Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet 1 Exercice 1 : (5 points) On considère un triangle ABC. On considère les points : D, intersection de la bissectrice de d B et de sa perpendiculaire issue de A ; E, intersection de la bissectrice de d C et de sa perpendiculaire issue de A ; F, intersection de la perpendiculaire en B à (BD) et de la parallèle en A à (BD) ; G, intersection de la perpendiculaire en C à (CE) et de la parallèle en A à (CE). 1) Justifier la nature du quadrilatère ADBF. ) En déduire celle du triangle BDC, C étant le milieu du segment [AB]. 3) Montrer que (C D) est parallèle à (BC). 4) Montrer que (C D) passe par le milieu B de [AC]. 5) Conclure à l alignement des points B, C, D et F. 6) On peut montrer comme précédemment, et on admet le résultat, que les points B, C, E et G sont alignés. Que peut-on en conclure pour les points D, E, F et G? Exercice : (5 points) Soit A et B deux points distincts d un cercle Γ de centre O, non diamétralement opposés. Pour tout point M de Γ, autre que A et B, on désigne par H l orthocentre de AMB. Soit enfin, C le symétrique de A par rapport à O. 1) Faire une figure. ) a) Montrer que (MH) est parallèle à (CB). b) Montrer que (BH) est parallèle à (CM). c) Déduire des questions a) et b) la nature du quadrilatère MHBC. 1
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet Exercice 1 : le cercle des 9 points (5 points) On considère un triangle ABC, ainsi que : les points D, E et F pieds des hauteurs issues de A, B et C ; H l orthocentre de ABC I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB], [AH], [BH] et [CH]. 1) Montrer que le point D appartient au cercle de diamètre [IL]. ) Montrer que (KL) est parallèle à (BE) et en déduire que K appartient aussi au cercle de diamètre [IL]. 3) Montrer comme en ) que J appartient au cercle de diamètre [IL] 4) Les réponses aux questions précédentes ont montré que les 5 points D, I, J, K, L appartiennent au même cercle, ou encore que les points D et L appartiennent au cercle circonscrit au triangle IJK. Sans en faire la démonstration, citer 4 autres points appartenant aussi à ce cercle. Exercice : (5 points) On considère un triangle ABC, le milieu I de [BC], les points J et K intersections respectives de (AB) et (AC) avec leurs perpendiculaires issues de I. A tout point M du segment [AI] autre que A et I, on associe les points P et Q, intersections respectives de (AB) et (AC) avec leurs perpendiculaires issues de M. 1) En appliquant deux fois le théorème de Thalès, montrer que MP IJ = MQ. Qu en déduit-on pour le rapport MP MQ? ) Soit H le projeté de A sur (BC). Montrer que les triangles AIB et AIC ont la même aire et en déduire que IJ AB = AC. 3) Déduire des deux questions précédentes, que pour tout point M de [AI] autre que A et I, on a l égalité MP MQ = AC AB.
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet 1 Exercice 1 : (5 points) On considère un triangle ABC. On considère les points : D, intersection de la bissectrice de d B et de sa perpendiculaire issue de A ; E, intersection de la bissectrice de d C et de sa perpendiculaire issue de A ; F, intersection de la perpendiculaire en B à (BD) et de la parallèle en A à (BD) ; G, intersection de la perpendiculaire en C à (CE) et de la parallèle en A à (CE). 1) Justifier la nature du quadrilatère ADBF ) En déduire celle du triangle BDC, C étant le milieu du segment [AB] 3) Montrer que (C D) est parallèle à (BC) 4) Montrer que (C D) passe par le milieu B de [AC] 5) Conclure à l alignement des points B, C, D et F. 6) On peut montrer comme précédemment, et on admet le résultat, que les points B, C, E et G sont alignés. Que peut-on en conclure pour les points D, E, F et G? 1) Le quadrilatère ADBF, qui a trois angles droits est un rectangle. ) Les diagonales du rectangle ADBF ont même longueur et se coupent en leur milieu C. Donc DC =C B et le triangle BDC est isocèle en C'. 3) Puisque BDC est isocèle en C, ses angles de base sont égaux : a C'DB = a C'BD (BD) est la bissectrice de a ABC : donc a C'BD = a DBC Il en résulte que a C'DB = a DBC. Les angles a C'DB et a DBC sont alternes-internes et égaux selon la sécante (BD). On en déduit que les droites (C D) et (BC) sont parallèles. 4) Dans le triangle ABC, C est le milieu de [AB] et (C D) est parallèle à (BC). Donc la droite (C D) coupe le troisième côté [AC] du triangle ABC en son milieu B. (Théorème de la droite des milieux) 5) C, D, B sont alignés. 3
