Correcion de l exercice du cours Managemen Bancaire : «Calcul de la VaR d une obligaion» Quesion : calculer numériquemen la duraion e la convexié de l obligaion de coure maurié e de l obligaion de longue maurié. Pour l obligaion coure de maurié 5 ans, la duraion es égale à 4,7 ans (3,79 ans pour la duraion modifiée) e la convexié à 9,37. Pour l obligaion longue de maurié 0 ans, la duraion es égale à 6,76 ans (6,4 ans pour la duraion modifiée) e la convexié à 5,37. On consae que la duraion es croissane avec la maurié d une obligaion classique remboursée in fine. Noer que la relaion n es pas linéaire. Quesion : représener graphiquemen la valeur exace d une obligaion en foncion du aux de rendemen (pour des valeurs allan de 0% à 0% ). On représenera aussi sur le graphique les approximaions au premier ordre (uilisaion de la duraion) e au deuxième ordre (uilisaion de la duraion e de la convexié). On fera des graphiques séparés pour l obligaion de coure maurié e l obligaion de longue maurié. Laquelle des deux obligaions es la plus sensible à une variaion du aux de rendemen? Relaion enre le prix e le aux de rendemen pour une obligaion coure 00 Prix de l'obligaion 50 00 50 0 0% % 4% 6% 8% 0% % 4% 6% 8% 0% Prix exac aux de rendemen Approximaion du premier ordre Approximaion du deuxième ordre
Relaion enre le prix e le aux de rendemen pour une obligaion longue 00 Prix de l'obligaion 50 00 50 0 0% % 4% 6% 8% 0% % 4% 6% 8% 0% aux de rendemen Prix exac Approximaion du premier ordre Approximaion du deuxième ordre Quesion 3 : déerminer sur quel inervalle de aux les approximaions au premier ordre e au deuxième ordre son valides avec une erreur maximale de 0,5% e de %. On pourra se conener de valeurs approchées pour la borne inférieure e la borne supérieure des inervalles obenues à parir de la quesion précédene mais on pourra aussi calculer les valeurs exaces en résolvan les équaions associées. i s Les bornes inférieure e supérieure, noées r e r, de l inervalle de aux sur lequel l approximaion au premier ordre es valide avec une marge d erreur égale à x% son données par les équaions suivanes : = ( + * ( D ( r ) = ( + = ( + = x % avec r < r pour la borne inférieure e r > r pour la borne supérieure, où r es le aux d inérê iniial (r = 0%). Sous un ableur comme Excel, ces équaions peuven êre résolues à l aide du solveur. Résulas pour l obligaion coure : Erreur olérée Prix exac Approximaion du prix au premier ordre de l'inervalle de aux 0.50% 09.34 08.79 7.68% 0.50% 9.0 9.55.3%.00% 3.68.54 6.69%.00% 89.03 88.4 3.3%
Résulas pour l obligaion longue : Erreur olérée Prix exac Approximaion du prix au premier ordre de l'inervalle de aux 0.50% 09.7 08.63 8.60% 0.50% 9.6 9.70.35%.00% 3.44.3 8.00%.00% 89.4 88.34.90% i s Les bornes inférieure e supérieure, noées r e r, de l inervalle de aux sur lequel l approximaion au deuxième ordre es valide avec une marge d erreur égale à x% son données par les équaions suivanes : = ( + * D C ( r ( r = ( + avec x% e r < r pour la borne inférieure s supérieure r. r es le aux d inérê iniial (r=0%). Résulas pour l obligaion coure : Erreur olérée Prix exac Approximaion du prix du second ordre = ( + = ± x %. i r e avec +x% e r > r pour la borne de l'inervalle de aux 0.50% 9.94 9.9 3.39% 0.50% 80.6 80.56 6.07%.00% 40.30 38.90.56%.00% 76.07 76.83 7.58% Résulas pour l obligaion longue : Erreur olérée Prix exac Approximaion du prix du second ordre de l'inervalle de aux 0.50% 9.6 8.96 5.98% 0.50% 80.53 80.93 3.69%.00% 39.90 38.50 4.87%.00% 76.54 77.30 4.60% Quesion 4 : calculer numériquemen la VaR de l obligaion par la méhode «exac normal» en effecuan des simulaions de Mone Carlo (voir l Annexe pour l uilisaion d ouils de simulaion avec un ableur). On réfléchira au nombre de simulaions à effecuer. Représener graphiquemen la disribuion saisique de la variaion du prix de l obligaion. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différens seuils de probabilié considérés. Rappelons les éapes du calcul de la VaR par la méhode de simulaion de Mone Carlo : ) Esimer les paramères du modèle de simulaion (la moyenne e l écar ype des variaions de prix à un horizon donné) ) Simuler le aux de rendemen inerne fuur à parir d un simulaeur de nombres aléaoires e du processus de aux 3) En déduire le prix fuur de l obligaion (par calcul acuariel). enir compe du passage du emps pour le calcul de l acualisaion.
