Les sites réelles Copyright Dhaoadi Nejib 009 00 http://wwwsigmathscocc Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page :
Sites Réelles Das ce chapitre I désige l esemble des etiers 0 ( 0 N ) I Rappels et complémets Site arithmétiqe Défiitio Soit ( ) e site réelle défiie sr I O dit qe ( ) est e site arithmétiqe s il existe e costate réelle r telle qe por tot etier de I, + r O dit das ce cas qe ( ) est e site arithmétiqe de raiso r Coséqeces Soit ( ) e site arithmétiqe de raiso r et de premier terme 0 Por tot etier atrel, 0 + r + (p q)r Por tos etiers atrels p et q o a : p q Por tos etiers atrels p et q tels qe p q, o a : q p + p + p + + + q ( p + q ) Site géométriqe Défiitio Soit ( ) e site réelle défiie sr I O dit qe ( ) est e site géométriqe s il existe e costate réelle q telle qe por tot etier de I, + q O dit das ce cas qe ( ) est e site géométriqe de raiso q Coséqeces Soit ( ) e site géométriqe de raiso o l q et de premier terme 0 Por tot etier atrel, 0q m Por tos etiers atrels et m o a : Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : m q Por tos etiers atrels m et tels qe m, o a : m + q p si q + + + + m q ( m + ) 0 si q + si q > si q lim q + 0 si - < q < 'existe pas si q
Exercice O cosidère la site ( ) défiie par Démotrer qe la site ( ) + 4 et + + v défiie par v est e site arithmétiqe dot o précisera le premier terme et la raiso E dédire l expressio de v e foctio de, pis l expressio de e foctio de Soltio v + v ( + ) + + 4 4 (v ) est e site arithmétiqe de raiso r4 et de premier terme v * v 4 3 N, v v + ( )r + 4( ) 4 3 et Exercice 3 Soit a > et ( ) la site défiie par 0 a et N, + Motrer qe por tot etier atrel, ( ) existe et vérifie > O défiit la site (v ) sr N par : v a) Motrer qe (v ) est e site arithmétiqe dot o précisera la raiso et le premier terme b) Exprimer v et pis e foctio de et a Soltio O procède par récrrece Por 0, o a 0 a >, vrai Soit N, spposos qe existe et > et motros qe + existe et + > > > > 0 + existe 3 3 + + > doc > 0 et > 0 doc > 0 d'où > + + ( ) a) v + v + v + Ce qi prove qe (v ) est e site arithmétiqe de raiso So premier terme v 0 0 a (a ) + b) v v0 + r + a a a a + (a ) + + v (a ) + (a ) + Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 3
Exercice 3 (site Arithmético-géométriqe) Soit ( ) la site réelle défiie par : 0 et N, + 3 Por tot etier atrel, o pose v + 6 Motrer qe (v ) est e site géométriqe dot o précisera la raiso et le premier terme Exprimer v et pis e foctio de 3 Calcler, e foctio de, la somme S k k Soltio v + + + ( + ) v + + 6 3 6 3 6 Doc (v ) est e site géométriqe de raiso v0 0 + 6 7 v v0q 7 et v 6 7 6 3 q et de premier terme + S k (v k 6) v k 6( ) v + 6( + ) k k k + Doc S 4 6( + ) 3 Covergece et divergece d e site Défiitio Soit ( ) e site réelle défiie sr I O dit qe ( ) est covergete (o ecore admet e limite fiie) s il existe réel l vérifiat : Por tot réel ε > 0, il existe p N tel qe por tot etier I, p l < ε Atremet dit, tot itervalle overt de cetre l cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag Parfois o dit, tot itervalle overt de cetre l cotiet presqe tos les termes de la site Remarqes Ue site qi est pas covergete est dite divergete (admet e limite ifiie o admet pas de limite) Si e site ( ) admet e limite fiie l alors cette limite est iqe et o ote das ce cas lim l o tot simplemet lim l + Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 4