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet 1 Dans le rectangle ADBF, C est le milieu de [AB] et de [DF] (puisque c est le point d intersection des diagonales de ce rectangle). Donc les points C, D et F sont alignés. Par suite, les quatre points B, C, D et F sont alignés. 6) On sait que D et F appartiennent à la droite (B C ). On admet qu il en est de même pour E et G. Les quatre points D, E, F et G sont donc alignés avec B et C. Exercice : (4 points) Soit A et B deux points distincts d un cercle Γ de centre O, non diamétralement opposés. Pour tout point M de Γ, autre que A et B, on désigne par H l orthocentre de AMB. Soit enfin, C le symétrique de A par rapport à O. 1) Faire une figure ) a) Montrer que (MH) est parallèle à (CB) b) Montrer que (BH) est parallèle à (CM) c) Déduire des questions a) et b) la nature du quadrilatère MHBC. 1) ) a) Le triangle ABC est rectangle en B car inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AC]. (MH) (AB) et (AB) (BC) : donc (MH) // (BC) b) De même, le triangle ACM est rectangle en M car inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AC]. (BH) (AM) et (AM) (CM) : donc (BH) // (CM) c) MHCB a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c est donc un parallélogramme. 4
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet Exercice 1 : le cercle des 9 points (5 points) On considère un triangle ABC, ainsi que : les points D, E et F pieds des hauteurs issues de A, B et C ; H l orthocentre de ABC I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB], [AH], [BH] et [CH]. 1) Montrer que le point D appartient au cercle de diamètre [IL]. ) Montrer que (KL) est parallèle à (BE) et en déduire que K appartient aussi au cercle de diamètre [IL]. 3) Montrer comme en ) que J appartient au cercle de diamètre [IL] 4) Les réponses aux questions précédentes ont montré que les 5 points D, I, J, K, L appartiennent au même cercle, ou encore que les points D et L appartiennent au cercle circonscrit au triangle IJK. Sans en faire la démonstration, citer 4 autres points appartenant aussi à ce cercle. 1) Le triangle DIL est rectangle en D puisque (LD) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Donc D appartient au cercle de diamètre [IL] (triangle rectangle inscrit dans un cercle dont le diamètre est l hypoténuse). ) Dans le triangle ABH, K est le milieu de [AB] et L est le milieu de [AH]. Donc la droite (KL) est parallèle à la droite (BE). (Théorème de la droite des milieux) Dans le triangle ABC, en utilisant encore le théorème de la droite des milieux on montre que les droites (KI) et (AC) sont parallèles. 5
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet (KL) et (KI) sont deux droites respectivement parallèles à (BE) et (AC), qui sont perpendiculaires, donc (KL) et (KI) sont perpendiculaires. Le triangle KIL rectangle en K est inscrit dans le cercle de diamètre [IL]. Donc le point K appartient au cercle de diamètre [IL]. 3) Comme à la question ), on a : dans le triangle AHC, (LJ) est parallèle à (HC) ; dans le triangle ABC, (IJ) est parallèle à (AB). Or (HC) et (AB) sont perpendiculaires, donc (LJ) et (IJ) le sont aussi, et J appartient au cercle de diamètre [IL]. 4) Tout comme L, milieu de [AH] appartient au cercle circonscrit à IJK, on peut penser qu il en est de même des milieux M et N de [BH] et [CH]. Tout comme D, pied de la hauteur issue de A, appartient au cercle circonscrit à IJK, on peut penser qu il en est de même de E et F, pieds des hauteurs issues de B et C. Conclusion : On trouve alors neuf points situés sur le même cercle : les 3 milieux des côtés les 3 pieds des hauteurs les 3milieux des segments joignant un sommet à l orthocentre. Exercice : (5 points) On considère un triangle ABC, le milieu I de [BC], les points J et K intersections respectives de (AB) et (AC) avec leurs perpendiculaires issues de I. A tout point M du segment [AI] autre que A et I, on associe les points P et Q, intersections respectives de (AB) et (AC) avec leurs perpendiculaires issues de M. 1) En appliquant deux fois le théorème de Thalès, montrer que MP IJ = MQ. Qu en déduit-on pour le rapport MP MQ? ) Soit H le projeté de A sur (BC). Montrer que les triangles AIB et AIC ont la même aire et en déduire que IJ AB = AC. 3) Déduire des deux questions précédentes, que pour tout point M de [AI] autre que A et I, on a l égalité MP MQ = AC AB. 6
Seconde 4 IE4 configurations du plan sujet 1) On peut appliquer fois le théorème de Thalès, d une part dans les triangles AMP et AIJ (les droites (PM) et (IJ) sont parallèles car toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB)) : MP IJ = AM AI d autre part dans les triangles AMQ et A (les droites (MQ) et () sont parallèles car toutes les deux perpendiculaires à la droite (AC)) : MQ = AM AI On en déduit que MP IJ = MQ Et par échange des moyens : MP MQ = IJ ) Aire AIB = 1 BI AH Aire AIC = 1 CI AH Or IB=IC car I est le milieu de [BC]. Donc Aire AIB = Aire AIC D autre part : Aire AIB = 1 AI IJ et Aire AIC = 1 AC On en déduit : AI IJ = AC 3) On a : MP MQ = IJ = AC AB 7