ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

ISPB, Fculté de Phrmcie de Lyo Aée 04-05 Filière igéieur ème ée de phrmcie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices L. Brdolese M-A. Droe

Cours d lgèbre liéire. Espces vectoriels. Applictios liéires. Mtrices 4. Détermits 5. Digolistio

Chpitre Espces vectoriels. Défiitio Soit K u corps commuttif (K = R ou C) Soit E u esemble dot les élémets serot ppelés des vecteurs. O muit E de : l loi itere «+» (dditio vectorielle) : (x, y) E,(x + y) E l loi extere «.» (multiplictio pr u sclire) : x E, λ K, ( λ.x) E (E, +,.) est u espce vectoriel (ev) sur K (K-ev) si : ) (E,+) est u groupe commuttif l dditio est ssocitive : (x, y,z) E,(x + y) + z = x + (y + z) l dditio est commuttive : (x, y) E, x + y = y + x Il existe u élémet eutre 0 E E tq x E, x + 0 = E x x E,!x' E tq x + x' = x' + x = 0E (x est ppelé l opposé de x et se ote (-x)) ) l loi extere doit vérifier : λ K, (x, y) E, λ.( x + y) = λ.x + λ. y (λ, λ ) K, x E, λ + λ ).x = λ.x +. x ( λ (λ, λ) K, x E, λ.( λ.x) = ( λ. λ). x x E,.x = x Propriétés : Si E est u K-ev, o : ) x E, λ K, λ.x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E ) ( λ).x = ( λ.x) = λ.( x) Exemple : Soit K = R et E = R. (R,+,. ) est u R-ev ) loi itere : x R, x = (x,x,,x ) et y R, y = (y, y,,y ) x + y = (x + y,x + y,,x + y ) loi extere : x R, λ R : λ.x = ( λx, λx,, λx ) )

. Sous espce vectoriel (sev) Défiitio : Soit E u K-ev et F F E. F est u sev si : l loi itere «+» est stble ds F : (x, y) F,(x + y) F l loi extere «.» est stble ds F : x F, λ K, ( λ.x) F Remrque : Si E est u K-ev, { 0 E } et E sot sev de E Exercice : Soit E l esemble défii pr = {(x,x,x ) R / x + x x 0} Motrer que E est u sev de R Exercice : E = Soit E u ev sur K et F et F deux sev de E. Motrer que F I F est u sev de E. Somme de sev Théorème : Soit F et F deux sev de E. O ppelle somme des sev F et F l esemble oté (F + F ) défii pr : F { x + y / x F et y } + F = F O peut motrer que F + F est u sev de E Somme directe de sev : Défiitio : O ppelle somme directe l somme otée F + F F = F + F F = F + F F I F = { 0 } E Remrque : Si F = E, o dit que F et F sot supplémetires Propriété : F = F + F ssi z F, z s écrit de mière uique sous l forme z = x + y vec x F et y F Exercice : = {(x,0,0) vec x R} et F = {(0,x,x ) vec (x,x ) } F R Motrer que F et F sot supplémetires de R c est-à-dire F + F = R

4. Combiisos liéires, fmilles libres, liées et géértrices Défiitio : Soit E u K-ev et { i } i I { i } i I x, l expressio λ x vec i i x ue fmille d élémets de E. O ppelle combiiso liéire de l fmille i I λ K i Défiitio : O dit que l fmille { i } i I x est libre si λ x i I i i = 0 E λ = 0 i i I Défiitio : O dit que l fmille { i } i I x est liée si elle est ps libre : ( λ,, λp ) ( 0,,0) tq λixi = 0E Défiitio : O ppelle fmille géértrice de E ue fmille telle que tout élémet de E est ue combiiso liéire de cette fmille : x E, ( λ ) tq x Défiitio : i = i I i I λ x O dit que l fmille { x i } i I est ue bse de E si { i } i I i i i I x est ue fmille libre et géértrice Propriété : O dit que l fmille { i } i I Démostrtio () () (D ) x est ue bse de E ssi x E, x s écrit de mière uique x = i I λ i x i Exercice 4 : Soit e (,0) R = et e =. L fmille {, } (0,) R e est-elle ue bse? e Remrque : L fmille { e,e,, e } vec e = (,0,,0),e = (0,,,0),,e = (0,0,, ) costitue l bse coique de R Propriétés : { } x est ue fmille libre x 0 Toute fmille cotet ue fmille géértrice est géértrice Toute sous-fmille d ue fmille libre est libre Toute fmille cotet ue fmille liée est liée Toute fmille {, v,, } v dot l u des vecteurs v i est ul, est liée v p

5. Espce vectoriel de dimesio fiie 4 Défiitios : Soit { i } i I x ue fmille S d élémets de E. O ppelle crdil de S le ombre d élémets de S E est u ev de dimesio fiie si E dmet ue fmille géértrice de crdil fii. Théorème : Toutes les bses d u même ev E ot le même crdil. Ce ombre commu est ppelé l dimesio de E. O ote dime Corollire : Ds u ev de dimesio, o : - Toute fmille libre u plus élémets - Toute fmille géértrice u mois élémets Remrque : si dime =, pour motrer qu ue fmille de élémets est ue bse de E, il suffit de motrer qu elle est libre ou bie géértrice. Exercice 5 : Ds R, soit e = (,0,0), e = (,0,) et e = (0,,) Motrer que {,e, } e est ue bse de R e Théorème de l bse icomplète : Soit E u ev de dimesio fiie et L ue fmille libre de E. Alors il existe ue bse B de crdil fii qui cotiet L. 6. Crctéristio des sev de dimesio fiie Propositio : Soit E u K-ev de dimesio et F u sev de E : dimf dime dim F = dime F = E 6.. Coordoées d u vecteur Défiitio : Soit E u K-ev de dimesio et { x,, } B = ue bse de E (c est-à-dire x E, x s écrit de x mière uique x = λ ), les sclires λ,,λ sot ppelés les coordoées de x ds l bse B. i= i x i

6.. Rg d ue fmille de vecteurs. Sous-espces egedrés 5 Défiitio : Soit G = { x,, } x p Le sev F des combiisos liéires des vecteurs x,, x p est ppelé sous-espce egedré pr G et se ote : F = VectG = Vect{ x,, } x p p F = x E / x = λix i= i vec (λ,,λ ) R p p Remrque : F Vect{ x,,x } { x,, } = est ue fmille géértrice de F p x p Défiitio : L dimesio de F s ppelle le rg de l fmille G : dimf = rgg Propriétés : Soit G = { x,, } rgg p x p rgg = p G est libre O e chge ps le rg d ue fmille de vecteurs : - e joutt à l u d eux ue combiiso liéire des utres - e multiplit l u d eux pr u sclire o ul - e chget l ordre des vecteurs 6.. Détermitio du rg d ue fmille de vecteurs Théorème : Soit E u K-ev de dimesio fiie et { e,, } Si {,, } B = ue bse de E. e x x p est ue fmille d élémets de E ( p ) telle que les x i s écrivet x = e vec α α 0 et 0 i,i α pour j < i, lors {,, } j,i = x est libre. x p i j= j,i j Applictio : Méthode des zéros écheloés Soit E u ev de dimesio fiie et { e,, } B = ue bse de E e Pour détermier le rg d ue fmille { x,, } G = vec p : x p ) O écrit sur p coloes et liges les vecteurs x,,x p ds l bse B ) E utilist les propriétés reltives u rg d ue fmille de vecteurs, o se rmèe à l dispositio du théorème précédet.

