [a, b] gt = 0 }. O sera ameé à utiliser das cette partie la forme faible du théorème de Borel-Catelli, que l o rappelle ici : «Si A 0 est ue suite d évéemets aléatoires, tels que la série 0 PA coverge, alors P 0 A p = 0». p. Motrer que la série etière +. 2. O pose fx = + + a k k! x k et S x = a k k! x k est presque sûremet de rayo de covergece a k k! x k. Soit [a, b] u segmet. Motrer que, presque sûremet, Z [a,b] f est fiie, f et f ot pas de zéro commu et Z [a,b] S Z [a,b] f. 3. Prouver que l espérace EZ [a,b] S EZ [a,b] f et calculer cette limite e foctio de a et de b. page 40
IV.C - Cas de la série + a k x k Ici ecore, o cosidère ue suite a k de variables aléatoires idépedates, de loi gaussiee de moyee ulle et de variace. Motrer que la série etière fx = + et calculer EZ [a,b] f lorsque < a < b <. a k x k est presque sûremet de rayo de covergece, page 4