[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u = Exercice [ 055 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a u = + b u = c u = d u = / si + Exercice 3 [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la limite des suites u suivates : a u = b u =! si + + c u = + d u = e e u = + Exercice 6 [ 060 ] [Correctio] Soit u N ue suite de réels strictemet positifs O suppose u + u + l a Motrer que si l < alors u + 0 b Motrer que si l > alors u + + c Observer que das le cas l = o e peut rie coclure Exercice 7 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = a Établir que pour tout p >, + et S = p+ E déduire la limite de S p x p p p x b Établir que S = S E déduire la limite de S Exercice 4 [ 057 ] [Correctio] Détermier les limites des sommes suivates : a S = b S = c S = + d S = =+ e S = f S = + + g S =! Exercice 8 [ 063 ] [Correctio] Détermier la limite de u = Exercice 9 [ 064 ] [Correctio] Soit p N \ {0, } Pour N o pose Exercice 5 [ 058 ] [Correctio] Comparer lim lim m, lim m + + lim + m + m et lim + a Motrer que + p u = et S = u N, + p + u + = + u + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés b Motrer par récurrece S = p + p + u + c O pose N v = + pu Motrer que v coverge vers 0 d E déduire lim S e foctio de p Exercice 0 [ 03039 ] [Correctio] Soit z C avec z < Existece et calcul de lim + + z Exercice [ 0396 ] [Correctio] Étudier la covergece de deux suites réelles u et v vériat lim + u + v = 0 et lim e u + e v = + Exercice [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier lim P P = cos a a si P = sia Exercice 3 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a u = c u = + + b u = + x d u = cos cos + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés 3 e u = f u = π ta 4 + α l l+ l Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral Exercice 5 [ 078 ] [Correctio] g u = h u = u = cosπ l / Étudier la covergece de la suite a /, où a > 0 + 3+ 4 3 arcta+ arcta Exercice 6 [ 00304 ] [Correctio] Soit u ue suite d'etiers aturels deux à deux disticts Motrer que u + Exercice 7 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = α + α a Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u + b Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete c Toujours das le cas α = et e exploitat l'ecadremet l + x x l x valable pour tout x [0 ; [, établir u l Exercice 9 [ 0039 ] [Correctio] a Soit u = p + où p N est xé Motrer que la suite u coverge Sa limite sera otée l o e demade pas ici de la calculer b Soit f : R + C de classe C et telle que f0 = 0 Soit p v = f + Motrer que v coverge Exprimer sa limite e foctio de l c Calculer l e utilisat fx = l + x d Si f de R + das C est cotiue et vérie f0 = 0, motrer qu'il peut y avoir divergece de la suite v Exercice 0 [ 050 ] [Correctio] Soit u ue suite de réels strictemet positifs O suppose Étudier la limite de u u + u + Exercice 8 [ 003 ] [Correctio] a Établir que pour tout x 0 o a x x l + x x b E déduire la limite de u = + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 4 Correctios e u 3 = e l 3 doc u Exercice : [éocé] a b c d u = Exercice : [éocé] u = /3 + /3 + + + + = + + + + u = + / + / 0 u = a u = e l+/ or l + Par suite u e b u = e l car l 0 / c si = e lsi or l si d + + = / l + car l+x x x 0 l 0 doc si / = e l + or l + doc + e Exercice 3 : [éocé] a u 0 doc u 0 b 0 u 0 doc u 0 c + u + avec +, + doc u e d Pour 3, 0 u 3 0 doc u 0 Exercice 4 : [éocé] a S = + b S = + c 0 S + = + 0 doc u 0 d 0 S =+ + + 0 e f + S = + gedarmes : S + doc S + + S = + + + puis u par le théorème des g S =!! +! + + Par regroupemet de termes Si est pair alors S!! et si est impair S!! Puisque!! =! +, o a S + Exercice 5 : [éocé] m m lim + = m et lim m + lim + = m m lim m + = 0 et lim + lim m + = 0 = e l e Exercice 6 : [éocé] a Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ < Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0 O peut aussi raisoer e observat que la suite u est décroissate à partir d'u certai rag, doc covergete et que sa seule limite