Exemple Soit la site ( ) défiie srn par : Motros qe ( ) coverge vers -------------------------------------------------------- Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 5 5 + Soit ε > 0, motros q il existe etier atrel p tel qe por tot etier atrel, p < ε 5 + 5 7 7 7 < ε + > > + + ε ε 7 Il sffit alors de choisir p E + si 7 > 0 (E désige la partie etière) ε ε o p si 7 7 < 0 et por le dire e sel mot p sp, E + ε ε 7 7 Aisi o a : p > < ε < ε ε + Défiitio O dit q e site ( ) ted vers + et o ote lim + si por tot réel A > 0, il existe p N, tel qe por tot etier I, p > A Atremet dit, tot itervalle de la forme ] A, + [ cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag p O dit q e site ( ) ted vers et o ote lim si por tot réel A < 0, il existe p N, tel qe por tot etier I, p < A Atremet dit, tot itervalle de la forme ], A[ de la site à partir d certai rag p Exemple Soit ( ) la site défiie sr N par : Motros qe lim + cotiet tos les termes ------------------------------------------------------------------------- Soit A > 0, motros q il existe etier p tel qe por tot etier I, p > A A + A + > A > A > A + > > car N A il sffit alors de choisir p E + + 4 Opératios sr les sites covergetes Comme por les foctios, o pet défiir les opératios selles sr les sites Soiet ( ) et (v ) sot dex sites défiies sr I Por tot etier I, o a : ( v) v + +
( ) ( v) v λ R, λ λ Si (v ) est e site à termes o ls alors : v v Théorème Soiet ( ) et (v ) sot dex sites défiies sr I Si ( ) et (v ) sot covergetes alors : les sites + v, λ ( λ R ), v et sot covergetes et v Si e pls (v ) est e site a termes o ls et lim v 0 alors les sites et sot covergetes et o a : v v lim( + v) lim + lim v lim( λ ) λ lim lim(v) lim lim v lim lim lim v lim lim lim v lim v v Exercice Détermier la limite évetelle de la site ( ) das chac des cas sivats a) Soltio 3 + + + b) 3 + a) lim lim lim + + 4 + c) ( ) ( ) 3 3 + 3 3 + lim + + + lim + + 4 + 4 b) lim lim 4 + lim lim 0 4 + + 4 + + ( ) ( ) 3 3 3 c) lim lim lim lim car la site ( 3) + + + ( 3) 3 est e site géométriqe de raiso 3 3 à l'itervalle doc sa limite égale à 0 ], [ apparteat Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 6
Théorème Soit ( ) e site réelle et a fii o ifii lim a lim lim a + Démostratio Spposos das la site qe a est fii Motros qe lim a lim lim + a Soit ε > 0, lim a il il existe p N tel qe I, p a < ε Et pisq o a por tot I, + alors : a < ε p + a < ε lim lim a + d où les sites ( ) et ( ) + sot covergetes et Réciproqemet Soit ε > 0, lim a il il existe p N tel qe p a < ε et lim + a il il existe p N tel qe p + a < ε Posos p sp( p, p + ) Soit m I, dex cas pevet se préseter m m p p a a < ε m m + m p p a a < ε + m Das le cas où a est ifii, la démostratio se fait presqe de la même faço Exercice Etdier la covergece de la site ( ) das chac des cas sivats : a) ( ) b) Soltio ( ) c) π cos lim a) et + lim + lim lim + la site ( ) a pas de limite doc elle est divergete lim 0 b) et comme les dex sites ( ) et ( + ) lim + 0 + coverget vers la même limite 0 doc la site ( ) coverge vers 0 π v cos π et w cos ( ) 0 + + + ( ) x v cos π et y v cos (( ) ) 4 4 + + π + 4 + c) Posos ( ) Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 7 ( )
