THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. Équations locales de l électromagnétisme

MP Cours de physique THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL Chapitre 2 Équations locales de l électromagnétisme 2 Équations de Maxwell Un peu d histoire James Clerk Maxwell publie en 865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field où il présente les équations différentielles linéaires rassemblant l ensemble des propriétés du champ électromagnétique L électrostatique et la magnétostatique, l électricité des régimes quasi stationnaires, les phénomènes d induction magnétique, la propagation des ondes hertziennes et même, pensait-il, la propagation de la lumière entrent dans le domaine d application d une même théorie de champs que l on baptise aujourd hui «théorie électromagnétique de Maxwell» Équations locales reliant les champs aux sources Le champ électromagnétique est dû à la présence dans l espace de charges électriques et à leur mouvement éventuel dont on rend compte par l existence de courants Les charges électriques distribuées dans l espace sont les sources du champ électrique, lequel vérifie en tout point M de l espace et à tout instant t l équation différentielle linéaire dite de «Maxwell-Gauss» : ρ M, t dive M, t = ε Équation de Maxwell-Gauss Notons que cela revient à affirmer que le théorème de Gauss est un théorème général de l électromagnétisme, vrai non seulement en électrostatique, mais aussi en régime variable, y-compris hors ARQS, y compris dans des conditions relativistes En magnétostatique, le champ d induction magnétique est dû à l existence dans l espace de courants constants Maxwell remarqua qu il ne pouvait en être ainsi dans le cas plus général des courants variables et se posa la question de savoir comment il convenait de modifier le théorème d Ampère afin qu il puisse rendre compte des conséquences de courants fonctions du temps qui seraient compatibles avec la conservation de la charge électrique Jean Le Hir, 3 septembre 25 Page sur

Comme nous l avons déjà vu, la conservation de la charge électrique implique que soit vérifiée en tout point M de l espace et à tout instant l équation de continuité : ρ M, t div j + = ( M, ) D après l équation de Maxwell-Gauss : t ρ ( M, ) ( dive ) div E t = ε = ε E Cela fait que l équation de continuité s écrit : M, t div j + ε = E Le champ vectoriel j + ε est un champ à flux conservatif C est donc un champ B M, t µ afin de retrouver la définition du champ rotationnel et Maxwell définit ainsi le vecteur d induction magnétique déjà adoptée dans le cadre de l approximation des régimes quasi stationnaires Cela introduit la seconde équation différentielle fort justement nommée «équation de Maxwell- Ampère» : M, t rot B = µ j + ε E Équation de Maxwell-Ampère { } Nous avons ainsi défini le champ électromagnétique E ( M, t ), B ( M, t ) { j ( M, t ), ρ( M, t )} associé aux sources d une façon qui élève le théorème de Gauss au titre de théorème général de l électromagnétisme, en affirmant comme universel le principe de conservation de la charge électrique Équations locales de structure des champs { } Une fois introduit ce champ électromagnétique E ( M, t ), B ( M, t ) différentielles linéaires va en définir certaines propriétés structurelles, une deuxième paire d équations Tout d abord, le champ d induction magnétique fonction du temps reste fondamentalement un champ vectoriel à flux conservatif Cela se traduit par la satisfaction en tout point M de l espace et à tout instant t d une équation différentielle linéaire que nous nommerons «équation de Maxwell- flux» : M, t divb M, t = Équation de Maxwell- flux Enfin, la loi de Lenz-Faraday rendant compte des phénomènes d induction électromagnétique est considérée comme une loi générale de l électromagnétisme, ce qui se traduit par la satisfaction en tout point M de l espace et à tout instant t d une équation différentielle linéaire que nous nommerons «équation de Maxwell-Faraday» : M, t rot E M, t = B Équation de Maxwell-Faraday JLH /2/29 Page 2 sur

