Devoir Surveillé d Analyse 4 Jeudi 5 novembre 29 durée : h3 (8h3 h) Année universiaire 29-2 2ème année STPI **** Tous documens e appareils élecroniques inerdis **** Exercice Éudier la convergence des inégrales suivanes :. I 2. I 2 3. I 3 4. I 4 d. d. d. cos( 2 ) d. [Indicaion: on pourra éablir que I 4 (I + I 2 )/2.] Exercice 2 Monrer la convergence e calculer I x( x). [Indicaion: on pourra commencer par le changemen de variable x 2.] Exercice 3 Éudier la coninuié au poin (, ) des foncions suivanes : { xy 2 si (x, y) (, ),. f x 2 +y 2 si (, ). 2. f { sin(xy) x 2 +y 2 si (x, y) (, ), si (, ). Exercice 4 Soi f ln x 2 + y 2.. Démonrer que f es de classe C sur l ouver Ω R 2 \ {(, )}. 2. Calculer les dérivées parielles de f en ou poin (x, y) Ω. 3. Donner le gradien de f en coordonnées carésiennes e en coordonnées polaires. 4. Démonrer que 2 f + 2 f 2. 2 5. On pose g(, s) f(s, s + ). Calculer les dérivées parielles de g.
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INSA de Rennes Analyse 4 2ème année STPI année 29/ DS Analyse 4 - novembre 29 : CORRECTION Une soluion de l exercice.. La foncion définie par f() / es définie e coninue sur R donc la convergence de I ne pose problème qu en. Or f() e comme f e + / d son posiives sur ], ], les inégrales f()d e son de même naure (héorème du cours sur les équivalens). Or la dernière inégrale es une inégrale de Riemann convergene donc I es convergene. 2. La convergence de I 2 ne pose problème qu en +. Pour ou A >, on fai une inégraion par paries : d [ sin ] A + sin sin A d sin + 3/2 2 A sin d. 23/2 Or sin A sin quand A + e d converge absolumen car, pour A 3/2 sin ou, 3/2 e 3/2 d converge car 3/2 >. Finalemen I 3/2 2 es convergene. 3. L inégrale I 3 es clairemen divergene. Une manière de la voir es de calculer, pour ou A >, d sin A qui n a pas de limie quand A +. 4. Par le changemen de variable u 2, du 2d 2 udu, on a I 4 cos( 2 )d La convergence de I e I 2 enraîne alors celle de I 4. Une soluion de l exercice 2. Convergence. La foncion définie par f() cos u 2 u du 2 (I + I 2 ). x( x) es bien définie e coninue sur ], [ (car pour ou x ], [, x( x) > ). La convergence de I pose problème en e en. Un changemen de variable x nous monre que ce son des problèmes symériques. On se limie donc à l éude en. On a : f(x) x x + e f e x / x son des foncions posives sur ], [. Ainsi naure que e cee dernière inégrale es convergene. x 3 f(x) es de même
Calcul. On fai le changemen de variable x + sin 2 x e π/2. On a : qui es bien défini pour I x( x) π/2 π/2 sin 2 d (on remarquera que > sur ] π/2, π/2[). Une soluion de l exercice 3.. Méhode. Par majoraion direce. Pour ou (x, y) (, ), f(x, y) f(, ) xy2 x 2 + y x x 2 + y 2 2 π/2 d d π (x,y) (,) car y 2 /(x 2 + y 2 ) d une par e x x 2 + y 2 d aure par. Donc f es coninue en (, ). Méhode 2. On uilise les coordonnées polaires e le fai que (x, y) (, ) r. Pour ou (x, y) (, ), f f(rcos θ, rsin θ) rcos θsin 2 θ r f(, ) car cos θsin 2 θ). 2. Méhode (avec les coordonnées polaires). Pour ou (x, y) (, ), f f(rcos θ, rsin θ) sin(r2 cos θsin θ) r 2 cos θsin θ + o() r cos θsin θ, en uilisan le développemen limié de sinus en : sin u u + o(u). Pour θ, cos θsin θ mais, pour θ π/4, cos θsin θ /2 donc f n es pas coninue en (, ) ( la limie dépend de commen on s approche de (, ) ). Méhode 2. On rouve un chemin qui s approche de l origine le long duquel f ne end pas vers. Par exemple f(x, x) sin(x2 ) 2x 2 donc f n es pas coninue en (, ). x 2 f(, ) Une soluion de l exercice 4.. La foncion polynôme (x, y) x 2 + y 2 es de classe C sur R 2 e, pour ou (x, y) Ω, x 2 + y 2 R +. Par composiion avec la foncion racine z z qui es C sur R +, on obien que (x, y) x 2 + y 2 es C sur Ω. Comme, de plus, pour ou (x, y) Ω, x 2 + y 2 R +, on peu encore composer par ln qui es C sur R + pour obenir que f es C sur Ω. 2. Pour simplifier les calculs, on peu remarquer que f 2 ln(x2 + y 2 ). Pour ou (x, y) Ω, x x 2 + y 2 e 4 y x 2 + y 2.
3. Par définiion grad f ( (x, y) (x, y) ) ( x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 ). Si l on pose f(r, θ) f(x, y), on a l expression du gradien en coordonnées polaires ( ) grad f(r, ( ) f (r, θ) θ) r /r (r, θ) r f θ car f(r, θ) ln r. 4. On monre facilemen (comme en.) que f es C 2 sur Ω. On calcule les dérivées parielles secondes. Pour ou (x, y) Ω, 2 f y2 x 2 2 (x 2 + y 2 ), 2 f 2xy 2 (x 2 + y 2 ) 2 e 2 f 2 x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2. Il es alors clair que f 2 f + 2 f sur Ω. On di que f es harmonique. 2 2 5. On pose x(, s) s e y(, s) + s. On a: D où g g (, s) (, s) s, (x(, s), y(, s)) (x(, s), y(, s)), (, s) + (, s) +,. (x(, s), y(, s)) (, s) s2 (x(, s), y(, s)) (, s) 2 + s + 2 s 2 + (s + ) 2, s + s + 2 s 2 + (s + ) 2. 5