possible est ulle Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 5 b Même démarche mais par mioratio ou par croissace c u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu'o e peut rie dire Exercice 7 : [éocé] a O a p+ p p+ x p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p Par u argumet semblable p p p x p p = p Pour, ++ + doe e sommat + + Or + et doc S l b O a + x + + + x x S x x S = + 3 + + 4 = doc S = = = l + + l x = l sur [p ; p + ] + + + + + + 4 =+ = + = S Par suite S l De plus S + = S + + l doc S l Exercice 8 : [éocé] O a Or pour {,, }, doc puis u Exercice 9 : [éocé] a d'où la relatio u = + + + + = = = 3 0 0 + p + + b Par récurrece sur N : Pour = : c p+ S = et = + p + + o Supposos la propriété établie au rag + p + + p p + p + p + = p + S + = S +u + = HR p +p+u ++u + = p +u + = p Récurrece établie d Par opératios 0 v = + p = +p!p! + p! p! + 0 S p Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 6 Exercice 0 : [éocé] O a + z = z + z + z + z z Or z + z = z doc z + z = z + z + z E répétat la maipulatio Or z + 0 doc z lim + z = z + + + z = z Puisque o a puis car Exercice 3 : [éocé] six x a u = expl / b = P = six si 0 x 0 si a/ a/ + x 0 cos0 = sia sia si a + a si a a + = a u = exp l + x = exp x + o e x Exercice : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l'équatio X e u X e v = 0 iex S X + P = 0 À l'ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux suites tedet vers O e déduit u 0 puis v 0 Exercice : [éocé] E exploitat la formule six = si x cos x si a P = si a cos a cos a = = sia Si a = 0 alors P = Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ 0 et P = sia si a c d e f u = exp + l = exp + o e + u = si + / si + / = O 0 doc u = exp l u = π ta 4 + α = + α + o + α + o = expα + o e α + l l + o e l Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 7 g = exp l = + l + o l 4 u = + 3 + o 3 4 h Par le théorème des accroissemets is l arcta + larcta = + c arcta c avec c + doc u = exp + c arcta c e /π Exercice 4 : [éocé] E développat l / u = cos π + π + o = + sio 0 Exercice 5 : [éocé] Si a ]0 ; [, la suite est costate égale à 0 Si a =, la suite est costate égale à Si a > alors a < a a doe a / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a b u + u = + + + + > 0 doc u est croissate De plus u + doc u est majorée et par coséquet covergete c u = + l = l + = l et u = doc u l Exercice 8 : [éocé] + l + = l + + + l a Il sut de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x x + x et x x l + x b et doc l u l u 4 + = = + u e + + 6 3 Exercice 9 : [éocé] Exercice 6 : [éocé] A R +, l'esemble E = { N u < A} est i car il cotiet au plus EA + élémets Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A Aisi u + Exercice 7 : [éocé] a Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0 Si α < alors u = α + doc u + α + α a La suite u est croissate car u + u = p + + + + + p + + 0 et u p + p doc u coverge vers ue limite l b Commeços par le cas où f 0 = 0 Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0 ; α] o ait f x ε et par l'iégalité des accroissemets is, o obtiet x [0 ; α], fx ε x Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 8 O a alors v = p ε + pε et doc v 0 Pour le cas gééral, il sut d'itroduire gx = fx xf 0 Puisque g 0 = 0, o a p g + 0 + et doc et alemet v lf 0 c Pour fx = l + x, v u f 0 + 0 Il existe doc ue suite ε de réels égaux à ou telle que u = v + ε v 4 pour tout N La suite v covergeat vers et ε état borée, o coclut par opératios que la suite u ted vers p v = l + + l + = lp + + l + lp + O coclut l = lp + d Pour fx = x, v = p + p + p + Exercice 0 : [éocé] O exprime u e foctio de v = u + u Pour tout N, o vérie u v u + = 0 ce qui permet d'observer u comme solutio d'ue équatio du secod degré Les racies de celle-ci sot v v 4 et v + v 4 O peut armer que = v 4 est positif, soit parce que l'o sait que l'équatio du secod admet au mois la solutio u, soit parce que l'iégalité x + /x pour x > 0 est classique Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd