ASCENSEUR FLUVIAL FUNICULAIRE DE STREPY-THIEU

ASCENSEUR FLUVIAL FUNICULAIRE DE STREPY-THIEU Le canddat est nvté à formuler toute hypothèse cohérente qu lu semblerat nécessare pour pouvor répondre aux questons posées. Page 1 sur 21

1. PRESENTATION DU SYSTEME ETUDIE En vue de modernser les voes d eau navgables d Europe, l fut décdé en 1954 de porter le gabart du réseau d ntérêt nternatonal à celu des pénches de 1350 tonnes. Les défs technologques à relever sont de talle, notamment pour le franchssement des dénvelés. Le recours aux écluses classques, grandes consommatrces de débt hydraulque, n'est pas toujours possble. C'est le cas pour le canal du centre en elgque, pour lequel l'almentaton naturelle en eau est très lmtée. Le canal du Centre, mallon qu s'ntègre dans les voes navgables d'ntérêt européen, est stué sur la transversale qu rele Dunkerque à Lège en passant par Valencennes, Mons, Charlero et Namur. Pour combler le dénvelé de 88,15 mètres, l'ancen dspostf, utlsat quatre ascenseurs hydraulques successfs sur 12 klomètres, mas état lmté à des pénches de 300 tonnes. Il fût donc décdé de modernser ce mallon délcat. La constructon des écluses d'obourg-warton et de Havré permettant de gagner respectvement 5 mètres et 10 mètres, l reste à franchr une chute de 73,15 mètres. Après étude des dfférentes solutons possbles, celle d'un unque ascenseur est fnalement retenue. L'ascenseur fluval funculare de STREPY-THIEU vot donc le jour et fonctonne pour la premère fos en 2001. On s ntéresse c à une utlsaton en montée de cet ascenseur, assurée par la foncton de servce FS1 «Transborder une pénche du canal aval au canal amont», dont on trouvera en annexe (page 21 sur 21) la décomposton fonctonnelle sous la forme d un dagramme FAST. 2. DESCRIPTION ELEMENTAIRE D UN CYCLE D ASCENSION On présente c-dessous le dagramme SADT de nveau A0 de la foncton de servce FS1 «Transborder une pénche du canal aval au canal amont». Page 2 sur 21

Nveau d eau dans le canal aval Quantté Autorsaton d eau dans le bac Pénche dans le canal a val A1 Transférer la pénche dans le bac Quantté d eau dans le bac Pénche dans le bac en bas Porte du bef aval Porte a val du bac Jont d étanchété aval Calage a val A2 Monter le bac Ascenseur Quantté d eau dans le bac Pénche dans le bac en haut Nveau d eau dans le canal amont A3 Transférer la pénche dans le canal amont Quantté d eau dans le bac Pénche dans le canal amont Porte du bef amont Porte amont du bac Jont d étanchété amont Calage amont Q1. Proposer un dagramme SADT de la transformaton fonctonnelle globale de nveau A-0. Q2. Pourquo la quantté d eau contenue dans le bac ntervent-elle comme entrée/sorte du système étudé? Q3. Sans fare de calcul, et en quelques phrases courtes, explquer pourquo le fonctonnement du système, qu est condtonné par la masse du bac à déplacer, ne dépend pas de la masse des pénches transbordées. 3. ETUDE DES ACTIVITES DE TRANSFERT DE LA PENICHE (A1 et A3) 3.A. Nécessté d une foncton technque de calage. On s ntéresse à l actvté A1 : «Transférer la pénche du canal aval dans le bac». On étude d abord le cas où les portes aval et amont du bac sont fermées ; la longueur en eau du bac est alors de L 1 = 116,8 mètres. On consdère également que le nveau d eau est à son maxmum, sot h 0 = 4,15 mètres. Q4a. Sur un schéma reprenant les surfaces moullées de la vue en coupe (Fgure 2), représenter l allure de la répartton de presson qu s applque sur chacune d elles. Fgure 2. - Vue axale avec coupe transversale du bac - (cotes en mllmètres) Page 3 sur 21

