Exercices de L spécialité

Exercices de L spécialité A. Exercices d arithmétique et d aalyse Exercice 1 : uméro ISSN Toutes les publicatios e série, comme les jouraux et les périodiques, sot idetifiés par u uméro ISSN (Iteratioal Stadard Serial Number). E Frace, ce uméro est attribué par le Cetre atioal d'eregistremet des publicatios e série. L'ISSN est costitué des caractères «ISSN» suivis de deux groupes de quatre caractères, ces groupes état séparés par u tiret. Les 7 premiers caractères sot des chiffres qui caractériset la publicatio. Le derier caractère, situé e 8 e positio, sert de clé de cotrôle et est pris das la liste : 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (qui représete le ombre 10). Pour détermier la clé d u uméro ISSN dot les sept premiers chiffres sot abcdefg, o calcule le ombre N = 8a+ 7b+ 6c+ 5d+ 4e+ f + g, puis o détermie le reste r de la divisio euclidiee de N par 11. La clé de cotrôle est alors détermiée à partir de r à l aide du tableau de correspodace suivat : r 0 1 4 5 clé 0 X 9 8 7 6 r 6 7 8 9 10 clé 5 4 1 Par exemple, l ISSN 0999-18 est associé au titre-clé «Ouest-Frace Rees». Refaisos le calcul de la clé de cotrôle. Das ce cas, N = 8 0+ 7 9+ 6 9+ 5 9+ 4 + 1+ = 179. Or 179 = 11 16 +. D où r =. La clé vaut doc 8. Le derier caractère est bie le chiffre 8. 1. Combie peut-o référecer de jouraux ou périodiques avec ce système?. a. Compléter par sa clé de cotrôle, représetée par, le uméro ISSN 10-105. b. Vérifier que le uméro ISSN 085-10 a la même clé que le précédet.. Le troisième chiffre du uméro ISSN d u joural est illisible. O le ote c. Le uméro se présete sous la forme ISSN 4c6-014. a. Motrer que : 88 + 6c 7 (11). b. Quel est le chiffre c? 4. Ue erreur fréquete lorsqu o saisit les sept premiers chiffres d u uméro ISSN est de permuter deux chiffres qui se suivet, o tape par exemple acbdefg au lieu de abcdefg. Cette erreur est-elle détectée par la clé de cotrôle? Exercice : Les palidromes U palidrome est u ombre qui peut être lu de gauche à droite ou de droite à gauche e gardat la même valeur. Par exemple, 454 est u palidrome das le système de umératio décimale. 1. Le ombre 77 est u palidrome. Quelle est so écriture e base 5? Est-ce u palidrome e base ciq?. a. Le ombre ( 00 )ciq est u palidrome e base ciq. Est-ce u palidrome das le système de umératio décimale? b. Tous les ombres de quatre chiffres qui sot des palidromes e base ciq sot-ils des palidromes das le système de umératio décimale?. O cosidère u palidrome de quatre chiffres das le système de umératio décimale. Il s écrit abba. Étudier la divisibilité par 11 de ce palidrome (o pourra utiliser la cogruece modulo 11). Exercice : L âge du capitaie Le capitaie a fait aufrage. Tout ce que l o a retrouvé sur lui est sa carte de sécurité sociale. O parviet à déchiffrer so uméro INSEE, sauf le deuxième chiffre a et le troisième chiffre b qui sot illisibles : 1 a b 1 71 15 044 Clé 67 Les deux chiffres a et b qui maquet sot, das cet ordre, les deux deriers chiffres de l aée de aissace du capitaie. O se propose d utiliser la clé du uméro INSEE pour retrouver cette aée de aissace. 1. a. La clé K d u uméro INSEE est calculée de la maière suivate : K = 97 r où r est le reste de la divisio euclidiee par 97 de l etier N costitué par les 1 chiffres du uméro INSEE. Démotrer que la clé K d u uméro INSEE est telle que N+ K est divisible par 97. b. Déduire de la questio précédete que, pour le N 0 97. uméro INSEE du capitaie, o a : ( ) 10. O pose 1 a b 1 7 1 1 5 0 4 4 = 1 a b 10 +A, où A est u etier aturel. a. Préciser l etier A et calculer le reste de la divisio euclidiee de A par 97. b. Justifier la cogruece suivate : 10 ( 97) 10 c. E déduire que l o a : 10 49 ( 97)... a. Déduire des résultats établis aux questios 1. et. que l o a : 1 a b 49 7 ( 97 ). b. Vérifier que l o a : 49 1 ( 97). Détermier alors l aée de aissace du capitaie. Stage «Nouveaux programmes de L» 1/8

