Chaptre IV Conducteurs à l équlbre IV.a. Isolants et conducteurs. Métaux Un conducteur est un corps qu content des charges mobles. Lorsque le nombre de celles-c est nfn, le conducteur est dt «déal». Aucun conducteur n est rgoureusement déal, mas certans s en approchent, notamment les métaux. Dans un atome solé, les électrons lés au noyau ont des énerges prenant des valeurs dscrètes. Les électrons non exctés qu ont l énerge la plus élevée sont appelés électrons de valence. Lorsqu on leur apporte une énerge suffsante, l atome devent onsé. Les électrons arrachés à l atome sont lbres et leur énerge peut prendre des valeurs contnues. Dans un solde, au contrare, l énerge d un électron ne prend pas des valeurs dscrètes mas, en rason des nteractons avec les atomes vosns, des valeurs contnues dans un certan nombre d ntervalles appelés bandes d énerge. On appelle bande de valence la bande d énerge la plus élevée contenant des électrons lés aux noyaux et bande de conducton la bande d énerge mmédatement supéreure. Les électrons de cette dernère appartennent en commun à tous les atomes du solde et sont donc délocalsés. Ils sont lbres de se déplacer dans tout le conducteur (mas pas d en sortr!). Dans un solant (on dt auss un délectrque), les bandes de valence et de conducton sont nettement séparées et la bande de conducton est quas vde. Dans un conducteur, en revanche, les deux bandes se chevauchent et les électrons passent asément de l une à l autre : l y a donc toujours des électrons de conducton. Les sem-conducteurs sont un cas ntermédare dans lequel les bandes sont dsjontes mas proches : une fable exctaton sufft donc à peupler la bande de conducton à partr de la bande de valence. Les conducteurs consdérés dans ce qu sut sont presque toujours des métaux, mas l y a d autres types de conducteurs, par exemple les électrolytes : dans ces solutons, ce sont les ons qu sont mobles, pas les électrons. IV.b. Proprétés des conducteurs à l équlbre 1. Proprétés générales Un conducteur à l équlbre est un conducteur dans lequel les charges lbres sont mmobles. Il possède les proprétés suvantes : 1. À l équlbre, la somme des forces sur les charges lbres dot être nulle. En l absence d autres forces, cela sgnfe que la force électrque exercée sur les charges lbres est nulle, donc que E = 0 à l ntéreur. (IV.1) S on mpose un champ extéreur, les charges lbres se déplacent et créent un champ ndut. Elles s arrêtent lorsque le champ ndut compense le champ extéreur et que le champ total, E = E ext + E ndut, est nul à l ntéreur du conducteur. Le processus est quas nstantané dans les métaux (mons dans les électrolytes, car l nerte des ons est ben supéreure à celle des électrons). 2. Comme dv = E d r, que E = 0 à l ntéreur et que V est contnu, le potentel V est unforme dans tout le conducteur, tant son volume que sa surface. Le conducteur consttue une régon équpotentelle. 3. On dédut mmédatement de la nullté de E que pusque dv E = ρ/ε 0. la densté volumque de charge ρ est nulle à l ntéreur (IV.2) (IV.3) 39
4. Les charges mobles sont lbres de se déplacer dans le conducteur, pas de le qutter, donc la charge nette est entèrement en surface. (IV.4) (Il y a en fat une charge nette sur une épasseur de quelques atomes à la surface.) La densté surfacque de charge peut donc être non nulle. Remarque. Précsons tout de sute que «à l ntéreur du conducteur» sgnfe «dans la matère du conducteur». Il s agt de l ntéreur matérel, physque, et non de l ntéreur topologque, géométrque, du conducteur. La dfférence est mportante pour les conducteurs contenant des cavtés. Il peut en effet y avor des charges à la surface de celles-c. Les proprétés énoncées c-dessus sont valables à une échelle ntermédare, mésoscopque, pette devant la talle du conducteur, mas suffsamment grande pour que les notons de champ moyen E et de densté volumque de charge ρ soent ben défnes. Il y a évdemment des charges à l ntéreur à l échelle mcroscopque (protons, électrons). Ce qu affrment les ponts 3 et 4, c est que, à l échelle mésoscopque, la charge nette est nulle en tout pont à l ntéreur mas qu elle peut être non nulle en surface, y comprs à l échelle macroscopque. 