Q4b. Donner l expresson de la répartton de presson sur les paros vertcales en foncton de la poston vertcale notée z suvant w r 0, l orgne des postons vertcales étant le fond du bac. Q4c. On consdère mantenant que la porte aval du bac est ouverte pour permettre l entrée d une pénche (l étanchété entre le bac et le canal aval est assurée par le fat que le jont d étanchété aval est gonflé). La longueur en eau du bac est alors de L 2 = 117,4 mètres. Le nveau d eau est toujours de h 0 = 4,15 mètres. Fare le blan de toutes les surfaces du bac en contact avec l eau dans ces condtons. On pourra répondre par un schéma en perspectve. Q4d. Afn de vérfer l utlté des calages, calculer la composante axale de la résultante du torseur de l acton de l eau sur le bac dans ces mêmes condtons. La base de projecton r r r orthonormée comprendra les drectons ( u0, v0, w0 ) conformément à la fgure 2 et au fat que u r 0 est orenté de l aval vers l amont, sot de la porte ouverte du bac vers la porte fermée. On 2 rappelle que le module de l accélératon du champ gravtatonnel terrestre est g = 9,81m. s, 3 et que la masse volumque de l eau est ρ = 1000kg. m. eau 3.. Réalsaton de la foncton technque «Verrouller les calages» Les actvtés de transfert A1 et A3 comportent donc une étape de calage. Celu-c est réalsé, à chacun des quatre cons du bac, par l ntroducton d un pston à travers un oellet soldare du bac. Le pston est commandé en poston (entrée ou sorte) par un vérn (Fgure 3), et la poston est recopée par un capteur Tout ou Ren (TOR). Le codage est : 0 poston rentrée, 1 poston sorte. Un calage est verroullé lorsque le vérn correspondant est en poston sorte. Pour réalser le verroullage, on a le chox entre deux stratéges : 1) Commander smultanément le verroullage des quatre vérns, pus passer à l étape suvante, 2) Commander les verroullage en séquence (vérn n 1, pus n 2, pus n 3, pus n 4, l ordre de numérotaton est sans mportance) et passer à l étape suvante. Q5a. Pour chacune des deux stratéges, donner le GRAFCET de l opératon de verroullage fasant apparaître la commande de chacun des 4 calages, et la transton permettant de passer à l étape suvante. Q5b. Dans les deux cas, que se passe-t-l s l un des capteurs de poston reste «collé» en poston 0 alors que le vérn assocé est sort? Pour sécurser le fonctonnement de cet ensemble, on décde de trpler le nombre des capteurs de poston TOR, et d applquer une stratége dte de «vote majortare 2 sur 3» : chaque vérn est équpé de tros capteurs TOR, et on consdère qu un vérn est en poston rentrée lorsque au mons deux capteurs de poston sur les tros sont à 0 (en poston sorte, lorsque au mons deux capteurs de poston sur les tros sont à 1). Page 4 sur 21

Fgure 3. - Vue en coupe transversale d un calage aval (déverroullé) Q6. En notant p1, p2, p3 les tros varables TOR assocées à la poston d un vérn et S la sorte sécursée, donner l expresson de la foncton logque réalsant S. 3.C. Décomposton fonctonnelle et grafcet A partr de l état ntal : bac verroullé sur les calages aval en face du bef aval, jont d étanchété gonflé, portes aval du bac et du bef aval ouvertes (et donc nveaux égalsés), l actvté A1 : «Transférer la pénche dans le bac», se décompose de la façon suvante : A11 A12 A13 A14 Entrée de la pénche dans le bac par franchssement du bef aval. Fermeture smultanée de la porte du bef aval et de la porte aval du bac. Vdange du volume d eau stué entre la portes du bef aval et la porte aval du bac. Dégonflage du jont d étanchété aval. On en présente c-après la décomposton fonctonnelle. Page 5 sur 21