Exercice 6 : Détermier le rg de l fmille {,, } vec = (,4,7), = (,5,8), = (,6,) 6 6.4. Existece de sous-espces supplémetires e dimesio fiie, bses et sous-espces supplémetires Propositios : Soit E u K-ev de dimesio fiie ) Tout sev F dmet u mois u sous-espce supplémetire, c est-à-dire qu il existe u sev G tq E = F + G ) Soit F et G deux sev de E et soit B ue bse de F et B ue bse de G L fmille {, } B est ue bse ssi E = F + G B ) Soit G et G deux sous-espces supplémetires de F ds E, lors G et G ot l même dimesio : dimg = dimg = dime dimf 6.5. Crctéristio des sous-espces supplémetires pr l dimesio Corollire : Soit E u K-ev de dimesio fiie F + G = E ssi { 0 } FI G = E dime = dimf + dimg 6.6. Dimesio d ue somme de sev Formule de Grssm Propositio : Soit E u K-ev de dimesio fiie et F et G deux sev de E, lors : dim( F + G) = dimf + dimg dim(fi G)

Chpitre Applictios liéires 7 Défiitios : Soit f ue pplictio quelcoque de E ds F : ) f est ijective si (x, y) E,f (x) = f (y) x = y (équivut à : (x, y) E,x y f (x) f (y) ) ) f est surjective si y F, x E tq y = f(x) ) f est bijective ssi f est ijective et surjective : y F,!x E tq y = f(x). Défiitio d ue pplictio liéire Soit E et F deux K-ev (K = R ou C) et f ue pplictio de E ds F. O dit que f est liéire ssi (x, y) E et ( λ, µ ) K, f ( λ x +µ y) = λf(x) + µ f(y) Remrques : ) f : E F est ue pplictio liéire ssi : x E et λ K, f ( λx) = λf (x) (x,y) E,f(x + y) = f(x) + f(y) ) f(0 E ) = 0 F Démostrtio de l remrque (D ). Imge et oyu d ue pplictio liéire Soit f ue pplictio liéire de E ds F ) O ppelle imge de f et o ote Im(f) le sous-esemble de F défii pr : { y F/ x E,f (x) y} Im( f ) = = ) O ppelle oyu de f et o ote Ker(f) le sous-esemble de E défii pr : { x E / f (x) } Ker (f ) = = Théorème : Im(f) est u sev de F Ker(f) est u sev de E Démostrtio (D ) Théorème : Soit f ue pplictio liéire de E ds F. f est ijective ssi Ker (f ) = { } Démostrtio (D ) 0 E 0 F

Théorème : f est surjective ssi Im(f) = F 8 Démostrtio (D 4 ) Défiitios : ) Ue pplictio liéire f de E ds F est u homomorphisme de E ds F. ) Si f est u homomorphisme bijectif de E ds F, lors f - est liéire et f est u isomorphisme de E ds F. ) Si E = F, f est u edomorphisme de E. 4) Si f est u edomorphisme bijectif, f est u utomorphisme. Nottios : (E,F) est l esemble des pplictios liéires ( = homomorphismes) de E ds F. (E) est l esemble des edomorphismes de E.. Applictios liéires e dimesio fiie.. Propriétés Soit f ue pplictio liéire de E ds F vec dime = f est ijective ssi f trsforme toute bse de E e ue fmille libre de F f est surjective ssi l imge de toute bse de E est ue fmille géértrice de F f est bijective ssi l imge de toute bse de E est ue bse de F Démostrtio de l ère propriété (D 5 ).. Rg d ue pplictio liéire Défiitio : Le rg d ue pplictio liéire f est égl à l dimesio de Im(f) : rg (f ) = dim(imf ) Propriétés : ) o toujours rg(f ) dime ) f est surjective ssi rg(f) = dimf ) f est ijective ssi rg(f) = dime 4) f est bijective ssi rg(f) = dime = dimf Remrque : Si f est u edomorphisme de E, lors : f ijective f surjective f bijective 4. Théorème fodmetl : Soit f ue pplictio liéire de E ds F vec dime =, lors d im(imf ) + dim(kerf ) = dime Remrque : ce est vri qu e dimesio fiie!

Chpitre Mtrices 9. Défiitios O ppelle mtrice de type (,p) à coefficiets ds K, u tbleu de.p élémets de K rgés sur liges et p coloes : E brégé, o ote A = ( ij ) i et j p A = p p p O désige pr Μ,p (K) l esemble des mtrices à coefficiets ds K, à liges et p coloes. Cs prticuliers : Si = p, o dit que l mtrice est crrée Si =, Μ,p est l esemble des mtrices liges Si p =, Μ, est l esemble des mtrices coloes Si les coefficiets sot tq ij = 0 pour i > j, o dit que l mtrice est trigulire supérieure. Mtrice ssociée à ue pplictio liéire Soit E et F deux ev de dimesios fiies p et respectivemet Soit { e,, } B = ue bse de E et ' { e',,e } e p B = ue bse de F ' Soit f (E,F) et o pose f (e ) e' (doc f (e j ) = je' + je' + + je' ) j = i= O défiit ue mtrice M = ( ij ) i et j p ij i f(e ) f(e ) f(e ) p M = p e' p e' p e' M est ppelée l mtrice ssociée à f ds les bses B et B. O l ote M BB (f). Remrque : l mtrice d ue pplictio liéire déped des bses choisies (B et B )

Exercice : Soit f : R R (,x, x ) (x + x + x, x + x + x, x x ) x + 0 ( x,x,x ) = (x + x + x, x + x + x, x x ) f + ) Motrer que f est u edomorphisme de R (c est-à-dire f (R )) ) Détermier l mtrice ssociée à f ds l bse coique de R Exercice : Soit f ue pplictio liéire de R ds R Soit B et B les bses coiques de R et R L mtrice ssociée à f ds les bses B et B est : Détermier l expressio lytique de f 0 0 M BB ' (f ) = Μ, (R) 0 Théorème : L pplictio qui à f (E,F) fit correspodre M BB (f) est bijective.. Opértios sur les mtrices.. Additio itere et multiplictio extere Soit A ( ) Μ,p (R) et B ( b ) Μ,p (R) = ij = ij Alors A B = ( ij + b ) Μ,p (R) + ij Et, λ R, λa = ( λ ) Μ,p (R) ij Exemples : 0 A = 0 0 et 0 B = 4 0 0 0 0 A + B = 4 0 et 0 A = 0 0 4 6 0 4.. Produit de deux mtrices Soit E, F, G trois K-ev de bses respectives B = { e,, }, ' { e',,e } f : E F de mtrice ssociée M BB (f) Μ m, e B = et B '' = { e'',,e' } ' m ' p

g : F G de mtrice ssociée M B B (g) Μ p,m ( g o f ) (E,G), o détermie l mtrice ssociée de cette pplictio liéire : m m m p m p (g o f)(ei ) = g(f (ei)) = g jie' j = jig(e' j ) = ji bkje'' k = bkj j= j= j= k= j= k= ji e' ' k O pose c = m ki j= b kj ji Doc (g o f)(e ) = c e' ' i p ki k= L mtrice ssociée à ( o f ) Remrque : k g est M ( g o f ) BB '' Μ p, Pour que le produit existe, il fut que l o it Μ p,m x Μ m, = Μ p, E prtique : M ( g o f ) = M (g) M (f ) BB '' B'B'' BB' M = i i mi ( m ) M = = bk bk bkm = cki M ( p m ) ( p ) Exemple : 0 0 A = et 0 Clcul de A B = A B : 0 ( ) ( ) B = 0 0 ( ) Remrque : A B B A Ds le cs précédet Doc (A + B) = A +AB + BA +B A B Μ, et B A Μ,

