Chpitre 6 Primitive et Intégrle 6. Primitive 6.. Rppels Définition 6... Si f est une fonction définie sur un intervlle I, une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I, F (x) = f(x). Remrque 6... Une fonction une infinité de primitives (l primitive n est définie qu à une constnte dditive près). Il n y unicité de l primitive que si l on impose une vleur prticulière en un point donné de I. Proposition 6... Les primitives de l fonction nulle sont les constntes. Si F est une primitive de f sur I et G est une primitive de g sur I, lors F + G est une primitive de f + g sur I. Si λ R et si F est une primitive de f sur I, lors λf est une primitive de λf sur I. Primitives des fonctions usuelles f x n 2 x primitive de f x xn+ n+ x x ln x si x > et ln( x) si x < e x sin x cos x cos 2 x u u n u 2 u u e x cos x sin x tn x un+ n+ u u ln u si u > et ln( u) si u < u e u e u 49
6..2 Exercices Exercice 6... Trouver l primitive F sur R de l fonction f : x e x+ telle que F (ln 2) =. Exercice 6..2. Vri ou fux? Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une primitive quelconque de f sur I.. Si f est positive sur I, lors F est croissnte sur I. 2. Si f est décroissnte sur I, lors F est décroissnte sur I. 3. Si pour tout réel x I, f(x), lors pour tout x I, F (x) x. 4. Si I = R et que f est une fonction impire, lors F est une fonction pire. 5. Si I = R et que f est une fonction pire, lors F est une fonction impire. Exercice 6..3. Dns chcun des cs suivnts, déterminer une primitive F de l fonction f sur l intervlle I.. f : x 2x 3 5x 2 + sur I = R ; 2. f : x 5 x 3, I =], + [ ; 3. f : x x (x 2 +) 2, I = R ; 4. f : x sin 2x, I = R. 5. f(x) = 2 2x, I =] 2, + [ 6. f(x) = cos x x sin x, I = R 7. f(x) = tn 2 (2x), I =] π 4, π 4 [ 8. f(x) = 2 2x + 3, I =] 3 2, + [ 9. f(x) = sin x +cos x, I =] π, π[ Exercice 6..4. Choisir l bonne réponse :. Une primitive de l fonction f définie sur R pr f(x) = x(3x 2 + ) 2 est l fonction g telle que : () g(x) = 8(3x 2 + ) 3 (b) g(x) = 2 x2 (x 3 + ) 2 (c) g(x) = 8 (3x2 + ) 3 2. L fonction f définie sur R pr g(x) = 2 cos 2 x + sin 2x pour dérivée l fonction g telle que, pour tout réel x, g(x) est égl à () 4 cos x + 2 cos 2x (b) 2(cos 2x sin 2x) (c) 4 cos x sin x 2 cos 2x 3. Soit f une fonction dérivble sur R et g une primitive de f sur R, lors l dérivée de g f est : 5
() f f f (b) f f (c) f f 4. Si F et G sont deux primitives d une fonction f définie sur R telle que F () = et G() =, lors on peut en conclure que : () F () = G() (b) F () < G() (c) F () > G() Exercice 6..5. Déterminer l primitive F de f sur l intervlle I vérifint l condition indiquée :. f(x) = 4x 2 3x + 2, I = R et F ( ) =. 2. f(x) = 3x + + x 2, I =], [ et F ( 2) =. 3. f(x) = (2x + ) 3, I = R et F () = ; 4. f(x) = (x 2 + ) 2, I = R et F () =. 5. f(x) = cos 3x, I = R et F ( π 2 ) = 6. f(x) = cos x sin 2x, I = R et F ( π 2 ) =. 