Lois générales de l électromagnétisme Chacune des quatre équations de Maxwell est l expression locale d un théorème général de l électromagnétisme Nous démontrons ces théorèmes en intégrant à un instant donné les équations différentielles sur un certain domaine d espace Théorème de Gauss Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que le flux sortant d un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l intégrale de la divergence de ce champ de vecteur étendue au volume intérieur à cette surface Appliquons ce théorème à l instant t : S fermée, t t E P, t n S φ = δ = div E P, t δτ E ext P τ S τ Compte tenu de l équation de Maxwell-Gauss, cela s écrit : ( P, t) q ( t) ρ S fermée, t φ E ( t) = δτ = ε int ε P τ Étant donnée une distribution de charges et de courants quelconque créant un champ électromagnétique { E ( M, t ), B ( M, t )} dans l espace-temps, le flux sortant du champ E M, t à travers une surface fermée quelconque est égal à chaque instant au électrique rapport par ε des seules charges intérieures à cette surface S fermée, t φ t = E P, t n δ S = Loi de conservation du flux de B E Le théorème de Green-Ostrogradski appliqué à chaque instant au champ B, s écrit : S fermée, t t B P, t n S φ = δ = div B P, t δτ = B ext q int ε ( t ) ext Étant donné un champ électromagnétique E ( M, t ), B ( M, t ) champ d induction magnétique B ( M, t ) P τ { }, à chaque instant, le flux du à travers une surface fermée quelconque est nul S fermée, t t B P, t n φ = δ S = B ext On dit encore que le champ d induction magnétique est à flux conservatif Il s agit de l équivalent magnétique du théorème de Gauss, à ceci près qu il n existe pas de charges magnétiques Loi de Lenz-Faraday Selon le théorème de Stokes, la circulation d un champ de vecteurs le long d un parcours fermé orienté C est égale au flux du rotationnel de ce champ de vecteurs à travers une surface S quelconque s appuyant sur ce contour, le champ n + de vecteurs unitaires normaux à la surface S étant orienté conformément à l orientation de la courbe C : JLH /2/29 Page 3 sur

P C E t δ = E t n δs ( P, ) l rot ( P, ) Étant donnée l équation de Maxwell-Faraday, cela s écrit : B ( P, t) d dφ B E ( P, t) δ l = n+ δ S = B ( P, t) n+ δ S = P C P S dtp S dt À chaque instant, la circulation du champ électrique le long d une courbe fermée quelconque est opposée à la dérivée du flux du champ magnétique à travers cette courbe dφ B C fermée, t e ( t ) = E ( P, t ) δ = l P C dt Remarque : dans le cas particulier où le parcours C coïncide avec un conducteur filiforme, nous retrouvons l expression de la loi de Lenz-Faraday Le théorème énoncé ici est plus général : la courbe C est un parcours quelconque qui n a pas nécessairement de matérialité Théorème d Ampère généralisé incluant les courants de déplacement Nous appellerons densité de courant de déplacement le vecteur j + = ε d Comme nous l avons déjà vu, le champ de vecteur j + j d E ( t ) ( t) est à flux conservatif : il est donc permis de parler à chaque instant t du flux d un tel champ de vecteur à travers une courbe fermée, sans préciser la surface particulière choisie s appuyant sur ce contour Cela signifie que l on peut définir en électromagnétisme le courant total enlacé par une courbe fermée comme la somme du courant réel i t = j P, t n δs i t = j P, t n δs + et du courant de déplacement Étant donné un contour C quelconque, i ( t ) et id particulière choisie parmi les surfaces s appuyant sur C, par contre, la somme i ( t) i ( t) du contour d d t ont des valeurs qui dépendent de la surface S + + ne dépend que L équation de Maxwell-Ampère s écrit alors : M, t rot B = µ j + j d d Selon le théorème de Stokes : B P, t δ l = rot B P, t n δ S = µ j P, t + j P, t n δ S = µ i t + i t + d + d P C Il s ensuit le théorème d Ampère généralisé : Soit, dans le vide, un champ électromagnétique { E ( M, t ), B ( M, t )} La circulation de B le long d une courbe fermée C quelconque orientée est égale à chaque instant au produit par la perméabilité du vide µ de la somme de l intensité électrique traversant dans le sens algébrique conventionnel une surface S s appuyant sur le contour C et E ( P, t ) du courant de déplacement id ( t ) = ε n+ δ S traversant la même surface avec la même convention algébrique B M, t δ l = µ i t + i t M C d JLH /2/29 Page 4 sur

22 Continuités et discontinuités des champs Comme nous l avons déjà fait en électrostatique et en magnétostatique, nous utiliserons en électromagnétisme des modélisations surfaciques des sources, aussi bien des charges que des courants en définissant en chaque point M des surfaces de localisation des sources et à chaque instant t une densité surfacique de charge s M, σ et une densité de courant de surface j ( t) Discontinuité du champ électrique à la traversée d une surface chargée Une densité surfacique de charge σ non nulle correspond à une densité volumique de charge ρ infinie L équation de Maxwell-Gauss diverge alors et ne peut plus être appliquée : le champ électrique est discontinu à la traversée d une surface chargée Aux équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday nous devons alors substituer une relation exprimant cette discontinuité Relation substitutive de l équation de Maxwell-Gauss Le théorème de Gauss étant valable en électromagnétisme à l identique de l électrostatique, la démonstration faite dans le cours d électrostatique (chapitre : champ électrique, section 2 théorème de Gauss) reste valable Il nous suffit de remarquer que cette relation est vérifiée en chaque instant E δ S milieu n M M δ q int = σδs M 2 milieu 2 E 2 δ S 2 Nous en déduisons que la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue à chaque instant au franchissement d une surface chargée : ( ) Relation substitutive de l équation de Maxwell-Faraday σ E M, t E2 M, t n = M S, t ε Référons nous à la démonstration faite dans le cours d électrostatique (chapitre 2 : potentiel électrique, section 22 circulation du champ électrostatique) de la continuité nécessaire de la composante tangentielle du champ électrique statique En notant E et E2 les champs électriques dans les milieux et 2 aux points M et M 2 immédiatement voisins de M, la loi de Lenz-Faraday s écrit : d δγ = E ( M, t) δl E2 ( M 2, t E ) δ l 2 = ( δφ B ) dt JLH /2/29 Page 5 sur