.. Propriétés Si les produits sot défiis : A (B C) = (A B) C A (B + C) = (A B) + (A C) ( B + C) A = (B A) + (C A) λ K, λ(a B) = ( λa) B Cs des mtrices crrées : L esemble des mtrices crrées est Μ (K) Μ (K) est u K-ev de dimesio Les 4 propriétés précédetes sot vlbles (A, B) (Μ (K)) tq A 0, B 0 et AB = 0 Exemple : 0 0 A = et B = 0 0 0 A 0, B 0 et A B = 0 0 Défiitio : A Μ (K) est iversible ssi B Μ (K) tq A B = B A = I B est dite iverse de A et se ote A - Remrque : I est l mtrice idetité de Μ (K) : I 0 = 0 0 0 0 0 Propriétés de l mtrice idetité : A I = I A A = I est iversible : I = I Méthode pour trouver l iverse d ue mtrice : Exemple : trouver l iverse de A = 0

b 0 O cherche B = tq A B = = I c d 0 b Or, A B = c b d = = b = 0 b = 0 Doc, pr idetifictio : c = 0 c = b d = d = Théorème : Soit f ue pplictio liéire de E ds F et A = M BB (f) vec B ue bse de E et B ue bse de F. A est iversible ssi f est u isomorphisme de E ds F et A - = M B B (f - ) Théorème : Soit A Μ (K). A est iversible ssi l fmille des vecteurs coloes de A est ue bse de E. Exercice : Motrer que l mtrice A Μ (K) suivte est iversible. λ 0 0 0 λ λ 0 0 A = λ λ λ 0 vec λ ii 0, i λ λ λ λ Théorème : Si A et B sot des mtrices iversibles de Μ (K), lors A B est iversible et (A B) = B A 4. Chgemet de bse 4.. Formule mtricielle de Y = AX Soit f (E,F) vec dime = et dimf = p ( ij ) i p et j A = mtrice ssociée à f Soit x vec { e,, } = j= x j e j B = bse de E et = f (x) = y e e p y i ' i vec ' { e',,e' p } i= p p f (x) = f x j e j = f ( x je j) = x jf (e j) = x j ije' i = ( x jij) e. ' i j= j= j= j= i= j= i= B = bse de F

Doc y ( x ) = i j= j ij 4 A x et y, o fit correspodre deux vecteurs coloes X et Y et o l mtrice A suivte : x X =, x Exercice 4 : Soit f : R 4 R y Y = et y p (,x,x,x ) (y, y, y ) x 4 tq y = x x + x y = x x + x 4 y = x x + x + x 4 ) Détermier l mtrice A ssociée à f ) Détermier Ker(f) 4.. Mtrice de pssge Défiitio : Soit B = { e,, } et ' { e',,e } e A = Y = AX p p p B = des bses de E ' B s ppelle ciee bse de E et B ouvelle bse de E. O O ppelle mtrice de pssge de B à B l mtrice P ( αij ) i,j des coordoées des ouveux vecteurs e j écrites ds l ciee bse. Propositio : e α α P = α Soit E u K-ev de dimesio p, lors : ' e' e' Toute mtrice de pssge est iversible α α α α e α e α e e' = α e j pour j j i= ij i = dot les coloes sot costituées Si P BB est l mtrice de pssge de B à B lors (P BB ) - est l mtrice de pssge de B à B et (P BB ) - = P B B

4.. Effet d u chgemet de bse sur les coordoées d u vecteur 5 Propositio : Soit P l mtrice de pssge de B à B. x E, soit X le vecteur coloe des coordoées de x ds l ciee bse B et X le vecteur coloe de x ds l ouvelle bse B. Alors X' = P 4.. Effet d u chgemet de bse sur l mtrice d ue pplictio liéire Propositio : Soit E et F deux K-ev yt pour ciees bses respectivemet B E et B F. Soit B E et B F deux ouvelles bses de E et F. Soit P l mtrice de pssge de B E à B E et Q l mtrice de pssge de B F à B F Pour toute pplictio liéire de E ds F, soit M s mtrice ssociée ds les ciees bses (B E et B F ). Alors, l ouvelle mtrice N ds les ouvelles bses (B E et B F ) est doée pr l formule suivte : N = Q MP (= formule de chgemet de bse) Corollire : Soit f u edomorphisme de E, M s mtrice ssociée ds l ciee bse B et N s mtrice ssociée ds l ouvelle bse B. Soit P l mtrice de pssge de B à B. Alors N = P MP Remrque : ds l mtrice de pssge, o écrit les élémets de l ouvelle bse e foctio des élémets de l ciee bse. Remrques : N = P MP PN = PP MP = IMP PNP Si N est ue mtrice digole : M = (PNP ) = PNP PNP = M PNP X fois M = PN P λ Comme N est digole : N = 0 0 0 0 0 0 λp

Doc N λ = 0 0 0 0 0 0 clcul de M λ p 6 5. Rg d ue mtrice Défiitio : Soit A Μ,p (K), o ppelle rg de A le rg du système composé pr ses vecteurs coloes. Théorème : Le rg de A est le rg de toute pplictio liéire représetée pr A. 6. Mtrices prticulières Défiitio : Si A = ( ), l trsposée de A, otée t A est l mtrice t A = ( ij ) i et j p ji j p et i Propriétés : t (A + B) = t A + t B t (λa) = λ t A t ( t A) = A t (A x B) = t B x t A t (A - ) = ( t A) - rg( t A) = rg(a) O dit que A est symétrique ssi t A = A O dit que A est tisymétrique ssi t A = - A

Chpitre 4 Détermits 7. Détermits d ordre.. Défiitios Soit E u K-ev de dimesio O dit que f est ue forme biliéire de ExE ds K si ( x,x ) : ( λ x + µ x',x ) = λf ( x,x ) + f ( x', ) f µ x ( x, λ x + µ x' ) = λf ( x,x ) + f ( x,x ) f µ ',x) E E O dit que f est tisymétrique si ( x, f ( x,x ) = f ( x, ) O dit que f est lterée si x E Exemple : le produit sclire x r. y r, f ( x,x) = 0 ) le produit sclire est ue forme biliéire : r r r r ) il est symétrique : x. y = y. x ) il est ps lteré : r r x. x = x r + x + x = x x x, r y) r R R, r r x. y = xy + x y + xy ( Théorème : Toute forme biliéire tisymétrique est lterée et, réciproquemet, toute forme biliéire lterée est tisymétrique. Démostrtio (D ) Théorème : Soit f ue forme biliéire tisymétrique Soit { e, } B = ue bse de E e (x, x) E, (,,, ) R 4 tq x x = = e + e + e e Alors ( x,x ) = det (x,x ) f (e,e ) f B Avec det B(x,x) = O ote det B(x,x ) = Démostrtio (D )

Théorèmes : L espce Α des formes biliéires lterées sur E est u K-ev de dimesio Soit B = { e, } et ' { e',e } e B = deux bses de E ' det B '(x,x ) = det B' (e,e ) det B(x,x ) L fmille {, } x x est libre ssi det B(x,x ) 0 8 Démostrtio du ème théorème (D ).. Détermits et mtrices Soit A Μ (K). O ppelle détermit de A le détermit des vecteurs liges (ou coloes) de A. Exemple : soit l mtrice A suivte : f(e ) f(e) A = e e det( A) = Théorème : = det B(f (e),f (e)) = Soit ( A,B) (Μ (K)) det( A B) = det(a) det(b) = det(b) det(a). Détermit d ordre..défiitios Soit E u K-ev de dimesio et f : E K f est triliéire si elle est liéire pr rpport à chque vecteur x i ( {,, } i ) f est tisymétrique ou lterée si elle est ulle lorsque vecteurs sot égux. ( x,x,x ) 0 f Théorèmes : = dès que x i = x j pour couple (i,j) Α est l esemble des formes triliéires lterées et est u K-ev de dimesio Soit f ue forme triliéire et { e,e, } B = ue bse de E : e f (x,x,x) = detb(x,x,x) f (e,e,e) Si B et B sot deux bses de E : detb '(x,x,x) = detb' (e,e,e) detb(x,x,x)

L fmille {,x, } x x est libre ssi det B(x,x,x) 0 9 Soit A et B Μ (K), det( AB) = det(a) det(b) Soit A Μ (K), det( t A) = det(a).. Clcul prtique Soit l mtrice : Nottios : A = O ote A ij l mtrice déduite de A e supprimt l lige i et l coloe j O ote ~ le cofcteur de l élémet ij ij : ~ i+ j ( ) det(a ) ij = ij det( Aij ) s ppelle détermit mieur E prtique, o développe le détermit de A u moye des cofcteurs reltifs à l ère lige (ou l ère coloe). det( A) = ~ + ~ ~ + det( A) = = det(a) det(a) + det(a) = + = ( ) ( ) + ( ). Détermit d ordre.. Détermit d ue mtrice crrée d ordre O les résultts et les règles de clcul suivts : deta = 0 si deux coloes sot égles ou proportioelles ou si ue coloe est ulle deta chge de sige si o permute deux coloes deta e chge ps de vleur si o substitue à l coloe i l coloe i+kj (j étt ue utre coloe) deta est multiplié pr λ si o remplce l coloe j pr λj Remrque : ces propriétés sot ussi vlbles pour les liges