Pénche dans canal aval Autorsaton A11 Energe Pénche dans le bac Portes ouvertes A12 Energe Portes fermées Espace nter-portes plen Système de levage A13 Energe Espace nter -portes vde Jont gonflé Pompe A14 Jont dégonflé Système pneumatque Q7a. En dédure et représenter par un GRAFCET la séquence d actvtés réalsant la foncton A3 : «Transférer la pénche dans le canal amont». Q7b. Indquer dans quel état se trouvent les dfférents composants du système (calages amont du bac, portes amont du bac et du bef amont, jont d étanchété amont, nveau d eau dans le bac) à chaque étape du GRAFCET. On remplra pour ce fare un tableau sur le modèle suvant (on prévora une lgne par étape du GRAFCET) : Etape Calages amont Portes amont Jont amont Nveau bac 0 : Etat ntal (bac en poston haute) ouverts Fermées Dégonflé Nveau du canal aval 4. ETUDE DE L ACTIVITE FT12 : «Déplacer le bac de la poston aval à la poston amont». La montée proprement dte comprend tros phases : 1. Accélératon constante pendant 25 secondes. 2. Vtesse constante (de 0,2 m.s -1 ). 3. Décélératon constante pendant 25 secondes. En fn de translaton, le bac est mantenu à l'arrêt (vtesse nulle) avec la charge toujours suspendue aux câbles, cec afn de permettre les dverses manoeuvres d'accostage (applcaton des frens mécanques, mse en place des dspostfs de calage). 4.A. Etude de la foncton technque FT122 : «Assurer le déplacement du bac du bas vers le haut». 4.A.1. Sous-foncton : «Transmettre le mouvement vertcal au bac» Le cœur du système de levage se trouve dans la salle des machnes dont la dsposton des composants de transmsson est représentée Fgure 4. Page 6 sur 21

On y trouve, pour chaque bac : - Quatre moteurs asynchrones, chacun entraînant un réducteur grande vtesse (RGV). - Chaque RGV entraîne à son tour deux treuls. - Chaque treul est consttué d un réducteur pette vtesse (RPV) entraînant deux tambours. - Chaque tambour agt sur deux câbles lés d un côté au bac, et de l autre aux contrepods. - De chaque côté des treuls, on trouve un groupe de sept poules lbres dtes de suspenson chargées du renvo des câbles lant drectement le bac aux contrepods. - On notera la présence d arbres dts de «synchronsaton» relant tous les treuls entre eux. Fgure 4. Confguraton de la salle des machnes (vue de dessus) Q8. Pour chaque bac, comben y a-t-l de câbles dts moteurs (actonnés par les treuls )? Le réducteur grande vtesse est à deux étages avec une premère réducton (23/85) et une seconde (27/74). Q9. En vous adant des données fgurant sur le plan du réducteur pette vtesse représenté fgure 5, calculer la réducton globale entre moteur et tambour. Page 7 sur 21

Fgure 5. - Réducteur pette vtesse On fat l hypothèse que les câbles roulent sans glsser sur les tambours. Le damètre d enroulement des câbles sur les tambours est de D t = 4800 mm, et la vtesse de rotaton des moteurs asynchrones en charge est vosne de N mot = 985 tr.mn -1. Q10. Quelle est la vtesse ascensonnelle V bac du bac? Page 8 sur 21

Dans les condtons les plus défavorables, la dfférence maxmum entre la masse du bac et la masse des contre-pods est d envrons 635 tonnes. La masse lnéïque des câbles est : 1 ρ = 30,25 kg. m câble Q11. Le nombre total de câbles étant de 144, peut-on néglger l nfluence de leur pods? Pourquo? On fat l hypothèse que le rendement de chaque étage de réducton est de 0,98. Q12. Quelle est la pussance mnmum à nstaller s on veut pouvor élever le bac à la vtesse constante de 0,2 m.s -1 dans les condtons les plus défavorables? Fgure 6. Morphologe du système de câbles avec bac en poston basse Q13. Chaque moteur pouvant délvrer une pussance maxmale de 550 kw, la pussance nstallée est donc suffsante dans ce cas. A quo sert la réserve de pussance? On chost, afn d effectuer une premère étude du comportement dynamque de ce système, d adopter la modélsaton smplfée c-dessous (Fgure 7) et de fare une mse en équaton en r r r applquant le théorème de l énerge cnétque dans le repère R0 ( O, u0, v0, w0 ) supposé galléen. Les données et hypothèses sont les suvantes : - Le bac est assmlé à un solde de masse m et de centre de gravté G. - Les câbles s enroulent et se déroulent sans glsser sur le tambour de rayon R = 2,4 m. Le glssement est évté par un système d accrochage des câbles moteurs sur le tambour, qu comprend 32 arrêts de câble. L ensemble des 144 câbles est représenté par un seul mega-câble C affecté des caractérstques de l ensemble. L ensemble des arrêts de câble A est modélsé par une masse m A de valeur 32x1000 kg = 32 000 kg concentrée au pont G A (par concepton, ces masses sont effectvement en phase). - L ensemble des pertes dues aux câbles et aux mperfectons dans les dverses lasons peut-être modélsé par un couple résduel négatf constant applqué au tambour, de valeur : c ( Ext T ) = c = 624 Nm rsd rsd 000 - L ensemble des contrepods est représenté par un seul méga-contrepods P de masse m et de centre de gravté G. P P Page 9 sur 21

