Agrégatio de mathématiques Optio modélisatio Septembre 013 Bejami Bouti Uiversité de Rees 1 Positio du problème : Soit f ue foctio défiie sur u itervalle réel [a, b], soiet + 1 poits deux à deux disticts x 0 < x 1 <... < x das l itervalle [a, b], obteir p R [X] tel que i = 0,...,, p(x i ) = f(x i ). (1) O s iterrogera égalemet sur la qualité et sur la costructio effective de cette iterpolatio. Pla du cours 1 Polyômes de LAGRANGE 1.1 Base de Lagrage.................................... 1. Formule de Newto et différeces divisées...................... 3 Covergece 3.1 Formule d erreur.................................... 3. Familles de poits d iterpolatio........................... 4.3 Le phéomèe de Ruge............................... 5.4 Le cas des foctios aalytiques............................ 6 3 L approche foctioelle 6 3.1 Costate de Lebesgue................................. 6 3. Résultats avacés de covergece........................... 7 1
1 Polyômes de LAGRANGE 1.1 Base de Lagrage Théorème 1 (Existece et uicité du polyôme d iterpolatio de Lagrage) Il existe u uique polyôme p de degré au plus réalisat l iterpolatio (1). Démostratio : L applicatio Φ : R [X] R +1 défiie par Φ(p) = (p(x i )),..., est liéaire et ijective. E effet, état doé p ker Φ, chacu des x i, i = 0,...,, est ue racie du polyôme p de degré au plus, qui est doc autre que le polyôme ul. L applicatio Φ réalise doc u isomorphisme de R [X] das R +1, d où l existece et l uicité de p. Soit e i, pour i = 0,...,, le i + 1-ième vecteur de la base caoique de R +1. E écrivat Φ(p ) = f(x i )e i, i.e. p = f(x i )Φ 1 (e i ), o peut obteir explicitemet le polyôme p après détermiatio des polyômes l i = Φ 1 (e i ). Simplemet : pour tout i, le polyôme l i admet les racies {x j } j i, deux à deux distictes et vaut 1 e x = x i. D où le résultat classique : Corollaire (Base de Lagrage) Soit p R [X] le polyôme réalisat l iterpolatio (1), alors p s écrit comme combiaiso liéaire des polyômes de la base de Lagrage : p = f(x i )l i, avec l i = j i X x j x i x j. () Remarque 1 Ue autre méthode aturelle pour costruire le polyôme p cosiste à détermier ses coordoées das la base caoique de R [X] : p = j=0 a jx j. Soit à résoudre : i = 0,...,, a j x j i = f(x i). (3) j=0 Les coefficiets a = (a j ) j=0,..., sot doc solutios du système liéaire Va = y, où y = (f(x j )) j=0,..., et V est la matrice de Va der Mode : 1 x 0 x 0 1 x 1 x 1 V =.... (4) 1 x x La matrice V est iversible car les x i sot deux à deux disticts. Cepedat, l efficacité umérique de cette approche est très décevate du fait du mauvais coditioemet de la matrice V pour de grades valeurs de.
1. Formule de Newto et différeces divisées La méthode usuellemet employée pour détermier p e pratique s appuie sur la méthode des différeces divisées et la forme de Newto. Elle est plus efficace (coût de calcul plus faible, ajout d u poit d iterpolatio facilité) et plus stable umériquemet. Elle cosiste à représeter le polyôme p das la base de R [X] suivate : B = {1, X x 0, (X x 0 )(X x 1 ),..., (X x 0 )(X x 1 )... (X x 1 )} puis à l évaluer récursivemet par le schéma de Horer, qui limite le ombre d opératios et les erreurs de calcul dues aux dépassemet de capacité (pas de calcul des puissaces de x). Le schéma de Horer repose sur la formulatio suivate : p (x) = d 0 + (x x 0 )(d 1 + (x x 1 )(d + (x x )(... (d 1 + (x x 1 ))...). La méthode des différeces divisées permet d obteir les coefficiets d i de p das la base de B. Covergece.1 Formule d erreur O défiit le polyôme π +1 R +1 [X] par π +1 = Théorème 3 (Erreur d iterpolatio) (X x i ). Supposos la foctio f de classe C +1 ([a, b]), alors pour tout x [a, b], il existe u réel ξ ]mi(x, x i ), max(x, x i )[ tel que f(x) p (x) = f(+1) (ξ) ( + 1)! π +1(x). (5) Démostratio : Soit