Cours élecronique Chapire : Dipôles en régimes ransioires Abdenour Lounis 1
I- Rappels Relaions Couran-ension pour les dipôle passifs usuels: Resisance : Loi d Ohm U()=R. I() Inducances : U()= L.(dI/d) I()= Condensaeurs : U().d L dq()=c.du() dq du() I()= =C. d d 1 U()= I().d C Abdenour Lounis
II-Sysèmes du 1 er Ordre: A- Circui passe bas : Charge d un condensaeur : Loi des mailles : V ( ) + Ri + V ( ) = i R. i = V ( ) V ( ) i Vi ( ) V ( ) i = R Abdenour Lounis 3
on sai que : dv ( ) i Vi ( ) V ( ) = = d C R. C si = RC dv ( ). + V ( ) = Vi ( ) d Equaion différenielle du 1er Ordre es nommée consane de emps du circui Abdenour Lounis 4
-décharge d un condensaeur : a- Résoluion de l équaion différenielle sans second membre: dv ( ) d dv ( ) 1 =. V ( ) d dv ( ) 1 =. d V ( ). + V ( ) = LogV ( ) = + A' avec A consane Abdenour Lounis 5
Log( V ( )) V ( ) = e + C = + on sai que e.e e a b a+b C V ( ) = e. e = A. e = La soluion sans second membre es alors : C V ( ) A. = e Abdenour Lounis 6
b-équaion pariculière avec second membre : dv ( ) + = d. V ( ) Vi ( ) Si V () es consan; En régime permane V ()=E (dv ()/d)= Alors la soluion complèe es la somme des deux soluions b) e b) ce qui donne : ( ). V = A e + E Abdenour Lounis 7
V = e. e V. e = e + C a b a + b C V ( ) = e. e = A. e C es une consane donc e c =A consane: ( ). V = A e Abdenour Lounis 8
c) soluions physiques avec condiions iniiales : i-charge du condensaeur : V () A = V ()= donc V ( ) = = A. e + E = A. e + E = A + E A = E V ( ) = E. e + E V ( ) = E(1 e ) <<T Abdenour Lounis 9 C es la charge du condensaeur
ii-décharge du condensaeur :. + V ( ) = dv ( ) d V ( ) = A. e à = V ( ) donc V ( ) = E. e = E c es la décharge du condensaeur Abdenour Lounis 1
schéma de la charge e la décharge du condensaeur Abdenour Lounis 11
B- Circui passe hau: i) circui: condiions iniiales : e()= T e()=v T Aux bornes de la capacié : U()=Q()/C or Loi des mailles : U()=e()-Ri() i dq = = d du ( ) C. d du ( ) e( ) = U ( ) + R. C. d Abdenour Lounis 1
du( ) R. C. + U( ) = e( ) d Alors pour <<T e()=v donc: du( ) R. C. + U( ) = V d Résoluion de l équaion différenielle sans second membre: du( ) R. C. + U( ) = d soluion : U( ) = Ae. Abdenour Lounis 13
soluion pariculière avec second membre du( ) RC.. + U( ) = V d En régime permanen : du()/d= e U()=V soluion globale: U( ) = Ae. + V Condiions aux limies : a) = condensaeur déchargé : =A+ V A=-V donc la soluion finale es : U( ) = -V e -. + V U V e - ( ) =.( 1- ) Abdenour Lounis 14
b) >T e()= du( ) R. C. + U( ) = d soluion : U( ) = A. e 1 calculons A? on sai que lorsque =T, on a la soluion : [ ] Si on égalise les soluions [1] e [], on obien : - T T RC V.(1- e ) = A. e T RC A = V. e 1 - T = [] U ( ) V e ).(1- Abdenour Lounis 15
soluion générale : T.( 1 U( ) = V e ). e RC A. e -/RC Expression de la ension en foncion du emps pour un filre passe hau. Abdenour Lounis 16
ii) Eablissemen d un couran dans une inducance: a) Régime libre régime libre en régime forcé en 1 ( ) E( ) = RI( ) + L. di d Supposons qu on soi en régime libre : E= di( ) = RI( ) + L. d di( ) R +. I ( ) = d L di( ) R d L =. d = avec = I L R I( ) = A. e La soluion au régime libre Abdenour es donnée Lounispar : 17
Si on considère les condiions iniiales : I( = ) = I() = = I donc I( ) = I. e U cherchons la ension aux bornes de l inducance : R di( ) LI VL = L. =. e = RI. e d V ( ) = R. I. e L Abdenour Lounis 18
Schéma I() e V() en régime libre =L/R V L V =-RI Abdenour Lounis 19