Exercice 4 : Des suites Soit ( u ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et y de raiso 11 1. Calculer, sous forme de fractios irréductibles,, u et u.. Exprimer u e foctio de.. Doer l écriture fractioaire et l écriture décimale illimitée de. u 6 4. Soit S = 0,545454..., o cosidère la suite de ombres ( a ) défiie de la maière suivate : a 1 = 0,54 et pour tout a+ 1 = 10 a. * a. Détermier la ature de la suite (a ). u 1 O (C) x pour b. Calculer a 1+ a+ a. c. O appelle S la somme S = a1+ a +... + a ; etiers *. Motrer que S 54 1 (10 ) = 99. d. E déduire la limite de la somme et deux p p et q tels que S =. q 5. S est-il u terme de la suite ( u ) défiie précédemmet? Si oui, quel est so rag das la suite? Exercice 5 : Aalyse et suites Das cet exercice, sot evisagées deux maières différetes de démotrer la propriété suivate : Pour tout etier 4,. Première méthode 1. Soit f la foctio défiie sur [ 1;+ [ par l x f( x) =. La courbe (C) ci-dessous est celle de la x foctio f?. a. Après avoir calculé f '( x ), préciser les variatios de f sur [ 1;+ [. b. E déduire que pour tout etier 4, l l 4 4. c. Motrer que f() = f (4). d. E déduire que, pour tout etier 4,. S Deuxième méthode 1. Vérifier que pour tout etier, ( + 1) = ( 1).. E déduire que, pour tout etier 4, ( + 1).. Démotrer e utilisat u raisoemet par récurrece que pour tout etier 4,. Exercice 6 : raisoemet par récurrece O cherche s il est possible de trouver ue formule permettat de détermier le ombre de diagoales d u polygoe covexe à côtés, pour 4.O ote d le ombre cherché. a. Das cette questio = 4. Tracer les diagoales du quadrilatère ABCD et e déduire d4. b. Das cette questio = 5. Le petagoe ABCDE a été obteu par adjoctio d u ciquième poit au quadrilatère ABCD. Tracer les diagoales de petagoe ABCDE. Expliquer pourquoi d5 = d4 +. c. Das cette questio = 6. Expliquer pourquoi d6 = d5 + 4. d. Gééraliser la méthode pour prouver que pour tout 4, d+1 = d + 1. e. Démotrer à l aide d u raisoemet par récurrece que, pour tout 4, d ( -) =. Stage «Nouveaux programmes de L» /8

B. Algorithmes Exercice 1 Partie 1 O admet que, pour tout ombre réel, il existe u uique etier relatif tel que 1. Par défiitio, est l image de par la foctio partie etière. O ote E ( ) =. 1. Quelle est la partie etière de,7?. Quelle est la partie etière d u ombre etier? Éocer la coclusio sous la forme d ue propositio vraie, explicitemet quatifiée et compreat ue implicatio.. Doer u éocé de la réciproque. Cette ouvelle propositio est-elle vraie? 4. est u etier aturel quelcoque. A l aide de la foctio partie etière, doer ue coditio écessaire et suffisate pour que divise. Partie O cosidère l algorithme suivat : Etrée : u etier aturel Traitemet et sortie : Si = E 11 11 alors afficher «oui» sio afficher «o» 1. Faire foctioer cet algorithme pour = 5, = 44, = 10.. Caractériser les ombres etiers aturels qu il faut mettre e etrée pour obteir comme sortie «oui» Partie O veut automatiser l étude de la divisibilité par d u etier aturel. Écrire, e lagage aturel, u algorithme qui doe comme sortie «OUI» si, et seulemet si, a été mis e etrée u etier aturel divisible par, et comme sortie «NON» das le cas cotraire. Partie 4 1. Quel résultat l algorithme de la partie doe t-il e sortie lorsque l etier aturel mis e etrée est 78?. Quel résultat l algorithme de la partie doe t-il e sortie lorsque l etier aturel mis e etrée est 78?. Trouver u etier aturel strictemet iférieur à 78 pour lequel ces deux algorithmes doet e sortie «OUI». Exercice Partie 1 1. O cosidère l algorithme 1 suivat : Etrée : u etier aturel Iitialisatio : doer à u la valeur iitiale Traitemet : Tat que u 11, affecter à u la valeur u 11 Sortie : afficher u a. Faire foctioer cet algorithme pour = 5, = 50, = 55. b. Pour u etier aturel quelcoque, quel est le ombre etier aturel fourit par cet algorithme?. O cosidère l algorithme suivat : Etrée : a élémet de {0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b élémet de {0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Traitemet : Affecter à u la valeur a + 10b Affecter à v la valeur b + 10a Affecter à m la valeur v + 100u Sortie : afficher m a. Faire foctioer cet algorithme pour a = 1 et b =, a = et b = 1, a = 5 et b = 5. b. Écrire e base 10 le ombre m doé e sortie par cet algorithme pour deux ombres a et b quelcoques mis e etrée das cet ordre.. À partir de deux ombres a et b quelcoques, élémets de l esemble {1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, l algorithme doe e sortie u ombre m. O doe ce ombre m comme etrée à l algorithme 1. O obtiet toujours 0 comme résultat. Pourquoi? Partie 1. Écrire e lagage aturel u algorithme qui, avec pour etrées a et b, doe comme sortie l etier aturel dot l écriture e base est baab. Les affirmatios suivates sot-elles vraies ou fausses? Justifier. Affirmatio 1 : pour tous ombres a et b élémets de {0, 1, }, le ombre baab est divisible par 11. Affirmatio : il existe deux ombres a et b élémets de {0, 1, } tels que le ombre baab est divisible par 11. Affirmatio : pour tous ombres a et b élémets de {0, 1, }, le ombre baab est divisible par 4. Affirmatio 4 : il existe deux ombres a et b élémets de {0, 1, } tels que le ombre baab est divisible par 4. Stage «Nouveaux programmes de L» /8

