1 Complexes. Polynômes

1 Complexes. Polynômes 1.1 Nombres complexes Exercice 1. Calculer C = 1 +cosx + cos x + +cosnx. (n N et x R) Si x kπ, k Z, écrivons C =1+cosx +cosx + +cosnx. Pour tout entier k, cos kx = eikx + e ikx donc C = e ikx. k= n On reconnaît une somme de n+1 termes en progression géométrique de raison e ix 1et de premier terme e inx d où : inx 1 ei(n+1)x C = e et il reste après simplification : 1 e ix = e inx. ei(n+1/)x e ix/. e i(n+1/)x e i(n+1/)x (e ix/ e ix/ ) C = e i(n+1/)x e i(n+1/)x e ix/ e ix/ = i sin(n +1/)x i sin(x/) = sin(n +1/)x sin(x/) puisque pour tout entier k on a e ikx e ikx = i sin kx. Finalement : C = 1 + sin(n +1/)x cos kx =. sin(x/) Si x =kπ, k Z alors : k=1 C = n + 1.

1 1 Complexes. Polynômes Exercice. 1. Résoudre dans C l équation z 5 =1.. Montrer que la somme des solutions de cette équation est nulle. En déduire que cos(π/5) + cos(4π/5) = 1.. Exprimer cos(4π/5) en fonction de cos(π/5) puis calculer cos(π/5) et cos(4π/5). 1. Posons z = re iθ,(r R + ). z 5 =1implique r 5 e i5θ =1donc r =1et θ = kπ (k Z). 5 Les 5 solutions de l équation z 5 =1s écrivent e ikπ/5 avec k [[0, 4]]. 4. Soit S = e ikπ/5. C est la somme de 5 nombres complexes en progression géométrique de premier terme 1 et de raison e iπ/5 1donc : S = 1 ( e iπ/5) 5 1 e iπ/5 = 1 eiπ =0. 1 eiπ/5 Ecrivons que la partie réelle de S est nulle. On obtient : 4 ( ) kπ 1+ cos =0. 5 k=1 Mais comme cos(6π/5) = cos(4π/5) et cos(8π/5) = cos(π/5) il reste dans cette somme 1+cos(π/5) + cos(4π/5) = 0 soit : cos(π/5) + cos(4π/5) = 1.. Partons de 1+cos(π/5) + cos(4π/5) = 0. On remplace cos(4π/5) par cos (π/5) 1 pour obtenir : 4cos (π/5) + cos(π/5) 1=0. On pose X =cos(π/5) et il vient X + X 1=0dont les solutions sont X = 1 ± 5. Puisque cos(π/5) > 0 on ne garde que la valeur positive de X donc cos(π/5) = 1+ 5 et par suite : 4 cos(4π/5) = 1 cos(π/5) = 1 5. 4

1.1 Nombres complexes 1 Exercice. Soit n N et x ]0,π[. Montrer que : sin [(n +1)x/] sin kx =sin(nx/). sin(x/) sin kx est la partie imaginaire de e ikx qui est la somme de n+1 nombres complexes en progression géométrique de raison e ix 1et de premier terme 1. Ainsi : e ikx = 1 ( ei(n+1)x 1 e ix = ei(n+1)x/ e i(n+1)x/ e i(n+1)x/) e ( ix/ e ix/ e ix/). On utilise les formules d Euler pour remplacer ( e i(n+1)x/ e i(n+1)x/) par i sin [(n +1)x/] et ( e ix/ e ix/) par i sin(x/). On obtient : e ikx =e inx/ sin [(n +1)x/]. sin(x/) Comme e inx/ = cos(nx/) + i sin(nx/), il vient : sin [(n +1)x/] sin kx =sin(nx/). sin(x/) Exercice 4. Soit le nombre complexe z =1+i. Déterminer pour quelles valeurs de l entier n, z n est un réel, un imaginaire. Ecrivons z sous sa forme trigonométrique. Il vient z = e iπ/4 d où : z n =( ) n e inπ/4 =( ) n [cos(nπ/4) + i sin(nπ/4)]. 1. z n est un imaginaire à condition que cos nπ/4 =0c est-à-dire si : nπ/4 =(k +1)π/ avec k Z, soit : n =4k +, (k Z).. z n est un réel lorsque sin nπ/4 =0. Ceci se produit lorsque : nπ/4 =kπ où k Z donc si : n =4k (k Z).

