AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( ) et f () 4 Log( ). Calculer I d, où Log désige le logarithme décimal. ( ) I / ( Log ) Log. Résoudre l équatio : 6 6 O vérifie que 6 6 ( )( )( ), d où =,,. t 4. Détermier Lim dt t O a : t t t et t Lim dt Lim( L( ) L) t 5. Résoudre l iéquatio L esemble des solutios de l iéquatio est,, 6. Doer l équatio de la droite das le pla, qui passe par le poit A (, ) et parallèle au vecteur u (, ). L équatio de la droite est y
7. Résoudre le système d équatios : L L y 5 y e y e e O a : 5, d où y et 5e e. L esemble des solutios est : y e (, y) ( e, e / ) ou ( e /,e) 8. Détermier la limite, si elle eiste, de la suite ( u ) N défiie par : u u et u u u u... u 9. Ue course à pied e relais ( équipiers) se déroule etre les commues de Rockville et Fieldvillle, distates de 8 kms. Le premier coureur doit parcourir kms et sa vitesse est de 4 kms/heure, le deuième coureur doit parcourir kms et sa vitesse est de 7 kms/heure, et le troisième coureur doit parcourir 5 kms et sa vitesse est de 6 kms/heure. Quel sera le temps réalisé par ce relais? 6 Le premier coureur parcourt km e 4,857m 4 6 Le deuième coureur parcourt km e 7 6 Le troisième coureur parcourt km e 6,594m,75m Au total, le temps est : 4,857,5945,75 44m, soit h4 si( ). Détermier Lim si( ) ( Lim Lim / 6) / 6 Eercice O cosidère la suite ( u ) défiie par : u u et u u. O vérifie par récurrece que la suite ( u ) est à termes strictemet positifs.. Si la suite ( u ) coverge, sa limite l vérifie le théorème du poit fie, trouve l l l et o l
. La foctio f est ue foctio homographique décroissate qui admet les droites et y comme asymptotes. 4. L aire comprise etre l ae o, le graphe de f et les droites d équatio et est égale à : ( ) d d L( ) L(/ ) 5. Comme la foctio f est décroissate, la suite ( u ) est pas mootoe, mais les suites etraites de rag pair et impair sot mootoes. La suite u ) est croissate et majorée par ( (o le vérifie par récurrece à partir de u) et la suite ( u ) est décroissate et miorée par. Ces deu suites sot adjacetes et ( u ) coverge vers. Eercice O cosidère la foctio umérique f défiie par : f ( ). Etudier les variatios de f. La dérivée de f est : f ( ) ( ) et elle s aule pour La foctio est décroissate de mois l ifii à - et à valeurs das l itervalle /, elle est croissate de - à et à valeurs das l itervalle ½, /, et elle est décroissate de à plus l ifii et à valeurs das l itervalle /,.. Tracer le graphe de f.. Préciser les poits d ifleio de so graphe. Les poits d ifleio correspodet au valeurs qui aulet la dérivée secode. Le umérateur de la dérivée secode est égal à : ( ) ( )4( ) ( ) O obtiet doc poits d ifleio, à savoir (,);(, ); (, ) 4 4 4. Calculer I ( f ( ) ) d Comme f()- est impaire, I=.