Géométrie Exercice 1 Ue des épreuves proposées aux cadidats pour u emploi das u cabiet d'architecture avait l ititulé suivat : «Représeter e perspective cetrale (à poit de fuite), le carrelage 4 carreaux par 4 carreaux proposé.» c. O demadait u dessi e perspective cetrale. d. Erreur: le cetre du carrelage est mal placé. 1. E complétat au besoi les dessis des cadidats par des traits de costructio, associer à chacu d eux (dessis 1,, et 4), l'appréciatio (a, b, c ou d) qui lui correspod. Justifier brièvemet les choix faits. Les dessis des quatre cadidats, umérotés de 1 à 4, sot reproduits ci-dessous.. E teat compte des réposes précédetes, Les appréciatios qui leur ot été attribuées par le jury compléter la figure 5 sot, das le désordre, les phrases a, b, c et d ci-dessous : par u carrelage sur chaque face verticale visible. a. Il y a plusieurs poits de fuite pour ciq parallèles, c'est trop! b. Bie! par u carrelage sur la face supérieure (le toit). O laissera apparets les traits de costructio. figure 1 figure figure figure 4 Stage «Nouveaux programmes de L» 4/8

I figure 5 Stage «Nouveaux programmes de L» 5/8

Exercice Le dessi 1 ci-cotre représete, e perspective parallèle, l itérieur d ue salle dot la largeur, la logueur et la hauteur ot même mesure h Le sol ABCD de cette salle est costitué de euf dalles carrées de dimesio idetique. Au cetre O de cette salle est placé u lampadaire dot la hauteur mesure les deux tiers de h. E H L F G Sur le dessi ) cette salle est représetée e perspective cetrale. Les poits a, b, c, d, m et m représetet respectivemet A, B, C, D, M et M. 1 ) Costruire la lige d horizo. Costruire les représetatios das cette perspective cetrale des droites parallèles à (BD) passat respectivemet par M et M. Costruire la représetatio des euf dalles qui recouvret le sol de la salle. A D M O M' B C ) Costruire le poit o qui représete le poit O. Costruire le poit l qui représete le sommet L du lampadaire. dessi 1 d c a m m' b dessi Stage «Nouveaux programmes de L» 6/8

Exercice : Ue tete caadiee est représetée e perspective parallèle sur le dessi ci-cotre. Sur ce dessi ABCD représete le sol de la tete qui est u carré. Le triagle ABE, rectagle isocèle, représete l etrée de la tete qui est située das u pla frotal. F Sur la figure, le sol de la tete est représeté e perspective cetrale par le quadrilatère abcd. Les segmets [ab] et [cd] sot parallèles. 1. a. Placer sur la figure le poit de fuite pricipal ω. b. E déduire le tracé de la lige d horizo. c. Placer les poits de distace d1 et d.. Achever le tracé de la représetatio de la tete.. Ue tete de même forme mais plus grade s istalle à côté, parallèlemet à la première. Achever la représetatio a b c d e f de cette deuxième tete. E A I B D C figure 1 d c a i b a' b' figure - Perspective cetrale Stage «Nouveaux programmes de L» 7/8

Exercice 4 O cosidère deux cubes ABCDEFGH et EFGHIJKL, de même taille, posés sur le sol. Le cube EFGHIJKL est placé derrière le cube ABCDEFGH. La face ABCD est das le pla frotal. 1. Sur la figure 1, termier la représetatio des deux cubes e perspective parallèle.. Sur la figure o a représeté e perspective cetrale les sommets A B C D et E et la lige d'horizo (h). a. Placer le poit de fuite pricipal. b. Placer les deux poits de distace. c. Termier la représetatio du cube ABCDEFGH. d. Représeter le cube EFGHIJKL et proposer u élémet de cotrôle. Citer deux propriétés coservées par la perspective cavalière qui e le sot pas par la perspective cetrale. D d c E e A B a b figure 1 figure Exercice 5 1. Compléter la figure ci-joite, e respectat l algorithme de costructio suivat : Tracer les droites (AC) et (BD) Tat que la distace CD est supérieure à 1 cm, costruire le milieu I du segmet [CD] tracer le poit E d itersectio des droites (AC) et (BI) tracer le poit F d itersectio des droites (BD) et (AI) remplacer A par C, C par E, B par D et D par F.. U observateur est sur ue route bordée de poteaux régulièremet espacés et de même hauteur. Les poteaux situés sur le côté gauche de la route vieet d être représetés e perspective cetrale. Représeter le bord droit de la route et les poteaux faisat face à ceux qui ot déjà été tracés.. E supposat que la route mesure 6 mètres de large, estimer : la hauteur des poteaux la taille de l observateur la distace qui le sépare du côté droit de la route. B D C A G Stage «Nouveaux programmes de L» 8/8