7. f(x) = 4 x, I =], 4[ et F () =. Exercice 6..6. Déterminer une primitive sur R pour chcune des fonctions suivntes :. f(x) = 3e 2x 2. g(x) = e3x 2 3. h(x) = 3xe x2 5. j(x) = ex 2e x + 4. i(x) = ex (3e x +) 2 Exercice 6..7. Déterminer les primitives des fonctions suivntes : f(x) = x+ sur I =], + [ x 2 +2x g(x) = tn x sur J =], π[ 2 Exercice 6..8. En utilisnt l fonction logrithme, chercher les primitives de f : x 2 g : x 3 2 ln x, et h : x. x+ x+2 x Exercice 6..9. Déterminer les primitives sur ], + [ de x,. f (x) = x 3 2. f 2 (x) = 4x 2 3 3. f 3 (x) = 4 x 5. f 5 (x) = x 4. f 4 (x) = esqrtx x 3 x 2 + 6.2 Intégrtion 6.2. Rppels Définition 6.2.. Soit [, b] un intervlle de R et f une fonction définie et continue sur [, b]. Soit F une primitive de f sur [, b]. On définit l intégrle de f sur [, b] pr f(x)dx = F (b) F () 5
Remrque 6.2.. Dns cette définition, il est importnt que f soit continue sur [, b] fermé. L lettre x, dite vrible muette, n ps d importnce en soi : on urit pu écrire ussi f(t)dt ou encore f(u)du, etc. Ainsi il fut penser à identifier deux intégrles dont l structure est l même. L primitive que l on choisi dns l définition n importe ps : si F et F 2 sont deux primitives de f, lors on F F 2 = C où C est une constnte, donc F (b) F () = F 2 (b) + C (F 2 () + C) = F 2 (b) F 2 (). L intégrle de f sur un segment permet de quntifier l ire lgébrique (!) située entre l courbe de f et l xe des bscisses. Proposition 6.2... Si f =, lors f(x)dx = ; l réciproque est fusse : f(x)dx = n implique ps que f =. 2. Si f(x) pour tout x [, b], lors f(x)dx (mis l réciproque est fusse). 3. L intégrle est linéire : si λ R et f, g sont continues sur [, b], lors (f + λg)(t)dt = f(t)dt + λ g(t)dt 4. l intégrle vérifie l reltion de Chsles : si f est continue sur I et que, b, c I, lors c f(x)dx = f(x)dx + c f(x)dx. En prticulier, f(x)dx = f(x)dx. b b Théorème 6.2.. Soit [, b] un intervlle de R et f une fonction définie et continue sur [, b]. Soit α [, b]. Alors l fonction F définie sur [, b] pr F (x) = est l primitive de f sur [, b], nulle en α. x α f(t)dt, Prfois, l intégrnde (i.e l fonction qu il fut intégrer) n ps de primitive évidente. Pour contourner cette difficulté, on utilise prfois le théorème suivnt : Théorème 6.2.2. (Intégrtion pr prties) Soient f, g dérivbles sur [, b], de dérivée continue sur [, b]. On l reltion 6.2.2 Exercices Exercice 6.2.. Vri ou fux? Soit f définie et dérivble sur R.. on 3 f(x)dx = f(x)dx 3 f (t)g(t)dt = f(b)g(b) f()g() 52 f(t)g (t)dt
2. On 3 f(x)dx = 3 f(x)dx 3. Si f (x)dx =, lors f est constnte sur [, ] ; 4. Si f est négtive sur R, lors pour tout x R, x 5. Si f est négtive sur R, lors l fonction x x f(t)dt est un réel négtif. f(t)dt décroît sur R. 6. Si f (x) f(x)dx =, lors f() et f() sont égux ou opposés. Exercice 6.2.2. Soit g l fonction définie sur R pr g(x) = x. Clculer les intégrles 3 J = 3 g(t)dt et J 2 = 5 g(t)dt. En déduire l vleur de 5 g(t)dt. 3 Exercice 6.2.3. Clculer les intégrles suivntes :. 2. 4 dx 2x+3 e t 2 t dt 3. 2 x2 2x dx 4. J = π 4 cos2 tdt et K = π 4 sin2 tdt (clculer d bord J + K et J K) Exercice 6.2.4. Clculer les intégrles suivntes à l ide d une ou plusieurs intégrtions pr prties :. π 3 t sin tdt 2. π cos xe x dx 3. e ln tdt e 4. e 2 x 2 ln xdx e 5. x2 e x dx 6. π 2 ex sin xdx 53