Analyse T, TD n 6 / Vendredi ocobre 6 Corrigé du Conrôle n Exercice : Eudier la naure (convergene, divergene, n exise pas) des inégrales généralisées suivanes : sin. dx, x + xα ex.dx ( avec α R paramère ) Soluion : ) L inégrale sin. dx es impropre en. x La foncion f : x sin es définie, e coninue sur ], ] ; elle es sans limie en +, car f x oscille au V(+). L inégrale es absolumen convergene en veru du crière de majoraion, car sin x. Or la foncion es inégrable sur ], ]. Aure idée : le changemen de variable y /x la ransforme en + sin( y). dy qui es aussi y sin( ) absolumen convergene, car y. Par conséquen, l inégrale converge. y y Avec Maple : > wih(plos); > f:x->sin(/x^);plo([-,f(x),+],x.5..,hickness); > J:in(f(x),x..);evalf(J); J : sin( ) π FresnelC + π π.85736668 Il serai inéressan de jusifier ce calcul de Maple : aper > FresnelC? ;
) L inégrale + xα ex.dx es impropre en + e en +. La foncion x α e x es coninue e posiive sur ], + [. L inégrale + xα ex.dx es oujours convergene, car < x α e x < x Cela découle de ce que x α+ e x quand x +. Variane : < x α e x < e x/ au V(+ ), car x α e x/ quand x +. L inégrale xα e x.dx converge ssi α >, car x α e x x α x au V(+) α Par conséquen, l inégrale + xα ex.dx converge ssi α >. au V(+ ). Avec Maple : > wih(plos): > f:(alpha,x)->x^alpha*exp(-x);p:alpha- >plo(f(alpha,x),x..5,..,hickness, colorcolor(rgb,rand()/^,rand()/^,rand()/^)); > display({p(-/),p(/),p(),p(),p(),p(3)}); > assume(alpha>-);in(f(alpha,x),x..infiniy); Γ( α ) α Remarques : ) Si α, l inégrale n es pas impropre en +, mais cela n a guère d imporance. ) Noons F(α) + xα ex.dx la valeur de cee inégrale. Une inégraion par paries monre que α > F(α + ) (α + ).F(α). Comme F(), on en dédui que F(n) n! pour ou enier naurel n. La foncion F prolonge la foncion facorielle. Parmi ous les prolongemens de la facorielle, c es de loin le plus inéressan. Exercice : Eude d une ransformée de Laplace. Soi F la foncion définie sur R + par F(x) + ( sin ). e. d x. ) Monrer que F es coninue sur [, + [ ) Monrer que F es deux fois dérivable sur ], + [. 3) Monrer que F (x) x ( x x. + )
[ Indicaion : uiliser l idenié sin ) Monrer que lim x + F(x). cos( i e ie.] Soluion : ) Domaine de définiion de F. La foncion f( ( sin ) es définie, coninue e posiive sur ], + [. Elle es prolongeable par coninuié en, car elle end vers en +. Ainsi prolongée, elle es même C, e même développable en série enière en. De plus elle es bornée : f(, e inégrable, car f( ϕ( où ϕ( sur [, ], sur [, + [. Il en résule que sa ransformée de Laplace F(x) + f(. ex. d es définie pour ou x. ), ) e 3) Propriéés de F sur son domaine. La foncion φ : (x, f(. e x vérifie : (H ) Pour ou x, φ(x, es inégrable ; (H ) Pour ou, x φ(x, es coninue ; (H 3) Pour ou (x, [, + [ φ(x, f(, majorane inégrable. F es coninue sur [, + [ en veru du héorème de coninuié des inégrales impropres à paramères. La foncion φ : (x, f(. e x a des dérivées parielles en x d ordre e : φ ( x, f( x φ e x e ( x, sin e x x. φ φ (H ) Pour ou x, ( x, e ( x, son inégrables sur ], + [ ; x x φ φ (H ) Pour ou, x ( x, e ( x, son coninues sur ], + [ ; x x (H 3) Pour ou a > e ou (x, [a, + [ ], + [ φ ( x, x f( e a e φ ( x, x sin e a, majoranes inégrables. En veru du héorème de dérivaion des inégrales impropres à paramères, F es de classe C sur [a, + [ pour ou a >, donc sur ], + [, e F (x) + sin. ex. d. Calculons F (x) par la echnique de linéarisaion indiquée : On a en effe, sin cos( e ie i. Donc : F (x) + sin. ex. d + e iei. ex. d Re x + ( x+ i) e.d + Re x x + i Conclusion : F es coninue sur [, + [, de classe C sur ], + [, e x > F (x) + sin. ex. d x ( x x. + ) x ( x x. + ) 3