Fgure 7. Modélsaton du problème On note D = x Max. la course maxmum du déplacement vertcal du bac. - Le tambour T de centre de gravté G T, sera d nerte J Eq par rapport à son axe de r 6 2 rotaton ( G T ;u 0 ) de valeur J Eq ( T ) = 500.10 kg. m. Cette nerte est équvalente à la somme des nertes des éléments en rotaton suvants : poules réducteurs arbres de synchronsaton moteurs poules de renvo, ramenées au taux de rotaton du tambour. - On donne la valeur de l nerte du rotor d un moteur électrque par rapport à son axe de 2 rotaton : J M = 57,88kg. m. Page 10 sur 21

La courbe présentée fgure 8 est drectement trée de l équaton obtenue à la queston précédente dans le cas où la vtesse de rotaton du tambour est constante et avec m = m. 1000 P Pussance consommée en klowatts 500 0-500 -1000 0 180 360 540 720 900 1080 1260 1440 1620 1800 1980 Poston angulare du tambour en degrés Fgure 8. Smulaton de la pussance consommée On fournt sur la Fgure 9 l allure de la pussance électrque fourne par le réseau Electrabel (fournsseur d électrcté en elgque) lors d une manœuvre de descente du bac. La masse des contrepods équlbrat alors à peu près celle du bac. Fgure 9. - Relevé de la pussance électrque consommée Q20a. A quelle(s) condton(s) peut-on comparer la courbe présentée fgure 8 à celle de la fgure 9? Page 12 sur 21

Q20b. Pourquo le sgne de la pussance change-t-l au cours du cycle? Q20c. Explquer pourquo, sur les fgures, les valeurs de pussance consommée sont un peu dfférentes. Q21a. Explquer l orgne des ondulatons observée sur les fgures 8 et 9. Q21b. Proposer une soluton qu permettrat d élmner la varaton cyclque observée. 4.A.2. Sous-foncton : «Contrôler le mouvement vertcal du bac» Le contrôle de la montée du bac met en œuvre une commande des moteurs asynchrones telle que le bac suve au meux une lo de mouvement (consgne) donnée. Dans cette parte, on ne s ntéressera qu à la commande du couple moteur au nveau du tambour : on étudera successvement la défnton des états de référence du bac en foncton du temps, la défnton des consgnes de couple moteur, pus la commande du couple moteur. On étudera auss quelques problèmes pratques de mse en œuvre. Défnton des états de référence L'état du bac est décrt à chaque nstant par la poston x ( (on utlsera auss le terme dx( alttude) et la vtesse x& ( = de son centre de gravté. On rappelle que la montée dt comprend les phases suvantes : 1. Accélératon ntale constante, pendant 25 s, de valeur a 2. Vtesse constante de valeur v = 0.2 m.s -1 3. Décélératon fnale, constante pendant 25 s, de valeur a f En fn de translaton, le bac est mantenu à l'arrêt (vtesse nulle) avec la charge toujours suspendue aux câbles, cec afn de permettre les dverses manoeuvre d'accostage (applcaton des frens mécanques, mse en place des dspostfs de calage). L état de référence du bac est défn à l nstant ntal t = 0 s, par l alttude ntale x( 0) = 0 m, et la vtesse ntale x& ( 0) = 0 m.s -1. A l nstant fnal t f l est défn par l alttude fnale x( t ) = 73,15m, et la vtesse fnale x& ( t ) = 0 m.s -1. f f Q22. Donner les équatons du mouvement dans les dfférentes phases de la montée. Donner les valeurs des accélératons ntale (a ) et fnale (a f ), les nstants t 1 et t 2 et les alttudes théorques x ( t 1 ) et x ( t 2 ) des commutatons d une phase à l autre, ans que la durée totale théorque d une opératon de montée. On répondra dans des tableaux que l on complètera, sur le modèle suvant : Phase de la montée Accélératon Equaton du mouvement Phase 1 : accélératon constante a = Phase 2 : vtesse constante Phase 3 : décélératon constante a f = Page 13 sur 21

