INTEGRALES GENERALISEES Voie sienifique A. DEFINITIONS ) Fonion lolemen inégrle : (noion hors progrmme) Une fonion f, définie sur un inervlle I, es lolemen inégrle sur I si f es inégrle sur ou segmen inlus dns I. Eemples : ) oue fonion oninue sur I es lolemen inégrle sur I. ) oue fonion oninue pr moreu sur I es lolemen inégrle sur I. ) Inégrle générlisée en une orne : Définiion : Soi f une fonion lolemen inégrle sur ; (ve ). Si l fonion F : ; F( ) d dme une limie finie L qund end vers on di que l inégrle générlisée f () d onverge e f () d = L. Remrque : Pour ou réel,, f () d onverge si e seulemen si f () d onverge. On lors f () d = f () d + () f d. Remrque : On ppelle rese de l inégrle impropre f () d l inégrle f () d où, Si f () d onverge lors le rese f () d pour limie qund end vers Définiion : Soi f une fonion lolemen inégrle sur, (ve ). Si l fonion G : ; G( ) d dme une limie finie L qund end vers on di que l inégrle générlisée f () d onverge e f () d Remrque : Pour ou réel, = L., f () d onverge si e seulemen si f () d onverge. On lors f () d = f () d + f () d.
Remrque : rese d une inégrle impropre On ppelle rese de l inégrle impropre f () d l inégrle f () d où, Si f () d onverge lors le rese f () d pour limie qund end vers Eemple usuel des inégrles de Riemnn : ) pour ou réel, ) Pour ous réels e els que, ) Pour ous réels e els que, Cs priulier : Pour ou réel, l inégrle Aure eemple usuel : L inégrle d onverge si e seulemen si. ( ) d onverge si e seulemen si ( ) d onverge si e seulemen si d onverge si e seulemen si e d onverge si e seulemen si Pour ou réel, e d On peu oenir e résul pr lul dire ou fire ppel à l densié d une loi eponenielle de prmère Cs priulier : inégrles fussemen générlisées Soi f une fonion lolemen inégrle sur ; (ve ) (respeivemen ). ; Si f dme une limie finie à guhe de (respeivemen une limie finie à droie de ) ; On peu prolonger f pr oninuié en (respeivemen en ) lors L inégrle générlisée f () d onverge : on di qu elle es fussemen générlisée. 3) Inégrle générlisée u deu ornes : Soi f une fonion lolemen inégrle sur, (ve ). On di que l inégrle générlisée f () d onverge si, pour une vleur quelonque ;, les deu inégrles générlisées f () d e f () d onvergen. En s de onvergene on lors f () d = f () d + () f d. Remrque : ee définiion ne dépend ps du hoi de.
Eemple usuel : l inégrle Cs des fonions pires e impires : Soi une fonion f lolemen inégrle sur d diverge. Si f es pire (ou impire) les inégrles générlisées nure. En s de onvergene : Si f es pire d e d = f () d f () d ; Si f es impire son de même d =. B. PROPRIETES Les propriéés seron données pour les inégrles générlisées en une orne (elles s éenden u ures ypes d inégrles générlisées) ) Linérié : Soien f e g deu fonions lolemen inégrles sur ; [(ve ). Si d e g ( ) d onvergen lors, pour ous réels e, ( g( )) d onverge e ( g( )) d = d + g ( ) d. Remrque : Si d diverge lors, pour ou réel non nul, ( ( )) f d diverge On peu don reenir Pour ou réel non nul, les inégrles générlisées nure Si Si d e ( ) d son de même d onverge e g ( ) d diverge lors ( g( )) d diverge d e g ( ) d divergen lors, on ne peu rien onlure! ) Posiivié : Soi f une fonion lolemen inégrle sur ; (ve ) elle que d onverge. Si, pour ou ;, f ( ) lors d. 3) Comprison : Soien f e g deu fonions lolemen inégrles sur ; (ve ) elles que d e g ( ) d onvergen Si, pour ou ;, f ( ) g( ) lors d g ( ) d
4) Nullié : Soi une fonion oninue e de signe onsn sur ; Si ( = lors f f ) d, Conséquene : Soi une fonion oninue e de signe onsn sur ;, lors f ( ) d Si f Cee propriéé perme don de prouver qu une inégrle es sriemen posiive ou sriemen négive (on lui riue prfois le nom de propriéé de srie posiivié ou srie négivié) ATTENTION : Si l fonion es oninue pr moreu e de signe onsn sur;, lors l proposiion n es plus vrie si,, Pr eemple : l fonion f définie sur, pr f si L fonion es oninue pr moreu e posiive sur, ve f f d, mis
C. CRITERES DE CONVERGENCE I. Cs des fonions posiives Remrque : Si l fonion f es négive sur ; lors l fonion f ) Crière de mjorion Soi f une fonion lolemen inégrle e posiive sur L inégrle générlisée d onverge si e seulemen si L fonion ; es posiive sur ; ; (ve ). : f ( d es mjorée sur F ) Ce héorème es une onséquene diree du héorème de l limie monoone. Remrque : ) Si f ) d ( onverge lors pour ou réel ; F ( ) d ;. ) L inégrle générlisée d diverge si e seulemen si lim F( ). Soi f une fonion lolemen inégrle e posiive sur, (ve ). L inégrle générlisée d onverge si e seulemen si Remrque : ) Si f ) d L fonion G : ; G( ) d es mjorée sur, ( onverge lors pour ou réel ; G ) d (.. ) L inégrle générlisée d diverge si e seulemen si lim G( ). ) Crière de omprison. Soien f e g deu fonions lolemen inégrles sur ; (ve ) ; f ( ) g( ). Telles que pour ou réel ) Si g ( ) d onverge lors d onverge. ) Si d diverge lors g ( ) d diverge. 3) Crière de négligeilié Si f e g son lolemen inégrles e posiives sur ; e f o(g) u voisinge de lors ) Si g ( ) d onverge lors d onverge. ) Si d diverge lors g ( ) d diverge.