14 1 Complexes. Polynômes Exercice 5. Soit z le nombre complexe 1+i. 4 1. Ecrire z sous forme trigonométrique.. Calculer les racines cubiques de z que l on écrira sous forme trigonométrique.. Montrer qu une seule de ces racines a une puissance quatrième réelle. 1. Calculons le module de z. Ona z = un argument de z : 1 16 + 1 16 = 1. Ainsi si θ est cos θ = ; sinθ =. Donc θ = π +kπ (k Z) et l écriture de z sous forme trigonométrique 4 est : z = 1 [ ( ) ( )] π π cos + i sin = 1 4 4 eiπ/4 = 1 / eiπ/4.. Soit re iα une racine cubique de z (r R + ). On a alors r e iα = 1 / eiπ/4 et par identification, il vient : r = ( ) 1 1/ / = 1 et α = π 4 + kπ, (k Z). Les trois solutions de l équation z =1sont les nombres complexes z k = 1 e i( π 4 + kπ ) où k [[0, ]]. Par conséquent : z 0 = 1 e iπ/4 ; z 1 = 1 e i11π/1 ; z = 1 e i19π/1 sont les trois racines cubiques de z. ( ) 1 4. z0 4 = e iπ = 1 4 et c est un réel. z4 1 et z4 ne sont pas des réels.

1. Division euclidienne - Racines 15 1. Division euclidienne - Racines Exercice 6. Trouver le reste de la division euclidienne de X n +1par : 1. (X +1)(X ).. (X 1). 1. Il existe un unique couple (Q, R) de polynômes tel que : X n +1=(X +1)(X )Q(X)+R(X) avec degré de R<. Posons alors R(X) =ax + b. En remplaçant successivement X par 1 et on obtient le système : { ( 1) n +1= a + b n = a = n ( 1) n ; b =1+ ( 1)n + n +1=a + b donc : R(X) = n ( 1) n X +1+ ( 1)n + n.. Il existe un unique couple (Q 1,R 1 ) avec R 1 (X) =a 1 X + b 1 tel que : X n +1=(X 1) Q 1 (X)+a 1 X + b 1 (1). En dérivant on obtient une seconde relation : nx n 1 =(X 1)Q 1 (X)+(X 1) Q 1(X)+a 1 (). En remplaçant X par 1 dans (1) et () il vient : { =a 1 + b 1 n = a 1 d où a 1 = n, b 1 = n et : R 1 (X) =nx +( n). Exercice 7 (Polynômes 1-périodique). Soit un polynôme P de R [X] vérifiant pour tout x R, la relation P (x +1)=P (x). Montrer que P est un polynôme constant. Si x R, P(x +1)=P (x) alors n N, P (n) =P (n +1). Posons Q(x) =P (x) P (0). Pour tout entier n, onaq(n) =0. Q admet une infinité de racines. Ce ne peut être que le polynôme nul. Donc le polynôme P est un polynôme constant égal à P (0).

16 1 Complexes. Polynômes Exercice 8. On note M (R) l espace vectoriel réel des matrices carrées d ordre à coefficients réels. On considère la matrice : 0 1 1 A = 1 0 1. 1 1 0 Un calcul montre que A = A +I. Montrer que n, il existe deux polynômes Q n et R n tels que : X n =(X X )Q n (X)+R n (X) où deg(r n ) <. Déterminer R n. En déduire l expression de A n en fonction de I, A et n, pour n 0. Le polynôme P (X) =X X =(X +1)(X ) de R [X] est un polynôme annulateur de A. On effectue la division euclidienne de X n par (X X ). Il existe un couple unique de polynômes (Q n,r n ) tel que : X n =(X X )Q n (X)+R n (X) avec deg(r n ) < (1). On pose R n (X) =a n X + b n. On remplace successivement X par 1 et dans (1) et on obtient le système : { ( 1) n = a n + b n a n = 1 n d où on déduit (n ( 1) n ) =a n + b n b n = 1 (n +( 1) n ) Si dans (1) on remplace X par A, il vient : A n = a n A + b n I = 1 (n ( 1) n )A + 1 (n +( 1) n )I. Exercice 9. Soit P R[X] un polynôme dont toutes les racines sont réelles. Montrer que pour tout x réel : P (x) P (x)p (x). Réciproquement si pour tout réel x, P (x) P (x)p (x), P a-t-il toutes ses racines réelles? Si P est un polynôme constant alors P = P =0et il est clair que P (x) P (x)p (x). On suppose pour la suite que P n est pas constant.