Propriétés : det( AB) = det A det B 0 det( t A) = det A Exercice : Clculer le détermit de l mtrice suivte : A = Exercice : b b b b c c b c d Clculer le détermit de l mtrice suivte : 0 T = 0 0 = = 0 det T 0 = Le détermit d ue mtrice trigulire est égl u produit des coefficiets de l digole... Comtrice Défiitio : Soit M Μ (K). O ppelle comtrice de M, otée M*, l mtrice des cofcteurs. Exercice : Trouver l comtrice de l mtrice suivte : M = 0 0 0 Théorème : t t M Μ (K), M M* = M* M = det M I

Exercice 4 : t Repredre l exemple précédet et motrer que M M* = det M I.. Mtrices iversibles Théorème : Soit M Μ (K), M est iversible ssi det M 0 t O lors M = M* det M Propriétés : Soit A et B deux mtrices crrées d ordre telles que det A 0 et det B 0 det(a ) = (A ) = A (AB) t (A = B det A t ) = ( A) A Démostrtios (D 4 ) 4. Détermit d u edomorphisme de E Défiitio : Soit f (E). O ppelle détermit de f et o ote det(f) le détermit de s mtrice ssociée ds ue bse quelcoque. Remrque : det(f) e déped ps de l bse cosidérée Démostrtio (D 5 ) 5. Applictios 5.. Rg d ue mtrice (rectgle ou crrée) Rppels : rga = rgf = dim(imf ) rga = rg du système composé pr les vecteurs coloes de l mtrice rga = rg du système composé pr les vecteurs liges de l mtrice rga = tille de l plus grde mtrice crrée extrite de A et de det 0

5.. Système liéire de équtios à icoues x x (S) x + + + x x x + + + + + + x x x = b = b = b O pose x X =, x b B = et b A = doc o peut écrire le système AX = B Si det 0, A est iversible et o peut clculer X = A B Défiitio : (S) est dit système de Crmer si det 0 X = A B (S) possède ue uique solutio f est ue bijectio sur E Clcul de l solutio uique (x, x,, x ) Lorsque l o ue solutio uique (x, x,, x ), o utilise les formules de Crmer : = det(a) j : détermit déduit de e remplçt l coloe j pr l coloe b Exercice 5 : Résoudre le système suivt : 4x + 5x x + x = = x j = j Propositio : critères d existece de solutios Soit l pplictio liéire f : p K K dot l mtrice ds les bses B p et B est A. Soit x et b les vecteurs de K p et de K dot les coordoées ds les bses B p et B sot X et B. Soit le système liéire (S) défii pr : AX = B Alors (S) dmet u mois ue solutio ssi l ue des coditios équivletes suivtes est stisfite : ) b Imf i p p ) ( λ, λ, λp) K tq B = λici vec C i = l i ème coloe de l mtrice A i= i Démostrtio (D 6 )

Chpitre 5 Digolistio. Itroductio Soit A ue mtrice ssociée à u edomorphisme O pose A = M B (f) et { e,, } B = ue bse de E. e f (E), vec E u K-ev de dimesio fiie. Objectif : o veut trouver ue bse B de E ou trouver ue mtrice P iversible tq A = P - AP vec A mtrice digole. Défiitios : Soit E u K-ev de dimesio et f (E). O dit que f est digolisble s il existe ue bse B de E et ( λ,, λ ) K tq f(e' i ) = λie' i O dit que A Μ (K) est digolisble si elle est semblble à ue mtrice digole c est-àdire s il existe ue mtrice P iversible tq l mtrice A = P - AP est digole.. Vleurs propres et vecteurs propres Défiitios : Soit E u K-ev et f (E) O dit que λ K est vleur propre de f s il existe x E tq x 0E et f(x) = λx O dit que x est vecteur propre de f ssocié à λ Remrques : ) Soit λ ue vleur propre de f. Doc x 0E tq f(x) = λx f(x) - = λ x 0F (f - λ id)x = 0F x Ker(f λid) Comme x 0E, (f - λid) est ps ijective ) f est digolisble ssi il existe ue bse de E formée de vecteurs propres. Démostrtio du ) (D ) Remrque : sur l digole de l mtrice digole pprisset les vleurs propres de l edomorphisme. Théorème : Si les vleurs propres sot à distictes, lors l fmille costituée pr les vecteurs propres ssociés à ces vleurs propres est libre.

Corollire : Si dime = et que f dmet vleurs propres distictes, lors f est digolisble. 4. Polyôme crctéristique Défiitio Le polyôme P ( λ ) = det(a λi ) s ppelle le polyôme crctéristique de A. Les vleurs propres de A sot les rcies de ce polyôme de degré. Résumé : ) Les vleurs propres λ sot les solutios de l équtio : det( A λi) = 0 ) Les vecteurs propres V sot les solutios de l équtio : ( A λi).v = 0 Remrques : - O clcule u vecteur propre pour chque vleur propre - Lorsqu o exprime l mtrice ds l bse costituée pr les vecteurs propres, o obtiet ue mtrice digole dot les élémets digoux sot les vleurs propres de l mtrice. Exercice : Détermier les vleurs propres de l mtrice suivte : A = 4 4 8 0 0 4. Sous-espces propres Défiitio : Soit f (E) et λ ue vleur propre de f. O ppelle sous-espce propre ssocié à λ l esemble E = { x E / f (x) = λx} = Ker(f λid ) Remrques : E λ est l esemble formé des vecteurs propres ssociés à l vleur propre λ et du vecteur 0 E dime λ (f - λid E ) est u edomorphisme de E, doc dime = dim Ker(f λid ) + dim Im(f λid ) = dimeλ + rg(f λid Doc dime = rg(f λid ) λ E ) E λ E E E

Exercice : Détermier les sous-espces propres ssociés ux vleurs propres de l mtrice A : 0 A = 4 0 4 8 5 5. Digolistio Théorème : f est digolisble ssi P (λ) dmet rcies λ i (distictes ou cofodues) et si o, pour tout i : m( λ ) = dime (m(λ i ) : ordre de multiplicité de λ i ) i λi Autre formultio du théorème : f est digolisble ssi p dime = = m( λi) i= dimeλ = m( λi) i i {,,p} 6. Applictios 6.. Clcul de l puissce d ue mtrice : A k Soit A Μ (K). Si A est digolisble, il existe deux mtrices : A digole et P iversible tq A = P - AP (c est-àdire A = PA P - ) A k Or, si = (PA'P λ A ' = 0 ) (PA'P ) (PA'P k fois 0 (A') λ k k λ = 0 ) = P(A') Doc A k se clcule pr l formule suivte : k P 0 k λ A k k λ = P 0 0 P k λ 6.. Résolutio d u système de suites récurretes O cherche à détermier les expressios de u et v e foctio de, coisst le système suivt :

u v + + = f (u,v = g(u,v ) ) et les vleurs u 0 et v 0 6 O pose u X = et v X 0 u = v 0 0 Le système précédet s écrit X + = A.X D où, pr récurrece, X = A.X 0 O est isi rmeé u clcul de A puis de X e foctio de. 6.. Système différetiel liéire à coefficiets costts O cherche à résoudre le système suivt : () dx dt dx dt = = x + + x + + x x vec ij R et x i : R R dérivbles Sous forme mtricielle, le système s écrit dx = AX où A = dt (ij ) et x X = x Si A est digolisble, il existe A digole et P iversible tq A = P - AP Si o cosidère A comme l mtrice d u edomorphisme f ds l bse coique, A est l mtrice de f ds l bse des vecteurs propres { v i }. X est l mtrice du vecteur x ds l bse coique et Y est l mtrice de x ds l bse des { v } l reltio : Y = P - X E dérivt cette reltio : dy = P dt dx dt i. O Doc dy = P AX = (P AP)Y = dt A' Y Doc le système () équivut à dy = A' Y dt. Ce système s itègre fcilemet cr A est digole. Résumé : pour résoudre le système dx = AX : dt ) O digolise A. O trouve A = P - AP ue mtrice digole semblble à A dy ) O itègre le système = A' Y dt ) O reviet à X pr X = PY