2. Théorème de Coulomb. Presson électrostatque Le champ juste à l extéreur du conducteur, au vosnage mmédat d un pont M de celu-c, vaut E ext = σ ε 0 n ext (théorème de Coulomb), (IV.5) où σ est la densté surfacque de charge sur le conducteur en M et n ext est un vecteur untare normal à la surface du conducteur en M et drgé de l ntéreur vers l extéreur. En effet, le champ électrque subt une dscontnuté E 2 E 1 = σ/ε 0 n 1 2 au vosnage d une nappe chargée. En prenant l ntéreur du conducteur comme zone n o 1 et l extéreur comme zone n o 2, on obtent le résultat pusque E nt = 0. Une conséquence de (IV.5) est que les lgnes de champ sont normales à la surface d un conducteur au vosnage mmédat de celu-c ; elles en partent (resp. vont vers lu) s σ > 0 (resp. σ < 0). L équaton (IV.5) permet auss de calculer σ à partr du champ au vosnage extéreur de la surface d un conducteur : σ = ε 0 E ext n ext. Remarque. L équaton (IV.5) paraît en désaccord avec le résultat obtenu pour un plan nfn portant une densté surfacque σ : dans chacune des deux zones Z (avec 1, 2 ) de part et d autre du plan, E = σ/(2 ε 0 ) n j, où j est l ndce de l autre zone et n j est un vecteur untare, normal au plan et drgé de Z j vers Z. Au vosnage d un pont M juste à l extéreur du conducteur, la porton de surface du conducteur consttuée par les ponts à proxmté de M est semblable à un plan, vue de M. On s attendrat donc à ce que E ext = E ext prox = σ/(2 ε 0 ) n ext, sot la moté du résultat correct! L autre moté vent en fat de la charge nette stuée plus lon sur la surface du conducteur : celle-c crée un champ E lon = σ/(2 ε 0 ) n ext au vosnage de M, tant à l ntéreur qu à l extéreur. Le champ créé à l ntéreur du conducteur par les ponts de la surface proches de M valant E nt prox = σ/(2 ε 0 ) n ext, on retrouve ben que E nt = E nt prox + E lon = 0 dans le conducteur. Consdérons un pett vosnage d are ds d un pont M de la surface du conducteur. Ce vosnage porte une charge σ ds et est soums à la force exercée par la charge nette stuée lon de ds, d F lon ds = (σ ds) E lon. (IV.6) (Le champ E prox créé par les charges proches n ntervent pas pusque celles-c sont dans ds : l n y a pas leu de prendre en compte les forces ntéreures.) Comme E lon = σ/(2 ε 0 ) n ext, l élément ds est soums a la force d F lon ds = P d S, (IV.7) où d S = ds n ext et P = est la presson électrostatque exercée sur la surface du conducteur. 3. Notons de «terre» et de «masse» en électrcté σ2 2 ε 0 (IV.8) La charge surfacque portée par la Terre (avec une majuscule, c.-à-d. la planète) étant quas nulle, son potentel peut être consdéré comme nul (cf. éq. (I.45)). La Terre est par alleurs suffsamment conductrce 40
et vaste pour fournr à tout conducteur en contact électrque avec elle tous les électrons qu manquent à celu-c ou pour permettre l écoulement de tous ceux en trop, cec de manère quas nstantanée et sans que le potentel terrestre sot modfé. La Terre mpose donc un potentel nul à tout conducteur relé à la terre (avec une mnuscule, c.-à-d. le sol) par un fl métallque (un fl de terre). Pour évter d être électrocuté lorsqu on les touche, les apparels électrques sont souvent branchés sur des prses de terre, c.-à-d. des prses comprenant une borne relant le chasss de l apparel à la terre. Interposons mantenant entre la terre et le conducteur un générateur de tenson U = V A V B, où la borne A du générateur est connectée au conducteur et la borne B l est à la terre. Le potentel du conducteur devent alors U et celu de la Terre reste nul. La masse joue le même rôle de 0 du potentel (mas pas de protecton contre les chocs électrques) que la terre dans les apparels électrques. S l y a pluseurs apparels dans un crcut, leurs masses dovent être connectées entre elles ou l être à la terre pour que les potentels à leurs bornes soent comparables. 