Trmial S. Lycé Dsfotais Mll Bac Blac Séri S - Sssio 008 - Corrigé Esigmt oligatoir Duré d l épruv : 4 hurs Ls arèms ds xrcics ot été modifiés (c st fréqut lors du accalauréat). Exrcic : 5 poits Exrcic :.5 poits Exrcic : 5,5 poits Exrcic 4 : 8,5 poits TOTAL :,5 poits. La ot fial sur 0 st la ot otu sur,5. U total supériur à 0 st compté 0/0 Exrcic D après Nouvll Calédoi ovmr 007 t Amériqu d Nord jui 005 5 poits Parti A 4 poits Das ctt parti, l pla complx st mui d u rpèr orthoormal dirct d origi O. - U solutio d l équatio z+òz=9+i st : a.. i c. +i (+i)+( i)=6+i+ i=9+i doc +i st u solutio d l équatio. - Soit z u omr complx, z+i st égal à : a. z +. z c. iòz+ Posos z=x+iy. z+i = x+i(+y) = x +(+y) t iòz + = Doc z+i = iòz + xi++y = x +(+y). - Soit z u omr complx o ul d argumt θ. U argumt d -+i Òz arg -+i Òz st : a. π +θ. π +θ c. π θ =arg( -+i ) arg( Òz ) =arg - + π i +θ = π +θ (π) st u imagiair pur si t sulmt si : 4- Soit u tir aturl. L complx ( +i) i (-θ) =arg ( ) a. =. =6k+ avc k u tir rlatif c. =6k avc k u tir rlatif +i= Aisi ( +i) + i = π 6 i. Par coséqut ( +i) imagiair pur ssi arg ( ( +i) ) Or arg( ( ) ) + = π ñ arg( ) =( π 6 i ) = π 6 i. = π (π) π 6 i = π ñ π 6 = π +kπ ( k Î ) ñ 6 = +k ( k Î ) ñ=+6k ( k Î ) Mathématiqus Bac lac - 008 Pag sur 7
5- Soit A t B dux poits d affixs rspctivs i t -. L sml ds poits M d affix z vérifiat z i = z+ st : a. la droit (AB). l crcl d diamètr [AB] c. la droit prpdiculair à (AB) passat par O. z i = z+ ñ z i = z (-) ñ AM=BM. Or l sml ds poits M vérifiat AM=BM st la médiatric du sgmt [AB]. D plus OA= z A z O = i = t OB= z B z O = - = doc OA=OB. Par coséqut O appartit à la médiatric du sgmt [AB]. z+ st la droit prpdiculair à (AB) passat par O. Aisi l sml ds poits M vérifiat z i = 6- Soit Ω l poit d affix i. L sml ds poits M d affix z=x+iy vérifiat z +i = 4i a pour équatio : a. y=-x+. (x ) +y = 5 c. z= i+5 iθ ( θ Ë ) z +i = 4i ñ z ( i) = +4 ñ ΩM= 5 ñ ΩM=5. Or l sml ds poits M vérifiat ΩM=5 st l crcl d ctr Ω t d rayo 5 cad l sml ds poits M d affix z tl qu θ Ë z=z Ω +5 iθ ( θ Ë ) soit z= i+5 iθ ( ) 7- Soit A t B ls poits d affixs rspctivs 4 t i. L affix du poit C tl qu l triagl ABC soit isocèl avc ( ) ÄAB ;ÄAC = π st : a. 4i. -i c. 7+4i L poit C st l imag d B par la rotatio d ctr A t d agl π doc z C z A = iπ ( z ) B z A. Aisi z C =i(i 4)+4=- 4i+4= 4i 8- L sml ds solutios das Ê d l équatio z =z st a. { i}. l sml vid c. { i;+i} z Sur Ê\{}, z z z =z ñ -z =0 ñ z z z - z(z ) z =0 ñ z +z =0 ñ z z+=0. Or l triôm z z+ admt pour discrimiat =(-) 4 =4 8=-4<0. Doc l triôm admt dux racis complxs cojugués z = +i 4 =+i t z = z = i. Or +i Ê\{} t i Ê\{} doc l équatio z =z a pour sml solutio { i;+i} z Parti B poit U sul ds propositios st xact. Das ctt parti, o dmad d justifir la répos. Das l pla complx, o do l poit D d affix i. L écritur complx d la rotatio d ctr D t d agl π st : a. z = c. z = i i z z + i. z = - + i z + i i d. z = i z+ + i L écritur complx d la rotatio d ctr D t d agl π st z z D= - π i ( z z D ). Or z z D = - π i ( ) z z D ñ z i= i (z i) ñ z i= i z i+ i ñ z i= i z i- ñ z = i z+ i- Mathématiqus Bac lac - 008 Pag sur 7