E milieu n M δ l M M 2 δ l δ l 2 milieu 2 Dans la mesure où le champ d induction magnétique ne diverge pas, le flux δφ tend vers lorsque M B et M 2 tendent vers M et la circulation élémentaire tend donc vers : E E2 δ l = Ou encore : E M, t E M, t n = M S, t ( ) 2 Relation de passage pour le champ électrique E 2 L ensemble des deux relations substitutives des équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday se résume en une seule relation vectorielle traduisant la discontinuité du champ électrique au passage d une surface chargée : σ E M, t E M, t = n M S, t 2 ε Discontinuité du champ magnétique à la traversée d une nappe de courant De la même façon, une densité surfacique de courant j s non nulle correspond à une densité de courant j infinie L équation de Maxwell-Ampère diverge alors et ne peut plus être appliquée : le champ d induction magnétique est discontinu à la traversée d une surface chargée Aux équations de Maxwell- Ampère et Maxwell- flux nous devons alors substituer une relation exprimant cette discontinuité Relation substitutive de l équation de Maxwell- flux Le champ B étant à flux conservatif en électromagnétisme à l identique de la magnétostatique, la démonstration faite dans le cours de magnétostatique (chapitre 2 : potentiel vecteur, section 22 inexistence de charges magnétiques) reste valable Il nous suffit de remarquer que cette relation est vérifiée en chaque instant Nous en déduisons que la composante normale du champ magnétique est nécessairement continue à chaque instant au franchissement d une nappe de courant : B M B M n = ( ) 2 JLH /2/29 Page 6 sur

B δ S milieu n M M M 2 milieu 2 B 2 δ S 2 Relation substitutive de l équation de Maxwell-Ampère Référons nous à la démonstration faite dans le cours de magnétostatique (chapitre : champ d induction magnétique, section 2 théorème d Ampère) de la discontinuité nécessaire de la composante tangentielle du champ d induction magnétique statique au franchissement d une nappe de courant milieu n δ l δ l j s B M M M 2 δ l 2 δ l// δ l // B j s M M M 2 δ l 2 // milieu 2 B 2 B 2 En considérant tout d abord un parcours élémentaire fermé orthogonal au courant de surface, la circulation du champ d induction magnétique s écrit, conformément au théorème d Ampère généralisé : δγ = B t δ + B2 2 t δ 2 = µ js t δ + ε δφ dt Dans la mesure où le champ électrique ne diverge pas, le flux δφ tend vers lorsque M E et M 2 tendent vers M et la circulation élémentaire tend donc vers ( ( M, ) 2 ( M, δγ = B t B t) ) δ l = µ js δl Considérons maintenant un déplacement δ l // parallèle au courant et faisons le même raisonnement Dans ce cas, aucun courant n est enlacé et l on en déduit dans la limite où M et M 2 tendent vers M : d ( M, ) l ( M, ) l ( M, ) l ( E ) δγ = M, M, δ l = ( B ( t) B ( t) ) // 2 // ( B M, t B2 M, t ) n = µ js Ces deux relations se résument en une seule, vectorielle : JLH /2/29 Page 7 sur

Relation de passage pour le champ d induction magnétique L ensemble des deux relations substitutives des équations de Maxwell- flux et Maxwell-Ampère se résume en une seule relation vectorielle traduisant la discontinuité du champ d induction magnétique au passage d une nappe de courant : B M, t B M, t = µ j M, t n M S, t 2 s 23 Potentiels électromagnétiques Définition des potentiels électromagnétiques Selon l équation de Maxwell- flux, B est non divergent en tout point de l espace et à tout A M, t tel instant Nous en déduisons qu en tout point de l espace et à tout instant, il existe un vecteur que B = rot A A Selon l équation de Maxwell-Faraday, le vecteur E + est irrotationnel en tout point de l espace et à t tout instant Nous en déduisons qu en tout point de l espace et à tout instant, il existe une fonction scalaire A V ( M, t ) telle que E = gradv Le champ électromagnétique { E ( M, t ), B ( M, t )} dérive du potentiel électromagnétique A M, t, V M, t par les relations suivantes : { } B = rot A ( M, t ) A E = gradv Non unicité des potentiels Le potentiel vecteur A d une fonction scalaire près Si A est un potentiel possible, est défini par son rotationnel, il s ensuit que A est défini au gradient A M, t = A M, t + grad ϕ M, t est aussi un potentiel vecteur possible Mais alors le potentiel vecteur A A ϕ M, t A M, t E = gradv = grad V doit être associé à un potentiel scalaire V ϕ V = V +, soit : tel que : JLH /2/29 Page 8 sur