4. Effet de ponte À grande dstance d un conducteur chargé, les lgnes de champ sont radales pusque le terme monopolare domne. Au vosnage du conducteur, en revanche, elles sont perpendculares à la surface. Elles sont donc plus concentrées au vosnage d un pont où le conducteur est convexe (c.-à-d. présente une bosse) et dluées là où l est concave (c.-à-d. présente un creux). Pour la même rason, en un pont où le conducteur est convexe, plus la courbure de la surface est forte, plus les lgnes de champ sont concentrées, donc plus l ntensté du champ électrque et la densté surfacque de charge (d après la relaton (IV.5)) sont élevées. Il ne s agt en fat que de tendances, car le champ électrque au vosnage extéreur de la surface dépend de la forme complète du conducteur, pas seulement de la courbure locale 1. Il est en revanche certan que la charge nette s accumule près des pontes et que le champ électrque est ntense au vosnage (extéreur) de celles-c. S l ntensté du champ dépasse un seul, appelé champ dsruptf et dépendant de l solant (par exemple l ar) en contact avec le conducteur, l solant s onse. Un canal conducteur apparaît dans lequel se précptent les charges en excès 2 : le conducteur se décharge. Ce courant de charges produt une émsson lumneuse, l arc électrque. C est le prncpe du paratonnerre nventé par Benjamn Frankln. Un paratonnerre est consttué de pontes métallques et d un fl de métal qu les rele au sol. Lorsque des charges négatves s accumulent à la base d un nuage pendant un orage, des charges postves apparassent sur terre. Quand l ar s onse sous l effet du champ créé par toutes ces charges, l devent momentanément conducteur et la foudre tombe. L éclar est l arc électrque correspondant. Le paratonnerre n empêche pas la foudre de tomber, mas a pour objet, en provoquant une concentraton de charges postves dans les pontes, de canalser la chute de la foudre vers celles-c et de l envoyer se perdre drectement dans la terre, où elle ne présente pas de danger. Pour llustrer l effet de la courbure de manère plus quanttatve, consdérons un cas où le calcul est asé : celu de deux conducteurs sphérques de rayons respectfs R 1 et R 2. Relons-les par un fl conducteur, suffsamment fn pour que la charge qu l porte et le champ qu l crée soent néglgeables. Les sphères conductrces sont placées lon l une de l autre, de telle sorte que l expresson (I.45) pour le potentel d une sphère s applque à chacune. Les potentels des sphères valent donc V 1 = σ 1 R 1 /ε 0 et V 2 = σ 2 R 2 /ε 0, où σ 1 et σ 2 sont les denstés surfacques de charge de chacune. L ensemble constuté par les sphères et le fl consttue alors un unque conducteur, de potentel V = V 1 = V 2, d où σ 2 σ 1 = R 1 R 2 = E ext 2 E ext 1. (IV.9) Plus la courbure 1/R est forte, plus le champ E ext est ntense et plus les charges sont concentrées. 5. Cavtés dans les conducteurs a. Cavté vde de charges. Cage de Faraday Consdérons un conducteur à l équlbre mun d une cavté. Le potentel a la même valeur en tout pont du conducteur, y comprs sa surface extéreure et ses éventuelles surfaces ntéreures. S l ntéreur de la cavté est vde de charges 3, le potentel y est le même que dans le conducteur. En effet, d après le théorème de l extrémum ( II.c.3), l n y a pas d extrémum du potentel dans la cavté pusqu elle ne content pas de charges. Le potentel sur le pourtour de la cavté étant dentque en tout pont, le potentel dans la cavté lu 1. Vor dans l Amercan Journal of Physcs les artcles «The lghtnng-rod fallacy» par R. H. Prce & R. J. Crowley (1985, vol. 53, 843) et «Of lghtnng rods, charged conductors, curvature, and thngs» par I. M. Benn & S. T. Shanahan (1991, vol. 59, 658). 2. Ce phénomène peut provoquer un claquage dans un condensateur. 3. On veut dre par là que la densté de charge est nulle en tout pont, pas seulement que la charge totale dans la cavté est nulle. 41
