I) Déombremets classiques. 1) Collectios formées de d élémets issus d u esemble E ayat élémets. avec réétitios ossibles sas réétitio avec ordre oms : liste de logueur d élémets de E liste d élémets de E ulet d élémets de E esemble : E ombre : E =... oms : liste de logueur d élémets disticts de E liste d élémets disticts de E ulet d élémets disticts de E arragemet d élémets de E esemble : L (E) ombre : L (E) =A =...= sas ordre combiaiso avec réétitios d ordre d élémets de E oms : combiaiso avec réétitio d élémets de E esemble : ombre : hors rogramme sous-esemble de taille de E sous-esemble de E artie de taille de E oms : artie de E combiaiso d ordre d élémets de combiaiso d élémets de E E esemble : P (E) (ou ) ombre : P (E) =...=...... O eut cosidérer que les élémets de E sot ragés das ue ure et que l o effectue u tirage de ces élémets ; o a alors le tableau suerosable au récédet : tirage successif simultaé avec remise om : liste esemble : E Pas de ses ombre : E =... sas remise om : arragemet esemble : A (E) ombre : A (E) =... om : combiaiso esemble : P (E) ombre : P (E) =... REM : le tirage simultaé eut être effectué de maière successive... L imortat état que l o e tiet as comte de l ordre das lequel les tirages ot été effectués. Démostratio de ces divers déombremets : D5 Rael : est aussi le ombre d alicatios d u esemble à... élémets vers u esemble à...élémets et A est aussi le ombre d ijectios d u esemble à... élémets vers u esemble à...élémets. 2) Listes à deux objets (ile ou face). PROP 1 : le ombre de listes de taillefaisat iterveir deux objets au lus (= le ombre de résultats d ue successio de jeux de ile ou face) vaut... PROP 2 : le ombre de listes de taille faisat iterveir fois u objet et fois u autre (= le ombre de résultats d ue successio de jeux de ile ou face avec iles) vaut D6... 3) Résumé des roriétés des coefficiets biomiaux. 1
Diverses défiitios équivaletes. DEF 1. Défiitio ar récurrece de Pascal DEF 2. Défiitio ar récurrece du io DEF 3. Défiitio biomiale DEF 4. Défiitio calculatoire DEF 5. Défiitio combiatoire 1 DEF 6. Défiitio combiatoire 2 a. N = =1 0 +1 b. N [ 1, ] =... a. N =1 0 b. N [ 1, ] = 1. 1 est le coefficiet de a b das(a+b) =... est le ombre de... est le ombre de Nous sommes artis de la DEF 1 et avos démotré les caractérisatios 2, 3, 4, 5. Motros que la DEF 5 etraîe la 3 (démostratio combiatoire de la formule du biôme). D7 Redémotros de maière combiatoire que D8 =2 k, uis que k=0 02k 2k = Motros que la DEF 5 etraîe la 1 (démostratio combiatoire de la relatio de Pascal). D9 II) Probabilités sur u esemble fii. 1) Uivers et évèemets. 02k+1 2k+1 =2 1. DEF : l esemble des résultats d ue exériece aléatoire fiie est déommé "uivers (des ossibles)", oté traditioellemet Ω, et ses arties s aellet des "évèemets". Les évèemets sot e gééral défiis à artir de la roriété qui les caractérise, avec la otatio : {P}={ω Ω / ω a la roriété P} Par exemle, si l exériece aléatoire cosiste e u lacer de deux dés, alors Ω =... {total des oits = 7} = {...} O a évidemmet {P ou Q} = {P} {Q} {P et Q} = {P} {Q} P imlique Q {P} {Q} 2
ATTENTION : mathématiquemet, l évèemet, qui est u esemble, est différet de la roriété qui le détermie, mais, e robabilités, o fait souvet la cofusio ; o dira ar exemle : "l évèemet A est réalisé" alors que l o e réalise as u esemble, mais ue roriété! Vocabulaire : Les sigletos de Ω sot les évèemets élémetaires, l évèemet imossible, Ω l évèemet certai ; le cotraire d u évèemet est so comlémetaire d u oit de vue esembliste ; deux évèemets sot dits icomatibles si leur itersectio est vide. 2) Probabilités. DEF : ue robabilité P sur u uivers fiiωest ue alicatio dep(ω) dasr + vérifiat : P(Ω) = 1 SiA et B sot des évèemets icomatibles, P(A B) = P(A)+P(B) PROP : remières roriétés : D10 P 1 : P( )=0 P 2 : P A =1 P(A) P 3 : A B= P(A)P(B) P 4 : P(A)1 P 5 : P(A)+P(B)=P(A B)+P(A B) : formule de Poicaré P 6 : si (A i ) i I est ue famille fiie d évèemets deux à deux icomatibles : (1) P A i = i ) (2) i IP(A i I REM 1 : la robabilité d u évéemet A doit être vue comme la limite de la fréquece du cas où A est réalisé lorsque l o réète u grad ombre de fois l exériece aléatoire. Ue robabilité de 0,6 sigifie que si o réète ar exemle 100 fois l exériece, il y aura eviro 60 cas où A est réalisé, et 40 où il e l est as. "P(A)=0,6" sera doc souvet éocé sous la forme : il y a 60% de chaces que A soit réalisé. Autre faço de dire la même chose : si o réète l exériece, le fait qu u évèemet ait ue robabilité sigifie que l évèemet arrivera e moyee tous les 1/ cous (ar exemle : tous les 25 cous our ue roba de 0,04). L iverse de la robabilité est la ériodicité e moyee de l évèemet. Iversemet, u test statistique ermet de défiir ue robabilité : si sur 1000 atiets atteits d ue certaie maladie bie choisis, u médicamet X e a sauvé 732, o ourra oser ue robabilité de 0,7 de guériso our X. REM 2 : o coaît etièremet ue robabilité si o la coaît sur les évèemets élémetaires. E effet P(A)= ω AP({ω}) Toute robabilité eut doc être défiie ar la doée d ue alicatio deωdasr + e osat P(A)= ω A(ω) à coditio que vérifie la coditio de ormalisatio (ω)=1 ω Ω Exemle simliste : si das u questioaire les réoses sot "oui" à 60%, "o" à 30% et "e sait as" à 10%, o redra Ω={oui, o, e sait as}, (oui)=0,6;(o)=0,3 ; (e sait as)=0,1 ; alors, P({oui,o})=0,6+0,3=0,9 etc... 3
REM 3 : il est ossible qu u évéemet o vide soit de robabilité ulle (cela arrive lus souvet das le cas de robabilités sur des uivers ifii). U tel évèemet est dit "resque (ou quasi-) imossible" ou "égligeable" ; de même, u évèemet de robabilité 1 est dit "resque certai" ; et si P(A B)=0, A et B sot dits "resque icomatibles". PROP et DEF : l équirobabilité (ou robabilité uiforme) est l uique robabilité où tous les évèemets élémetaires ot même robabilité. Cette robabilité est défiie ar : P(A)= A ombre de cas favorables (à l évèemet A) = Ω ombre de cas total D11 REM : o recoaît l équirobabilité lorsque das l éocé o trouve l exressio "au hasard", ou "dés o iés" etc... DEF : u système (resque) comlet d évèemets est ue liste(a i ) i=1.. d évèemets deux à deux (resque) icomatibles dot la réuio est (resque) certaie. Exemle : (A,A). L itéret de cette otio viet de ce que si(a i ) i=1.. est ue telle famille, alors (formule de filtratio ou "du coue-atate") D12 P(A)= III) CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE 1) Probabilités coditioelles. P(A A i ) DEF : si A et B sot deux évèemets, B de robabilité o ulle, o ose i=1 P(A B)= P(A B) P(B) P(A B) est lu "robabilité que A soit réalisé, sachat que B l est", ou, e simlifié "P de A sachat B. REM 1 : l idée est raorter la robabilité de A B à celle de B de sorte que P(B B)=1. REM 2 : o a doc, si A et B sot de roba o ulle (etite formule des robabilités comosées) P(A B)=P(A B)P(B)=P(B A)P(A) aisi que (etite formule de Bayes) P(A B)=P(B A) P(A) P(B) REM 3 : o a évidemmet : A et B sot resque icomatibles ssi P(A B)=0, ssi P(B A)=0. PROP : si A 1,A 2,...,A sot évèemets d itersectio de robabilité o ulle, o a la formule dite "des robabilités comosées" : P(A 1 A 2... A )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )...P(A A 1 A 2... A 1 ) D13 Exemle d alicatio : U ure cotiet boules dot b blaches ; o tire sas remise r boules. Quelle est la robabilité que les r boules soiet blaches? Soit B k ={la k-ième boule est blache}; o cherche P(B 1 B 2... B r )=. 4
E écrivat =P(B 1 )P(B 2 B 1 )P(B 3 B 1 B 2 )...P(B B 1 B 2... B 1 ), o obtiet = b.b 1 1...b r+1 r+1 PROP : si(a i ) i=1.. est u système quasi-comlet d évèemets, et B u évèemet doé, alors P(B)= P(B A i )P(A i ) (formule des robabilités totales) avec la covetio que si P(A i ) est ul, alors P(B A i )P(A i ) est ul. D14 i=1 si P(B)>0,P(A j B)= P(B A j)p(a j ) (grade formule de Bayes, ou formule de la robabilté des causes) P(B A i )P(A i ) i=1 Exemle : Ue oulatio aimale comorte =1/3 de mâles. L albiisme frae q=6% des mâles et r=0,36% des femelles. Quelle est la roortio s d albios das la oulatio? Quelle est la roortio t des mâles armi les albios, et la roortio u des mâles armi les o albios? REP : s=q+(1 )r=...%, t= q (1 q) =...%, u= q+(1 )r (1 q)+(1 )(1 r) =...%. PROP : l alicatio P B dep(ω) dasr + défiie ar P B (A)=P(A B) est ue robabilité surωaeléerobabilité coditioelle relative à B. D15 REM : our P B, tous les évèemets coteat B sot resque certais! 2) Évèemets idéedats. TH et DEF : si A et B sot deux évèemets de robabilité o ulle alors P(A B)=P(A) équivaut à P(B A)=P(B) ces deux coditios état équivaletes à P(A B)=P(A)P(B). O dit que das ce cas, les évéemets sotidéedats (et cette défiitio est étedue aux cas où P(A) ou P(B) est ul). D16 PROP : si A et B sot idéedats, A et B égalemet, doc aussi A et B. D17 Attetio : deux évèemets euvet être idéedats, et e lus l être sachat u autre! D18 : A et B sot idéedats sachat C ssi P(A C)P(B C)=P(A B C)P(C); u cas où(a B C) est vide fourit u cotre exemle. IV) VARIABLES ALÉATOIRES. 1) Défiitio. DEF : Ue variable aléatoire (sous-etedu : réelle) sur u uiversωest ue alicatio deωdasr. Das ce cours,ωétat fii, ue variable aléatoire red u ombre fii de valeurs x 1,...,x. Exemle imortat : si A est u évèemet, X A est la variable aléatoire qui vaut 1 si l évèemet A est réalisé, 0, sio, ( X A est e fait la foctio caractéristique de la artie A), 5