Exrcic D après Atills Guya jui 006,5 poits Pré-rquis : - la foctio logarithm épéri st dérival sur ]0;+õ[ t sa foctio dérivé st la foctio ivrs (x x ) - l()=0. Rstitutio orgaisé ds coaissacs : démotros qu pour tous réls strictmt positifs a t x, l(ax)=la+l(x): poit Soit a u rél strictmt positif t f la foctio défii t dérival sur ]0;+õ[ par : f(x)=l(ax) l(x). x ax st affi doc dérival sur IR+ * t ctt foctio s aul pas sur IR+ *. Doc x l(ax) st dérival sur IR+ *. Or x l(x) st dérival sur IR+ * doc f st dérival sur IR+ * Et x IR+ *, f (x)= a ax x = x x =0. D où f st u foctio costat sur IR+*. Or f()=la l=la doc x IR+ *, f(x)=la. Par coséqut pour tous réls strictmt positifs a t x, f(x)=la cad l(ax) l(x)=la cad l(ax)=la+l(x).. Démotros qu pour tous réls strictmt positifs a t : l =-l() t qu l =l(a) l() : poit D après. pour tout >0, l =l +l. Or l =l=0. D où l +l =0 cad l =-l D plus, l a =l a =la+l =la l pour tous réls a t strictmt positifs.. O do 0.69ÂlÂ0.70 t.09âlâ.0. Déduisos- ds cadrmts d l6, l 6 t l :,5 poits 8 a O a 0.69ÂlÂ0.70 t.09âlâ.0 doc 0.69+.09Âl+lÂ0.70+.0 doc.78âl6â.80 doc -.80Â-l6Â-.78 doc -.80Âl 6 Â-.78 0.69ÂlÂ0.70 doc.07âlâ.0 doc.07âl( ) Â.0 doc.07âl8â.0 doc -.Â-l8Â-.07 doc -.Âl 8 Â-.07 Or.09ÂlÂ.0 doc -.0Âl+l 8 Â-0.97 d où -.0Âl 8 Â-0.97 Mathématiqus Bac lac - 008 Pag sur 7
Exrcic D après Atills Guya Jui 006 5,5 poits. Das l pla rapporté à u rpèr ( O;Åu;Åv ), o cosidèr ls poits : A d affix a (a Ë) ; B d affix +i ( Ë) ; C imag d B das la rotatio d ctr A t d agl π. a. Détrmios u rlatio tr a t pour qu l poit C apparti à l ax ( O; Åu ) :,5 poits L écritur complx d la rotatio d ctr A t d agl π st : z a=i π (z a) (*) doc C état l imag d B o a : z C a= i π ( z ) B a ñ z C = i π ( ) ñ z C = ( ) +i ( a+i)+a ñ z C = ( ) +a + i( ) ( a)+ z B a +a ñ z C = i π ( a+i)+a L poit C appartidra à l ax ( O; Åv ) si t sulmt si la parti réll d so affix st ull soit ( ) +a =0 ñ = a. Exprimos alors l affix du poit C foctio d a : 0.5 poit Das c cas, l affix du poit C st : z C = i( ) ( a a ) + =( a) i - Das ctt qustio, o pos a= t =0. O cosidèr ls poits C d affix c=-i t D d affix d=+ i. a. Qull st la atur du triagl ABC? 0.5 poit A( ), B(i) t o a i z C = ( a) i =( ) i=-i=c doc C st i l imag d B par la rotatio d ctr A t d agl π doc ABC st u triagl équilatéral.. Calculos l quotit d a c a : poit d a c a = + i -i Doc ( ÄAC ;ÄAD ) =arg ( i ) - i ( i )(- +i) = = =i + d a c a =arg(i)= π (π) L triagl ACD st doc rctagl A. c. Détrmios l affix du poit E, imag d D das la rotatio d ctr A t d agl π : 0.5 poit L écritur complx (*) do = i π (d a)+a = ( ) +i ( + i ) + = ( ) +i ( i ) + =( +i )( i ) + =++ =4+ d. Détrmios l affix f du poit F, imag d D das la traslatio d vctur ÄAC : 0.5 poit L écritur complx d la traslatio d vctur ÄAC st : z z=c a Comm F st l imag d D das la traslatio d vctur ÄAC alors : Mathématiqus Bac lac - 008 Pag 4 sur 7
f d=c a doc f=d+c a doc f= + i -i = i( + ). Détrmios la atur du triagl BEF : poit BE = i ( 4+ ) =+( 4+ ) =+6+8 +=0+8 BF = i ( i( + )) = -+i( + ) =4+4( + ) =0+8 EF = 4+ +i( + ) = + +i( + ) =( + ) + Aisi BE=BF=EF doc l triagl BEF st équilatéral. +( ) =0+8 Exrcic 4 D après Amériqu du Sud ovmr 004 8.5 poits Soit f la foctio défii sur [0;+õ[ par f(x)=x - x. Parti A. a. Détrmios la limit d f +õ. 0.5 poit lim f(x)= lim x - x = lim -X X =0 car à l ifii, l xpo. d x l mport sur tout puissac d x. x + õ x + õ X - õ. Etudios ls variatios d f. La foctio f st l produit d foctios dérivals sur IR doc sur IR +, aisi f st dérival sur IR +. x IR +, f (x)= - x +x( - -x ) = - x ( x) Or x, - x >0 doc f (x) st du sig d x. f (x)>0 si x [0;[ x>0ñx< aisi f ()=0 f (x)<0 si x ];+õ[ Aisi f st strictmt croissat sur [0;] t strictmt décroissat sur [;+õ[. Ls variatios sot résumés das l talau suivat : poit x 0 + sig d f (x) + 0 - f 0 0 f(0)=0 t f()= - = c. Rpréstatio graphiqu (échll o rspcté) y 0.5. a. Motros qu f(x)=m admt xactmt dux solutios lorsqu m 0;. Soit doc u rél m 0;. 0 x f(0)=0 doc 0 st pas solutio d l équatio f(x)=m. Motros qu f(x)=m admt u uiqu solutio das ]0;[. f st dérival sur [0;+õ[, f st doc cotiu sur ]0;[. D plus, f st strictmt croissat sur ]0;[. lim f(x)= f(0)=0 t lim f(x)= f()= x 0 x aisi m lim f; lim 0 f Doc, d après u corollair du TVI.; l équatio f(x)=m admt u uiqu solutio das ]0;[. Mathématiqus Bac lac - 008 Pag 5 sur 7
E coclusio : f()= doc st pas solutio d l équatio f(x)=m. Motros qu f(x)=m admt u uiqu solutio das ];+õ[. f st dérival sur [0;+õ[, f st doc cotiu sur ];+õ[. D plus, f st strictmt décroissat sur ];+õ[. lim f(x)= f()= t lim f(x)=0 aisi m lim f; lim f x x + õ + õ Doc, d après u corollair du TVI.; l équatio f(x)=m admt u uiqu solutio das ];+õ[.,5 poit l équatio f(x)=m admt xactmt dux solutios das [0;+õ[, l u das ]0;[ t l autr das ];+õ[. Das l cas où m=, doos u cadrmt d α. 4 4 0; doc l équatio f(x)= admt xactmt dux solutios dot u α ]0;[. Par la méthod par 4 alayag, la calculatric do f(0,5)< 4 t f(0,6)> 4, o déduit doc u cadrmt d α à 0- près : 0,5<α<0,6.. Résolvos ls équatios f(x)=0 t f(x)= poit f(x)=0 ñ x - x =0 ñ x=0 ou - x =0 ñ x=0 (car - x >0 pour tout x). Aisi l équatio f(x)=0 admt 0 