est égal. Le champ est donc nul dans la cavté. D après le théorème de Coulomb, la densté surfacque de charge est auss nulle sur la surface de la cavté. C est le prncpe de fonctonnement de la cage de Faraday : à l ntéreur d une cage métallque, le champ est nul, quelle que sot l ntensté du champ électrostatque à l extéreur. Il n est même pas nécessare que la cage sot contnue : une cage grllagée fat l affare pour peu que la talle de la malle ne sot pas trop grande. La cage de Faraday protège l ntéreur du champ extéreur tant que celu-c est électrostatque ou qu l vare suffsamment lentement. b. Cavté contenant des charges Consdérons mantenant une cavté dont l ntéreur content une charge nette Q cav = Q. (Cette charge n appartent pas au conducteur.) Applquons la forme ntégrale du théorème de Gauss à une surface fermée S entourant la cavté et contenue dans la matère du conducteur. Le champ électrque étant nul dans cette dernère, le flux du champ à travers S est nul, donc la charge Q S à l ntéreur de S auss. Or Q S = Q cav +Q nt cond, où Q nt est la charge nette portée par le conducteur à la surface de la cavté. On a donc Qnt = Q. S le cond cond conducteur est globalement neutre, l porte par conséquent une charge Q ext = +Q sur sa surface extéreure. cond 6. Influence électrostatque. Théorème des éléments correspondants Approchons un conducteur A portant une charge négatve d un conducteur B neutre. Les électrons de ce derner vont s élogner du conducteur chargé, ce qu fat apparaître une charge postve sur le côté de B tourné vers A et une charge négatve de l autre côté. S B est relé à la terre par un fl conducteur, une parte des électrons quttent B et vont se perdre dans la terre. Il sufft alors de couper le fl pour donner à B 4 une charge postve : B a été chargé par l nfluence de A. Prenons un tube de champ 5 T connectant A et B et consdérons la surface de Gauss consttuée des portons dsjontes suvantes : la surface S T du tube de champ ; une surface S A stuée à l ntéreur de A et fermant le tube à cette extrémté ; une surface S B stuée à l ntéreur de B et fermant l autre extrémté du tube. Les surfaces S A et S B sont dtes «en correspondance». On a E d S + E d S + E d S = Q nt, (IV.10) S A S B S T ε 0 où Q nt = Q A + Q B, Q A et Q B étant respectvement les charges nettes portées par A et B à l ntéreur de la surface de Gauss. L ntégrale S T E d S est nulle car E est perpendculare à d S sur S T par constructon. Les ntégrales S A E d S et S B E d S sont également nulles pusque S A et S B sont dans les conducteurs A et B, et donc que E = 0 sur ces surfaces. On obtent donc le théorème des éléments correspondants : Q A = Q B, (IV.11) où Q A et Q B sont les charges portées par les éléments correspondants S A et S B de deux conducteurs. On dt que deux conducteurs sont en nfluence totale s toutes les lgnes lées à un conducteur le connectent à l autre. Snon, l nfluence est seulement partelle. S un conducteur entoure entèrement l autre, toutes les lgnes de champ du second sont relées au premer ; ls sont donc en nfluence totale. 7. Théorème d uncté (hors programme) Nous avons déjà énoncé un théorème d uncté au II.c.3. Rappelons que s V est soluton, dans un domane D, de V = ρ/ε 0 (l équaton de Posson), alors la donnée sot de V, sot de grad V n en chaque pont frontère de D (condtons aux lmtes) détermne V de manère unque sur D. Donc, s une expresson f (M) proposée pour le potentel V (quelle que sot la façon dont on l a obtenue) satsfat l équaton de Posson en tout pont M de D ans que les condtons mposées au potentel aux bornes de D, alors l expresson proposée pour le potentel est la bonne : V(M) = f (M) pour tout M D. (On ne peut en revanche ren dre en dehors de D.) Ce théorème s applque en partculer à l espace séparant un ensemble de conducteurs, et ce d autant plus faclement que le potentel a la même valeur en tout pont de la surface d un conducteur. Cependant, pour des conducteurs solés notamment, c est souvent la charge totale du conducteur qu est connue, pas le potentel n la densté surfacque de charge (rappelons que la charge ne peut être qu en surface). 4. Après la coupure du fl, B est électrquement solé : aucune charge ne peut arrver sur lu n en partr. Cela ne veut pas dre qu l est solé spatalement, n au sens de ce terme en mécanque : B est soums à la force exercée par A! 5. Un tube de champ est un fasceau de lgnes de champ, c.-à-d. l ensemble des lgnes traversant une surface donnée. 42