Intal Fn de phase 1 Fn de phase 2 Fn de montée Temps t t = 0 s t 1 = 25 s t 2 = t f = Alttude x ( x t ) = 0 m x ( t 1 ) = x ( t 2 ) = x t ) = 73,15 m ( Vtesse x& ( x& t ) = 0 m.s -1 x& t ) = 0,2 m.s -1 x& t ) = 0,2 m.s -1 x& t ) = 0 m.s -1 ( ( 1 ( 2 ( f ( f Note mportante : A partr de mantenant on néglgera la masse (sauf à la dernère queston Q32). m A des arrêts de câble Q23a. En néglgeant la masse des câbles, écrre les condtons d équlbre statque (sur le * tambour) à une alttude donnée x. Calculer le couple moteur c * mot qu permet d obtenr cet équlbre, en foncton des masses du bac et du contrepods. Donner sa valeur lorsque les masses du bac et du contrepods s équlbrent parfatement. * Q23b. On veut savor ce qu se passe lorsque l on applque toujours le couple c mot, alors que * le bac n est pas dans la poston x. On est donc amené à étuder la stablté de l équlbre * précédent. On appelle x(0) = x + x(0) la poston ntale du bac (dfférente de x * ) et on * appelle x &(0) = x& + x& (0) sa vtesse ntale, éventuellement dfférente de zéro. Ecrre l équaton dfférentelle qu régt les écarts x( et la résoudre pour les condtons ntales x(0) et x&(0 ). Que peut-on dre de l équlbre en foncton de la valeur ntale x&(0 )? Q23c. Reprendre les questons Q23a et Q23b en ne néglgeant pas la masse des câbles. On donnera pour chaque résultat sa forme analytque, en foncton de x * et des dfférents paramètres du problème, pus on fera une applcaton numérque dans le cas où la masse du * contrepods équlbre parfatement celle du bac et où c mot = 624000N. m. Q23d. Calculer la valeur numérque du couple de manten de la charge nécessare en fn de translaton avant applcaton des frens et verroullage des calages, s la masse du contrepods équlbre parfatement celle du bac. Défnton des consgnes de couple moteur Pour suvre la poston de référence en foncton du temps, la commande est organsée en deux nveaux : le nveau supéreur calcule à tout nstant une consgne de couple moteur, et le nveau nféreur plote les moteurs afn de suvre au meux cette consgne. Nous allons étuder dans cette parte la génératon des consgnes de couple moteur, et leur calcul pratque compte-tenu des ncerttudes sur les mesures et les paramètres du système. On consdère l'évoluton du système sur un ntervalle de temps donné T. Q24a. Donner l équaton dfférentelle qu régt le mouvement du bac lorsque le couple moteur évolue sur l ntervalle T selon la lo suvante : J Eq 3 Lo_1 : cmot ( x( ) = a + 624.10 gr[ 2ρx( + mp m ρd] R où a est une constante donnée et ρ est la masse lnéque du méga-câble équvalent. Dans quelle phase de montée faudrat-l applquer cette lo de commande? Page 14 sur 21

