EXERCICE N 1 : U peu de logique pour se détedre : Extrait de Rhiocéros de Ioesco. 1. Le Logicie, au vieux Mosieur : Voici doc u syllogisme (*) exemplaire. Le chat a quatre pattes. Isidore et Fricot ot chacu quatre pattes. Doc Isidore et Fricot sot des chats. 2. Le vieux Mosieur, au Logicie : Mo chie a aussi quatre pattes. 3. Le Logicie, au vieux Mosieur : Alors, c est u chat. 4. Le vieux Mosieur, au Logicie : Doc, logiquemet, mo chie serait u chat. 5. Le Logicie, au vieux Mosieur : Logiquemet, oui. Mais le cotraire est aussi vrai. 6. 7. Le Logicie, au vieux Mosieur : Autre syllogisme (*) : Tous les chats sot mortels. Socrate est mortel. Doc Socrate est u chat. 8. Le vieux Mosieur, au Logicie : Et il a quatre pattes. C est vrai, j ai u chat qui s appelle Socrate. (*) Syllogisme : Raisoemet qui cotiet trois propositios (la majeure, la mieure et la coclusio) et tel que la coclusio est déduite de la majeure par l itermédiaire de la mieure. Ex : «Si tous les chat sot mortels»(majeure), «si Socrate est mortel» (mieure), «doc Socrate est u chat» (coclusio). Extrait de La sciece et l hypothèse de Poicaré. Le caractère essetiel du raisoemet par récurrece, c est qu il cotiet, codesé pour aisi dire e ue formule uique, ue ifiité de syllogismes. Pour qu o s e puisse mieux redre compte, je vais éocer les us après les autres ces syllogismes qui sot, si l o veut me passer l expressio, disposés e cascade. Ce sot bie etedu des syllogismes hypothétiques. Le théorème est vrai du ombre 1. Or, s il est vrai de 1, il est vrai de 2. Doc, il est vrai de 2. Or, s il est vrai de 2, il est vrai de 3. Doc, il est vrai de 3, et aisi de suite. O voit que la coclusio de chaque syllogisme sert de mieure au suivat. De plus les majeures de tous os syllogismes peuvet être rameées à ue formule uique. Si le théorème est vrai de 1, il l est de. O voit doc, que das les raisoemets par récurrece, o se bore à éocer la mieure du premier syllogisme, et la formule géérale qui cotiet comme cas particuliers toutes les majeures. Cette suite de syllogismes qui e fiira jamais se trouve aisi réduite à ue phrase de quelques liges. 1/6 1. Lire les textes ci-dessus. 2. Pourriez-vous corriger les répliques 1 et 7 du logicie? 3. Que veut dire le logicie das la réplique 5? EXERCICE N 2 : Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 3 divise 4 1. EXERCICE N 3 : Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 3² + 3 + 6 est multiple de 6. EXERCICE N 4 : P() désige la propositio : «10 + 1 est multiple de 9». a) Démotrer que la propositio P() est héréditaire. b) La propositio P() est-elle vraie pour certais aturels? pour tous? EXERCICE N 5 : a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel o ul : ( + 1)(2 + 1) 1² + 2² + 3² + + ² =. 6 b) Applicatio : Quelle est la somme des 50 premiers carrés d etiers? EXERCICE N 6 : Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 3 2 2 est divisible par 7. EXERCICE N 7 :
Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 3² + 5 + 1 est impair. EXERCICE N 8 : Démotrer par récurrece que le produit de trois etiers aturels cosécutifs est u multiple de 3. EXERCICE N 9 : Comme vous le savez déjà, au temps de Pythagore, les grecs s aidaiet de cailloux pour effectuer leurs calculs. La tetatio était grade alors de disposer les cailloux selo des figures géométriques. Les ombres alors mis e évidece étaiet appelés des» ombres figurés» (das les exemples cidessous, t et c sot des ombres figurés). Aisi les grecs pouvaiet-ils découvrir d autres propriétés des ombres etiers. 