Il exste cependant une verson du théorème d uncté pour les conducteurs. Consdérons un domane D contenant une densté de charge ρ(m) et dans laquelle sont plongés des conducteurs dont sot le potentel V, sot la charge totale Q j sur la surface extéreure sont mposés. Alors, l équaton de Posson admet une seule soluton V(M) compatble avec les condtons aux lmtes V et Q j et la condton à l nfn sur V(M). Ce théorème est également valable s le domane D est la cavté d un conducteur dont sot le potentel V cav, sot la charge totale Q cav sur la surface ntéreure sont mposés. La condton sur V(M) à l nfn est alors remplacée sot par la donnée de V cav, sot par celle de Q cav. Attenton, une expresson vérfant l équaton de Posson entre les conducteurs et les condtons aux lmtes à la surface de ceux-c ne peut être extrapolée à l ntéreur des conducteurs. a. Applcaton à un conducteur creux. Écran électrostatque. Q A et Q B fxées Consdérons un conducteur B creux, électrquement solé, de charge Q B (éventuellement nulle), dans la cavté duquel on a ntrodut un corps A portant une charge Q A. À l extéreur de B 6, se trouve un corps C (ou pluseurs) dont le potentel ou la charge totale est mposé. D après la dscusson du IV.b.5.b, le conducteur B porte sur sa surface ntéreure une charge Q A et sur sa surface extéreure S ext une charge Q A + Q B. Le potentel créé par B est le même en tout pont à l extéreur de B que celu que produrat un conducteur plen 7 B, de même forme extéreure que B et portant une charge Q A + Q B. En effet, les formes extéreures S ext et S ext de B et B étant dentques, et la charge portée par B étant sur S ext et de valeur totale égale à celle sur S ext, les condtons aux lmtes sur S ext et S ext sont les mêmes. Le théorème d uncté permet mmédatement de conclure à l dentté des potentels à l extéreur et, de là, à celle des champs. Le théorème de Coulomb permet enfn d affrmer que la densté surfacque de charge est la même en tout pont de S ext que celle sur S ext. Pour un corps B sphérque de rayon R, par exemple, on obtent V(r > R) = Q A + Q B 4 π ε 0 r, (IV.12) quelle que sot la forme de la cavté, sa poston et celle de A. Quant au champ dans la cavté, l est entèrement détermné par les charges Q A et Q A aux frontères de celle-c d après le théorème d uncté : le corps C à l extéreur de B n a aucune nfluence sur le potentel dans la cavté et sur la densté surfacque de charge sur celle-c, ce qu on avat déjà trouvé dans le cas d une charge Q A nulle (cf. IV.b.5.a).. V B mposé Relons le conducteur B à la terre et fasons de même par la pensée pour B. Les potentels de B et B sont donc nuls. Comme B ne porte de charge nette en aucun pont, le potentel créé par B est nul partout. Le potentel créé par B est donc nul hors de S ext d après le théorème d uncté (mas pas dans la cavté). La charge Q A présente dans la cavté de B est ans sans nfluence à l extéreur (topologque) de B : un conducteur creux relé à la terre fat offce d écran à une charge stuée dans une cavté. Là encore, et pour les mêmes rasons que dans le cas où Q B = 0, le corps C est sans nfluence sur le potentel dans la cavté et sur la dstrbuton des charges à la surface de celle-c. On a relé B à la terre par commodté, mas on obtent le même résultat s B est relé à un générateur lu mposant une tenson V B fxée. De même s c est le potentel V A de A qu est mposé plutôt que sa charge Q A. Dans tous les cas où V B est mposé, le conducteur creux B fat offce d écran électrostatque entre son ntéreur et son extéreur topologques. b. Méthode des mages (hors programme) Consdérons un conducteur K relé à la terre et dont l une des surfaces est le plan (Oxy). Une charge q est stuée en un pont P à l alttude z = h > 0 au-dessus de O. Cherchons à détermner le potentel V q, K dans le dem-espace z > 0. D après le théorème d uncté, s l on trouve une soluton respectant l équaton de Posson pour z > 0 et les condtons aux lmtes de ce dem-espace, alors, dans celu-c, l s agt de la soluton. Remplaçons le conducteur par une charge q = q stuée en un pont P symétrque de P par rapport au 6. Dans tout ce qu sut, l «extéreur» dot être prs au sens topologque, pas matérel : l ne content n la cavté de B n A. 7. Ou creux, mas dont la cavté est vde de charge. 43