4) En déduire la variaion de prix définie comme la différence enre le prix fuur e le prix acuel de l obligaion (00 ) 5) Répéer les opéraions, 3 e 4 un cerain nombre de fois pour obenir une série de variaions de prix. Le nombre de simulaions doi êre suffisammen élevé pour obenir une disribuion simulée fiable. 6) Ordonner la série des variaions de prix de l obligaion par ordre croissan. 7) Idenifier le quanile de la disribuion simulée correspondan à la probabilié associée à la VaR. Par exemple, pour une posiion longue de 00 sur l obligaion coure, la VaR jour 99% es égale à,73. Les aures résulas son présenés dans le ableau en fin de correcion. Quesion 5 : calculer formellemen la VaR d une obligaion par la méhode «duraion normal». Pour le prix fuur de l obligaion, on iendra aussi compe du passage du emps. Représener graphiquemen la disribuion saisique de la variaion du prix de l obligaion. On indiquera sur le graphique la VaR pour les différens seuils de probabilié considérés. La variaion du prix de l obligaion sur la période [, + ] résule du passage du emps e de la variaion du aux de rendemen. Dans la méhode uilisan la duraion, la variaion de prix de l obligaion liée à la variaion du aux e modélisée par une approximaion au premier ordre faisan inervenir la duraion. La relaion enre la variaion du prix e la variaion du aux es donnée par : où l obligaion. On en dédui la VaR d une posiion : P * P = r P P D r. * VaR ( p ) = r P + P D P ( p ). représene l inverse de la foncion de répariion de la variaion du prix de Par exemple, pour une posiion longue de 00 sur l obligaion coure, la VaR jour 99% es égale à 3,00. Les aures résulas son présenés dans le ableau en fin de correcion. Quesion 6 : calculer numériquemen la VaR de l obligaion par la méhode «duraionconvexiy normal». On décomposera la variaion de prix d une obligaion sous la forme : ( W + b ) c P = a + où a, b e c son rois paramères que l on idenifiera (a>0 e b>0) e W une variable aléaoire disribuée d après une loi normale cenrée réduie. On éudiera la disribuion saisique de cee variable aléaoire. A compléer Quesion 7 : indiquer quels son les risques de modèle liés aux méhodes précédenes. La méhode «exac normal» compore un risque de modèle lié au choix du processus de aux. L hypohèse d une loi normale n es pas bien adapée à la modélisaion des aux d inérê. Premièremen, dans la réalié, les aux d inérê ne peuven êre négaifs. Or, une variable modélisée par une loi normale peu prendre des valeurs négaives (bien qu avec une rès faible probabilié sur un horizon cour el que jour ou 0 jours). Dans ce cas, une loi log normale serai plus appropriée.
Deuxièmemen, dans la réalié, les aux d inérê (quelque soi leur maurié) présenen un comporemen de reour vers la moyenne (un aux d équilibre de long erme). Or, le processus reenu implique l exisence d une endance (posiive ou négaive) pour l évoluion des aux d inérê. Dans ce cas, un processus de ype d Orsein Uhlenbeck serai plus approprié : ( b r ) d + dw dr = a σ où r représene le aux d inérê à cour erme qui évolue aléaoiremen au cours du emps, b le aux d inérê d équilibre à long erme, a la viesse de reour vers le aux d inérê d équilibre à long erme du aux d inérê, σ l écar ype du aux d inérê à cour erme, e dw un erme aléaoire. Les méhodes «duraion normal» e «duraion convexiy normal» présenen en plus un aure risque : celui lié au modèle d évaluaion du prix de l obligaion. La relaion exace es remplacée par une approximaion au premier ordre ou au deuxième ordre. Le risque es bien sûr inférieur dans le cas de l approximaion au deuxième ordre (plus précise) que dans le cas de l approximaion au premier ordre.
Annexe Présenaion des résulas able A. VaR d une obligaion de coure maurié (posiion longue). Paramères de la VaR Méhodes de calcul de VaR jour 0 jours Exac normal,4,96 3,80 6,7 9,,50 Duraion normal, 3,00 4,00 6,49 9,30,45 Duraion convexiy normal able B. VaR d une obligaion de coure maurié (posiion coure). Paramères de la VaR Méhodes de calcul de VaR jour 0 jours Exac normal,7 3,06 4,06 7,06 9,87 3,0 Duraion normal,00,8 3,73 7,9 9,48,5 Duraion convexiy normal able A. VaR d une obligaion de longue maurié (posion longue). Paramères de la VaR Méhodes de calcul de VaR jour 0 jours Exac normal,97,74 3,5 6,08 8,34 0,57 Duraion normal,94,77 3,69 5,83 8,44,36 Duraion convexiy normal able B. VaR d une obligaion de longue maurié (posion coure). Paramères de la VaR Méhodes de calcul de VaR jour 0 jours Exac normal,,74 3,47 6,85 8,97,54 Duraion normal,04,86 3,79 6,75 9,36,9 Duraion convexiy normal