OLYNESIE Série S Jui 00 Exercice gros rouges et 3 petits rouges Ue boîte cotiet 8 cubes : gros verts et petit vert petit jaue U efat choisit au hasard et simultaémet 3 cubes de la boîte (o admettra que la probabilité de tirer u cube doé est idépedate de sa taille et de sa couleur). Les résultats serot doés sous la forme de fractios irréductibles.. O ote : A, l évéemet : «Obteir des cubes de couleurs différetes» ; B, l évéemet : «Obteir au plus u petit cube». a) Calculer la probabilité de A. b) Vérifier que la probabilité de B est égale à 7.. Soit X la variable aléatoire doat le ombre de petits cubes rouges tirés par l efat. a) Détermier la loi de probabilité de X ; b) Calculer l espérace mathématique de X. 3. L efat répète fois l épreuve «Tirer simultaémet trois cubes de la boîte», e remettat das la boîte les cubes tirés avat de procéder au tirage suivat. Les tirages sot idépedats. O ote la probabilité que l évéemet B soit réalisé au mois ue fois. a) Détermier e foctio de. b) Détermier le plus petit etier aturel tel que 0,99. aamaths Mai 00
Aalyse Calcul de probabilités, variable aléatoire et schéma de Beroulli sot les pricipaux thèmes abordés das cet exercice. Das la mesure où i la taille, i la couleur des cubes ifluecet les tirages, la situatio est équivalete à celle d ue ure comportat des boules colorées, umérotées et idiscerables. Résolutio E guise de préambule, détermios le ombre total N de tirages possibles. Cette quatité va ous servir à calculer les probabilités demadées das l exercice (questios. et.). Le ombre total de tirages simultaés est, l ordre importat pas ici, le ombre de combiaisos de 3 cubes parmi les 8 dispoibles. Soit : 8 8! 8 7 6 N 8 7 3 5!3! 3 L uivers Ω associé à l expériece comporte doc élémets : Card ( Ω ). Questio.a. Soit doc l évéemet A : «Obteir des cubes de couleurs différetes». Comme précisé, la boîte cotiet 8 cubes et le tirage d u cube e déped i de sa taille, i de sa couleur. E d autres termes, tous les cubes ot la même probabilité d être tirés de la boîte. ar ailleurs, l ordre iterviet pas das cette expériece. Il suffit doc, pour détermier ( A), de déombrer tous les tirages favorables, c est à dire Card ( A) Card ( A ). O aura alors : ( A) Card ( Ω ). Das u tirage, élémet de A, o a doc : cube rouge, cube vert et cube jaue : 4 Il y a 4 possibilités pour le cube rouge ; 3 Il y a 3 possibilités pour le cube vert ; Il y a qu ue possibilité pour le cube jaue ( C ). L esemble A comporte doc 4 3 élémets : Card A. aamaths Mai 00
Il viet doc : ( A) Card A 4 3 3. Card Ω 4 4 4 3 ( A) 4 Questio.b. Soit maiteat l évéemet B : «Obteir au plus u petit cube». O peut écrire B sous la forme d ue réuio de deux évéemets icompatibles : B : «Obteir aucu petit cube» ; B : «Obteir exactemet u petit cube». O a bie : B B B et B B. Card B + O aura alors : ( B) ( B ) ( B ) La boîte comporte 3 gros cubes et 5 petits cubes. + Card ( B) Card ( Ω) Il y a qu ue seule possibilité de obteir aucu petit cube puisqu il coviet alors d obteir les 3 gros cubes! Card B. O a doc : Evaluos maiteat Card ( B ). O souhaite qu u tirage de B comporte exactemet petit 5 cube. Il y a 5 possibilités pour ce petit cube. our u petit cube doé, il coviet 3 d évaluer le ombre de possibilités de tirer gros cubes parmi les 3 : soit 3 possibilités. Il y a doc 5 3 5 tirages comportat exactemet u petit cube. Card B 5. O a doc : Il viet alors : ( B) Card B + Card B + 5 6 8 Card Ω 7 8 7 ( B) 7. Questio.a. X est la variable aléatoire doat le ombre de petits cubes rouges tirés par l efat. aamaths Mai 00
X peut predre quatre valeurs possibles : 0,, ou 3. O doit doc détermier ( X i) i { 0,,,3}. Les tirages possibles coduisat à X i cosistet à tirer das la boîtes : pour 3 i petits cubes rouges parmi les 3 petits cubes rouges, soiet i 5 3 i cubes parmi les 5 autres cubes, soiet possibilités. 3 i possibilités ; O e déduit alors : 3 5 3! 5! i 3 i i!3 ( i)! ( 3 i)! ( + i)! 3!5!!! 3! ( X i) ( + i) i ( i) ( X 0) our i 0 la formule précédete doe : ( X ) 3!5! 5! 5 4 5! 3! 3! 8 ( X 0) our i la formule précédete doe : ( X ) ( X ) 5 ( X 0) 8 3!5! 5! 5 4 3 5 3!! 8 our i la formule précédete doe : ( X ) 5 ( X ) 8 3!5! 5 3! 5 3 5 4!! aamaths Mai 00
( X 3) 5 ( X ) Il y a qu u tirage comportat trois petits cubes rouges. Doc : ( X 3) ( X 3) (Note : o retrouve bie ce résultat avec la formule géérale mais l emploi de cette derière est e rie ue obligatio!) Fialemet : i 0 3 5 5 5 8 8 ( X i) Questio.b. L espérace mathématique de X est doée par : E( X) i( X i) Avec les valeurs obteues précédemmet, il viet : 3 i 0 30 + 30 + 3 63 9 8 3. i 0 5 5 5 i( X i) 0 + + + 3 8 8 E X 9 8 Questio 3.a. Nous avos affaire ici à u schéma de Beroulli (répétitio d épreuves idépedates). est la probabilité que l évéemet B soit réalisé au mois ue fois. Nous allos e fait calculer la probabilité de l évéemet cotraire «B e se réalise pas ue seule fois». aamaths Mai 00
O a calculé à la questio.b. la probabilité de l évéemet B. La probabilité de l évéemet 5 cotraire vaut : ( B) ( B). 7 7 La probabilité que B e se réalise pas ue seule fois au cours de épreuves vaut doc : ( ) 5 B. O e tire alors : 5. 5 Questio 3.b. O a : 5 5 0,99 0,99 0, 0 5 l0 l0 l l ( 0, 0) l 5 l 7 l 7 l 5 (l iversio de l iégalité résulte du fait que 5 l < 0 puisque 5< 7). Or : l0 3, 687. Le plus petit etier tel que 0,99 vaut doc 4. l 7 l 5 4 aamaths Mai 00