Q24b. Mêmes questons avec la lo : 3 Lo_2 : c ( x( ) = 624.10 gr[ 2ρx( + m m ρd] mot Q24c. Quelle lo de commande faudrat-l applquer en phase 3? P Le calcul de la consgne de couple moteur, par la Lo_1 ou la Lo_2, est réalsé en pratque par un algorthme mplanté dans un calculateur ndustrel. La programmaton de cet algorthme nécesste la connassance de dvers paramètres : La masse lnéque du méga-câble ρ, et les caractérstques géométrques donnant D, R et J Eq sont connues avec une bonne précson. Leurs valeurs peuvent donc être utlsées drectement, La masse réelle du contrepods m P n est pas connue avec précson (elle est dffcle à mesurer, compte-tenu de sa valeur très mportante), on ne pourra donc utlser qu une valeur estmée, que l on note mˆ, P La masse réelle du bac m n est pas connue avec précson car elle dépend du nveau d eau varable dans le canal aval, on ne pourra donc utlser qu une valeur estmée, que l on note mˆ, La poston x ( du bac est mesurée par un capteur de poston. On note x ˆ( l mage de la poston réelle x (, dsponble en sorte de ce capteur. Cette valeur peut être mprécse, sujette à des erreurs de mesure aléatores, ou à des dysfonctonnements du capteur. Q25a. Compte-tenu de ce qu précède, donner les expressons des los de commande Lo_1 et Lo_2 réalsées en pratque par l algorthme de calcul de la consgne de couple moteur. Même s le nveau de commande nféreur plotat les moteurs de façon parfate (c est-à-dre s le couple réellement applqué état ben le couple demandé par les los de commande), le fat que ces los sont élaborées de façon mparfate (paramètres mprécs, mesures mprécses et quelquefos défallantes) condurat à des erreurs. En supposant un plotage des moteurs parfat, nous allons à présent analyser ces erreurs et quelques moyens possbles pour en rédure les effets. Q25b. On suppose d abord que le capteur de poston est parfat, c est-à-dre que l on a toujours x ˆ( = x(. Calculer l erreur absolue sur l accélératon et la vtesse du bac, qu résulte des erreurs d estmaton des masses mp mˆ P et m mˆ : - lorsque l'on applque la Lo_1 - lorsque l on applque la Lo_2. Dans le cas où l une des erreurs ne serat pas constante, on calculera sa valeur maxmale sur un ntervalle de temps T. Q25c. Quel est l effet supplémentare d une erreur constante, modélsée par x ˆ ( = x( + e, sur la mesure de poston. On rappelle que xˆ ( est la valeur fourne par le capteur, x( est la valeur réelle, et e est donc l erreur de mesure. Page 15 sur 21

Pour essayer de dmnuer l erreur sur l estmaton de la poston du bac, et tenr compte de dysfonctonnements toujours possbles, on va en fat utlser un ensemble de quatre capteurs redondants (c est-à-dre que nous avons 4 mesures de la même grandeur). Ces capteurs sont numérotés de 1 à 4, et les 4 estmatons sont notées x ˆ ( = x( + e, = 1, 2, 3, 4. Remarque : Dans le système réel, chacun de ces capteurs est monté sur un con du bac, et ls sont utlsés d une part pour estmer l alttude du centre de gravté et d autre part pour surveller l assette (c est-à-dre l horzontalté) du bac. Dans la verson smplfée de notre problème, nous ne sommes pas concernés par l assette que l on supposera toujours horzontale. Les questons qu suvent se rapportent donc unquement à l utlsaton de capteurs redondants pour estmer une seule grandeur physque (l alttude du centre de gravté du bac) avec une melleure précson et une melleure fablté. Dans ce qu sut, on suppose que l erreur de mesure maxmale d un capteur en bon fonctonnement est connue, c est à dre que l on a : Capteur n normal e [ borne _ mn, borne _ max ] où borne _ mn et borne _ max sont des constantes connues qu caractérsent chacun des capteurs. Q26a. Une premère possblté est d estmer la poston du bac par la moyenne des quatre mesures. Calculer la précson relatve obtenue en fasant de la sorte, et montrer que celle-c est forcément pre que la précson relatve du melleur des quatre capteurs. Cette approche a le mérte de la smplcté, cependant l est dffcle de détecter la défallance de l un des capteurs, pusque celle-c peut parfatement être «cachée» dans le processus de moyennage. Une autre approche consste à défnr un domane assocé à chaque mage, qu donne les valeurs possbles de la grandeur réelle. Pour analyser cette approche, on note X l ntervalle d ncerttude : X = [ xˆ borne _ max, xˆ borne _ mn ] Q26b. Montrer que la vrae valeur x appartent forcément à l ntervalle X s le capteur n fonctonne correctement (c est-à-dre s son erreur est ben comprse dans l ntervalle borne_mn, borne_max ). En dédure une condton nécessare vérfée lorsque les quatre capteurs fonctonnent correctement. Q26c. En dédure une condton suffsante qu permet de détecter la défallance d un (ou pluseurs) capteur(s). Etuder les dfférents cas de fgure qu peuvent se produre, et en dédure le nombre de défallances smultanées détectables. Y a-t-l des cas dans lesquels on ne peut pas conclure? Q26d. Pour smplfer, on ne consdère que les capteurs n 1 et n 2, et on suppose que X 1I X 2 n est pas vde (on dt que les deux mesures sont «consstantes»). Calculer l ntervalle d ncerttude sur la grandeur mesurée et montrer qu l est plus pett que le plus pett des ntervalles assocés à chaque capteur. Proposer une façon d estmer la grandeur mesurée x ˆ( à partr de deux mesures consstantes x ˆ1 ( et x ˆ2 (. Quelle est alors l ncerttude résduelle? Applcaton numérque pour le cas suvant où les deux mesures ont été effectuées à t = 10s : Page 16 sur 21