0 Exercices d lgèbre liéire. Exercices de préprtio. Ales

Exercices de préprtio Chpitre : Espces vectoriels Exercice Soit E l ev des foctios réelles défiies sur R. Prmi les sous-esembles suivts, quels sot ceux qui possèdet ue structure de sous-espce vectoriel (sev)? - le sous-esemble E p des foctios positives - le sous-esemble E des foctios qui s ulet e - le sous-esemble E if des foctios qui tedet vers + ifii lorsque x ted vers + ifii Exercice Détermier m R pour que : 4 E = x, y,z, t R / x y + z t m soit u sev de R 4 {( ) } m = Exercice Soit (I,+,. ) l ev des foctios défiies sur R. O pose F le sous-esemble des foctios pires et F le sous-esemble des foctios impires. Ces deux sous-esembles sot des sev de (I,+,. ). Motrer qu ils sot supplémetires. Exercice 4 Ds R, soit v = (,) et v = (,-). Motrer que {, } Exercice 5 Soit I l ev des foctios réelles défiies sur R. Soit les foctios suivtes : f : x x + x f : x x f : x cos x f 4 : x si x ) Est-ce que { f, f } est libre? f, est libre? ) Est-ce que { } Exercice 6 f 4 Soit F u sev de R tq : F = ( x, y,z) v est ue fmille géértrice de R. v { R / x + y + z = 0} Soit v = (,-,0) et v = (0,-,). Motrer que {, } v forme ue bse de F. v Exercice 7 Motrer que B = {, x, x, x } est ue bse de R [x] R [x] étt l esemble des polyômes de degré, c est-à-dire : i + R = ( ) [x] P / P = ix vec 0,, R i= 0 Exercice 8 : Obtetio d ue bse à prtir d ue fmille géértrice Détermier ue bse du sous-espce de R 4 egedré pr les vecteurs v = (,,0,-) et v = (-,,,0) et v = (0,,,-) et doer les évetuelles reltios liéires etre ces vecteurs.

Exercice 9 : Obtetio d ue bse à prtir d ue fmille libre Ds R 5, soit les vecteurs x = (,0,,,) et x = (,,,0,) et x = (,-,,,) ) Motrer que { x,x, x } est ue fmille libre ) Compléter cette fmille pour obteir ue bse de R 5 ) Détermier u sous-espce supplémetire de F = Vect{ x,x, } x Exercice 0 Soit F et G les sev de R 4 egedrés respectivemet pr { v, } et {, } (,,,), w = (,,,) et w = (,-4,4,). Détermier ue bse de FI G v w où v = (,-,0,), v = w Chpitre : Applictios liéires Exercice Détermier si les pplictios suivtes sot liéires : f : (x, y) R x + y R f : f : ( x, y,z) R (xy,x, y) P R [X] P' R [X] R Exercice Pour tout réel m, soit l pplictio f : R R 4 défiie pr : f(x,y,z) = (x y + z, mx y + mz, - x + y, - mx + my mz) ) Motrer que f est liéire ) Détermier ue bse du oyu de f. Pour quelle vleur de m l pplictio f est-elle ijective? f est-elle bijective? ) Détermier ue bse de l imge de f Chpitre : Mtrices Exercice Soit B 4 = { e,e,e, e 4 } l bse coique de R 4 et B = { f,f, f } l bse coique de R. Soit u l pplictio liéire de R 4 ds R défiie pr : R 4 R (x, y, z, t) u(x, y, z, t) = (z, x + y + z - t, x + z) ) Détermier l mtrice ssociée à u ds ces bses ) Détermier le rg de u Exercice Pour tout etier, soit l pplictio f défiie sur R [X] pr : f : P P + (-X)P ) Motrer que f est u edomorphisme de R [X] B =, X, X ) Détermier ue bse de Imf 4) Détermier ue bse de Kerf 5) Motrer que Imf et Kerf sot supplémetires ds R [X] ) Détermier l mtrice M ssociée à f ds l bse {,, X }

Exercice r r r Soit ( O, i, j,k) le repère orthoormé de R r r r r r r. Soit v = i + j et w = j + k ) Trouver u r orthogol à v r et w r r r r et motrer que B' = { u, v, w} est ue bse de R r r ) Soit f l symétrie orthogole pr rpport u pl (v, w). Ecrire l mtrice A de f ds l bse B r r r B = i, j,k ) Ecrire l mtrice A de f ds l bse ( ) 4 Exercice 4 Soit f ue pplictio liéire de R ds R f : (x, x ) (5x + x, x + 5x ) ) Quelle est l mtrice ssociée à f lorsque R est mui de l bse coique? (o ppelle A cette mtrice) ) Motrer que e' = et e' = costitue ue bse de R ) Quelle est l mtrice ssociée à f ds l ouvelle bse { e ',e' }? (o ppelle N cette mtrice) 4) Clculer N p vec p N Exercice 5 Clculer le rg de l mtrice A : 5 A = 0 8 Chpitre 4 : Détermits Exercice Clculer le détermit de l mtrice suivte : b b b A = b c c b c d Exercice Clculer le détermit de l mtrice suivte : + iα α + i + α B = b + iβ β + ib b + β c + iγ γ + ic c + γ Idictio : utiliser le fit que le détermit de B est ue forme triliéire Exercice Soit D le détermit de l mtrice C Μ (R) tq :

b 0 5 c D = vec (, b, c) R b 0 c Soit D - le détermit de l mtrice C Μ - (R) et D - le détermit de l mtrice C Μ - (R). Les mtrices C et C sot costruites de l même fço que l mtrice C. ) Exprimer D e foctio de D - et D - ) Clculer D, D et D Exercice 4 Soit l mtrice suivte : + + M = vec R ) Détermier le rg de M selo l vleur de x ) Résoudre M X = B vec B = et X = y z Exercice 5 Résoudre le système suivt selo les vleurs de k, α, β et γ R : x + y z = α y + z = β x + ky + z = γ Exercice 6 : Etude des mtrices semblbles Soit A et B deux mtrices crrées de Μ (R) ) O suppose que A et B sot semblbles (= ue mtrice crrée iversible P tq A = PBP - ). Motrer que : t A est semblble à t B k vec k, A k est semblble à B k A est iversible ssi B est iversible ) O suppose uiquemet que A ou B est iversible. Motrer que AB et BA sot semblbles. Exercice 7 Clculer l mtrice iverse de l mtrice suivte : 0 A = 0 0

Chpitre 5 : Digolistio 6 Exercice Soit f (E) et A l mtrice ssociée à f ds l bse B. ) A quelle coditio 0 est-il vleur propre de A? Quel est le sous-espce propre ssocié à 0? ) Quels sot les vecteurs propres et vleurs propres de A p à prtir de ceux de A? Exercice Soit l mtrice A suivte : A = Clculer l bse de vecteurs propres orthoormés ssociée à cette mtrice Exercice Motrer que toute mtrice réelle symétrique d ordre est digolisble. Exercice 4 Pour quelles vleurs des prmètres réels, b, c, d, e et f les mtrices suivtes sot-elles digolisbles ds Μ 4 (R)? b c b c 0 d e A = et 0 0 f 0 0 0 B = 0 0 0 0 0 d 0 Exercice 5 Soit ( u ) et ( ) N v deux suites défiies pr leurs N ers termes u 0 et v 0 et pr les reltios de récurrece suivtes : u+ = u + v v + = u + v u+ u0 ) Motrer que + = A vec A Μ (R) v + v0 ) Détermier les expressios de u + et v + e foctio de, u 0 et v 0 Exercice 6 Résoudre le système d équtios différetielles suivt pr l lgèbre liéire : x' (t) = x(t) x(t) + x(t) x' (t) = x(t) x' (t) = x(t) x(t) + x (t) e f