1. Quelles sot les valeurs de t 1, t 2, t 3, t 4 et t 5 2. Commet passe-t-o de T à T +1? E déduire la valeur de t + 1 e foctio de t. 3. Motrer, e utilisat u raisoemet par récurrece et la formule obteue das la questio 2, que, pour tout etier aturel 1 : t = 1+ 2 + 3 +... + 4. O juxtapose deux triagles T comme l idique la figure ci-cotre. E ( + 1) déduire que 1+ 2 +... + = 2 5. Utiliser u raisoemet par récurrece pour démotrer que la formule établie géométriquemet das la questio 4 est vraie pour tout etier aturel. B. Nombres carrés : De la même faço, e partat d u poit, o costruit des carrés C tel que chaque carré est obteu e ajoutat les poits situés au-dessus et à droite du carré précédet de la maière suivate : T 1 T 2 T 3 T 4 A. Nombres triagulaires : Sur u quadrillage, e partat d u poit, o costruit des triagles T tels que chaque triagle est obteu à partir du précédet e lui ajoutat les poits de la diagoale suivate comme l idique la figure ci-cotre. T O ote t le ombre de poits composat le triagle T. T - T T 2/6 O ote c le ombre de poits composa t le carré C. 1. Combi e de C 1 C 2 C 3 C - poits ajoute-t-o pour passer de C à C +1? 2. Exprimer c + 1 e foctio de c. 2 3. Démotrer par récurrece que 1+ 3 + 5 + 7 +... + ( 2 1) =. C
EXERCICE N 10 : La suite (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 = 3 et de raiso 4 1. Exprimer u + 1 e foctio de u 2. Exprimer u e foctio de 3. Exprimer u + 1 e foctio de 4. Calculer u 1, u 2 et u 1580 EXERCICE N 11 : La suite (u ) est ue suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de 2 raiso 2 1.Exprimer u + 1 e foctio de u 2.Exprimer u e foctio de 3.Exprimer u + 1 e foctio de 4.Calculer u 1, u 4 et u 8 EXERCICE N 12 : La suite (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 12 = 5 et u 30 = 41 1. Détermier la raiso de cette suite, aisi que u 0 2. Exprimer u e foctio de EXERCICE N 13 : U directeur de société egage u jeue techicie et lui propose deux types de rémuératio à partir du 1 er javier 2000. 1. Premier type de rémuératio Pour cette 1 ère aée 2000, il percevra 22 400 euros, puis ue augmetatio auelle de 750 euros. O ote u 0 le salaire e euros pour l aée 2000, u 1, le salaire e euros pour l aée 2001, et de maière géérale u le salaire e euros pour l aée 2000 + où ets u etier aturel. a) Calculer les salaires auels u 1 et u 2 3/6 b) Précisez la ature de la suite (u ) e idiquat sa raiso c) Motrer que u = 22 400 + 750 2. Deuxième type de rémuératio Pour l aée 200, il percevra aussi 22 400 euros, mais esuite chaque aée ue augmetatio de 3% par rapport à l aée précédete. Das ce cas, o ote v le motat e euros de la rémuératio de l aée 2000 + pour etier aturel. a) Calculer les salaires auels v 1 et v 2 b) Motrer que v +1 =1.03 v pour tout. E déduire la ature de la suite (v ). c) E déduire l expressio de v e foctio de. 3. Comparaiso a) Calculer das chacu des cas le salaire auel pour l aée 2008 b) Pour cette aée 2008, préciser le type de rémuératio le plus avatageux. EXERCICE N 14 : Le but de cet exercice est de modéliser, par ue suite umérique, les variatios du stock d ue bibliothèque. L ivetaire de javier 2006 idique u effectif de 8 000 ouvrages. Chaque aée, 10% des ouvrages sot égarés, tadis que 400 ouveaux ouvrages sot achetés. Pour tout etier aturel, o pose p le ombre d ouvrage e stock au début de l aée 2006+ 1. Idiquer la valeur de p 0. 2. Exprimer p + 1 e foctio de p. La suite (p ) est-elle arithmétiques? Géométrique? 3. Calculer p 5 EXERCICE N 15 : O cosidère la suite (A ) défiie par : A 0 = 4 pour tout, A + 1 = 3 A 1 1. Calculer A 1, A 2. Commet Calculer A 5?