borne mn borne _ max xˆ (10) = 0,43m 1 xˆ (10) = 0,42m 2 1 1 = borne _ mn = borne _ max 2 2 = 1cm = 1cm Estmaton de la dfférence des masses du bac et du contrepods Q27a. En se plaçant dans les condtons de la queston Q25b (pas d erreur de mesure, le couple réellement applqué est le couple demandé), calculer l écart entre la poston réelle du bac et sa poston prévue à l ssue des dx premères secondes de la phase 1, en foncton des dfférences entre les masses réelles et les masses estmées mp mˆ P et m mˆ. Q27b. Montrer que la connassance de la poston réelle du bac à un nstant quelconque (on prendra t = 10 s ) peut être utlsée pour calculer l'erreur sur la quantté mp m et donc la compenser dans les phases de commande ultéreures. Cette compensaton peut-elle être parfate s on ne connaît pas la poston réelle du bac mas seulement une estmaton de cette poston? Q27c. On utlse la mesure effectuée à t = 10 s pour corrger l'estmaton mˆ P mˆ de la dfférence de masse mp m (pour smplfer, on ne consdère que deux capteurs dont les mesures sont celles données à la queston Q26d). Donner la valeur compensée de l estmaton mˆ P mˆ en utlsant l estmaton ˆx (10) calculée en Q26d, pus donner un encadrement de l'erreur commse à cause de l ncerttude résduelle sur la valeur de x (10). Q27d. On se trouve dans une stuaton où la dfférence réelle des masses est mp m = 5000 kg. Comme on ne la connaît pas, on fat au départ l hypothèse que les masses du bac et du contrepods s équlbrent, cette hypothèse se tradut donc par m ˆ P mˆ = 0. En néglgeant l'effet des erreurs de mesure, calculer l'erreur relatve sur la vtesse en fn de phase 1 dans les deux cas suvants : 1) on applque la Lo_1 pendant les 25 secondes de la phase 1 sans révser l hypothèse de départ m ˆ P mˆ = 0, 2) on applque la Lo_1 avec l hypothèse m ˆ P mˆ = 0 pendant les 10 premères secondes, pus pendant les 15 secondes restantes, on applque la Lo_1 avec l estmaton de mˆ P mˆ résultant des mesures données en Q26d. Modélsaton du moteur La consgne de couple moteur étant calculée à tout nstant, comme on l a vu, par le nveau supéreur, l convent mantenant de ploter les moteurs, au nveau de commande nféreur, afn de suvre au meux cette consgne (l hypothèse de plotage parfat adoptée aux questons précédentes est évdemment rréalsable). La modélsaton et la commande des moteurs asynchrones qu créent le mouvement vertcal du bac étant très complexes, on travallera dans la sute du problème sur un modèle de méga-moteur équvalent (hypothétque) à courant contnu, entraînant drectement l axe du tambour. On suppose que dans les dfférents régmes de fonctonnement consdérés Page 17 sur 21

