L - Math4 Exercices corrigés sur les séries umériques Eocés Exercice Soiet a et b deux séries à termes strictemet positifs vériat : N:, a + a b + b Motrer que si b coverge, alors a coverge ; si a diverge, alors b diverge Exercice Soiet α et β deux réels O étudie la série u avec Cette série s'appelle la série de Bertrad u α l β Étudier le cas α > O posera γ : + α/ et o motrera que u O/ γ Étudier le cas α < 3 O étudie maiteat le cas α a Soit f β : ], [ R la foctio déie par f β t tl t β Motrer qu'il existe N tel que f β soit décroissate sur ], [ b O suppose β Motrer, par comparaiso avec ue itégrale, que la série diverge c O suppose β > Motrer, par comparaiso avec ue itégrale, que la série coverge d Étudier le cas β < Exercice 3 Calculer la somme des séries q pour q R et + Exercice 4 Étudier la ature des séries suivates :!,,!,! Exercice 5 Soiet a R et α R + Étudier, selo les valeurs de a, la ature des séries suivates : a!, a α
Exercice 6 Motrer que la série de terme gééral u + l l + est covergete E déduire que la suite a + + + l admet ue limite l Cette limite s'appelle la costate d'euler Exercice 7 Étudier la ature des séries suivates : l +, + l!, l!,! c! avec c > 0 Exercice 8 Étudier la ature des séries suivates : +, +, + l Exercice 9 Étudier la ature des séries suivates : l +, si Exercice 0 Motrer que les séries de termes gééraux u : et v : + e sot pas de même ature, bie que u v Exercice Soiet a, b R + Étudier la série de terme gééral Exercice Motrer que la série N u avec u : a + b u : l cos est covergete et calculer sa somme Idicatio : o utilisera la formle de trigoométrie si si cos
Solutios Solutio de l'exercice Posos M : a /b Il est clair que M > 0 Nous allos motrer par récurrece que, pour tout, a Mb La propriété est évidemmet vraie pour Supposos qu'elle soit vraie au rag Alors, a + b + a + a Mb Mb +, a b et la propriété est établie au rag + Elle est doc vraie pour tout, et ous pouvos maiteat motrer les poits et Supposos que b coverge Alors, pour tout N, N a 0 0 a + N a α + M N b α + M b, où α : 0 a Aisi, la suite des sommes partielles N 0 a, qui est croissate, est majorée par N la costate réelle α + M b Elle est doc covergete, ce qui reviet à dire que la série a est covergete Supposos que a diverge Alors, pour tout N, N b 0 0 b + N b β + N a, M où β : 0 b Puisque la suite N 0 a N ted vers l'ii, la suite N l'ii, ce qui reviet à dire que la série b est divergete 0 b N ted aussi vers Solutio de l'exercice Si α >, alors γ + α/ > O a : γ α l β α γ l β 0 α / lorsque, l β puisque α γ α / > 0 Doc, pour assez grad, o a l'iégalité α l β γ Aisi, par comparaiso avec ue série de Riema covergete puisque γ >, o obtiet la covergece de la série u das ce cas Si α <, alors α > 0 O a : doc, pour assez grad, α l β α lorsque, l β α l β > Aisi, par comparaiso avec ue série de Riema divergete la série harmoique, o obtiet la divergece de la série u das ce cas 3a La foctio f β est dérivable sur ], [ et, pour tout t >, f βt l tβ l t + β t l t β Puisque l t + β > 0 pour t > e β, la foctio f β est décroissate sur ] e β, [ Doc, e choisissat > max{, e β }, l β et f β t dt sot de même ature d'après le cours 3
3b Si β, alors f β t dt La série est alors divergete 3c Si β >, alors f β t dt La série est alors covergete 3d Si β <, alors La série est alors divergete t l t [ ] A dt lim ll t A lim ll A ll A [ l t β dt lim tl t β A β f β t dt ] A [ l t β dt lim tl t β A β R β l β ] A Solutio de l'exercice 3 La première série est ue série géométrique de raiso q Si q, la série est grossièremet divergete Si q >, la série et covergete et q 0 Pour la deuxième série, o remarque tout d'abord que de sorte que, par téléscopage, N q q q + +, + + + + 3 N + N N N + N + lorsque N La somme de la série vaut doc Solutio de l'exercice 4 Posos v : /! O a : v +! v +! + 0 lorsque La règle de d'alembert motre alors que v est covergete Posos w : / O a : w + w + + + + 0 lorsque La règle de d'alembert motre alors que w est covergete Rappelos la formule de Stirlig : lim! π e, autremet dit! π e Posos x / e O a : x + + x / e + e + / e e < lorsque La règle de d'alembert motre alors que x est covergete, et doc que!/ est covergete 4
D'après la formule de Stirlig, Doc, O a : y + y! 4π e! e 4π e 4π : y 4π e + 4π + + + + e + + e < lorsque La règle de d'alembert motre alors que y est covergete, et doc que /! est covergete Solutio de l'exercice 5 Pour les deux séries, le cas a 0 doe lieu à la série ulle et présete doc peu d'itérêt Nous supposos doc das la suite que a 0 Posos v : a /! O a : v + v a + 0 lorsque La règle de d'alembert motre alors que v est covergete, doc que a /! est absolumet covergete Posos v : a / α O a : v + v α a a lorsque + Si a <, la série v est covergete d'après la règle de d'alembert, doc a / α est absolumet covergete Si a <, l a α l a α l, doc a α lorsque, et la série a / α est grossièremet divergete Reste à examier le cas α Si a, la série 'autre que la série de Riema, elle est doc covergete si α > et divergete si α ]0, ] E, si a, la série est alterée, et comme / α 0, lorsque, la série est covergete Solutio de l'exercice 6 O remarque que u + l l + [ l t ] + + De la décroissace de la foctio t t etre et +, o déduit que Puisque la série t dt + t dt +, doc que 0 u + + + est covergete voir l'exercice 3, la série u est covergete 5
O a : u lim N u N lim + l l + N + l l 3 lim + N + + N l N + l N N + + + + N l N lim N + + N + l N ln + O voit doc que la limite de la derière expressio existe et coïcide avec la somme de la série u Solutio de l'exercice 7 E utilisat le développemet limité de l + t et + t e zéro, o vérie facilemet que l + + 3 + o et + + 4 + o O voit doc que, à partir d'u certai rag, u : l + + > 0, et que u lorsque D'après ce que l'o sait des séries de Rieme, la série u est covergete Rappelos la formule de Stirlig :! π/e O a doc : l! lπ + l l, soit v : l! l O s'appuie doc sur la série de Bertrad étudiée das l'exercice, avec α et β, qui est covergete das ce cas La série v est doc covergete O a déjà vu plus haut que l! l lorsque Doc w : l! l lorsque O s'appuie à ouveau sur la séries de Bertrad, avec α et β, qui est ecore covergete O e déduit la covergece de la série w Posos x :! c /! O a : x + x + c + + + + c 4 + si c >, /4 si c, 0 si c <, lorsque D'après la règle de d'alembert, x est divergete si c > et covergete si c Solutio de l'exercice 8 Posos u : / + pour La série u est alterée, avec u + Doc u est coverge, d'après ce que l'o sait des séries de Riema, de sorte que la série u est absolumet covergete 6
O a : v : + a avec a : + 0 lorsque Toutefois, o e peut pas appliquer le théorème sur les séries alterées, car la suite positive a 'est pas mootoe O procède doc autremet O remarque ici simplemet que v + Le terme gééral est doc la somme du terme gééral d'ue série divergete la série harmoique et d'ue série covergete E eet, / est alterée, et la suite / est décroissate! O déduit alors que la série v est divergete E utilisat le développemet limité e zéro de la foctio t l + t, o peut écrire : w : + l l + + o + + o Le secod terme, das la derière lige ci-dessus, est le terme gééral d'ue série absolumet covergete, puisque sa valeur absolue est équivalete à / 3/ D'autre part, a avec a : Or, il est clair que a ted vers zéro lorsque De plus, > + > +, où la première iégalité s'explique par la décroissace de la suite /, et la secode par le fait que + / > O déduit des iégalités ci-dessus que + >, et doc, que la suite a est strictemet décroissate D'après le théorème sur les séries alterées, la série et covergete, et il e va doc de même de la série w Solutio de l'exercice 9 E utilisat le developpemet limité d'ordre e zéro de t l + t, o vérie que u : l + + o La série / est doc alterée, et covergete puisque a : / est décroissate et ted vers zéro Par ailleurs, d'après ce que l'o sait des séries de Riema, + o est le terme gééral d'ue série covergete Il s'esuit que la série u est covergete 7
E utilisat le developpemet limité d'ordre e zéro de t si t, o vérie que v : si 3 + o 4 Comme précédemmet, la série alterée / est covergete, et la série de terme gééral 3 + o 4 est absolumet covergete d'après ce que l'o sait des séries de Riema La série v est doc covergete Solutio de l'exercice 0 La série u est covergete, car elle est alterée et la suite a : / est décroissate et coverge vers zéro Si v était covergete, alors u v serait aussi covergete Or, u v + + + La série u v est à termes positifs, et équivalete à, qui est divergete O a doc ue cotradictio, ce qui motre que la série v est divergete Solutio de l'exercice Supposos a < Puisque, pour tout N, 0 u a + b a, la série u est covergete das ce cas, quelle que soit la valeur de b > 0 Supposos a Deux cas se produiset alors selo la valeur de b - Si b, alors la suite b est borée, disos par ue costate M > 0, doc u a + b a + M Puisque a, ceci motre que la série est divergete - Supposos alemet que b > O a : a a a + b b + a b b b b lorsque, car b 0 Das ce cas, si a b, alors la série est grossièremet divergete, et si a < b, la série est covergete E eet, e posat r : a/b, o voit que la série est équivalete à r et l'o coclut au moye de la règle de Cauchy Solutio de l'exercice E écrivat le développemet limité de la foctio t lcos t, o voit que u + lorsque, et la covergece s'obtiet e s'appuyat sur la série géométrique de raiso /4 D'après la formule rappelée das l'idicatio, o a : l si l + l si + u 8
O e déduit que u k u 0 + k0 k u k lcos + k [ l si l si lcos + lsi l si l lcos si l si si l l si ] l E utilisat les développemets limités e zéro des foctios t si t et ε l ε, o voit que l si ted vers zéro lorsque, de sorte que u k lim k0 k0 si u k l 9