Comportemet asymptotique des suites Table des matières 1 Itroductio 2 2 Limite d ue suite 2 2.1 Limite fiie d ue suite........................................... 2 2.2 Limite ifiie d ue suite.......................................... 3 2.3 Suite sas limite.............................................. 4 3 Opératios sur les limites 4 3.1 Somme.................................................... 4 3.2 Produit................................................... 5 3.3 Quotiet................................................... 5 3.3.1 l 0................................................ 5 3.3.2 l = 0................................................ 5 3.4 Coclusio................................................. 5 4 Limites par comparaiso 6 4.0.1 Théorème de comparaiso..................................... 6 4.0.2 Théorème des gedarmes..................................... 6 5 Variatios et limites 6 1
1 Itroductio E première, o recotre diverses suites qui peuvet se préseter sous diverses formes.o retiedra particulièremet : 1. les suites récurretes qui à partir d ue doée iitiale, permettet la costructio termes à termes de la suite.elles sot de la forme +1 = f( ) où f est ue foctio. La suite ( ) défiie par : est u exemple de suite récurrete. { u+1 = 1,05 500 u 0 = 20000 2. les suites explicites où le terme gééral de la suite s exprime e foctio de.elles sot de la forme = f() où f est ue foctio. Les suites suivates sot des exemples de suites explicites : = 6 0,7,v = 3 2 2+5 et w = 2 4 2 +1 3. les suites hybrides, dot le terme gééral déped à la fois du terme précédet 1 et du rag. Par exemple, la suite (t ) défiie par t +1 = 2t +3 avec t 0 = 2. L objectif de ce cours est de défiir puis détermier le comportemet de ces suites lorsque deviet grad. O adoptera aisi la otatio : Exercice 1 lim 1. Détermier les premiers termes de chaque suite ci-dessus et cojecturer leur limite 2. Costruire les représetatios graphiques de ces suites et retrouvez les cojectures émises précédemmet. 2 Limite d ue suite O cosidère ue suite ( ) défiie sur N. 2.1 Limite fiie d ue suite Défiitio 1 Ue suite ( ) admet ue limite fiie l(l R) quad ted vers + lorsque à partir d u certai rag N, tout les termes de la suite sot coteus das u itervalle ouvert cetré e l. Das ce cas, o écrit : et o dit que la suite (U ) coverge vers l. lim = l O peut défiir la covergece de cette maière. Quelque soit l itervalle ouvert I cetré e l,il existe ue valeur particulière de, appelée N tel que pour tout > N, I. Exercice 2 Démotrer que si ue suite U coverge vers l alors l est uique.
Lycée JB de BAUDRE à AGEN Iterprétatio graphique l N Propositio 1 Les suites de la forme = 1 où α > 0 sot des suites de référeces qui coverget α vers 0. Des exemples de suites covergetes : = 20 0.6 coverge vers 0. = 8+ 1 coverge vers 8. = l(2+ 1 ) coverge vers l(2). = 1+22 10 3 17 2 +5 3 coverge vers 2. Ue suite qui e coverge pas est dite divergete. 2.2 Limite ifiie d ue suite Défiitio 2 Ue suite ( ) admet pour limite + quad ted vers + lorsque à partir d u certai rag N, tout les termes de la suite sot coteus das u itervalle de la forme ]A;+ [ où A > 0. Das ce cas, o écrit : et o dit que la suite (U ) diverge vers +. lim = + Autremet dit, pour importe quelle valeur A positive,il existe u rag N à partir duquel ous avos > A dès que > N.
Lycée JB de BAUDRE à AGEN A N De la même faço, ous pourrios défiir : lim = e précisat qu à partir d u certai rag N tous les se trouvet das u itervalle de la forme ] ;B[ où B < 0. Propositio 2 Les suites de la forme = α où α > 0 sot des suites de référeces qui diverget vers +. 2.3 Suite sas limite Il existe des suites qui admettet i limite fiie i limite ifiie. C est le cas des suites ci-après : = ( 1) = 2cos(3)
3 Opératios sur les limites O cosidère deux suites ( ) et (v ) défiies sur N. l et l sot deux réels. 3.1 Somme O admet les résultats suivats : 3.2 Produit O admet les résultats suivats : =... l l l + + et lim v =... l + + ( +v ) =... 3.3 Quotiet =... l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 + + 0 et lim v =... l + + + + ou ( v ) =... O doit évoquer deux cas selo la covergece de v vers 0 oo. 3.3.1 l 0 3.3.2 l = 0 =... l l + + + ou et lim =... l ± l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou =... v L écriture 0 + (resp. 0 ) sigifie que les valeurs de v tedet vers 0 e restat positives (resp. égatives). =... l > 0 ou + l < 0 ou l > 0 ou + l < 0 ou 0 et lim =... 0 + 0 + 0 0 0 =... v
3.4 Coclusio Ces résultats permettet de ombreux calculs sur les limites de suites. Das le cas de forme idétermiée, deux optios s offret à ous : le chagemet de formes comme le passage de la somme au produit par exemple; l utilisatio de théorèmes qui permettet la levée de la forme idétermiée. O retiedra particulièremet les théorèmes sur les croissace comparées. 4 Limites par comparaiso 4.0.1 Théorème de comparaiso Propositio 3 Si ( ) et (v ) sot deux suites défiies sur N telles que : 1. à partir d u certai rag, v 2. lim v = + = + Deux exercices qui reposet sur le résultat précédet : Exercice 3 1. Détermier par récurrece l iégalité de Beroulli :(1+a) 1+a où a > 0 2. E déduire la limite d ue suite géométrique de raiso q > 1. O pourra discuter selo le sige du premier terme. Exercice 4 1. Démotrer par récurrece que :,e > 2. E déduire lim e 4.0.2 Théorème des gedarmes Théorème 1 Si ( ),(v ) et (w ) sot trois suites défiies sur N telles que : 1. à partir d u certai rag, v w 2. lim v = lim w = l = l 5 Variatios et limites Défiitio 3 Ue suite ( ) est dite majorée (resp. miorée) s il existe u réel M (resp. m) tel que quelques soit l etier, < M (resp.m < U ) Ue suite miorée et majorée est dite borée. Exercice 5 Démotrer par récurrece que la suite ( ) défiie par miorée par 0. Théorème 2 Ue suite croissate et majorée est covergete { u+1 = +5 u 0 = 0 est majorée par 3 et
Le même théorème s applique aux suites décroissates miorées.ce théorème permet de démotrer la covergece d u suite mais e doe pas explicitemet le limite de la suite. Exercice 6 Démotrer les résultats suivats : Si ue suite est croissate et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sot iférieurs à l. Ue suite croissate o majorée admet pour limite +. Si ue suite est majorée par M et coverge vers u réel l alors l M