Cocrètemet, c est mo gai si je gage 1 euro si A se réalise,0euro sio. O ote{x=x i } l évèemet X 1 (x i )={ω Ω / X(ω)=x i }. La famille des{x=x i } forme doc u système comlet d évèemets liés à la variable aléatoire X. Note : o simlifie l écriture de P({X=x i }) e P(X=x i ). DEF : l alicatio X défiie sur l uivers image X(Ω)={x 1,...,x } qui à x i fait corresodre P(X=x i ) s aelle la loiderobabilité de X. Et o défiit sur X(Ω) larobabilitéiduitear X :P X ar P X (U)=P(X U) =P X 1 (U) Exemle : Éreuve aléatoire : lacer de 2 dés. Uivers : Ω=[ 1,6 ] 2, avec équirobabilité. Variable aléatoire : X = somme des ombres idiqués sur les dés ( X((i,j))=i+j). Uivers image : X(Ω)=[ 2,12 ] Evèemets élémetaires liés à X : {X=k}={(i,j)/i+j=k,1 i,j 6} Loi de robabilité de X : P(X=k)= {X=k} que l o eut réseter das le tableau : 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Coseil : si vous arrivez as à calculer P(X=x i ), essayez de calculer P(Xx i ) ou P(Xx i ) ; si les x i sot classés das l ordre croissat vous ourrez utliser P(X=x i )=P(Xx i ) P(Xx i+1 )=P(Xx i ) P(Xx i 1 ) 2) Esérace, variace, écart-tye. DEF : l esérace d ue variable aléatoire est la moyee des valeurs rises ar cette variable, odérée ar les robabilités corresodates : E(X)= P({ω})X(ω)= P(X=k)k ω Ω k X(Ω) Exemles : - ue variable aléatoire costate a cette costate our esérace. - das l exemle des dés récédet E(X)=... - Si A est u évèemet : E(X A )=... Autremet dit : la robabilité d u évèemet, c est l esérace de la fréquece de réalisatio de cet évèemet. P1 : l esérace est toujours comrise etre la lus basse et la lus haute valeur rise ar la variable. P2 : théorème de trasfert. Si f est ue foctio réelle défiie sur X(Ω) E(f(X))= P(X=k)f(k) (démotré seulemet our f ijective). P3 : l esérace est "liéaire", ce qui sigifie que k X(Ω) E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y) P4 : elle est croissate : D19 XY E(X)E(Y) 6
Remarque utile e ratique : il arrive assez souvet que X(Ω)=[ 1, ] (ou[ 0, ] ), das ce cas, o a: E(X)=P(X1)+P(X2)+...+P(X) D20 Alicatio : esérace du ombre d évèemets réalisés armi évèemets. PROP : Etat doés évèemets A 1,...,A (idéedats ou o), l esérace du ombre d évèemets réalisés armi ces évèemets est la somme des robabilités de chacu de ces évèemets. D21 Exemle ; si évèemets sot de robabilité 1/2, le ombre d évèemets réalisés e moyee vaut :... DEF : la variace d ue variable aléatoire est l esérace du carré des écarts à la moyee de cette variable ; l écart-tye (stadard deviatio e aglais) est la racie carrée de la variace : V(X) = E (X E(X)) 2 σ(x) = V (X) REM : our mesurer les écarts à la moyee, il ourrait sembler lus aturel de calculer l écartmoye E( X E(X) ), mais celui-ci est souvet bie lus difficile à calculer. PROP : la variace se calcule lus simlemet ar la formule (de Koeig-Huyges) : D22 V (X)=E X 2 (E(X)) 2 Exemles : - la variace et l écart tye d ue variable costate sot uls. - das l exemle récédet E X 2 =... doc V (X)=... et σ(x)=... - Si X A est la foctio caractéristique de l évèemet A, V (X A )=... PROP : D23 V (ax+b)=a 2 V (X) DEF : ue variable aléatoire est ditcetrée si so esérace vaut 0, etréduite si sa variace vaut 1. PROP : si X est de variace o ulle, X E(X) σ(x) D24 est cetrée réduite. 7