b) régime forcé avec ension E non nulle Si I = on obien : (inverseur en posiion 1) V() V ( = ) = R. I. e L V ( ) = RI + V = RI RI. e L V ( ) = RI.(1 e ) = E.(1 V ( ) E I( ) = =.(1 e ) R R E I( ) =.( 1 e ) e VL = E. e R = RI Le couran dans le circui end vers E/R ; la ension aux bornes de l inducance end vers. e ) Abdenour Lounis
III-Sysèmes du ème Ordre: Le condensaeur C du circui RLC suivan es chargé par un généraeur auxilliaire qui es ensuie déconnecé par K1 La charge iniiale du condensaeur : Q =C.E Si K es fermé, K1 ouver, nous avons : V c + V L + V R = On obien donc l équaion différenielle : q C I di + L. + RI = d dq di d q = ; = on a donc : d d d d q dq q L. + R. + = (1) d d C Abdenour Lounis 1
on pose : R LCω = 1; λ = ; Q = L (1) devien : d q d ω dq Q d + + ω q = () Lω R on cherchera les soluions du ype dq d q q( ) = A. e ; ==> = Ar. e ; = A. r. e d d L équaion () devien : Polynomes du second degré: r r r r ω A. e ( r +. r + ω ) = Q Ax Bx C + + = Abdenour Lounis
Les racines du polynôme du second degré s ecriven : En ce qui concerne nore polynôme : r r 1, ω ω = ± Q Q 1 4. Q ω ω = ± Q Q 1, Comme on a posé : Les deux racine s écriven : r 1, ω R LCω = 1; λ = ; Q = L R = ± α = λ ± α L Lω R La soluion générale de l équaion prend alors la forme suivane : q A e A e r1 r ( ) =. +. ; 1 q( ) = A. e + A. e ; ( λ + α ) ( λ α ) 1 Abdenour Lounis 3
q A e A e r1 r ( ) =. +. ; 1 q( ) = A. e + A. e ; ( λ + α ) ( λ α ) 1 q( ) = e A. e + A. e λ. α. α. 1 On a dans ce cas consane de emps =1/λ Selon le signe de a sous la racine, les soluions diffèren : cas où α es posiif : α > r 1, ω Q ω = ± 1 4. Q = α > 1 4. Q ω Q Q 1 4. Q > Q < Q <1/ Amorissemen Abdenour for Lounis 4 1
Les deux racines son réelles. Si on pose : ω ω Ω = α = 1 4Q = ω = λ ω Q Q Les condiions iniiales son : q()=q I(=)= q A e A e r1 r ( ) =. +. ; 1 dq ( = ) = A 1. r 1 + A r = d Rappel: donc ω ω r1, = ± 1 4. Q r 1, Q Q = λ ± α = λ ± Ω 1 1 1 ii q( ) q A A ; = = = 1 + i A r + A r = = A.( λ + Ω ) + A.( λ Ω ) = Abdenour Lounis 5
On aboui au sysème d équaion suivan: A.( λ + Ω ) = A.( λ + Ω ) 1 A + A = q 1 rappel : soluion cherchée q( ) = e A. e + A. e on en ire : λ. α. α. 1 q q A1 = ( λ + Ω ) A = ( λ + Ω ) donc : Ω Ω q q q( ) = ( λ + Ω ) e e + ( λ + Ω ) e e Ω Ω λ. Ω. λ. Ω. q λ q q( ) = e ( λ + Ω ) e + ( λ + Ω ) e Ω Ω. Ω. Ω. Abdenour Lounis 6
on uilise les relaions suivanes : ( ) Ω λ = α λ = λ ω λ donc Ω λ = ω on obien la soluion suivane pour le couran I(): dq( ) d ω λ Ω Ω... I( ) = = q. e e e Ω Régime apériodique q() COURANT CHARGE Abdenour Lounis 7
b) cas où α es nul α = : r r ω Q Ω = α = 1 4Q = 4Q = 1 Q = 1/ Amorissemen criique Nous avons des racines doubles : 1, 1, R = ± α = λ ± α = L = λ La soluion générale es de la forme : r q( ) = ( A. + A ). e ; 1 Avec les même condiions iniiales que précédemen, on obien les soluions: λ q( ) = (1 + λ ). e ; I q e ( ) =. λ.. λ Régime apériodique e criique Abdenour Lounis 8
c) cas où α es négaif α < : Q > 1 L R< C amorissemen faible Les deux racines son imaginaires : r = λ ± j ω λ = λ ± jω 1, avec ω = ω λ En prenan les même condiions iniiales : q(=)=q e i(=)= On obien la soluion suivane : λ e ω q( ) = q ( λ + jω ) e + ( λ + jω ) e jω j jω on pose gφ = λ/ω e cos φ=ω/ω on obien la soluion : λ e q( ) = q cos( ω ϕ ) jω Régime oscillan amori pseudopériodique T=π/ω ; λ amorissemen Abdenour Lounis 9
Abdenour Lounis 3
Si R= ; nous avpns un amorissemen nul! d q + ω q = d Soluion : q( ) = q.cosω Régime sinusoïdal périodique e non amori: Période T=π/ω Abdenour Lounis 31