7

Exme d lgèbre liéire 0 mi 007 8 Exercice : Soit le système liéire suivt (vec (, m) R ) : ( -).x + y - z = m x + y + z = m x + y + z = m + Doer, e justifit vos réposes, le ombre de solutios de ce système selo les vleurs de et de m (les solutios e sot ps à clculer!). Exercice : Soit F = Vect{ v, v, v } vec v = (,,, 0), v = (,,, ) et v = (,, 5, ). Doer ue bse de F. Compléter cette bse pour obteir ue bse de R 4 Problème : Ds l espce vectoriel E = M (R) de dimesio 4, o cosidère les mtrices suivtes : 0 0 0 0 0 0 M = M = M 0 0 = M 0 0 4 = 0 0 B = M, M, M, est ue bse de E.. Motrer que { } M 4. Soit l mtrice A = 0 O cosidère l pplictio f défiie sur E pr l reltio suivte : M E, f(m) = A M - M A ( représete le produit mtriciel).. Motrer que f est u edomorphisme de E... Motrer que l mtrice F de f ds l bse B est l mtrice suivte : 0 0 0 0 F = 0 0 0 0 0 0.. Détermier ue bse de Imf..4. Détermier ue bse de Kerf..5. Est-ce que f est ue foctio ijective? surjective? bijective? (Justifier vos réposes).6. Motrer que l mtrice A est digolisble et doer ses vleurs propres et vecteurs propres..7. Soit M i ' l mtrice défiie de l fço suivte : M i' = P Mi P (P étt ue mtrice de pssge). E utilist le résultt de l questio, motrer (ss clcul!) que l fmille { M ', M ', M ', M 4' } forme ue bse de E..8. O les reltios suivtes : 0 0 f(m ' ) = M 0, f(m ' ) = M', f(m ') = M' et f(m 4' ) = M0 vec M 0 = 0 0 E déduire les vleurs propres et «vecteurs» propres de F..9. Soit G l mtrice de f ds { M ', M ', M ', M 4' }. Ecrire cette mtrice.

Exme d lgèbre liéire 5 mi 008 9 Exercice : Soit le système liéire suivt (vec (m,, b) R ) : x + y = (S) mx y = b E utilist l lgèbre liéire, idiquer pour quelles vleurs des prmètres m, et b le système (S) dmet u mois ue solutio (le clcul des solutios est ps demdé!). Exercice : Soit B = { e,e, e } l bse coique de R et f ue pplictio de R ds R défiie de l fço suivte : f (e) = e f (e) = f (e) = ( e + e) ) Motrer que l mtrice M ssociée à f ds l bse B s écrit de l fço suivte : 0 0 M = 0 0 ) Motrer que f est u edomorphisme de R. ) Détermier Kerf. E doer ue bse et préciser s dimesio. 4) Détermier ue bse de Imf. Doer le rg de f. 5) Motrer que les sous-espces vectoriels Kerf et Imf sot supplémetires ds R ( Kerf + Im f = R ). 6) Est-ce que f est ue foctio ijective? surjective? bijective? 7) Soit g u edomorphisme de R tel que g = f o f Clculer l mtrice ssociée à g ds l bse B. E déduire ce que vut l foctio g. Exercice : Soit B = { e,e, e } l bse coique de R et f u edomorphisme de R dot l mtrice ssociée ds l bse B est l mtrice A suivte : A = 0 0 0 0 V = e Soit les vecteurs V, V et V tels que : V = e + e V = e + e ) Motrer que B'= { V,V, V } est ue bse de R. ) Exprimer f(v ), f(v ) et f(v ) e foctio de e, e et e. Puis exprimer f(v ), f(v ) et f(v ) e foctio de V, V et V. ) E déduire l mtrice A ssociée à f ds l bse B (ss clcul!). 4) E déduire les vleurs propres de f. Pour chcue de ces vleurs propres, préciser so ordre de multiplicité et le(s) vecteur(s) propre(s) ssocié(s) (ss clcul!).

5) Soit F et F les deux sous-espces vectoriels suivts : F = Ker( f id) (id représete ici l foctio idetité ds R ) F = Ker( f id) Détermier ue bse de F et ue bse de F. 6) Exprimer A e foctio de A, P et P -, l mtrice P étt ue mtrice de pssge que l o détermier. 7) Clculer l mtrice A. 8) Soit ( u ), ( v ) et ( w ) trois suites défiies pr leurs N N N ers termes u 0, v 0 et w 0 et pr les reltios de récurrece suivtes : u+ = u + v + w u0 = 0 v + = v vec v0 = w + = w w0 = E utilist le résultt de l questio 7), exprimer u, v et w e foctio de. 0

Exme d lgèbre liéire : ère prtie 9 mrs 009 Exercice : ) Soit F l esemble défii pr : F = ( x, y,z) { R /x + y + z + 0} = Est-ce que F est u sev de R? ) Soit E l esemble des foctios réelles et F l esemble des foctios pires : F = { f E / f(-x) = f(x) x R} Est-ce que F est u sev de E? Exercice : Soit l fmille de vecteurs F = { v, v, } vec v = ( 0,,,0), v = (,0,,) et v = ( 0,0,,) v ) Est-ce que F est ue fmille géértrice de R 4? ) Est-ce que F est ue fmille libre? ) Doer ue bse de R 4 à prtir des vecteurs v, v et v. Exercice : Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y) ( x + y, x y, x) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. Utiliser deux méthodes différetes pour répodre à cette questio. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u, u et u tels que u = (,0,0), u = ( 0,,0) et u = ( 0,0,) ) Détermier Kerf. 4) Est-ce que f est ijective? Est-elle bijective?

Exme d lgèbre liéire : ème prtie 4 mi 009 Exercice Soit l mtrice A suivte : 0 A = 0 ) Cette mtrice est-elle iversible? Si oui, doer so iverse. ) Détermier les vleurs propres de cette mtrice. ) Détermier les vecteurs propres ssociés à ces vleurs propres. 4) L mtrice A est-elle digolisble? Si oui, doer l mtrice digole A correspodte et idiquer ds quelle bse elle est exprimée (ss fire de clcul!). 5) Soit f l edomorphisme uquel est ssociée l mtrice A ds l bse coique de R. Détermier Kerf et Ker(f id) (ss fire de clcul!). Remrque : id représete ici l foctio idetité de R ds R Exercice Soit f l edomorphisme défii de l fço suivte : f : R R x, y,z x + z, x z, x + y + z ( ) ( ) Prtie : ) Détermier l mtrice A ssociée à f ds l bse coique B de R. ) Détermier Kerf. ) Détermier Imf. 4) L pplictio f est-elle ijective? surjective? bijective? Prtie : Soit les vecteurs de R suivts : u = ( 0,,0), v = (,0,0) et w = ( 0,0,) ) Motrer que l fmille B'= { u, v,w} forme ue bse de R. ) Détermier les compostes des vecteurs f(u), f(v) et f(w) ds l bse coique B de R. ) Exprimer les vecteurs f(u), f(v) et f(w) e foctio des vecteurs u, v et w. 4) Les vecteurs u, v et w sot-ils des vecteurs propres de A? (ss fire de clcul!) 5) Doer l mtrice C ssociée à f ds l bse { u, v,w} B'= (ss fire de clcul!). Prtie : O cosidère le système liéire suivt : x + z = 0 (S) - x - z = 0 x + y + z = 0 E utilist l répose à ue des questios précédetes de l exercice, résoudre ce système (ss fire de clcul!).