Eercice 4 O cosidère la foctio f défiie sur litervalle, par: L( ) f ( ) O ote C la courbe représetative de la foctio f das le pla, mui du repère orthogoal et L désige le logarithme épérie.. Détermier les limites de la foctio f e et e. L ( ) ) et Lim ( L ( ) ) Lim (. Démotrer que la courbe C admet ue asymptote oblique D, et étudier la positio relative de la courbe C et de la droite D. f ( ) O a : Lim et Lim f ( ) La courbe admet doc ue asymptote oblique D d équatio : y=.. Etudier les variatios de la foctio f. L ( ) La dérivée de f est égale à f ( ) et elle est du sige de g( ) L ( ), qui a pour dérivée : g ( ) 6 /. La foctio g est doc strictemet croissate à valeurs das R et comme elle est cotiue, elle est bijective. Il eiste doc ue uique valeur qui aule g, et f est décroissate etre et, puis croissate. 4. Tracer la courbe C. La courbe C admet D comme asymptote oblique, l ae Oy comme asymptote verticale et u miimum e. L ( ) 5. Calculer I d Par itégratio par parties, e posat u L ( ) et v /, o obtiet : I L
6. Que représete I? Elle représete l aire comprise etre la courbe C, l asymptote D et les droites verticales = et =. 7. Calculer la limite de I. O obtiet comme limite. Eercice 5 O dispose de deu «dés». Le premier dé A est u cube composé de 6 faces idetiques, dot trois faces portet le chiffre, deu faces portet le chiffre et ue face porte le chiffre. Le deuième dé B est u parallélépipède de largeur cm, de logueur cm et de hauteur 4 cm. Les deu plus petites faces (superficie la plus petite) portet le chiffre, les deu faces moyees le chiffre et les deu plus grades faces le chiffre. O jette les deu dés (qui forcémet tombet sur ue face) et o suppose que la probabilité de tomber sur ue face est proportioelle à sa surface. Soit X la variable aléatoire égale à la somme des poits obteus par les deu dés.. Détermier la loi de probabilité de X. Pour le premier dé A, la probabilité de faire est égale à /6, de faire égale à /6, puis /6 pour le. Le total des surfaces des faces différetes du deuième dé B est égal à 6 cm. Pour les deu plus petites surfaces (*) qui portet la chiffre, la probabilité est doc égale à 6/6=/. Pour les deu surfaces moyees (*4) qui portet la chiffre, la probabilité est doc égale à 8/6=4/. Pour les deu plus grades surfaces (4*) qui portet la chiffre, la probabilité est doc égale à /6=6/. La loi de probabilité de X est doc : X 4 5 6 Probabilit 9/78 8/78 9/78 6/78 6/78 é. Quelle est la probabilité que X>4? /78=/9=,8. Ce jeu vous semble-t-il réaliste? L hypothèse selo laquelle la probabilité que le «dé» parallélépipédique tombe sur ue certaie face est proportioelle à sa surface est pas réaliste. E effet, le dé a vraimet ue probabilité presque ulle de tomber sur la plus petite face, du fait du positioemet du cetre de gravité et de l agle d icidece.
Eercice 6 O cosidère la suite de polyômes réels. Calculer P ) et P () ( P ( ) et P () P défiie par : k P ( ), pour. k. Motrer que P admet ue uique racie eacte de ) P ( ) k k k et P sur R comprise etre et (o précisera la valeur Cette suite de polyômes est strictemet croissate et cotiue sur l esemble des réels positifs et o a : P ( ) P () Il eiste doc ue uique racie pour P das l itervalle,. Démotrer que, pour : P ( ) ( k k k k P ) P ( ), d où P ( ) 4. Etudier la covergece de la suite ( ) De plus P ( ) et l iégalité ci-dessus s écrit : P ( ) P ( ), ce qui prouve que la suite ( ) est décroissate et comme elle est miorée par zéro, elle coverge. 5. Démotrer que pour tout, o a : solutio d ue équatio de degré +. Comme o a ue suite géométrique, o obtiet Et comme P ( ), o a : P ( ) et e déduire que P ( ) est 6. Comparer et La suite ( ) état décroissate, o a, pour plus grad que deu : Par stricte croissace de la foctio puissace, il viet : Et d après la questio précédete, o obtiet : 7. E déduire la valeur de la limite de la suite ( ), la suite ) coverge vers ½ (car Comme, ( ted vers zéro).
AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ème COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice O cosidère la foctio umérique f d ue variable réelle défiie par : f ( ) ( ) e. Etudier les variatios de f et sa coveité. O a : f ( ) ( ) e ( ) e La foctio est doc strictemet croissate à valeurs das, et elle admet ue brache parabolique das la directio Oy e La dérivée secode est égale à : f ( ) ( )( ) e et la foctio f est cocave etre - et - et covee sio.. Tracer le graphe de f. La foctio est strictemet croissate. O a ue tagete horizotale au poit (-, /e) et l ae O est ue asymptote horizotale à. Calculer : I I Et f ( ) d ( ) e e d ( / e) e ( ) e d e d I ( / e) ( / e) 6 / e 4. Pour quelle valeur du paramètre a-t-o f ( ) d e? Ue primitive de f est F ( ) ( ) e ( e e ) ( ) e Il faut doc F( ) F() F( ) e, soit 5. O cosidère la foctio umérique g d ue variable réelle défiie par : g ( ) ( ) k e où k est u ombre réel strictemet supérieur à. Etudier ses variatios. Remarquos que la foctio f correspod à la foctio g pour k=. O a : Cette dérivée s aule pour ( k ) Et o obtiet deu racies k k La foctio est décroissate etre ces deu racies et croissate à l etérieur.
6. Etudier la coveité de g pour k=/. O obtiet : ( ) ( ) / 4 g e ( ) 4 Le sige de cette epressio est doc celui de z ( ) Et sa dérivée z ( )( ) Elle s aule e -, z est égal à pour cette valeur et reste toujours positive, doc la foctio est covee. Eercice O cosidère la suite ( u ) défiie, pour etier aturel, par :. Tracer le graphe de la foctio f défiie pour par : u et u f ( ) Sa dérivée est égale à f ( ) et la foctio est doc strictemet décroissate de 5, sur,. Le graphe de f coupe la première bissectrice e. Etudier la covergece de la suite ( u ). O vérifie par récurrece que u pour >. L eame du graphe de f ous coduit à cosidérer la suite des termes de rag pair et celle de rag impair. O a : u 5 u. La suite ( u ) est croissate et majorée par l. u La suite ( u ) vérifie la même relatio, elle est décroissate et miorée par l. Les deu suites sot covergetes vers l, et doc aussi u ). f ( t). Calculer Lim dt t ( u Lim f ( t) dt Lim t ( ) dt t t Lim L t t Lim ( L ) f ( t) 4. Soit I ( ) dt. Pour quelles valeurs de, I () t. admet ue limite fiie quad O sait que : dt est covergete si et seulemet si, doc il faut t.
Eercice Soit f la foctio défiie sur l esemble des ombres réels o uls par : f ( ) si ( ). Motrer que f est prologeable par cotiuité e. O ote ecore f cette foctio prologée. O a : f ( ) et f() ted vers zéro quad ted vers zéro. D où f()=.. Etudier la dérivabilité de f sur R, aisi que la cotiuité de sa foctio dérivée. O a : f ( ) si ( ) cos( ) si est o ul et f (). La limite de f ( ) eiste pas quad ted vers zéro, doc f est pas de classe C. Résoudre, das R, l équatio : f ( ). O trouve ou * ( k Z ). k Eercice 4 Soit f ue foctio umérique d ue variable réelles défiie par : f ( ) ( k) ( k), où k est u paramètre réel. Pour quelles valeurs de k, l origie est-elle u etremum local pour f? O a : f ( ) ( k) ( k) et f ( ) ( k) 6( k), puis f () et f ( ) ( k). Si k, alors est etremum local. Si k=, alors f ( ) et est pas u etremum local. Eercice 5 Soiet f et g deu applicatios umériques défiies sur O suppose que : (), f ( ) g( ) () f ( ) g() * R, où f est covee et g affie. Comparer f et g.
O suppose que f g, alors y, y, f ( y) g( y) et même f ( y) g( y). Comme g est affie, g( y) ay b et f état covee, pour compris etre zéro et, o a : f ( y ( )) f ( y) ( ) f () g( y) ( )( a b) et pour, f ( ) g() a b a b, d où la cotradictio, doc f = g. Eercice 6 d par chagemet de variable ou itégratio par parties ( o ( ) 8 4 peut écrire au umérateur : ( ) ). 8 7 Log d L par itégratio par parties 9 u d 4 7 6 par décompositio caoique du déomiateur e posat