plan z = 0. Le potentel créé par q et q en tout pont M de l espace est q V q, q (M) = V q (M) + V q (M) = 4 π ε 0 PM q 4 π ε 0 P M. (IV.13) Il est nul sur le plan z = 0 et quand PM. Il respecte par alleurs la même équaton de Posson que le système {q, K} pour z > 0 pusque les charges ont la même dstrbuton. On a donc V q, K = V q, q sur le dem-espace z 0. (On a évdemment V q, K V q, q sur le dem-espace z < 0.) Cette méthode s appelle la méthode des mages car la charge q est au pont P mage du pont P où se trouve q par le mror plan z = 0. Elle peut être généralsée à un nombre quelconque de charges en prenant pour chacune une charge mage de valeur opposée. On peut également calculer la densté surfacque de charge sur le conducteur. Supposons la charge source en (x = 0, y = 0, h). Pour tout z > 0, PM = x 2 + y 2 + (z h) 2 et P M = x 2 + y 2 + (z + h) 2, donc q q V q, K (M) = (IV.14) 4 π ε 0 x2 + y 2 + (z h) 2 4 π ε 0 x2 + y 2 + (z + h) 2 et Fasons tendre z vers 0. On obtent Or E q, K (z = 0 + ) = σ/ε 0 u z, donc E q, K (M) = q (x u x + y u y + (z h) u z ) 4 π ε 0 (x 2 + y 2 + (z h) 2 ) q (x u x + y u y + (z + h) u z ). (IV.15) 3/2 4 π ε 0 (x 2 + y 2 + (z + h) 2 ) 3/2 E q, K (z = 0 + ) = σ = 2 q h u z. (IV.16) 4 π ε 0 (x 2 + y 2 + h 2 ) 3/2 2 q h. (IV.17) 4 π (x 2 + y 2 + h 2 ) 3/2 On peut vérfer que la charge totale ndute à la surface z = 0 du conducteur par la charge q vaut σ(x, y) dx dy = q. (IV.18) x= y= La méthode des mages peut s applquer à des géométres plus complexes (conducteur sphérque, par exemple), mas la charge mage n est alors plus symétrque de la charge source par rapport à la surface du conducteur. 8. Théorème de superposton. Coeffcents de capacté et d nfluence Notons [V ] = (V 1,..., V n ) (resp. [Q ] = (Q 1,..., Q n )) un état d équlbre d un système de n conducteurs, où V (resp. Q ) est le potentel (resp. la charge) du conducteur K. La régon D séparant les conducteurs est supposée vde de charges. Supposons les conducteurs fxes 8 et consdérons deux états d équlbre [V ] et [V ] du système. Montrons que la combnason lnéare (la «superposton») [V ] = α [V ]+α [V ] des états est un état d équlbre. Pour tout pont M de D, le potentel V(M) = α V (M) + α V (M) vérfe l équaton de Laplace pusque V (M) et V (M) la vérfent et que l équaton de Laplace est lnéare. Par alleurs, V(M) satsfat la condton aux lmtes V(M) = V sur chaque conducteur. D après le théorème d uncté, [V ] est donc un état d équlbre du système. On a σ (P) = ε 0 E ext (P) n ext (P), où P est un pont de la surface S de K, E ext est le champ au vosnage extéreur de ce pont et n ext (P) est un vecteur untare, normal à la surface de K en P et drgé vers l extéreur. Par alleurs, E(M) = grad V(M), et Q = σ P S (P) ds. Ces tros relatons sont lnéares, donc E(M) = α E (M) + α E (M), σ (P) = α σ (P) + α σ (P) et Q = α Q + α Q. L expresson de [Q ] en foncton de [V j ] est donc lnéare : pour tout, Q = C, j V j (théorème de superposton), (IV.19) ou, sous forme matrcelle, j=1 [Q ] = [C, j ] [V j ]. (IV.20) Les coeffcents C, j sont des constantes appelées coeffcents de capacté s = j et coeffcents d nfluence s j ; leur unté est le farad (symbole «F»). Ils ne dépendent que de la géométre du système (c.-à-d. la talle et la forme des conducteurs, la dstance entre ceux-c, leur dsposton les uns par rapport aux autres). La matrce [C, j ] possède les proprétés suvantes : 8. S les conducteurs ne sont pas fxes, une modfcaton du potentel de l un d entre eux change la force qu l exerce sur les autres et par conséquent leurs postons. 44