Il en résule que F (x) ln x ln( x + ) + a, puis F(x) x ln x x ln( x + ) Arcan x + ax + b. L éude en + va permere de rouver a e b. ) Limie de F en +. Pour la limie, poin n es besoin de recourir au héorème de convergence dominée (admis). Il suffi de noer que F(x) + e x.d. x Comme F(x) x ln( + x ) + b Arcan x + ax, on en dédui que a e b π. Conclusion : x F(x) + ( sin ). e. d x x ln x x ln( x + ) Arcan x + π. Conséquences : F() + ( sin ). d π. On en dédui, par IPP : + sin. d π. F() + ( sin ). e. d ln 5 Arcan + π, ec. Remarque dédiée à Jean-Yves S. : le problème de Cenrale M 986 éudie plus généralemen les ransformées de Laplace + ( sin ). e. d n x. Souvenirs, souvenirs Feuille de calcul Maple : Maple 7 ne sai pas rouver la ransformée de Laplace de f(. Il fau lui mâcher le ravail comme dans le problème. > wih(inrans); [ addable, fourier, fouriercos, fouriersin, hankel, hilber, invfourier, invhilber, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, saveable] > f:->(sin(/^; > laplace(f(,,x); Error, (in GAMMA) numeric excepion: division by zero > G:conver(laplace(sin(^,,x),parfrac,x); x G : x x + > F:x->in(in(G,x)+a,x)+b;F(x); F : x d + d + G x a x b + + x ln( x) x ln ( x + ) arcan x a x b > limi(f(x),x);limi(f(x),xinfiniy); b signum( a ) > in((sin(/^,..infiniy);assign({a,bpi/});f(x); π + x ln( x) x ln ( x + ) arcan x π
> invlaplace(f(x),x,; invlaplace ( x ln( x), x, invlaplace ( x ln ( x sin( ) cos( + ), x, + > dl:series(f(,,7);laplace(dl,,x); dl : 3 + 5 35 6 + 75 8 67775 + 56755 6385875 + O( 6 ) 6 56 96 5 6 5 5 9 8 + + + x 3 x 3 x 5 7 x 7 x 9 33 x x 3 5 x 5 > asymp(f(x),x,7); 6 56 96 5 6 5 5 9 8 + + + + O x 3 x 3 x 5 7 x 7 x 9 33 x x 3 5 x 5 x 6 > series(f(x),x,); + + + + π + ln( ) ln( x) x 8 x3 6 x5 5376 x7 3686 x9 O( x ) > wih(plos):p:plo(f(,..,hickness): q:plo(f(x),x..,hickness,colorblue):display({p,q}); Graphes de f( e de sa ransformée de Laplace F(x) Maple calcule F(x), mais il reserai à comprendre ceci : > in((sin(/^*exp(-x*,..infiniy); lim ( x ln ( x + I) x Ei (, x + x Ei (, ( x + I) x ln( x) + x ln( I + x) + x Ei (, ( I + x) e ( ( + ) ) x I e ( ( I + x) ) + I Ei (, ( x + I) + e ( x ) I Ei (, ( I + x) ) I ln( I + x) + I ln ( x + I) / 5
Exercice 3 : Equaion des cordes vibranes. Uiliser la ransformaion de Fourier pour résoudre l équaion de la corde vibrane : u (, x) u xx (, x) pour e x R u(, x) pour x R u (, x) v(x) pour x R [ Indicaion : La ransformée de Fourier de la foncion f a (x) si a x a, sinon, sin( aξ) es F a (ξ).] ξ Soluion aupine : Le changemen de variables p x +, q x, perme de résoudre l équaion aux dérivées parielles u u devien x pq u (règle de la chaîne), donc u(, x) f(x + + g(x, où f e g son de classe C. Pour ou x, u(, x) f(x) + g(x), donc g f e u(, x) f(x + f(x. u(, x) f (x + + f (x, donc.f (x) v(x) e f(x) V(x), où V es une primiive de v. Ainsi u(, x) [ V(x + V(x ]. Avec Maple : > wih(deools); > ecv:diff(u(,x),,-diff(u(,x),x,x); ecv : u (, x ) u (, x) x > pdsolve(ecv); u (, x ) _F( x + ) + _F( x ) > u:(,x)->f(x++g(x-; u : (, x ) f ( x + ) + g ( x ) > u(,x); f( x ) + g( x) > u:(,x)->f(x+-f(x-; u : (, x ) f ( x + ) f ( x ) > diff(u(,x),; D( f )( x + ) + D( f )( x ) Soluion formelle par ransformaion de Fourier. + x e dx u (, ). ξ + x e dx x u (, ). ξ. + x e dx u (, ). ξ + e ix ξ u(,. dx par dérivaion sous le signe somme + x e dx x u (, ). ξ ξ + e ix ξ u(,. dx par deux IPP. Donc + e ix ξ u(,. dx + ξ + e ix ξ u(,. dx Equaion différenielle en qui se résou en : Or + + e ix ξ u(,. dx A(ξ).cos(ξ + B(ξ).sin(ξ. e ix ξ u(,. dx A(ξ). 6
E + x e dx u ix ξ (, ).. + e ix ξ u(,. dx ξ.b(ξ).cos(ξ. Si, il vien + x e dx u ix ξ (, ).. + e ix ξ v(. dx v ) (ξ) ξ.b(ξ). Ainsi + e ix ξ u(,. dx v ) sin( ξ (ξ) ) v (ξ). F( f ξ )(ξ) F(v f )(ξ). Par conséquen u(, x) (v f )(x) + x v( xs) f ( s). ds + v ( xs). ds + v ( s). ds ( V(x + V(x ) x e l on reombe sur nos paes. Remarque : ou cela es hauemen fanaisise, e me rappelle cee bouade de Hilber, à qui l on annonça qu un de ses éudians éai devenu poèe : «Poèe, vraimen?evidemmen, il n avai pas assez de fanaisie pour devenir mahémaicien» 7