Exme d lgèbre liéire : ère prtie 8 vril 00 Exercice : ) Soit F l esemble défii pr : F = ( x, y,z) { R /x y} = Est-ce que F est u sev de R? ) Soit Μ (R) l esemble des mtrices crrées cotet liges et coloes et comportt des coefficiets réels. Soit F l esemble des mtrices crrées cotet liges et coloes et comportt des coefficiets réels positifs ou uls, c'est-à-dire : F {( ) / 0 i {,} et j {, } = ij ij Est-ce que F est u sev de Μ (R)? Exercice : Soit R [x] l esemble des polyômes de degré, c'est-à-dire : i 4 R ( ) [x] = P / P = ix vec 0,,, R i= 0 Soit les polyômes P, P et P défiis de l fço suivte : P (x) = x x R P = x R (x) 4x (x) x P = x R Soit F l fmille costituée des vecteurs P, P et P ( c' est-à -dire F= { P,P, }) P ) Est-ce que F est ue fmille libre ds R [x]? ) Est-ce que F est ue fmille géértrice de R [x]? ) Est-il possible d voir ue fmille de 5 vecteurs qui soit libre ds R [x]? Si oui, doer u exemple e utilist les vecteurs P, P et P. 4) Est-il possible d voir ue fmille de 5 vecteurs qui soit géértrice de R [x]? Si oui, doer u exemple e utilist les vecteurs P, P et P. Exercice : Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y,z) ( 4x + z, 9x y) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. Utiliser deux méthodes différetes pour répodre à cette questio. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u et u tels que (,0) u = ( 0,) ) Détermier Kerf et idiquer si f est ijective. u = et

Exme d lgèbre liéire : ème prtie 0 jui 00 4 Exercice : Soit le système liéire suivt : x + y = (S) vec (m,, b) R mx y = b E utilist l lgèbre liéire, idiquer pour quelles vleurs des prmètres m, et b le système (S) dmet u mois ue solutio (le clcul des solutios est ps demdé!). Problème : Soit E = M (R) l esemble des mtrices crrées, à coefficiets réels, compret liges et coloes. O rppelle que cet esemble est u espce-vectoriel de dimesio 4. Soit l pplictio f défiie sur E pr l reltio suivte : M E, f(m) = A M - M A vec A = ( représete le produit mtriciel) 0 ) Motrer que f est u edomorphisme de E. ) Soit les mtrices suivtes : 0 0 0 0 0 0 M = M = M 0 0 = M 0 0 4 = 0 0 B = M, M, M, est ue bse de E. Motrer que { M 4 } ) O cosidère l fmille { M,M,A, M 4 } 4) O cosidère l fmille { M,M,M,A} F =. Cette fmille est-elle ue fmille libre? F =. Cette fmille est-elle ue fmille géértrice de E? 5) Motrer que l mtrice K ssociée à f ds l bse B est l mtrice suivte : 0 0 0 0 K = 0 0 0 0 0 0 6) Est-ce que l mtrice K est iversible? 7) Détermier le rg de K. 8) Détermier Im(f) et doer ue bse de Im(f). 9) Détermier Ker(f) et doer ue bse de Ker(f). 0) Est-ce que f est ue foctio ijective? surjective? bijective? ) A-t-o l reltio suivte : Kerf + Im f = E? ) Motrer que l mtrice A est digolisble et doer ses vleurs propres et les vecteurs propres ssociés. - ) Soit M i ' l mtrice défiie de l fço suivte : Mi ' = P.Mi.P (P étt ue mtrice de pssge). E utilist le résultt de l questio, motrer (ss clcul!) que l fmille { M ', M ', M ', M 4' } forme ue bse de E. 4) O les reltios suivtes : 0 0 f ( M ' ) = M0, f ( M' ) = M', f ( M ') = M' et f ( M 4' ) = M0 vec M 0 = 0 0 E déduire les vleurs propres de K isi que les «vecteurs» propres ssociés. 5) Soit G l mtrice ssociée à f ds { M ', M ', M ', M 4' }. Ecrire cette mtrice.

Exme d lgèbre liéire : ère prtie 7 vril 0 5 Exercice Soit E l esemble des foctios réelles et G l esemble des foctios périodiques de période T réelle : G = { f E / f(x + T) = f(x) x R} L esemble G est-il u sev de E? Exercice Soit les vecteurs suivts : V = (0,), V = (,) et V = (,0) Soit H l esemble suivt : H = Vect{ V,V, } Doer ue bse de H. V Exercice Μ (R) représete l esemble des mtrices crrées cotet liges et coloes et comportt des coefficiets réels. 0 0 Soit les mtrices suivtes : M =, M = et M = 0 0 0 0 0 F = M,M, Soit F l fmille suivte : { } M Prtie ) L fmille F est-elle libre ds Μ (R)? ) L fmille F est-elle géértrice de Μ (R)? Prtie Soit N l esemble des mtrices crrées de dimesio dot le ème coefficiet est ul : N = {( ij ) M(R) / = 0} ) L esemble N est-il u sev de Μ (R)? ) L fmille F est-elle géértrice de N? Exercice 4 Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y,z) ( y + z, x - y) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u et u tels que ( 4,0) u = ( 0,) Doer ue bse de Kerf et idiquer si f est ijective u = et

Exme d lgèbre liéire : ème prtie mi 0 6 Exercice Soit l fmille de vecteurs F = {v,v,v } vec v = (0,,0,), v = (,,0,0) et v = (0,0,,0) ) Est-ce que F est ue fmille géértrice de R 4? ) Est-ce que F est ue fmille libre? ) Doer ue bse de R 4 à prtir des vecteurs v, v et v. Exercice Soit f u edomorphisme de R et A l mtrice ssociée à cet edomorphisme ds l bse coique de R : 0 5-5 A = - - 6 9 ) Doer l expressio lytique de f. ) Détermier Kerf et doer ue bse de Kerf. ) Détermier Imf et doer ue bse de Imf. 4) Détermier le rg de f. 5) L pplictio f est-elle ijective? surjective? bijective? 6) A-t-o l églité suivte : Im f + Kerf = R? 7) Questio fculttive : Motrer que Im f Kerf = Im f Exercice Soit f u edomorphisme de R et M l mtrice ssociée à cet edomorphisme ds l bse coique de R : 0 M = 0 ) Cette mtrice est-elle iversible? ) Détermier les vleurs propres de cette mtrice. ) Détermier les vecteurs propres ssociés à ces vleurs propres. 4) L mtrice M est-elle digolisble? Si oui, doer l mtrice digole M correspodte et idiquer ds quelle bse elle est exprimée. 5) Détermier l mtrice de pssge P permettt de psser de l bse coique de R à l bse des vecteurs propres. 6) Clculer l iverse P - de cette mtrice de pssge. 7) Soit le système d équtios différetielles (S ) ci-dessous. Résoudre ce système. dx = x + x dt dx (S ) = x + x vec x, x et x des foctios réelles, dérivbles sur R dt dx = x + x + x dt 8) Soit le système liéire (S ) ci-dessous. Idiquer le ombre de solutios de ce système x + y = puis résoudre ce système pr l lgèbre liéire (S ) x + y = 0 x + y + z = 0

Exme d lgèbre liéire : ère prtie 5 vril 0 7 Exercice ) Soit F l esemble défii pr : F ( x, y,z) { R / = x y} = z + Est-ce que F est u sev de R? ) Soit E l esemble des foctios réelles et F l esemble des foctios impires : F = { f E / f(-x) = - f(x) x R} Est-ce que F est u sev de E? Exercice Soit R [x] l esemble des polyômes de degré, c'est-à-dire : i R [x] = P / P = ix vec ( 0,, ) R i= 0 Soit les polyômes P, P, P et P 4 défiis de l fço suivte : P (x) = x x R P (x) = x x R P (x) = 4 x R P 4 (x) = x x R ) Soit F l fmille costituée des vecteurs P, P et P ( c' est-à -dire F = { P,P, }) P. Est-ce que F est ue fmille libre ds R [x]? b. Est-ce que F est ue fmille géértrice de R [x]? ( c' est-à -dire F = P,P,P, P4 ) c. Est-ce que F est ue fmille libre ds R [x]? d. Est-ce que F est ue fmille géértrice de R [x]? c' est-à -dire F = P, et soit ) Soit F l fmille costituée des vecteurs P, P, P et P 4 { } ) Soit F l fmille costituée des vecteurs P et P ( { P }) H= Vect { P, P }. Est-ce que F est ue fmille géértrice de H? Exercice Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y) ( x + y, y, x - y) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u, u et u tels que u = (,0,0), u = ( 0,,0) et u = ( 0,0,) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B 4, B étt l bse de R formée pr les vecteurs v et v tels que v = (,0) et v = (,) et B 4 étt l bse coique de R

