Frace métropolitaie 202 Eseigemet spécifique EXERCICE 3 (6 poits (commu à tous les cadidats Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite de la foctio f e + f( = + + l ( + 2 Démotrer que pour tout réel de l itervalle [, + [, f ( = 3 E déduire le sige de la foctio f sur l itervalle [, + [ Partie B ( + 2 Soit (u la suite défiie pour tout etier strictemet positif par u = + 2 + 3 + + l O cosidère l algorithme suivat : Variables : i et sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader à l utilisateur la valeur de Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0 Traitemet : Pour i variat de à Affecter à u la valeur u + i Sortie : Afficher u Doer la valeur eacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur etre la valeur = 3 2 Recopier et compléter l algorithme précédet afi qu il affiche la valeur de u lorsque l utilisateur etre la valeur de 3 Voici les résultats fouris par l algorithme modifié, arrodis à 0 3 Partie C 4 5 6 7 8 9 0 00 000 500 2000 u 0, 697 0, 674 0, 658 0, 647 0, 638 0, 632 0, 626 0, 582 0, 578 0, 578 0, 577 Àl aidedecetableau,formulerdescojecturessurlesesdevariatiodelasuite(u et so évetuelle covergece Cette partie peut être traitée idépedammet de la partie B Elle permet de démotrer les cojectures formulées à propos de la suite (u telle que pour tout etier strictemet positif, u = + 2 + 3 + + l Démotrer que pour tout etier strictemet positif, où f est la foctio défiie das la partie A E déduire le ses de variatio de la suite (u 2 a Soit u etier strictemet positif + ( Justifier l iégalité d 0 u + u = f( http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
+ E déduire que d Démotrer l iégalité l( + l ( b Écrire l iégalité ( e remplaçat successivemet par, 2,, et démotrer que pour tout etier strictemet positif, l( + + 2 + 3 + + + c E déduire que pour tout etier strictemet positif, u 0 3 Prouver que la suite (u est covergete O e demade pas de calculer sa limite http ://wwwmaths-fracefr 2 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
EXERCICE 3 Partie A Frace métropolitaie 202 Eseigemet spécifique La limite d ue fractio ratioelle e + est égale ( à la limite du quotiet de ses moômes de plus haut degré Doc lim + + = lim = Parsuite, + lim l = lim l(x =l( =0 + + X D autre part, lim ( + =+ et doc lim + + = 0 Eadditioat,oobtiet + lim f( =0 + 2 La foctio est dérivable sur [, + [ e tat que fractio ratioelle dot le déomiateur e s aule + ( pas sur [, + [ Deplus,pourtoutréel de [, + [, >0Osaitalorsquelafoctio l est + + dérivable sur [, + [ D autrepart,lafoctio est dérivable sur [, + [ e tat que fractio ratioelle + dot le déomiateur e s aule pas sur [, + [ Fialemet,lafoctiof est dérivable sur [, + [ e tat que somme de deu foctios dérivables sur [, + [ Deplus,pourtoutréel de [, + [, er calcul : ( 2ème calcul : f ( + ( = ( + 2 + = f ( = +( + ( + 2 = + + ( + 2 = ( + 2 + + ( + ( + 2 = ( + 2 + ( + ( +(l( (l( + = + ( + 2 + + = +( + 2 ( + ( + 2 = + 2 + 2 + 2 ( + 2 = ( + 2 3 Pour tout réel de [, + [, f ( >0Doclafoctiof est strictemet croissate sur [, + [ Maisalors,pour tout de [, + [, oaf( < f(t ou ecore f( <0 lim t + La foctio f est strictemet égative sur [, + [ Partie B Iitialisatio : u = 0 Etape : i = puis u = 0 + = Etape 2 : i = 2 puis u = + 2 = 3 2 Etape 3 : i = 3 puis u = 3 2 + 3 = 6 Si = 3, lavaleureacteaffichéeparl algorithmeest 3 6 2 Variables : i et sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader à l utilisateur la valeur de Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0 Traitemet : Pour i variat de à Affecter à u la valeur u + i Sortie : Afficher u l( http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
3 Il semble que la suite (u soit décroissate, covergete de limite approimativemet égale à 0, 57 Partie C Soit u etier aturel o ul u + u = ( + 2 + 3 + + + + = + l( l( + = + + + l ( l( + ( + + 2 + 3 + + = f( + l( D après la questio 3 de la partie A, le foctio f est strictemet égative sur [, + [ Eparticulier,pourtoutetier, f( <0Aisi,pourtoutetieratureloul, oau + u <0et doc la suite (u est strictemet décroissate 2 a Soit u etier strictemet positif La foctio est cotiue sur ]0, + [ et e particulier sur [, +] + ( Doc l itégrale d eiste Pour tout réel de l itervalle [, + ], oa >0puis (par décroissace de la foctio t t sur ]0, + [ etdoc 0 Aisi, pour tout réel de [, +], oa 0 Parpositivitédel itégrale,oedéduitque + Par liéarité de l itégrale, o a alors + ( + + d = d d = + ( + d = + d Par suite, + + d 0 ou ecore d Efi, + d =[l(]+ = l( + l et o a doc motré que ( d 0 pour tout etier strictemet positif, l( + l ( b Soit u etier strictemet positif D après la questio précédete, l(2 l( l(3 l(2 2 l(4 l(3 3 l( l( 2 l( l( l( + l( 2 O additioe membre à membre ces iégalités Das le premier membre, les ombres l(2, l(3,,l( et l( se simplifiet et il reste l(+l( + + 2 + 3 + + ou ecore l( + + 2 + 3 + + c Soit N Oretrachel( àchacudesdeumembresdel iégalitéprécédeteetoobtiet ou ecore l( + l( + 2 + 3 + + l( http ://wwwmaths-fracefr 2 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
u l( + l( Par croissace de la foctio l sur ]0, + [, oal( + l( puis l( + l( 0 Par suite, u l( + l( 0 Oamotréque pour tout etier strictemet positif, u 0 3 La suite (u est décroissate d après la questio et miorée par 0 d après la questio 2 O e déduit que la suite (u coverge http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés