Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 206-207 Exercices sur les séries umériques Pour démarrer Exercice Nature de série) Détermier la ature de la série de terme gééral :. = arcta5 ) 2 2. = 23 7 + 3. = l + 2 ) 2 l 4. = 3 e 5. = + 3 2 6. = l 7. = si 2 8. = l + 2 ) 2 9. = si 0. = si ) +. = e 2. = cos 2 3. = ) + 2 4. = lcos ) 5. = 6. = 3 2 9. = 20. = 7. = ei 4 3 +2) 3 2 4+ 8. = 3 l 2 +5 2. = 2 ch Exercice 2 Série des iverses de coefficiets biomiaux) Détermier la ature de la série de terme gééral = avec p N fixé et p. p) Exercice 3 Calculs de sommes) Établir la covergece et détermier la somme des séries de terme gééral : ) 3. = 2 2) 2. = 2 3 5 3. = 2 4. = 2 + Exercice 4 Calculs de sommes) Établir la covergece et détermier la somme de la série de terme gééral : ) = arcta 2. + + O pourra motrer que arcta 2 ++ ) = arcta arcta +. Quelques séries classiques Exercice 5 Série expoetielle) Démotrer à l aide d ue formule de Taylor que : x R, e x = + =0 x. Exercice 6 Séries géométriques dérivées) Soit x [0, [.. Démotrer que la série x est covergete et détermier sa somme. 2. Démotrer que la série 2 x est covergete et détermier sa somme. 3. Démotrer que la série x + est covergete et détermier sa somme.
Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 206-207 2 Exercice 7 Séries de Bertrad) Soit α et β des réels. O souhaite détermier e foctio de α et β la ature de la série umérique α l ) β. 2 O ote f la foctio défiie sur [2+, [ par ft) =. Le cas α > t α l t) β. Das cette questio uiquemet, o suppose que α >. a) Détermier u réel γ > tel que lim γ f) = 0. b) E déduire la ature de la série 2 f) pour α >. 2. Le cas α < Das cette questio uiquemet, o suppose que α <. a) Motrer qu il existe u etier aturel 0 tel que pour tout etier 0, o a f). b) E déduire la ature de la série 2 f) pour α <. 3. Le cas α = et β 0 Démotrer que das ce cas, la série diverge 4. Le cas α = et β = Das cette questio uiquemet, o suppose que α = β =. a) Calculer et détermier la limite lorsque x ted vers + de Ix) = x 2 ft) dt. b) Détermier la mootoie de f sur [2, + [, e déduire à l aide d ue comparaiso série itégrale la ature de la série 2 f) pour α =. 5. Le cas α = et β > 0 et β Doer la ature de la série à l aide d ue comparaiso série itégrale. Exercice 8 Helee de Deux). Démotrer à l aide d u ecadremet, que t lim dt = 0. 0 + t
Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 206-207 3 2. Démotrer que pour tout réel x das ], + [ et pour tout N, o a l + x) = x x2 2 x x + + ) + t ) 0 + t dt. O pourra partir de t) k puis itégrer. k=0 3. E déduire que la série ) coverge, et doer sa somme. Comparaiso série itégrale Exercice 9 Équivalet des restes ou sommes partielles des séries de Riema) O utilisera des comparaisos «série itégrale».. Démotrer que 2. Soit α <. Démotrer que 3. Soit α >. Démotrer que + k=+ k= k= k α k k α l. α α. α ) α. Exercice 0 Comparaiso série-itégrale) Démotrer à l aide d ue comparaiso série itégrale que l l. E déduire selo le réel a, la ature de la série de terme gééral l a. D autres règles de covergece au programme de SPE Exercice Critère de D Alembert) Soit u ue suite de termes strictemet positifs telle que la suite coverge vers u certai réel l [0, [. u+ ) 0. Démotrer qu il existe u réel q [0, [ et u etier 0 tel que : 0, + q. 2. E déduire que 0, q 0 0. 3. E déduire que la série 0 coverge. 4. Applicatio : détermier la ature de la série de terme gééral : =, = )2 2)!.
Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 206-207 4 5. Démotrer que si + ted vers l >, alors la série diverge. 6. Démotrer à l aide de deux exemples, que si + ted vers, o e peut rie coclure. Exercice 2 Critère pour des séries alterées) Soit a ) N ue suite décroissate qui ted vers 0. O pose S = ) k a k. k=0. Démotrer que les suites S 2 ) et S 2+ ) sot adjacetes, e déduire la ature de la série ) a. 0 2. E déduire que les séries de terme gééral ) et ) si sot covergetes. Exercice 3 Applicatio : u cotre-exemple) O pose = ).. Détermier la ature de. 2. Justifier que l + ) = ) 2 + o ), e déduire la ature de l + ). 3. Justifier que l + ) et commeter l exercice. Divers Exercice 4 O suppose que la série 2 u 2 coverge. Démotrer que la série coverge. Exercice 5 Soit et v deux séries à termes positifs covergetes. Démotrer que la série u v coverge. Exercice 6 Soit ue série à termes positifs covergete. Démotrer la covergece des séries de termes gééraux : u 2 et. + Exercice 7 U défi ) Soit σ ue bijectio den surn. Détermier la ature de la série σ) Exercice 8 Théorème de poit fixe de Picard) Soit A ue partie fermée de R et f : A A ue foctio k-lipschitziee avec k [0, [. Le but de l exercice est de démotrer que f admet u uique poit fixe das A. O ote u la suite récurrete défiie par + = f ) et de premier terme u 0.. Démotrer que la série de terme gééral + coverge absolumet. 2. E déduire que la suite u coverge vers u poit fixe a de f. 3. Démotrer que a est l uique poit fixe de f das A. 4. Démotrer à l aide de la foctio racie carrée sur ], + [ que le théorème de Picard est faux si A est pas supposé fermé.. Ue partie A de R est dite fermée, si toute suite covergete de poits de A coverge das A. Les itervalles fermés sot par exemple des parties fermées de R.
Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 206-207 5 Exercice 9 Formule de Stirlig) O veut établir la formule de Stirlig : où K est u réel à détermier. Pour N, o pose = e 2π. K e 2π. Démotrer que pour au voisiage de +, l 2. E déduire que la suite l ) est covergete. ) u+ 2 2. 3. E déduire avec soi qu il existe u réel L tel que pour au voisiage de +, o ait e 2π e L. O ote W l itégrale de Wallis d idice. O a déjà prouvé das des problèmes précédets que W 2 = 2)! π 2 ) 2 2 π et W 2. 4. E utilisat la formule explicite de W 2 et la questio précédete, écrire à l aide de e L u équivalet de W 2. 5. Détermier efi la valeur de e L e utilisat l équivalet de W.