1. elle est nversble ; 2. elle est symétrque, c.-à-d. C, j = C j, ; 3. C, 0 ; 4. C, j 0 s j ; 5. n C j=1, j 0. Démonstratons (hors programme) 1. Au leu de rasonner sur deux états d équlbre du potentel, on aurat pu rasonner sur deux états d équlbre des charges totales, [Q ] et [Q ]. Le potentel V(M) = α V (M)+α V (M) vérfant l équaton de Laplace et les condtons aux lmtes Q = α Q + α Q, l s agt de l unque soluton. Sur chaque conducteur, on obtent V = α V + α V, donc les V s exprment lnéarement en foncton des Q j : la matrce [C, j ] est nversble. 2. Pour prouver la symétre, montrons d abord que s ([V ], [Q ]) et ([V ], [Q ]) sont deux états d équlbre, alors Q V = Q V. (IV.21) En effet, pour tout pont P d un conducteur, σ j (P j ) V = V(P ) = P j S j 4 π ε 0 P j P ds j. (IV.22) Par alleurs, Q = P S σ (P ) ds, donc Q V = j=1 j=1 P S Pj Sj σ (P ) σ j (P j) 4 π ε 0 P j P ds ds j. (IV.23) L expresson étant symétrque en σ et σ j, n Q V = n Q V. Applquons l dentté (IV.21) à deux états d équlbre : l un où V = V 0 0 et V k = 0 pour tout k ; l autre où V = V j 0 et V = 0 pour tout k j. k On obtent Q k = C k, V 0 et Q k = C k, j V 0, pus n k=1 Q k V k = C j, V 2 0 et n k=1 Q k V k = C, j V 2 0. L équaton (IV.21) permet de conclure que C, j = C j,. 3. Remarquons d abord qu une lgne de champ ne peut reler un pont du conducteur à un autre pont du même conducteur. En effet, d après l expresson dv = E d r, une lgne de champ est orentée selon les potentels décrossants. Or tous les ponts d un conducteur sont au même potentel. On dédut de cec que les lgnes de champ ssues d un conducteur de potentel V mènent sot à un conducteur de potentel plus fable, sot à l nfn s V > 0, sot provennent d un conducteur de potentel plus élevé, sot de l nfn s V < 0. Mettons tous les conducteurs au potentel 0, sauf K qu est ms à un potentel V > 0. On obtent Q = C, V. Les lgnes de champ relées à K partent nécessarement de la surface, donc E ext est drgé vers l extéreur au vosnage extéreur de tout pont P de la surface de K. On a donc σ (P) > 0 et, par ntégraton, Q > 0. Le coeffcent C,, ndépendant de [V j ] et [Q j ], est donc strctement postf. 4. Toujours dans cette confguraton, ntéressons-nous à un conducteur K j avec j. Toutes les lgnes de champ arrvant à K j vennent de K et aucune lgne de champ ne va de K j à un des autres conducteurs ou à l nfn. On a donc Q j 0. Comme Q j = n k=1 C j, k V k = C j, V, pusque V k = 0 pour tout k, et que V > 0, on a C j, 0. 5. Mettons ensute tous les conducteurs au même potentel V > 0. Toutes les lgnes de champ relées à un conducteur mènent donc à l nfn. Pour la même rason que précédemment, on dot avor Q > 0. Or Q = V n j=1 C, j, donc n j=1 C, j 0. 9. Énerge d un système de conducteurs Les charges nettes d un système de conducteurs étant toutes en surface, l énerge électrostatque vaut E p = 1 σ (P) V (P) ds. (IV.24) 2 P S Le potentel ayant la même valeur en tout pont d un conducteur, E p = 1 V σ (P) ds = 1 2 P S 2 45 Q V. (IV.25)
IV.c. 1. Capacté Condensateurs Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs en nfluence totale (ou quas totale). (On suppose que tous les autres conducteurs sont suffsamment lon pour que leur nfluence sot néglgeable.) Ces deux conducteurs sont appelés des armatures. On a Q 1 = C 1, 1 V 1 + C 1, 2 V 2, Q 2 = C 2, 1 V 1 + C 2, 2 V 2. (IV.26) (IV.27) L nfluence étant totale, Q 2 = Q 1. Les deux égaltés c-dessus devant être smultanément vraes pour tout couple de valeurs (V 1, V 2 ), on a C 1, 1 = C 2, 1 et C 1, 2 = C 2, 2. Comme on a en outre C 1, 2 = C 2, 1, C 1, 1 = C 2, 1 = C 1, 2 = C 2, 2 C. (IV.28) Cette valeur commune s appelle la capacté du condensateur. Elle ne dépend que de la géométre du système, pas de la charge Q 1, n de la dfférence de potentel, ou tenson, V 1 V 2. On a donc 2. Condensateur plan. Effets de bord Q 1 = C (V 1 V 2 ). (IV.29) Consdérons deux plans nfns parallèles dstants de e : le premer, en x = 0,portant une