(accélératon, décélératon, vtesse constante), le comportement lnéarsé du méga-moteur reste toujours décrt par les équatons suvantes : Equaton électrque : u( = k ( + e ( + k r m l d( dt Equaton de couplage tenson vtesse : e ( = k ω( Equaton de couplage couple ntensté : c ( k ( Avec les varables : m mot = u ( tenson d'almentaton du moteur ( ntensté dans l'ndut du moteur e m ( force électromotrce du bobnage θ ( poston angulare du rotor (c'est-à-dre de l'arbre de sorte) dθ ( ω ( = dt c mot ( couple fourn par le moteur et les paramètres : kr résstance d'ndut kl nductance d'ndut kt constante de couplage mécanque k constante de couplage électromoteur e Q28. Décrre le fonctonnement du moteur par un schéma-bloc de la forme c-dessous, en supposant les condtons ntales nulles (les transformées de Laplace sont en lettres majuscules, et p désgne la varable de Laplace). Donner les expressons de la transmttance T et du gan k. e t U(p) T(p) Ω(p) + C mot (p) kt(p) - Page 18 sur 21

Q29. La résstance et l'nductance de l'ndut valent respectvement kr = 2, 35Ω et kl = 0, 8 H. Les données nomnales du moteur sont les suvantes Tenson Intensté Couple moteur Vtesse de rotaton 1000 V 420 A 19320 N.m 985 tours.mn -1 En dédure la valeur des coeffcents k e et k t. Commande du moteur * On appelle c mot ( la consgne de couple moteur défne par le nveau supéreur, et c mot ( le couple moteur réel. On suppose que celu-c est mesuré par un capteur qu en donne une mage cˆ mot ( = kccmot (. De même, la vtesse de rotaton ω ( est mesurée, et le capteur en donne une mage ˆ ω( = kωω(. Les deux gans k c et k ω sont connus. Q30a. La Fgure 10 llustre un schéma de régulaton de couple moteur qu mplémente la lo * de commande U( p) = G ( C Cˆ ) G ˆ c mot mot + ω Ω( p) où G c et G ω sont deux fonctons de transfert que l on cherche à détermner. Montrer que cette lo de * commande produt le résultat Cmot = H c Cmot + Hω Ω( p) et donner l expresson des fonctons de transfert H c et H ω en foncton de G c et G ω. Q30b. Montrer que l on peut chosr G ω de façon à annuler H ω. Q31a. Avec ce chox de G ω, et en supposant le capteur de couple parfat ( k c = 1) on étude les performances d'une commande proportonnelle et ntégrale G c = A +. p K( 1 + τ p) Mettre H c sous forme canonque H c = et calculer les dfférentes 2 1 + ap + bp constantes K,τ, a et b en foncton de A et. Applcaton numérque, avec les valeurs de k t, k r et k l. Page 19 sur 21

* c mot + - ĉ mot Erreur de couple Capteur de couple G c + + G ω u T(p) + - Capteur de vtesse kt(p) ω c mot Fgure 10 : Schéma de la régulaton de couple Q31b. Donner la valeur des coeffcents A et qu mettent H c sous la forme ( 1+ τ p) H c =. En dédure la valeur de τ. 1+ 0,1 p ( ) 2 Q31c. Calculer l erreur statque sur le couple moteur résultant de ce chox. Explquer pourquo on s ntéresse en fat à l erreur de traînage, et la calculer. Compensaton des varatons cyclques dues au dspostf d accrochage des câbles Q32. Peut-on modfer les los de consgne de couple moteur (Lo_1 et Lo_2) de façon à compenser auss le couple perturbateur dû au dspostf d accrochage des câbles? (l effet de la masse m A des arrêts de câble est donc prs en compte dans cette queston). Donner l expresson des nouvelles los. Page 20 sur 21

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