Chap.12 Probabltés. I Vocabulare des événements. Défnton1: Une expérence aléatore est une expérence dont on peut décrre les résultats possbles a pror, sans être capable de détermner à l'avance celu qu se produra. Défnton2: Un résultat possble d'une expérence aléatore est appelé ssue. Actvté : On effectue l expérence aléatore suvante : on lance un dé, dodécaèdre réguler, à 12 faces numérotées de 1 à 12. On lt ensute le numéro apparassant sur la face supéreure. Chaque résultat possble est appelé une ssue de cette expérence, l ensemble des ssues est appelé l unvers, on le note. Ic : 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 1 ) Quel est l ensemble A des ssues pares? 2 ) Quel est l ensemble B des ssues multples de 3? 3 ) Quel est l ensemble C des ssues pares et multples de 3? 4 ) Quel est l ensemble des ssues qu ne sont pas multples de 3? 1 ) Unvers et événements d une expérence aléatore. Défnton: Un événement d une expérence aléatore est une parte quelconque de l unvers.un événement ne comprenant qu une seule éventualté est un événement élémentare. Exemple: Lors du lancer d un dé à 6 faces : A : "obtenr un 5" est un événement élémentare que l on peut noter A = {5}, B : "obtenr un numéro par" est un événement que l on peut noter B = Défnton : L événement qu ne content aucune éventualté est l événement mpossble, noté, L événement composé de toutes les éventualtés est appelé événement certan. 1/8
Exemples : Trage des sx numéros gagnants du loto : "obtenr la combnason 3 25 38 59 67 91" est un événement mpossble (les numéros vont de 1 à 49). Lancer d un dé à sx faces : "obtenr un nombre postf" est un événement certan. 2 ) Evénements contrares, réunon et ntersecton d événements. Défnton : Pour tout événement A l exste un événement noté A et appelé événement contrare de A, qu est composé des éléments de Ω qu ne sont pas dans A. On a en partculer A A. Exemple : Lancer d une pèce de monnae : s A = {ple} alors son événement contrare est : Lancer d un dé à sx faces : s A est l événement "obtenr un nombre nféreur ou égal à 4", alors son événement contrare est : Défnton : Intersecton d événements: événement consttué des éventualtés appartenant à A et à B noté A B (Se lt "A nter B" ou "A et B"), Réunon d événements: événement consttué des éventualtés appartenant à A ou à B noté A B (se lt "A unon B" ou "A ou B"). Remarque : S A B =, on dt que les événements sont ncompatbles. Exemple : On chost un chffre au hasard. On note A l événement "obtenr un chffre par" et B l événement "obtenr un chffre strctement nféreur à sx" A B : A B : Applcaton : Comment détermner les ssues d un événement à l ade d un tableau ou d un arbre? 2/8
1 ) On lance deux fos de sute une pèce de monnae. Par exemple, l ssue «ple au premer lancer et face au second lancer» sera notée PF. a) Détermner, à l ade d un tableau, l unvers de cette expérence aléatore. b) Ecrre sous forme d ensemble chacun des événements : A : «obtenr ple au premer lancer» B : «obtenr exactement un fos face» A B et A B 2 ) Reprendre les questons précédentes à l ade d un arbre. Exercce : Une urne content deux boules rouges, numérotées 1 et 2, et une boule verte. On tre au hasard, successvement et sans remse, deux boules de l urne. 1 )a) A l ade d un arbre, détermner l unvers de cette expérence. b) Détermner le nombre d ssues des événements : - A : «la premère boule trée est verte» - B : «la deuxème boule trée est rouge» 2 ) Ecrre sous forme d ensemble les événements A B et A. II Noton de probablté. 3/8
Actvté : On lance un dé cubque dont les faces sont numérotées de 1 à 6 pus on lt le chffre de la face supéreure. 1 ) Quelles sont les ssues de cette expérence aléatore? 2 ) A votre avs, chacune de ces ssues a-t-elle les mêmes chances de se réalser? 3 ) Comment estmer la «chance» d obtenr 6? Nous allons smuler cette expérence grâce à la calculatrce En effet, la calculatrce a une foncton qu lu permet d affcher un nombre aléatore comprs entre 0 et 1 : la foncton random (hasard). CASIO TI Menu RUN Taper OPTN Sélectonner PROB Chosr RAN# Taper MATH Sélectonner PRB Chosr RAND Taper sur ENTER Taper sur EXE Pour fare affcher un nouveau nombre aléatore, l sufft d appuyer à nouveau sur Exe ou Enter Pour obtenr un enter, nous allons utlser la foncton Int de la calculatrce qu permet d affcher la parte entère d un nombre CASIO TI OPTN NUM INT MATH NUM INT Nous cherchons, pour smuler notre lancer de dé, à fare affcher par la calculatrce un nombre enter aléatore comprs entre 1 et 6. Pour cela, l sufft de taper la séquence suvante : Caso Int(6 Ran#+1) ou TI Int(6 RanD+1) 4/8
Taper sur Exe ou Enter, un nombre enter comprs entre 1 et 6 s affche. Effectuer les manpulatons nécessares pour compléter le tableau : Nombre de lancers Nombre de «6» obtenus Fréquence des «6» en % 4 8 12 16 4 ) S l on augmentat toujours le nombre de lancers, de quel nombre peut-on penser que la fréquence se rapprocherat? COURS : Sot x x x ; ;...; n 1 2 l unvers d une expérence aléatore, où chaque x désgne une ssue. Défnton : à chaque ssue x on assoce un nombre réel 0 p 1 et p1 p2... p n 1 p tel que : Ce nombre p est appelé probablté de l événement élémentare «obtenr x». Défnton : sot un événement A. La somme des probabltés de toutes les ssues de A est appelée probablté de l événement A. On la note pa. ( ) Exemple : les gans possbles pour chaque tcket d une lotere sont : 50 avec une chance sur 10, 20 avec deux chances sur 10 et O avec 7 chances sur 10. Sot G l événement «gagner une somme non nulle avec un tcket». Calculer pg ( ). 5/7
Défnton : on dt qu l y a équprobablté sur l unvers lorsque tous les événements élémentares ont la même probablté. S est consttué de n ssues, la probablté de chaque ssue est alors 1 n. Proprété : S l y a équprobablté sur l unvers, alors la probablté d un événement A est : nombre d ' ssues de A pa ( ) nombre d ' ssues de. Exemple : dans sa poche, Lucas a ms : cnq blles aragnées dont 2 bleues, 2 jaunes et 1 verte, deux blles dauphns dont 1 bleue et 1 jaune, et une blle clown jaune. Ces blles sont ndscernables au toucher. Il en prend une au hasard. Quelle est la probablté de chacun des événements : C : «l sort la blle clown» A : «l sort une blle aragnée» J : «l sort une blle jaune»? APPLICATION : Comment calculer la probablté d un événement lorsque les ssues sont équprobables? Dans un jeu de 32 cartes, on en tre une carte au hasard. 1 ) Quelle est la probablté d obtenr l as de pque? 2 ) Calculer la probablté de chacun des événements : A : «obtenr un as» B : «obtenr un pque» C : «obtenr une fgure» III Proprétés. 6/7
COURS : Proprété : soent A et B deux événements alors : Exemple : - p( A B) p( A) p( B) p( A B) - p( A) 1 p( A) 7/7