Exme d lgèbre liéire : ème prtie mi 0 8 Exercice Soit les vecteurs suivts v = (0,), v = (,) et v = (,0) Soit H l esemble suivt : H = Vect{ v, v, } Doer ue bse de H v Exercice Résoudre pr l lgèbre liéire le système suivt : x + y = y + z = x + y = 0 Exercice Soit A et B deux mtrices crrées de M (R) O suppose que A et B sot semblbles (= il existe ue mtrice crrée iversible M telle que B = M AM ) ) Motrer que A est iversible si et seulemet si B est iversible ) Motrer que t A est semblble à t B * ) Soit k N, motrer que A k est semblble à B k Problème Soit f u edomorphisme de R et A l mtrice ssociée à cet edomorphisme ds l bse coique de R : A = ) Cette mtrice est-elle iversible? Si c est le cs, doer so iverse. ) Doer l expressio lytique de f ) Détermier Imf et doer ue bse de Imf. 4) Doer l imge du (ou des) vecteur(s) de bse de Imf. E déduire si ce (ou ces) vecteur(s) sot u (ou des) vecteur(s) propre(s) de A. Si c est le cs, doer l (ou les) vleur(s) propre(s) ssociée(s). 5) Détermier Kerf et doer ue bse de Kerf. 6) Doer l imge du (ou des) vecteur(s) de bse de Kerf. E déduire si ce (ou ces) vecteur(s) sot u (ou des) vecteur(s) propre(s) de A. Si c est le cs, doer l (ou les) vleur(s) propre(s) ssociée(s). 7) Détermier le rg de f. 8) L pplictio f est-elle ijective? surjective? bijective? 9) A-t-o l églité suivte : Im f + Kerf = R? 0) Clculer l mtrice ssociée à l pplictio g = f o f ds l bse coique de R ) Doer l esemble des vleurs propres de A et leurs vecteurs propres ssociés. Détermier églemet les sous-espces propres correspodts. ) Idiquer si A est digolisble. Si c est le cs, idiquer ds quelle bse l mtrice est digole et doer cette mtrice digole. ) Clculer A 0

9 4) Soit (u ), (v ) et (w ) trois suites défiies pr leurs premiers termes u 0, v 0 et w 0 et pr les reltios de récurrece suivtes : + + = + + = + + = + + + w v u w w v u v w v u u vec u 0 =, v 0 = et w 0 = 0 Détermier u, v et w e foctio de

Exme d lgèbre liéire : ère prtie 7 mrs 0 0 Exercice Soit G l esemble défii pr : G = ( x, y,z) Est-ce que G est u sev de R? Exercice { R /x + y = z} Soit l fmille de vecteurs F = { v, v, } vec v = ( 0,), v = (,) et (,0) v ) L fmille F est-elle libre? ) L fmille F est-elle géértrice de R? v = ds R Exercice Μ (R) représete l esemble des mtrices crrées cotet liges et coloes et comportt des coefficiets réels. 0 0 0 0 0 0 0 0 Soit les mtrices suivtes : M = 0 0, M = 0 0 et M = 0 0 0 0 0 0 F = M,M, Soit F l fmille suivte : { M } Soit G l esemble suivt : G = Vect{ M,M, } M Prtie ) L fmille F est-elle libre? ) L fmille F est-elle géértrice de Μ (R)? ) L fmille F est-elle ue bse de G? Prtie ) Clculer M = M M M ) Est-ce que M est ue mtrice iversible? Exercice 4 Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y) ( x y, y, x - 6y) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u, u et u tels que u = (-,0,0), u = 0,0, u = ( 0,,0) et ( )

Exme d lgèbre liéire : ème prtie 7 mi 0 Exercice : Résoudre pr l lgèbre liéire le système suivt : x +. y + z = (S ) y + z = 0 vec R x + z = Exercice Soit les vecteurs suivts : v = (0,0,), v = (,,), v = (,0,0) et v 4 = (0,6,0) Soit H l esemble suivt : H = Vect{ v, v, v v } Doer ue bse de H, Problème : Soit E = M (R) l esemble des mtrices crrées, à coefficiets réels, compret liges et coloes. O rppelle que cet esemble est u espce-vectoriel de dimesio 4. Soit l pplictio f défiie sur E pr l reltio suivte : M E, f(m) = AM vec A = 0 ) Motrer que f est u edomorphisme de E. ) Soit les mtrices suivtes : 0 0 0 0 0 0 M = M = M 0 0 = M 0 0 4 = 0 0 B = M, M, M, est ue bse de E Motrer que { M 4 } ) O cosidère l fmille { M,M,A, M 4 } 4) O cosidère l fmille { M,M,M,A} 4 F =. Cette fmille est-elle ue fmille libre? F =. Cette fmille est-elle ue fmille géértrice de E? 5) Motrer que l mtrice K ssociée à f ds l bse B est l mtrice suivte : 0 0 0 0 K = 0 0 0 0 0 0 6) Est-ce que K est ue mtrice iversible? 7) Détermier Kerf. 8) Détermier Imf et doer ue bse de Imf. 9) Est-ce que f est ue foctio ijective? surjective? bijective? 0) Détermier le rg de f. ) A-t-o l reltio suivte : Kerf + Im f = E? ) Clculer les vleurs propres de K et les vecteurs propres ssociés. ) Est-ce l mtrice K est digolisble? Si oui, idiquer l mtrice digole et préciser l bse ds lquelle elle est obteue.

Exme d lgèbre liéire : ère prtie mrs 04 Exercice ) Soit F l esemble défii pr : F = ( x, y,z) { R /x + y + z + 0} = Est-ce que F est u sev de R? ) Soit Μ (R) l esemble des mtrices crrées à coefficiets réels cotet liges et coloes x. Soit F l esemble des mtrices crrées digoles à coefficiets réels, c'est-à-dire : F { M = ( ) M (R) / R pour i = j et = 0 pour i j} = ij ij ij Est-ce que F est u sev de Μ (R)? Exercice Soit les vecteurs suivts : V = (,), V = (,0), V = (0,), V 4 = (,0) ds R Soit F l fmille suivte : F = { V,V, V } Soit H l esemble suivt : H = Vect{ V, } V 4 ) L fmille F est-elle libre? ) L fmille F est-elle géértrice de R? ) Doer ue bse de H. Exercice Soit R [x] l esemble des polyômes de degré, c'est-à-dire : i R [x] = P/P = ix vec ( 0,, ) R i= 0 Soit les polyômes P, P et P défiis de l fço suivte : P (x) = x x R P (x) = 4x x R P (x) = x x R Soit L l fmille costituée des vecteurs P, P et P ( c' est-à -dire L= { P,P, }) ) Est-ce que L est ue fmille libre ds R [x]? ) Est-ce que L est ue fmille géértrice de R [x]? P Exercice 4 Soit l pplictio liéire f défiie de l fço suivte : f : R R ( x, y,z) ( 4x + z, x y) ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses coiques de R et de R. ) Doer l mtrice ssociée à f ds les bses B et B, B étt l bse coique de R et B étt l bse de R formée pr les vecteurs u et u tels que ( 4,0) u = ( 0,-) ) Détermier Kerf et idiquer si f est ijective. u = et