1. Division euclidienne - Racines 17 [ Rappel : si n fonctions f 1,...,f n sont dérivables sur un intervalle I alors n ] f i est dérivable sur I. Sa dérivée est donnée par : [ n ] f i = f j. f i j=1 j i Appelons (a 1,...,a n ) la famille des racines réelles de la fonction polynôme P. Sous sa forme factorisée, P s écrit : P (x) =C (x a i ) où C R. La fonction polynôme P est dérivable sur R et on a : P n 1 (x) =C (x a i )+ (x a i )+ + (x a i )+ (x a i ). i= On obtient alors : i P (x) P (x) = 1 x a i i n 1 R {a 1,...,a n }, on aboutit à : P (x)p (x) P (x) P (x) P (x) P (x)p (x) =P (x) On peut conclure que : et en dérivant une seconde fois sur 1 (x a i ) = C = j=1,k i x R, P (x) P (x)p (x) 0 soit P (x) P (x)p (x). 1 (x a i ) d où : (x a j ). Réciproquement considèrons la fonction polynôme P (x) =x +5x. Elle est de classe C sur R et on a P (x) =x +5et P (x) =6x. Dans ces conditions : P (x) P (x)p (x) =(x +5) 6x(x +5x) =x 4 +5 0. Cependant P n a que 0 comme racine réelle. Les deux autres sont complexes et valent i 5 et i 5. La réciproque est fausse.

18 1 Complexes. Polynômes 1. Polynômes de Tchébychev Exercice 10. Soit E = R[X]. On considère la suite de polynômes de E définie par : T 0 (X) =1,T 1 (X) =X, et n, T n (X) =XT n 1 (X) T n (X). 1. Montrer que pour tout n N, T n est un polynôme de degré n et de coefficient dominant n 1.. Montrer que n N, T n ( X) =( 1) n T n (X). En déduire que T n est de même parité que n.. Montrer que n N et α R, T n (cos α) = cos(nα). En déduire que T n admet n racines réelles distinctes dans ] 1, 1[ et donner une expression de T n sous forme factorisée. Donner les valeurs de T n ( 1), T n (0), T n (1). 1. Pour tout n N, notons P n la proposition : T n est un polynôme de degré n et de coefficient dominant n 1. P 1 et P sont vraies puisque T 1 (X) =X et T (X) =X 1. Supposons P n et P n+1 vraies. Le coefficient dominant de XT n+1 (X) est. n = n+1 et son degré est la somme des degrés de X et de T n+1 (X), c est-à-dire n +. Comme le degré de XT n+1 (X) est supérieur à celui de T n (X), le degré et le terme dominant de XT n+1 (X) T n (X) sont ceux de XT n+1. On peut conclure que T n+ est un polynôme de coefficient dominant n+1 et de degré n +. Ainsi P n+ est vraie.. Pour tout n N, notons Q n la proposition : T n ( X) =( 1) n T n (X). Puisque T 0 ( X) =( 1) 0 T 0 (X) et T 1 ( X) = X =( 1) 1 T 1 (X), Q 0 et Q 1 sont vraies. Supposons Q n et Q n+1 vraies c est-à-dire : T n ( X) =( 1) n T n (X) et T n+1 ( X) =( 1) n+1 T n+1 (X). On a alors : T n+ ( X) =( X)T n+1 ( X) T n ( X) =( X)( 1) n+1 T n+1 (X) ( 1) n T n (X) =( 1) n+ [XT n+1 (X) T n (X)]=( 1) n+ T n+ (X). C est ce qu il fallait démontrer. Ainsi Q n+ est vraie.