Appliion : L inégrle e d onverge e que e d (inégrle de Guss) 4) Crière d équivlene. Soien f e g deu fonions lolemen inégrles sur ; (ve ). On suppose que g es posiive sur; Si f g u voisinge de lors g ( ) d e d son de même nure. Remrque : f es néessiremen posiive u voisinge de. II. Cs des fonions de signe quelonque. Soi f une fonion lolemen inégrle sur ; (ve ). Définiion : On di que l inégrle générlisée f () d onverge. d es solumen onvergene si l inégrle Théorème : Si l inégrle générlisée d es solumen onvergene lors L inégrle générlisée d onverge e on d d. Remrque : L réiproque es fusse: une inégrle générlisée peu êre onvergene sns êre solumen onvergene. (On di qu elle es semi-onvergene). Eemple : sin L inégrle d (inégrle de Dirihle) onverge mis n es ps solumen onvergene (voir fihe d eeries ) Johnn Peer Gusv Lejeune Dirihle (85-859) mhémiien llemnd D. Méhodes de luls d une inégrle générlisée ) Inégrion pr pries L inégrion pr pries ser priquée pour des inégrles sur un segmen, on effeuer ensuie un pssge à l limie
) Chngemen de vrile Théorème : Si f es oninue sur, e Si es une fonion de lsse C, monoone, rélisn une ijeion de sur,,, lors les inégrles f ( ) d onvergene e ( ) ' f d son de même nure e en s de f d f ' d, si l fonion es roissne f d f ' d, si l fonion es déroissne Le progrmme préise que les hngemens de vriles non ffines devron êre préisés Démonsrion L fonion f es oninue sur,, elle dme don des primiives sur e inervlle : soi F l une d enre elles L fonion F es lors une primiive de l fonion f ' sur, Dns le s où l fonion es roissne sur,, on : lim e lim Si f ( ) d onverge, lors l fonion F dme une limie finie en e en Pr onséquen F dme une limie finie en e en puisque lim F lim F lim F Ainsi l inégrle ( ) ' f d onverge e nous vons : f ( ) ' d = lim F - lim F = lim F - lim F = f ( ) d Remrquons que si l fonion es déroissne sur,, on : lim e lim Alors ( ) ' f d = lim F - lim F = lim F - lim F = f ( ) d Si ( ) ' f d onverge, lors l fonion F dme une limie finie en e en En remrqun que F F, l fonion F dme une limie finie en e en puisque lim lim lim F F F Ainsi l inégrle f ( ) d onverge e nous vons : f ( ) d = lim F - lim F = lim F F = ( ) ' - lim f d
E. L fonion «grnd» gmm L fonion es l fonion définie sur, pr, pour ou réel On, pour ou réel Démonsrion à onnîre : L fonion f : e générlisée u deu ornes Prolème en Au voisinge de, Comme e d n n!,, e, pour ou enier nurel n, f es oninue e posiive sur,, l inégrle d (inégrle de Riemnn) onverge si e seulemen si le rière d équivlene des fonions posiives e d e d es don (soi ), pr onverge si e seulemen si Prolème en f lim lim f lim e lim (Limie usuelle), don u voisinge e de f o Comme d (inégrle de Riemnn) onverge, pr le rière de négligeilié des fonions posiives Conlusion : e d e d onverge onverge si seulemen si On pose lors pour e d On onsidère, pour ous réels e sûr lim I,, A ) A A Inégrons pr pries I,, A e d Il vien A A A I,, A e d (on ien A, I,, A e e d, d où pr pssge à l limie, A on oien Comme e d, il vien pr réurrene que n, n n!