densté surfacque de charge σ ; le second, en x = e, portant une densté surfacque de charge σ. Le champ électrque E 1 créé par le premer vaut σ/(2 ε 0 ) u x pour x < 0 et σ/(2 ε 0 ) u x pour x > 0. Le champ E 2 créé par le second vaut σ/(2 ε 0 ) ( u x ) pour x < e et σ/(2 ε 0 ) u x pour x > e. Le champ total E = E 1 + E 2 vaut σ/ε 0 u x entre x = 0 et x = e, et 0 alleurs. Soent deux surfaces S 1 et S 2 d are S en vs-à-vs sur les plans x = 0 et x = e. Le champ étant perpendculare aux plans, S 1 et S 2 sont en nfluence totale et consttuent un condensateur plan. Les surfaces S 1 et S 2 portent les charges Q 1 = σ S et Q 2 = σ S = Q 1. La dfférence de potentel V 1 V 2 entre ces deux plans vaut donc avec V 1 V 2 = 0 dv = x=e e x=0 Q 1 = ε 0 (V 1 V 2 ) e E d r = e x=0 S = C (V 1 V 2 ) σ dx = σ e, (IV.30) ε 0 ε 0 (IV.31) C = ε 0 S. (IV.32) e Dans un condensateur plan réel, les plans ne sont évdemment pas nfns. S la dstance e entre les armatures est néglgeable devant les dmensons de celles-c, le modèle consttue néanmons une excellente approxmaton du dspostf réel : sauf sur les bords des armatures, la densté surfacque de charge a une valeur σ unforme sur la premère armature et σ sur la seconde ; le champ vaut E = σ/ε 0 u x entre les armatures et E = 0 partout alleurs, sauf dans la zone entre les bords des armatures. L expresson C ε 0 S/e est valable pour tout condensateur, quelle que sot sa forme, dès que ses armatures sont séparées par du vde et que e est néglgeable devant les dmensons des armatures. L objet d un condensateur est de «condenser» la charge, c.-à-d. de créer une forte concentraton de charge pour une fable dfférence de potentel. Plus la capacté est grande, plus le condensateur est effcace. Pour augmenter C, on peut augmenter S ou dmnuer e. On peut auss remplacer le vde (ou plutôt l ar) séparant les armatures par un autre solant. La capacté devent alors C = ε S/e, où ε 9 est la permttvté de l solant. Dans certans solants, ε ε 0. Un solant solde permet auss de rapprocher les armatures (donc de dmnuer e) sans qu elles se collent. Un derner ntérêt de prendre un solant autre que l ar est d augmenter la valeur du champ dsruptf et, ans, la tenson de claquage. 3. Énerge d un condensateur L énerge d un condensateur vaut E p = 1 2 (Q 1 V 1 + Q 2 V 2 ) = 1 2 Q 1 (V 1 V 2 ) = 1 2 C (V 1 V 2 ) 2 = 1 2 Q 2 1 C. (IV.33) 9. Le rapport ε r = ε/ε 0 s appelle la permttvté relatve de l solant. Pour l ar, ε r est très légèrement supéreure à 1. 46
On peut retrouver ce résultat en ntégrant la densté d énerge, ε E 2 /2. Dans l espace entre les armatures, E = σ/ε u x. Hors de cet espace, E = 0. On a donc E p = ε (σ/ε)2 entre 2 4. Assocaton de deux condensateurs a. Condensateurs en sére 0 2 dτ + ε 0 hors 2 dτ = σ2 S e 2 ε = Q2 1 2 C. (IV.34) Soent deux condensateurs ntalement non chargés, de capactés C 1 et C 2, et d armatures respectves (A 1, B 1 ) et (A 2, B 2 ). Connectons les armatures B 1 et A 2 et soumettons les deux condensateurs en sére à une tenson U = V A1 V B2. Les armatures A 1 et B 1 portent des charges Q et Q ; les armatures A 2 et B 2 également pusque la porton B 1 A 2 forme un conducteur solé et que les condensateurs sont ntalement non chargés. Comme les armatures B 1 et A 2 sont relées, V B1 = V A2, donc donc, avec U = (V A1 V B1 ) + (V A2 V B2 ) = Q C 1 + Q C 2, (IV.35) 1 C sér = 1 C 1 + 1 C 2, (IV.36) on obtent Q = C sér U : l ensemble des deux condensateurs en sére est équvalent à un unque condensateur de capacté C sér. b. Condensateurs en parallèle Mettons mantenant les condensateurs en parallèle (on dt auss «en dérvaton») en connectant d une part les armatures A 1 et A 2 en A, d autre part B 1 et B 2 en B. Soumettons A et B à une tenson U = V A V B. La charge du côté de A est Q = Q 1 + Q 2 = C 1 (V A1 V B1 ) + C 2 (V A2 V B2 ), celle du côté de B est Q. Comme V A1 = V A2 = V A et que V B1 = V B2 = V B, l ensemble des deux condensateurs en parallèle est équvalent à un unque condensateur de capacté C par = C 1 + C 2. (IV.37) 47