Il est évidet qe chace des sites ( x ) et ( ) site ( v ) coverge vers 0 Les sites ( v ) et ( w ) coverget vers 0, doc la site ( ) 5 Sites borées et covergece Théorème 3 Tote site covergete est borée Démostratio Soit ( ) e site réelle qi coverge vers réel l y coverge vers 0, doc la coverge vers 0 lim l doc il existe etier atrel p tel qe, I et p l < Atremet dit, p, ] l,l [ + O pose m if { l,, +,, p } et M sp { l +,, +,, p } 0 0 Soit I Si p alors m l < < l + M Si 0 p Remarqe < alors {, +,,p } doc m M 0 0 Ue site borée est pas écessairemet covergete Exemple : ( ) II Limites et ordre Théorème 4 e site réelle qi coverge vers réel l Soit ( ) 0 0 S il existe p I tel qe, por tot etier p, 0 (resp 0) alors l 0 (resp l 0) Démostratio Spposos qe l < 0 O a lim l l doc por ε > 0, il existe q N tel qe por tot I, q l < ε l l l l l < < l < < < < 0 ce qi est impossible si o choisit sp( p, q) O appliqat ce résltat à la site, o motre qe si 0 à partir d certai rag alors l 0 Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 8
> 0 à partir d' certai rag l > 0 O pet avoir > 0 por tot I et l 0 Exemple : Coséqeces Soiet ( ) et ( ) v dex sites réelles qi coverget respectivemet vers dex réels l et l ' Si o a v à partir d certai rag alors l l ' Soit ( ) e site réelle qi coverge vers réel l et a et b dex réels Si [ a,b] à partir d certai rag alors l [ a,b] Ce résltat est pas tojors vrai si o remplace l itervalle fermé [ a,b ] par l itervalle overt ] a,b [ < v à partir d' certai rag l < l ' O pet avoir < v por tot I et l l ' Exemple : et + v + Théorème 5 (théorème des gedarmes) w trois sites réelles défiies sr I et l réel Soiet ( ), ( v ) et ( ) Si o a : Il existe p N tel qe por tot etier p, w v lim lim v l Alors lim w l Démostratio Por tot I posos x w et y v O a : I, 0 x y Soit ε > 0 La site (y ) est covergete et lim y l l 0 Il existe p N tel qe I, p y y < ε Doc por I et p o a : 0 x y < ε O a alors : ε > 0 il existe p I tel qe I, p x < ε Doc la site ( x ) coverge vers 0 0 il existe tel qe Et pisq o a w x + por tot I covergete (comme somme de dex sites covergetes) et alors la site ( ) w est lim w l Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 9
Coséqece Soiet ( ) et ( ) v dex sites réelles défiies sr I v à partir d' certai rag et lim v 0 lim 0 Exemple Soit ( ) * la site réelle défiie srn par : Motrer qe lim 0 ------------------------------------- * cos cos, O a : Exemple cos N car por tot réel x, cos x * N, lim 0 doc lim 0 Soit ( ) la site réelle défiie srn par : si + ( ) Etdios la covergece de cette site ------------------------------------- Por tot etier atrel spérier à o a : si 0 si + Por tot etier atrel spérier à o a : ( ) ( ) 0 < + + + + ( ) 0 si + Aisi por o a: 0 < + + ( ) E mltipliat ces dex ecadremets, membre à membre o trove + + + E pls lim lim + et lim lim + + Doc d après le théorème des gedarmes o pet coclre qe la site ( ) covergete et Exemple 3 Soit ( ) lim * la site réelle défiie srn par : k + k est Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 0