x [a, b] u réel fixé, distict des x i, i = 0,..., (sas quoi le résultat est directemet obteu). La preuve se base sur l étude du polyôme q R +1 [X] iterpolat f aux poits (x i ),..., et au poit x. O remarque que q p R +1 [X] et π +1 q p e observat leurs racies. Les deux polyômes e diffèret doc que d ue costate, idetifiée par la valeur de q e t = x, o trouve : q(t) = p (t) + π +1 (t) f(x) p (x). π +1 (x) Soit I = ]mi(x, x i ), max(x, x i )[. La foctio f q, de classe C +1, s aule e + poit de Ī deux à deux disticts. E appliquat le théorème de Rolle, o e déduit que sa dérivée, de classe C, s aule e + 1 poits disticts de I puis, e itérat ce procédé, que sa dérivée ( + 1)-ième, de classe C 0, s aule e u poit ξ I. Autremet dit : Remarque q (+1) (ξ) }{{} =f (+1) (ξ) = p (+1) (ξ) }{{} =0 + π (+1) +1 (ξ) }{{} =(+1)! f(x) p (x), π +1 (x) Du théorème précédet, o déduit l estimatio e orme ifiie sur [a, b] : f p 1 ( + 1)! f(+1) π +1. (6) Cocerat la covergece uiforme d ue suite de polyômes d iterpolatio (p ) 0 vers f, o peut doc costater que le coefficiet 1/( + 1)! est favorable... 3
... sous réserve que f (+1) explose pas trop vite, ce qui coditioe la foctio iterpolée,...... et que π +1 explose pas trop vite, ce qui déped exclusivemet du choix des poits d iterpolatio. Exemples : Qu e est-il de la covergece de l iterpolatio d u polyôme? A-t-o covergece uiforme sur [a, b] pour l iterpolatio de la foctio cos e des poits quelcoques de [a, b]? Y a-t-il covergece uiforme sur [0, 1] pour l iterpolatio de f(x) = e x das les situatios suivates : x i = i/ pour i = 0,...,? x i = 1 + i pour i = 0,...,? x i = 1 + i/ pour i = 0,...,?. Familles de poits d iterpolatio Plusieurs familles de poits d iterpolatio sot traditioellemet cosidérées : a poits équidistats x i, = i b a b a x i, = a + b poits de Tchebyshev + b a cos b ( (i + 1)π + ) Propositio 4 Le polyôme π +1 satisfait, pour ue costate C > 0, à l estimatio ( ) b a +1 π +1 C, (7) λ où la costate λ est doée par : λ = 1 pour des poits quelcoques, λ = pour des poits quelcoques symétriquemet répartis autour de (a + b)/, λ = e pour les poits équidistats, λ = 4 pour les poits de Tchebyshev. Démostratio : Soit x [a, b], x x i (b a). Soit x [a, b], o obtiet 1 x x i x x i (b a) /. Soit x [a, b], o pose h = (b a)/ et s = (x a)/h, alors π +1 (x) = h +1 s(s 1)... (s ). Or s 0 s 1... s! pour tout s [0, ]. O a doc π +1 ( b a )+1!. E utilisat la formule de Stirlig, o obtiet π +1 c( b a )+1 ( e ) π C( b a e )+1. Les poits d iterpolatio de Tchebyshev sot les racies du polyôme de Tchebyshev T +1 (rapporté par ue trasformatio affie de [ 1, 1] à l itervalle [a, b] : x = a+b + b a s, 1. Petit exercice d aalyse!. Ce poit écessite quelques éclaircissemets : Φ : s [0, ] s(s 1) (s ) est paire par rapport à s = /, et pour s [0, /] o-etier, Φ(s + 1)/Φ(s) = (s + 1)/( s) 1. Doc max s [0,] Φ(s) = max s [0,1] Φ(s)!. 4
1 s 1) : ( ) +1 b a ( ) π +1 (x) = (i + 1)π s cos + }{{} = T +1 (s) T +1 Puisque T +1 = 1, o obtiet alors π +1 = ((b a)/4) +1. Coséquece : E supposat que les f (+1) sot uiformémet borées e orme ifiie (comme l est la foctio expoetielle sur u itervalle [a, b]), la covergece de l iterpolatio avec les poits de Tchebyshev apparaît aisi bie plus rapide que celle utilisat les poits équidistats..3 Le phéomèe de RUNGE Cosidéros f : x 1 x défiie sur R, et so iterpolatio e des poits équidistats sur + 1 l itervalle [ 5, 5], aisi que so iterpolatio e les poits de Tchebyshev sur le même itervalle. Les figures cocerat les polyômes p 5 et p 10 sot représetées das la suite. O observe que si la covergece semble bie foctioer au cetre de l itervalle, das le cas des poits équidistats, de fortes oscillatios de plus e plus violetes apparaisset au bord du domaie. Il y a pas covergece uiforme de p vers f. E revache, avec les poits de Tchebyshev, la covergece est uiforme. Das Demailly [, p.37], o trouvera l aalyse détaillée de ce phéomèe. Figure 1: Poits équidistats : f e rouge, p 5 e vert, p 10 e jaue. Figure : Poits de Tchebyshev : f e rouge, p 5 e vert, p 10 e jaue. 5
.4 Le cas des foctios aalytiques Propositio 5 (Cas des foctios aalytiques) Soit f : [a, b] R ue foctio aalytique doée par ue série etière de rayo de covergece R cetrée au poit c = a+b. Alors les polyômes d iterpolatio p aux poits x i, coverget uiformémet vers f pourvu que le rayo de covergece R soit suffisammet grad. Plus précisémet o a covergece uiforme pour des poits d iterpolatio x i, quelcoques et λ = 1 (respectivemet, équidistats et λ = e, de Tchebyshev et λ = 4) dès que ( 1 R > λ + 1 ) (b a). Démostratio : Demailly [, p.31] 3 L approche foctioelle Référeces pour cette partie : Demailly [, p.46], Crouzeix-Migot [1, p.16], Rombaldi [6, p.18]. 3.1 Costate de Lebesgue O cosidère l opérateur d iterpolatio de Lagrage L défii par L : C([a, b]) R [X] f p L aalyse de cet opérateur a ue importace pour évaluer la stabilité umérique de l iterpolatio. Si f est etâchée d erreurs g, alors L (f + g) = p + L (g) et il est crucial d évaluer L (g) e foctio de g. Théorème 6 (Théorème et défiitio) La orme de l opérateur d iterpolatio L est L = Λ := sup x [a,b] ( ) l i (x) appelée costate de Lebesgue associée à x 0, x 1,..., x. Démostratio : L (g) = g(x i)l i, d où L (g) sup x [a,b] g(xi ) l i (x) Λ g et par suite L Λ. Par cotiuité, il existe ξ [a, b] t.q. Λ = l i(ξ). O costruit alors ue foctio g cotiue, affie par morceaux telle que g = 1 et g(x i ) = ±1 = sige(l i (ξ)), de sorte que L (g) g(x i)l i (ξ) = Λ g. Doc L Λ. (8) Propositio 7 f C([a, b]) f L (f) (1 + Λ )d(f, R [X]). (9) Démostratio : E passat par le polyôme de meilleure approximatio uiforme de f, q = argmi p R [X] f p. f L (f) = (f q ) + q L (f) = (f q ) L (f q ), f L (f) f q + Λ f q (1 + Λ )d(f, R [X]). 6
E coséquece, il apparaît que la covergece uiforme est assurée aussitôt que Λ d(f, R [X]) ted vers 0 lorsque ted vers l ifii. E effet, le théorème d approximatio uiforme de Weierstrass assure déjà que d(f, R [X]) ted vers 0 pour f cotiue. Autremet dit, il faut que (Λ ) 1 e diverge pas trop vite. Propositio 8 (Estimatio de la costate de Lebesgue) Pour des poits équidistats : 4 Λ, plus précisémet Λ +1 e l(). Pour les poits de Tchebyshev π l() Λ α l(), plus précisémet Λ π l(). Il existe c > 0 tel que pour ue suite quelcoque de poits : Λ l() c. π 3. Résultats avacés de covergece Théorème 9 (Résultat "égatif" das C([a, b])) Pour toute famille de poits d iterpolatio x i,, il existe ue foctio f cotiue sur [a, b] telle que la suite de ses polyômes d iterpolatio e les x i, e coverge pas uiformémet. Démostratio : Puisque Λ + lorsque +, o e déduit que la suite d opérateurs L de L(C([a, b])) est pas uiformémet borée, et par le théorème de Baach-Steihaus, est pas simplemet borée : f C([a, b]) telle que sup 0 L (f) = +. Théorème 10 (Cas de foctios de classe C 1 ) Supposat la foctio f de classe C 1 ([a, b]), la suite (p ) 0 des polyômes d iterpolatio de f aux poits de Tchebyshev coverge uiformémet vers f sur [a, b]. Référeces [1] Michel Crouzeix, Alai Migot, Aalyse umérique des équatios différetielles, Masso, Paris, 1984. [] Jea-Pierre Demailly, Aalyse umérique et équatios différetielles, Presses uiversitaires de Greoble, 1996. [3] Frack Jedrzejewski, Itroductio aux méthodes umériques, Spriger, 005. [4] Alai Pommellet, Agrégatio de mathématiques. Cours d aalyse, Ellipses, 1994. [5] Alfio Quarteroi, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Méthodes umériques. Algorithmes, aalyse et applicatios, Spriger, Mila, 007. [6] Jea-Étiee Rombaldi, Iterpolatio et approximatio, Aalyse pour l agrégatio, Vuibert, 005. 7