Clcul de Primitives Pré-requis : svoir reconnître des formes (somme, produit, composée) connître sns hésittion les formules sur les dérivées (y compris celles introduites u chpitre précédent) svoir clculer sns hésittion des primitives simples svoir décomposer en éléments simples une frction rtionnelle Objectifs : renforcer les techniques de clculs vues en terminle svoir clculer de nouvelles primitives en utilisnt les dérivées introduites u chpitre précédent svoir clculer une primitive à l ide d une intégrtion pr prties svoir clculer une primitive à l ide d un chngement de vrible svoir utiliser une décomposition en éléments simples pour clculer une primitive Rppelons le résultt centrl du clcul intégrl : Théorème Pour toute fonction continue f : I R, où I est un intervlle ouvert, il existe une fonction dérivble F : I R telle que F = f. Une telle fonction F s ppelle une primitive de f. Deux primitives F et F de l même fonction f diffèrent d une constnte dditive : l fonction F F est constnte, et donc une primitive n est définie qu à une constnte dditive près. Une telle fonction F ser notée f, pour des risons qui viennent du clcul intégrl. Si F est une primitive de f, et C une constnte, lors F +C en est une utre et, pour tout couple < b de points de l intervlle de définition I, l vleur F(b) F() ne dépend ps du choix de l constnte. On l note b f (t)dt. Si > b, on pose souvent b f (t)dt = b f (t)dt, de telle fçon qu on it toujours l formule b f (t)dt = F(b) F(), et on l reltion de Chsles : pour tous (, b, c) b c c f (t) + f (t)dt = f (t)dt. b Cette quntité b f (t)dt est ppelée l intégrle de f entre et b. Le but du clcul intégrl, que nous ne développerons ps ici, est d identifier cette quntité b f (t)dt (si f est positive) comme l ire de l portion du pln délimitée pr l xe des bscisses, le grphe de l courbe, et les droites verticles d éqution {x = } et {x = b}. Nous vons vu dns le chpitre précédent un certin ctlogue de fonctions usuelles, à prtir desquelles on peut fbriquer de nouvelles fonctions en les joutnt, les multiplint, et en les composnt les unes vec les utres. Pour toutes ces nouvelles fonctions insi construites, il est isé de clculer les dérivées en utilisnt les règles simples suivntes : (f + g) = f + g (f g) = f g + f g (f (g)) = g f (g) Il n en v ps de même pour clculer les primitives. Il rrive souvent qu vec des fonctions élémentires, on fbrique des fonctions dont l (ou les ) primitives ne s expriment ps à l ide de fonctions usuelles. Il en v insi de l fonction f : x e x, pour lquelle il n existe ps d expression de F = f à l ide de fonctions usuelles. C est d utnt plus dommgeble que cette fonction F joue un rôle centrl dns de nombreux chmps des mthémtiques et de ses pplictions.
Pour clculer des primitives, nous sommes donc rmenés à un ctlogue de méthodes, qui permettent souvent de donner (ou de simplifier) l expression des primitives. Tout d bord, nous vons les règles simples : (f + g)(x) = f (x) + g(x) + C f (x) = f + C, si est une constnte. Ensuite, c est un premier exemple élémentire de chngement de vribles, pour toute constnte si F(x) = f (x), lors f (x + ) = F(x + ) + C f (x) = F(x) + C Exercice Vérifiez que ces deux formules sont vries.. Techniques générles Autnt il n existe ps de méthode systémtique, il existe un certin nombre de techniques générles qui permettent de rmener des clculs de primitives compliquées à des primitives plus simples... Intégrtion pr prties Elle repose sur l formule (f g) = f g + g f. Ainsi f gdt = f g f g dt + C Exercice En utilisnt l formule d intégrtion pr prties ci-dessus, clculez : une primitive de xe x une primitive de ln x (on utiliser le fit que ln(x) = ln(x)) une primitive de xsin x une primitive de x n ln x une primitive de ln(x + ) Exercice 3. Intégrle de Wllis Le but de cet exercice est de clculez l intégrle : ) Trouvez une reltion entre I n+ et I n. b) Clculez I et I. c) Déduisez-en I n π cos n x vec n N.. Chngement de vribles Cel repose sur l formule (f u) = u f u s écrivnt ussi (F u) = u f u. Ainsi, si f (x) = F lors u (x) f (u(x)) = F u Le plus dur est lors de reconnître u et f. Voici deux exemples d utilistion de ces implictions :
3 Exemple. u est une fonction de x : u(x) On veut clculer une primitive de. On propose le chngement de vrible u(x) = ln(x). xln x u = ln x ln x ]; + [ R exp u u x = exp Regrdons ce qui pprît lors : du = insi x xln x = du = ln u = ln(ln x) u Exemple. x est une fonction de u : x(u) On veut clculer une primitive de rcsin x. On v cette fois-ci utiliser l formule précédente différemment en posnt x(u) = sin u. Les choses s écrivent lors insi : u = rcsin [ ; ] x sin u rcsin x u [ π ;+ π ] x = sin = cos udu et on : rcsin x = rcsin(sin(u)) cos u du = u cos udu = cos u + u sin u en intégrnt pr prties et comme u(x) = rcsin x on obtient : f (x) = cos(rcsin x) + xrcsin x = xrcsin x + x Question : sur quel intervlle -t-on déterminé une primitive de rcsin x? Remrque Tout ceci n de sens que lorsque u est une fonction dérivble bijective. Il fut donc fire ttention à l intervlle sur lequel les clculs sont menés. Vous reviendrez plus en détil sur ce théorème lors d un prochin cours de clcul intégrl.