pour uiqu solutio sur IR +. f(x)=. O a vu qustio.. qu f()=. f st dérival sur IR + doc cotiu sur IR +, d plus f st strictmt croissat sur [0;] t strictmt décroissat sur [;+õ[, o déduit doc qu x [0;[ ];+õ[, f(x)<f() càd f(x)<. Aisi l équatio f(x)= admt pour uiqu solutio sur IR+. Parti B Soit ( u ) la suit défii par u 0 =α t pour tout u + =u - u.. a. Motros par récurrc qu, u >0. Au rag 0 : u 0 =α>0 doc la propriété st vrai. Supposos qu il xist u tir pã0 tl qu u p >0 t motros alors qu u p+ >0. u p+ =u p - up. Or, x, - x >0 doc - up >0. D plus par hypothès d récurrc, u p >0. O déduit doc qu u p+ >0. Aisi s il xist u tir p Ã0 tl qu u p >0 alors u p+ >0. Or, u 0 >0, o déduit doc qu, u >0.. Motros qu ( u ) st décroissat càd qu, u + u <0. u + u =u - u u =u ( - ) u. Or,, u >0 doc u <0 doc - u < 0 doc - u < doc - u <0. O a doc u + u <0, la suit ( u ) st doc décroissat. c. Motros qu la suit ( u ) st covrgt t détrmios sa limit. La suit ( u ) st décroissat t mioré par 0 (car u >0 ), doc ll covrg t sa limit l st positiv. f( ) O a : l= lim u + = lim u = lim f(x)=f(l) car f st cotiu l. + õ + õ X l D où f(l)=l, o st doc amé à résoudr l équatio f(x)=x. Mathématiqus Bac lac - 008 Pag 6 sur 7
Or f(x)=x ñ x - x =x ñ x( - x ) =0 ñ x=0 ou - x =0 ñ x=0 ou - x = ñx=0 ou - x = 0 ñ x=0. Aisi S={0}. D où l=0, o déduit doc qu la suit ( u ) covrg vrs 0.. O cosidèr la suit ( w ) défii sur É par w =lu a. Motrr qu, pour tout tir aturl, o a : u =w w +., w w + =l( u ) l( ) Or,, u + =u - u doc Doc w w + =l( u ) =u u + =l u u + = u u u + Doc, u =w w +. O pos S =u 0 +u + +u. Motrr qu S =w 0 w +. Motros pas récurrc sur S =w 0 w +. Iitialisatio : S 0 =u 0 t d après a., w 0 w + =u 0. La propriété st aisi vrai pour =0. Hérédité : Supposos qu il xist u tir p tl qu S p =w 0 w p+ t motros alors qu S p+ =w 0 w p+ S p+ =u 0 +..u p +u p+ =S p +u p+ =w 0 w p+ +u p+. Or, u p+ =w p+ w p+ doc S p+ =w 0 w p+ +w p+ w p+ =w 0 w p+ La propriété st doc héréditair. Ell st vrai pour =0 doc S =w 0 w +. Rmarqu : Mois rigourux mais accptal,, S =u 0 +u + +u =( w 0 w ) +( w w ) + +( w w + ) =w 0 w + c. E déduir lim S. + õ D après ls qustios précédts, o sait qu lim u =0 t w =lu + õ Doc lim w = lim lu = lim lx=-õ. Or,, s =w 0 w + doc lim S =+õ + õ + õ X 0 + õ. Soit ( u ) t ( v ) ls suits défiis par : u 0=α t v 0>0, u + =f( u ), v + =f( v ) Exist-t-il u valur d v 0 différt d α tll qu, pour tout Ã, o ait u =v? Si oui, précisr laqull. Si v 0 st tl qu f( ) u =v. u 0 =f( v 0 ) (càd tl qu u =v ), alors par récurrc, il st immédiat qu Ã, t doc Or f( u 0 ) =f(α)= 4. Posos alors v 0=β où β st l rél défii à la qustio A... Alors, o a v 0 ýu 0 t f( v 0 ) =f(β)= 4 càd f ( v 0 ) =f( u 0 ) t par récurrc évidt Ã, u =v. Mathématiqus Bac lac - 008 Pag 7 sur 7