Etdios la covergece de cette site -------------------------------- Por tot etier atrel o l et por tot etier k {,,, } o a : + + k + + + k + + + k + Doc (somme des k + k + + + ecadremets membre à membre) j espère qe c est clair! Il semble qe les extrémités d derier ecadremet ot la même limite, vérifios alors ça lim lim lim et lim lim + + + + + * N, + + O a alors lim lim + + est covergete et Doc d après le théorème des gedarmes la site ( ) lim Théorème 6 Soiet ( ) et ( ) v dex sites réelles défiies sr I S'il existe q N, tel qe I et q, v et lim + alors lim v + S'il existe q N, tel qe I et q, v et lim v alors lim Démostratio Soit A > 0, motros q il existe etier atrel m tel qe I, m v > A O a lim + il existe p N, tel qe I, p > A Posos msp(p,q) et soit I m v > A Doc lim v + Por q o a v e pls lim( v ) + lim( ) + Doc Exercice lim ) Démotrer qe * N, + < Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page :
) E dédire qe lim + + + + + 3 Soltio + ) O a + + + + + + > + > + + > < + + * Doc N, + < ) O a : k {,,, } k + k < k Faisat la somme membre à membre k + k < o ecore k k k ( ) + ( 3 ) + ( 4 3) + + ( + ) < + + + Ce qi doe après simplificatio + < + + + D où + + + > + et pisq o a lim( + ) + alors lim + + + + III Sites de type v f( ) Théorème 7 Soiet f e foctio défiie sr itervalle overt J de cetre a et ( ) e site à valers das J coverge vers a et f cotie e a alors la site Si ( ) f(a) Démostratio f( ) coverge vers Soit ε > 0 Motros q il existe p N tel qe I, p f( ) f(a) < ε O a : f cotie e a il existe α > 0 tel qe x J, x a < α f(x) f(a) < ε ( ) coverge vers a doc il existe p N tel qe I, p a < α Doc por I et p o a J et a < α ce qi permet d écrire f( ) f(a) < ε cqfd Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page :
Exercice Soit ( ) la site défiie por tot etier atrel o l par : cos Détermier lim Soltio cos x f(x) si x 0 x Cosidéros la foctio f défiie sr R par : f( 0 ) Il est évidet qe f por tot etier atrel o l Pisqe lim f(x) (Résltat de cors) alors f est cotie e 0 x 0 E pls 0 coverge vers f(0) lim doc la site ( ) Théorème 8 Soiet f e foctio défiie sr itervalle overt J de cetre l saf pet J \ l être e l et ( ) Si lim l et Démostratio e site à valers das { } lim f(x) L (L R ) alors lim f ( ) x l Soit ε > 0, motros q il existe p N tel qe ( ) x l ( ) L I, p f( ) L < ε O a lim f(x) L doc il existe α > 0 tel qe x J, 0 < x l < α f( x) L < ε () Pisqe lim l doc il existe p N tel qe I, ( p l < α) Alors por p o a l < α et o a assi par hypothèse J \ { l} Ce qi permet d écrire 0 < l < α por p Et d après (), o obtiet f( ) L < ε E coclsio ( ) ε >, il existe p N tel qe I, p f( ) L < ε D où 0 lim f( ) L Remarqe Le théorème précédet reste valable si l o L est ifiie Coséqece Si f est e foctio telle qe lim f(x) l alors x + lim f() l + Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 3
Exemples lim 3x x lim 3x lim 3 x + x + + + + + x x + x + lim lim lim x + x + x + x + x + + + si x si X lim x si lim lim lim si x + x x + X + X + x IV Covergece des sites mootoes Théorème 9(Admis) (tile por jstifier la covergece) est e site croissate et majorée alors elle est covergete et elle Si ( ) coverge vers réel l vérifiat l à partir d certai rag Si ( ) est e site décroissate et miorée est covergete et elle coverge vers réel l vérifiat l à partir d certai rag Théorème 0 Tote site croissate et o majorée ted vers + Tote site décroissate et o miorée ted vers Démostratio Soit A > 0, motros qe > A à partir d certai rag ( ) 'est pas majorée doc il existe N tel qe Or la site ( ) est croissate doc