2. La suite (A ) est-elle arithmétique? géométrique? 3. L algorithme suivat permet de calculer A 5. a) Faire foctioer l algorithme précédet, et doer la valeur afficher à l étape 3 b) Ecrire u algorithme permettat de calculer A 9 EXERCICE N 16 : Soit N u etier aturel o ul. O cosidère l algorithme suivat : Pour tout etier aturel N, o ote A N le ombre affiché à l étape 3 de cet algorithme. 1. Calculer A 0, A 1, A 2, A 3 et A 4. 2. Soit N u etier aturel. exprimer A + 1 e foctio de A. EXERCICE N 16 : O cosidère la suite (A ) défiie par A 0 = 2 pour tout, A + 1 = 2A + 1 1. Calculer A 1, A 2 et A 3. 4/6 2. La suite (A ) est-elle arithmétique? géométrique? 3. Ecrire u algorithme permettat de calculer A N où N est u etier aturel. EXERCICE N 17 : La populatio d ue ville augmete régulièremet de 10% par a. E 2000, elle était de 8000 habitats. 1. O désige par u le ombre théorique d habitat estimé pour l aée (2000 + ). O a doc u 0 = 8000. a) Calculer u 1 et u 2. b) Calculer u + 1 e foctio de u. E déduire l expressio de u e foctio de. c) Calculer le ombre d habitat prévu pour l aée 2006 d)détermier e quelle aée la populatio aura doublée. 2. O ote v l augmetatio par rapport à l aée précédete du ombre d habitat costatée l aée (2000 + ). O a doc, pour tout etier aturel o ul, v = u u 1 a) Calculer les termes v 1 et v 2 b) Calculer le terme gééral v e foctio de c) Calculer la somme v 1 + v 2 + + v e foctio de. Vérifier, pour le cas particulier = 6, le résultat du 1.c) EXERCICE N 18 : Au 1 er javier 2004, j ai ue somme u 0 de 1 000 euros sur mo compte rémuéré e itérêts composés à 2% par a. Les itérêts sot versés chaque aée le 31 décembre. Je décide qu à partir de 2005 je retirerai chaque aée 100 euros le 1 er javier. J appelle u le solde au 1 er javier de l aée (2004 + ) après mo retrait de 100 euros. 1.a) Calculer les soldes u 1 et u 2 de ce compte. b) La suite de terme gééral u est-elle arithmétique? géométrique? c) Motrer que pour tout etier aturel, u + 1 = u 100 2.a) O pose, pour tout etier aturel, v = u 5000. Calculer v 0.
b) Motrer que pour tout, v + 1 = 1.02 v c) Exprimer le terme gééral v de la suite (v ) e foctio de 3.a) E déduire l expressio de u e foctio de b) Calculer u 10 e arrodissat à 0.01 près c) A partir du 1 er javier de quelle aée mo compte aura-t-il u solde égatif pour la 1 ère fois? EXERCICE N 19 : L écrivai arabe Asaphad racote qu u roi idie, voulat remercier le brahmae Sissa qui avait iveté le jeu d échecs, lui proposa la récompese de so choix. Sissa prit la parole : «Que votre majesté daige me doer u grai de blé pour la 1 ère case de l échiquier, deux pour la 2 de, 4 pour la 3 ème, et aisi de suite, e doublat jusqu à la soixate-quatrième case.» Pesez-vous que le roi pourra accéder à la demade de Sissa? EXERCICE N 20 : U paysagiste doit créer das u jardi ue spirale platée d arbustes. Il veut coaître la logueur de cette spirale pour évaluer le ombre d arbustes à plater. Voici le schéma qu il dresse: Cette spirale est costituée de demi-cercles costruits de la maière suivate : - Le diamètre [ A 0 A 1 ] du demi-cercle C 0 a pour milieu A 2 - Le diamètre [ A 1 A 2 ] du demi-cercle C 1 a pour milieu A 3 ; Aisi de suite o costruit les demi-cercles C ( est u etier aturel). L uité de logueur est le mètre. O doe A 0 A 1 = 100 1. O ote l la logueur du demi-cercle C. a) Calculer l 0, l 1, l 2 et l 3. b) Exprimer l + 1 e foctio de l. Idiquer la ature de la suite (l ) e précisat sa raiso. c) Motrer que, pour tout etier, l = 50 π 1 2. 5/6
2. Le paysagiste décide de e tracer que les huit premiers demi-cercle. O appelle L la logueur de la spirale obteue avec ces huit demi-cercles. a) Calculer L. Doer u arrodi à 10-1. b) Sachat que le paysagiste doit plater u arbuste tous les ciquate cetimètres à partir de A 0, e déduire le ombre d arbustes à plater. 6/6