{ } Si A ( M, t ), V ( M, t ) est un potentiel électromagnétique possible, alors quelle que soit la fonction scalaire ϕ, A grad, V ϕ + ϕ + est aussi un potentiel électromagnétique possible : le potentiel électromagnétique n a pas une définition unique Choix de jauge de Lorentz Nous conviendrons le plus souvent en électromagnétisme d imposer une relation linéaire reliant le potentiel vecteur et le potentiel scalaire que l on appelle le choix de jauge de Lorentz Cette relation s écrit : V diva + ε µ = Choix de jauge de Lorentz Continuité des potentiels Les potentiels scalaire et vecteur sont définis par leurs dérivées (les champs dérivent des potentiels) Ces fonctions potentiels seront systématiquement définies comme des fonctions continues, y compris si les champs sont discontinus Le choix de Jauge de Lorentz ne définit pas encore de façon unique le potentiel électromagnétique : nous conviendrons, chaque fois que cela sera possible, de choisir les potentiels nuls à tout instant à l infini et cela sera toujours possible pour les situations réelles Toutefois, nous avions déjà rencontré cette difficulté en électrostatique pour le potentiel scalaire et en magnétostatique pour le potentiel vecteur, il pourra arriver que certains problèmes soient posés en présentant l existence de sources du champ électromagnétique s étendant jusqu à l infini Il faudra alors renoncer au choix du potentiel nul à l infini Équations d alembertiennes Le rotationnel d un rotationnel est égal au gradient de la divergence moins le laplacien vectoriel : il s agit là d une identité conséquence des seules définitions des opérateurs La démonstration n est pas bien compliquée et l on peut mémoriser le résultat par la formule du double produit vectoriel non commutatif : ( A ) = ( A ) ( ) A rot rot A = grad diva A Exprimons les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss en fonction des potentiels : 2 E ( gradv ) A rot B = µ j + ε µ = rot ( rot A ) = µ j ε µ ε µ = grad 2 ( diva ) A 2 ρ A ( diva ) V V dive = = div gradv = V = V + ε µ diva 2 + ε µ ε Ces équations s écrivent sous des formes particulièrement symétriques : 2 A V A ε µ = µ 2 j + grad diva + ε µ 2 V ρ V V ε µ diva 2 = + ε µ ε JLH /2/29 Page 9 sur

Le potentiel électromagnétique étant défini sous la condition de jauge de Lorentz, nous obtenons deux équations linéaires découplées du second ordre particulièrement simples reliant les potentiels aux sources électromagnétiques Nous définissons l opérateur d alembertien par la relation : = ε µ t 2 2 Ces équations s appellent alors les équations d alembertiennes relatives au potentiel électromagnétique Elles ne sont pas sans rappeler les équations de Poisson électrostatique et magnétostatique qui en sont l expression particulière en régime permanent : A t j t V ( M, ) = µ ( M, ) ρ = ε Équations d alembertiennes du potentiel électromagnétique sous la condition de jauge de Lorentz Les équations d alembertiennes sont des équations de propagation Nous montrerons dans le prochain chapitre consacré à la propagation des ondes, que la propagation se fait à la vitesse c = ε µ Il s agit là d une constante universelle dont la valeur numérique doit être connue : 8 c 3, m s Potentiels retardés Nous accepterons, sans démonstration, cette solution particulière des équations d alembertiennes : des j P, t, ρ P, t contenues dans un volume τ produisent en un point M de { } sources électromagnétiques l espace, un potentiel électromagnétique qui s exprime, dans le cadre de la condition de jauge de Lorentz, sous la forme des potentiels retardés : PM ρ P, t V = dτ 4 PM PM t =, avec c c et ( M, ) πε P τ PM j P, t µ c A t = dτ 4 PM π c = ε µ, est le temps de propagation de l interaction électromagnétique du point P vers le point M : le potentiel électromagnétique au point M à l instant t est fonction des sources telles qu elles étaient à l instant antérieur t t Remarque : dans le cas de sources invariantes dans le temps, nous retrouvons l expression du potentiel div A M = lorsque scalaire coulombien et du potentiel vecteur dans le choix de jauge de Coulomb les potentiels A et V sont choisis nuls à l infini V ρ( P) d et A πε P τ M = τ 4 PM P τ j π P τ ( P) µ M = dτ 4 PM JLH /2/29 Page sur