4 Exercice 4 En utilisnt l formule de chngement de vrible ci-dessus, clculer : une primitive de xcos ( x ) une primitive de cos (x)sin(x) En utilisnt l nottion u (t) = du dt, on du = u (t)dt et ceci se rmène à f (u)u (t)dt = f (u)du Dns l prtique, il rrive que le chngement de vrible ne soit ps évident, ou que ce soit l expression f (u)u (t) qui soit plus simple à intégrer que f (t) elle même. Pr exemple, si on doit clculer f (t)dt, on pose t = h(s) et dt = h (s)ds. Alors, on se rmène à f (h(s))h (s)ds. Il fut ensuite fire le chngement de vrible inverse à l fin. Ainsi, en posnt pour x [,] x = sin t vec cos t >, x = sin tcos tdt = cos tdt = t + sint 4, puis on obtient x = rcsin x + rcsin x sin(rcsin x) + C = + x x + C. 4 Exercice 5 Clculez une primitive des fonctions suivntes. On préciser églement un ensemble de définition où les clculs ont un sens.. x e x.. t t exp(t 3 ). Primitives de fonctions usuelles L première source de clcul est d voir un ctlogue de primitives de fonctions connues (voir tbleu, que l étudint pourr compléter à son goût). A prtir de ces primitives clssiques, on peut en clculer de nouvelles en décomposnt les fonctions à intégrer en sommes d éléments plus simples. Ainsi, pour tout polynômes P(x) = + x + n x n, P(x) = C + x + n x + n + xn+. Exercice 6 Clculez : x 7 (x + x) ( x + ) x x + 3 On ur donc intérêt à décomposer l fonctions à intégrer en briques élémentires donc on pourr intégrer chque élément.
5 T A B L E Primitives clssiques à connître pr coeur Fonction f Une primitive F Remrques x x + + - L ensemble de définition de F dépend de. x = x ln(x) x R + sin(x) cos(x) x R cos(x) sin(x) x R e x e x x R ln x xln(x) x x ];+ [ + x rctn x x R x rcsin x x ] ;[ x x + Argch x Argsh x x ];+ [ x R.. Intégrtion des frctions rtionnelles Nous vons vu que les frctions rtionnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une frction rtionnelle, il suffit donc de svoir intégrer : les polynômes les fonctions (vec p ) (x ) p αx + β (x (vec p ) qui se rmène u clcul des primitives de l forme : + bx + c) p x + b (x + bx + c) p ( + x ) p Tritons vec plus de détils les cs énoncés ci-dessus : Pour p = et pour p, = ln(x ) + C, x (x ) p = p (x ) p. αx + β Le cs des termes de l forme (x + bx + c) p est un peu plus délict. On se restreint bien sûr u cs où le dénominteur n ps de rcines réelles. On peut églement considérer sns perte de générlité que >.
6 Si α, en mettnt α/ en fcteur dns le numérteur, on obtient : αx + β (x + bx + c) p = α x + β α (x + bx + c) p On décompose le numérteur en x + b + β α αx + β (x + bx + c) p = D une prt on : b = x + b + k vec k = β b. Ainsi : x + b (x + bx + c) p + α k (x + bx + c) p x + b (x + bx + c) p = p (x + bx + c) p + C si p > tndis que x + b x + bx + c = ln(x + bx + c) + C. D utre prt, il reste encore à intégrer des expressions de l forme (x. On commence pr écrire + bx + c) p le dénominteur sous l forme cnonique (x γ) + δ (est-il clir [ que l forme cnonique ser bien celle-ci et non (x γ) δ?). Cette dernière expression s écrit églement δ ] δ (x γ) +. Ainsi : et on se rmène, en posnt u = (x + bx + c) p = δ p ( δ (x γ) + ) p Pour p =, δ (x γ) à intégrer du ( + u ) p = rctn x + C. + x Pour p, on pose x = tn t et on se rmène u clcul de l primitive de cos q x, qui est tritée dns le prgrphe.3 (en linérisnt le cosinus). Exercice 7 3 On se propose de clculer une primitive de x 4 x 3 sur ];+ [. x + ) Fctorisez x 4 x 3 x + dns R[X] 3 b) Donnez l décomposition en éléments simples de x 4 x 3 x +. c) Clculez une primitive de (x ) et de sur ];+ [. x x + d) En remrqunt que x + x + = ( ) x + x + x + + x et en utilisnt les techniques de clculs expliquées ci-dessus, clculez une primitive de + x + x + x + x + Exercice 8 ) Donnez l décomposition en éléments simples de 4x + x 5 + 3x 4 + x 3 + x. b) Utilisez cette décomposition en éléments simples pour clculer une primitive de R +. 4x + x 5 + 3x 4 + x 3 + x sur
7.. Expressions comportnt des exponentielles et des logrithmes Intégrles de x n e x Nous vons déjà vu que pr intégrtion pr prties, nous vons xe x = (x )e x + C. De l même mnière, x n e x = x n e x n x n e x. Nous voyons donc pr récurrence que, pour tout entier n N, x n e x = P n (x)e x + C, où P n est un polynôme de degré n. En dérivnt cette dernière églité on obtient P n + P n = x n. On détermine ensuite P n en identifint les coefficients dns l éqution P n + P n = x n. P n (x) = x n nx n + n(n )x n + + ( ) n n!. (Inutile de se rppeler le l formule : il est beucoup plus importnt de se rppeler comment l trouver). Il en v de même de l intégrle d une expression de l forme P(x)e x où P est un polynôme de degré n, qui s écrit Q(x)e x vec Q de même degré que P qui stisfit l éqution Q +Q = P, qu on résout pr identifiction. Exercice 9 ) Déterminer une primitive de (5x 4 + 3x 3 + x x + 5)e x. b) Déterminer une primitive de (5x 4 + 3x 3 + x x + 5)e 4x. Frctions rtionnelles de e x Si P(X) est un polynôme, P(e x ) se clcule directement puisque (e x ) k = e kx dont l primitive est ekx k. Pour une frction rtionnelle R(X), l intégrle R(e x ) de clcule en posnt y = e x et nous sommes rmenés à l intégrle d une frction rtionnelle R(y) y d y. Exercice Le but de l exercice est de déterminer une primitive de e 3t + e t + 3e t e 4t e 3t ) En utilisnt ce qui précède démontrer que le clcul de cette primitive se rmène u clcul de primitive de x + x + 3 x 4 x 3 b) Clculer une primitive de x + x + 3 x 4 x 3. c) Conclure. Intégrles d expressions contennt des logrithmes Nous vons clculé l primitive de ln(x) = x(ln x ). Nous pouvons de même clculer x n ln(x) en utilisnt l intégrtion pr prties x n ln(x) = xn+ n + ln x x n = xn+ n + ( ) ln x n + (n + ) ) On peut de même clculer R(x)ln x, pour toute frction rtionnelle R pr intégrtion pr prties, qui se rmène à des clculs de primitives de frctions rtionnelles. De même, nous pouvons clculer des primitives x k (ln x) p pr un chngement de vrible x = e t, qui nous rmène à des expressions de l forme e (k+)t t p dt..3. Intégrtion des fonctions polynomiles et rtionnelles de cos x et sin x. Pour intégrer une expression polynômile P(cos x,sin x) où P est un polynôme à deux vribles P(X,Y ) = n p= q= m pq X p Y q,
8 le plus simple (et le plus sûr) est de linériser tous les termes (cos x) p (sin x) q. On se rmène insi à intégrer des sommes de termes cos x et sin bx. Il rrive cependnt qu on puisse fire plus simple. Si pr exemple le polynôme P(cos t,sin t) s écrit sin tp (cos t,sin t), lors le chngement de vribles cos t = x nous rmène à intégrer P (x, x ) (l vrie vrible est cos t). On est dns ce cs lorsque l expression P(cos( t), sin( t)) = P(cos t, sin t). De même, lorsque P(cos(π t),sin(π t) = P(cos t,sin t)), l vrie vrible est sin t. P(cos t,sin x) L intégrtion des frctions rtionnelles Q(cos t,sin t) est un peu plus compliquée. On peut soit essyer les chngements de vribles cos t = x ou bien sin t = x (vec les mêmes critères sur le chngement de signe que pour les polynômes P(cos t,sin t). Si cel ne mrche ps, nous opérons le chngement de vrible x = tn t/. En effet cos t = x x, sin t = + x + x, dt = + x, et nous sommes rmenés à l intégrtion d une frction rtionnelle en t..4. Mélnge d exponentielles et de fonctions trigonométriques Nous svons que nous pouvons écrire une fonction trigonométrique sous forme exponentielle, comme pr exemple cos bx = (e iibx + e ibx )/. Nous pouvons lors écrire e x cos(bx) = (exp(( + ib)x) + exp(( ib)x)). Pour tout c C, l fonction h(x) : x e cx est une fonction R C, que nous pouvons écrire f (x)+ig(x), où les fonctions f et g sont à vleurs réelles. Il pprît que ces fonctions sont dérivbles, et nous notons h = f + ig, qui est donc une fonction R C. Alors, on, pour c C (e cx ) = ce cx. Ceci se rmène simplement (e cx ) = (e x cos(bx)) +i(e x sin(bx)) = (e x cos(bx) be x sin(bx)+i(e x sin(bx)+be x cos(bx)) = e x (e ibx +bie ibx ) = ce cx. Ainsi, l formule e cx = c ecx reste vlble pour des c C, et ceci nous permet de clculer de nouvelles primitives. Pr exemple e c cos(3x) est l prtie réelle de e (+3i)x, qui est +3i e(+3i)x + C. Nous trouvons insi l primitive en clculnt l prtie réelle, qui vut e x (cos(3x) + 3sin(3x) + C. 3 On pourr insi clculer des primitives d expressions polynomiles en x, e x,cos x,sin x..5. Intégrles inclculbles Il existe de nombreuses primitives de fonctions usuelles qui ne s expriment ps à l ide de fonctions élémentires. Ainsi e x ln x e x, x, e x ln x, + x. Il n est ps fcile de déterminer si une primitive donnée est clculble ou ps (bien que formellement il existe un lgorithme qui permette de le svoir). Dns l prtique, si on donne comme exercice "clculer l primitive de f (x)", c est qu priori l intégrle correspondnte est clculble. Pr contre, il se peut que pour certines vleurs données et b, l intégrle b f (t)dt soit clculble, bien que l primitive ne le soit ps.
9 3. Exercices Exercice Donnez une primitive des fonctions suivntes.. t sin3 t + cos t. t sinh t (on pourr poser u = sinh t) cosh t 3. ( sin t ) t sin t cos t t 4. ( ) t (cos t + tsin t) 5. ( + t ) t t Exercice Clculez les intégrles suivntes :.. π 3. ( ) t t dt t sin t dt π 4 cos t dt Exercice 3 Soit f une fonction continue dns [,π]. Montrez, en utilisnt un chngement de vribles, que l on π xf (sin x) = π π f (sin x). Déduisez-en l vleur de π xsin x + cos x. Exercice 4 Soient f et g deux fonctions réelles périodiques de période T continues sur R. On ppelle produit de convolution de f et g l fonction h notée f g et définie pr h(x) = T T f (t)g(x t) dt.. Montrez que h est une fonction périodique de période T.. Montrez 3. Déduisez-en que f g = g f. h(x) = T +T f (t)g(x t) dt, R. Exercice 5 Clculez les intégrles I = x expt cos3t dt et J = x expt sin3t dt. Exercice 6 Soit x > un réel. Clculez les vleurs de I(x) = x Quelles sont leurs limites qund x +? rctn t + t dt et J(x) = x rctn t ( + t) dt.
Exercice 7 Soit > un réel, et n > un entier. Montrez que Déduisez-en l primitive de dt (x + ) n = n x + 4 (x + x + ) 3. cos n θdθ où θ = rctn x. Exercice 8 ( )Clculez ln t ( + t) t dt. Exercice 9 Clculez (à l ide d un chngement de vribles) F = x x + F = 3 x e x F 3 = tn(x) F 4 = F 7 = (6x 7) 3x 7x + x x 4 + 6 F 8 = F 5 = sin(x) ( + cos(x)) F 6 = sin(x) + cos (x) 6 9x + ln(x) F 9 = x Exercice Clculez les primitives suivntes : x + x + 5 x(3x + 5) Exercice Clculez 4 x x. Exercice Clculez les primitives suivntes :. sin 3 (x).. tn 3 (x). Exercice 3 Clculez :. + x,. 3. π 4 π/ sin (x). (procédez u chngement de vrible t = tg(x/)). 3 + cos(x) x 4x + (procédez u chngement de vrible t = 4x + ).