por tot etier p > A I, p > A Soit A < 0, motros qe p < A à partir d certai rag ( ) 'est pas miorée doc il existe N tel qe Or la site ( ) p < A est décroissate I, p p < A Théorème (tile por le calcl de la limite si elle existe) e site à valers Soit f e foctio cotie sr itervalle J et ( ) das J qi coverge vers réel l Si + f( ) et l J alors f(l)l Démostratio O a lim + lim l Et comme f est cotie e l alors lim f( ) lim + f(l) Doc d après l icité de la limite o a f(l)l p p Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 4
Exercice Soit la site ( ) défiie par : 0 et N, + + ) Motrer qe por tot etier atrel, ) Motrer qe la site ( ) est croissate 3) E dédire qe ( ) est covergete et calcler sa limite Soltio ) O procède par récrrece Por 0, l ecadremet est vrai car 0 [, ] Hérédité : Soit N tel qe et motros qe + 3 + 4 3 + 4 + ( ) ( ) + ) + + + + + + Et d après ) 0, < 0 et + + > 0 + et la site ( ) Ce qi prove bie qe 0 est croissate 3) La site ( ) est croissate et majorée (par ) doc elle est covergete + f( ) où f : x + x ( ) coverge vers l f cotie sr, et e particlier sr, N,, l, Doc f(l) l [ + [ [ ] [ ] doc [ ] f(l) l + l l l + l l l l l et 0 0 et 0 la soltio positive de l éqatio l l 0 est doc lim IV Sites adjacetes Défiitio O dit qe ( ) et ( ) vérifiées : Por tot etier I, v v décroissate ( ) croissate et ( ) lim(v ) 0 v sot adjacetes si les trois coditios sivates sot Théorème Si dex sites réelles sot adjacetes alors elles coverget vers la même limite Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 5
Démostratio ( ) est croissate doc 0 Doc I, v c-à-d ( ) Et pisqe ( ) 0 et v por tot 0 ( I) v est miorée par 0 v est miorée et décroissate alors elle est covergete ( v ) est décroissate doc Doc I, v 0 c-à-d ( ) v 0 Et pisqe ( ) est croissate et majorée alors elle est covergete v et v 0 v por tot 0 ( I) est majorée par E pls o a lim(v ) 0 doc lim lim v Exercice O cosidère les sites ( ) et ( ) v défiies par : 0 v0 + v et N, +,v + 3 N ) Por tot N o pose w v a) Motrer qe ( w ) est e site géométriqe + 3v b) E dédire qe por tot etier N, v et v sot adjacetes et q elles coverget vers la ) Motrer qe ( ) ( ) même limite l 3) Por tot N o pose t 3 + 8v a) Motrer qe ( t ) est e site costate b) E dédire la valer de l Soltio + v + 3v 4 + 8v 3 9v v w v w 3 4 ) a) + + + ) Doc ( w ) est e site géométriqe de raiso et de premier terme w 0 b) N, w w0q 0 doc v ( ) + v + v + v w 0 doc la 3 3 3 3 site ( ) est décroissate + 3v v 4 4 4 4 v v v ( v ) w 0 doc la site ( v ) + est croissate ( w ) est e site géométriqe de raiso ], [ 4 doc lim w lim( v ) 0 Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 6
N, v (v ) croissate et ( ) décroissate doc ( ) et ( v ) sot adjacetes lim( v ) 0 Ces dex sites sot adjacetes doc elles coverget vers la même limite l 3) a) t + 3 + + 8v + + v + ( + 3v ) 3 + 8v t Doc ( t ) est e site costate t est costate doc N, t 3 + 8v t0 30 + 8v0 44 44 Par passage à la limite o trove l 44 doc l 4 b) ( ) Ce cors qe j ai coç est destié ax élèves des classes termiales sectio mathématiqe coformémet ax programmes officiels Tisie Vos sggestios et vos remarqes m itéresse beacop et serot les bieves sr mo email dhaoadiejib@gmailcom Copyright Dhaoadi Nejib 009 00 http://wwwsigmathscocc Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : 7