Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl Ercic Qustion ) ) 3) 4) Répons c a a b ) AB AE i 4k 8 i k 8 j ) La droit (BD) st parallèl à la droit (FH) du plan (FHC), d où ll st parallèl à c plan. La droit (BD) st strictmnt parallèl au plan (FHC) car D n appartint pas à c plan 3) BC, AB, EG BC AB.EG 3 j i. EH HG 6 j i. 3 j i 6k. 3 j i 8 k. j k.i 0 4) On put rmarqur qu l plan Q n st autr qu l plan (GHD) t qu D st l projté orthogonal d A sur c plan, aussi qu AD 3. Ainsi l intrsction d la sphèr S avc l plan Q st l crcl d cntr D t d rayon 4 3 7. Ercic )a) (E) : z i( 3) z ( 3 i) 0. On prnd z i : (i) i( 3) i ( 3 i) 4 i ( 3) 3 i 4 i 4 3 3 i 0. D où i st un solution d l équation (E). b) On a la somm ds du solutions st i( 3) i i 3. D où l autr solution st i 3. ) L plan st rapporté à un rpèr orthonormé dirct (O, u, v). 3 za i 3 ; zb i t zi i. a) π π 3 i i 3 za i 3 i ; zb i. b) OA za ; OB zb ; d où ls points A t B sont sur l crcl (C) d cntr O t d rayon. / 6
Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl 3 c) za i 3 ; zb i t zi i. za zb i 3 i 3 i d) z. D'où I st lmiliu du sgmnt [AB]. I 3)a) L triangl AOB st isocèl n O puisqu ls points A t B sont sur l crcl (C), I st l miliu du côté [AB], d où [OI) st la bissctric d l angl AOB. ( ) ( ) ( ) b) OA, OB OA, u u, OB kπ ; k ( ) ( ) OA, u u, OB kπ π π kπ 3 π kπ ; ; k. 6 ( ) ( ) ( ) c) u, OI u, OA OA, OI kπ ; k π π π kπ, OI st la bissc tric d AOB donc ( OA, OI) kπ 3 5π kπ ; k 3 d) On a zi i. / 6
Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl 3 3 7 4 3 8 4 3 zi i 3. 4 4 4 D autr part ( ) 5π arg(z I) u, OI kπ kπ ; k. D où I 5π i z 3. 5π i 3 4) zi 3 i 5π 5π 3 3 cos i sin i 5π 5π 3 cos i sin i 3 3 5π cos 3 5π 3 3 sin 3 Ercic 3 Soit f la fonction défini sur 0, par f() ln si 0, f(0) 0 )a) lim f() lim ln 0 f(0). 0 0 D où f st continu à droit n 0. b) f() f(0) ln lim lim lim 0 0 0 0 ln. D où f n st pas dérivabl à droit n 0. La courb (C) d f admt au point O un dmi-tangnt vrtical dirigé vrs ls ordonnés négativs. )a) b) lim f() lim ln lim ln. f() ln lim lim lim ln. f() lim, d où la courb (C) d f admt un branch paraboliqu d dirction l a ds ordonnés. 3 / 6
Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl 3)a) f() ln, pour tout 0, f '() ln ' ln ln, pour tout ] 0, [. b) f '() ln, pour tout 0, f '() 0 ln 0 ln L tablau d variation d f : P our tout > 0, () c) f( ) ln( ) 0. d) f() ln, pour tout 0, P our tout > 0, f () = Û - + ln = Û ln = Û ln = Û = D où l duièm point d intrsction d la courb (C) t la droit d équation y l point d coordonnés (, ). st ) Voir graphiqu. 4) Soit g la rstriction d f à l intrvall, t (C) la courb d g. a) g st continu t strictmnt croissant sur,, d où ll réalis un bijction d, sur g, 0,. Ainsi g admt un fonction réciproqu défini sur l intrvall J 0,. b) Voir graphiqu. [ [ [ [ 5)a) On put rmarqur qu (E') (E) (E ), où (E) st l symétriqu d la parti (E) par rapport à, form la parti limité par l carré d côté. Si on prim ctt rlation par ls airs on obtint : 4 / 6
Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl air(carré) air(e') air(e) air(e ) A ' A A ' A b) Calculons par un intégration par partis ( ln ) d : On pos : u() = ln u'() = v '() = v() = ( ln ) d ln d ln ln 4 4 4 ( ). c) On a A (ln) d t A ' A, d'où A ' 4 Ercic 4 ) On a ls évènmnts suivants : F «l rlvé d nots choisi st clui d un fill». R «l rlvé d nots choisi st clui d un élèv admis avc rachat». 60 6 60% ds élèvs admis sont ds fills, donc p(f) 0,6. 00 0 30 3 30% parmi ls fills admiss sont rachtés, donc p(r F) 0,3. 00 0 45 45% parmi ls garçons admis sont rachtés, donc p(r F) 0,45. 00 5 / 6
Corrigé d l'épruv d mathématiqus - sction Scincs tchniqus Bac - 06 sssion d contrôl ) L arbr pondéré traduisant la situation : 3)a) Soit p la probabilité qu l rlvé d nots choisi soit d un garçon admis sans rachat. p(f R) p(f).p(r / F) 0,4 0,55 0,. b) p(r) p(f).p(r / F) p(f).p(r / F) 0,6 0,3 0,4 0,45 0,8 0,8 0,36. c) L rlvé d nots choisi st clui d un élèv admis avc rachat, la probabilité qu c rlvé d nots soit clui d un garçon st p(f R) p(f).p(r / F) 0,4 0,45 0,8 p(f / R). p(r) p(r) 0,36 0,36 4) On s ramèn à un tirag succssif t avc rmis d 0 rlvés. La situation put s ramnr à un loi binomial X d paramètr 0 t 0,36. On a p(x k) C (0,36) (0,64) ; k 0,,,...,0. k k 0 k 0 a) p la probabilité qu du actmnt d cs élèvs soint admis avc rachat. 8 8 p p(x ) C 0 (0,36) (0,64) 90 (0,36) (0,64). b) p la probabilité qu au moins un d cs élèvs soint admis avc rachat. 0 p p(x ) p(x 0) 0,64). { } 6 / 6