Chapitre II COMPARAISONS MULTIPLES DE MOYENNES

Chapitre II COMPARAISONS MULTIPLES DE MOYENNES Souvet, les tests utilisés e ANOVA e permettet pas de répodre suffisammet e détail aux questios/hypothèses que l'o se pose. E effet, ils permettet au maximum de répodre à la questio de savoir si p moyees sot différetes, soit de maière très géérale, soit à l'itérieur de telles ou telles coditios lorsqu'il existe des iteractios. Dès que p>, la coclusio est doc d'u grad iveau de gééralité. Or les expérieces sot la plupart du temps costruites pour tester des hypothèses beaucoup plus précises. Ce chapitre expose doc u certai ombre d'outils pour ce faire. II.0 AVERTISSEMENTS Das u pla d expériece doé, les outils de test proposés ici requièret les mêmes suppositios que celles afféretes aux tests gééraux de l aova, par exemple ormalité et homoscédasticité das les plas à mesu idépedates. Ces outils sot cepedat plus sesibles que ceux déjà vus lorsque l o s éloige de ces suppositios : ces deriè sot doc théoriquemet toujours à vérifier avat que de les utiliser. Ceci est particulièremet vrai pour les plas à mesu répétées, pour lesquels les suppositios sot ecore plus ombreuses que pour les plas à mesu idépedates. Relativemet compliquées sur le pla techique, l'exposé de ces suppositios est pas réalisé das ce chapitre dot l objet est essetiellemet d itroduire à ce type d approches. O se référera à la littérature pour compredre la ature de ces suppositios. Notos cepedat que trois voies sot classiquemet prises pour aborder ce type de problèmes (qui coceret doc surtout les plas à mesu répétées): -Faire comme si les suppositios étaiet vérifiées. A proscrire pour toute étude sérieuse, c est la voie qui semble se dégager de ce chapitre. Notos cepedat que les observatios ot été choisies de telle maière que ous soyos peu éloigés de leur vérificatio. -Utiliser le même type d approches mais e faisat des correctios sur les ddl des statistiques de test de telle maière à redre les approches plus coservatrices (plus grades difficultés à rejeter H0, doc mois de chaces de se tromper e le faisat). La littérature, et otammet Howell, est explicite sur ces approches. -Utiliser des approches alteratives mois gourmades e suppositios. Parmi elles, o peut citer (i) l utilisatio de carré moye d erreur spécifiques à chaque comparaiso qui amèe ici aussi à des approches plus coservatrices (ii) le traitemet de ce type de doées à travers l aalyse de variace multivariée (MANOVA). Notos e secod poit à titre d avertissemet que, du fait de capacités de calculs gigatesques accessibles grâce aux ordiateurs, les praticies ot souvet tedace à multiplier les tests d hypothèses portat sur des comparaisos de moyees. Cette approche e peut trouver de justificatio que sur u pla exploratoire, et ecore faut-il s assurer de maîtriser au mieux les risques de predre de mauvaises décisios (ous y reviedros). Pour faire de «boes» statistiques, la meilleure stratégie est celle d avoir ue théorie forte ameat à des hypothèses peu ombreuses à tester, exprimées avat la collecte des doées.

Ceci a ue icidece directe sur ce chapitre : o différeciera deux grads types d approches : -les approches de comparaisos à priori : elles cosistet e gros à obteir, à travers les observatios et les tests réalisés dessus, le plus possible de cofirmatios empiriques des hypothèses suscitées par la théorie, théorie psychologique ici. Les hypothèses sot doc éocées avat toute récolte de doées. Ce type d'approche est le mois problématique sur le pla statistique et doc le plus coseilllé. -les approches à posteriori : elles cosistet à teter d explorer certaies hypothèses qui soit ot été suggérées par les observatios, soit se greffet après-coup, ue fois les hypothèses à priori aalysées. Beaucoup plus exploratoire que les précédetes, elles amèet sur le pla logique à multiplier les tests, il faut doc s assurer de e pas predre trop de risques de se tromper. Plus problématiques sur le pla statistique elles sot plutôt décoseillées (mais pas iterdite car il est ormal de vouloir exploiter au maximum les observatios). II. Comparaisos de moyees à priori : II.. Les cotrastes : II... Exemple : des hypothèses sur des moyees à des hypothèses sur des cotrastes : Exercice: tester si e moyee les choses sot différetes selo les groupes cosidérés : HR : H0 : m. =m 5. H : m. m 5. HR : H0 : m 3. =m 4. H : m 3. m 4. HR3 : Ici o se demade si les perf das la coditio même sot les mêmes que das les coditios imagié et photo réuies. A quel test sur les moyees cela corpod-il? E se rappelat que le sige de la réuio U désige le "ou", o pourrait formuler les choses comme cela: H0 : m. =m 3U4. H : m. m 3U4. (ou m même. m imaguphoto ). Pb: qu'est-ce que m 3U4.? Etat doé qu'o a différecié ces deux cotextes das l'expé, o va être obligé de le predre e compte das les calculs. solutio: la moyee des moyees est la moyee. Et lorsque les groupes sot équilibrés, ces moyees sot simplemet des moyees sas aucue podératio par les effectifs. Ici, c'est bie le cas puisque das chaque groupe il y a ue ifiité d'idividus (les m corpodet aux moyees qui seraiet obteues sur des pop ie sur des ifiités de sujets). O a doc m 3U4 =(m 3. +m 4. )/ Et le test deviet: H0 : m. =(m 3. +m 4. )/ H : m. (m 3. +m 4. )/ HR4 : Ici o se demade si les perf das les coditios favorables au rappel sot les mêmes que das les coditios imagié et o favorables. E termes de moyees, o souhaite tester : H0 : m U3U4. m U5. H : m U3U4. >m U5. Comme o travaille sur les mêmes omb de sujets das chaque pop (ue ifiité), les moyees de moyees sot des moyees et doc : m U3U4. =(m. +m 3. +m 4. )/3 et m U5. =(m. +m 5. )/ O obtiet doc le test : H0 : (m. +m 3. +m 4. )/3 (m. +m 5. )/ H : (m. +m 3. +m 4. )/3>(m. +m 5. )/

3 Remarque: Les deux deriers tests e peuvet se justifier que si l'o coaît les résultats à certais des tests précédets. Par exemple, pour HR3, il faut qu il soit justifié de pouvoir cosidérer les coditios imagié et photo comme semblables, c est-à-dire que das HR, o ait pas rejeter H0. De même pour HR4, il faudrait que les H0 de HR, HR et HR3 aiet pas été rejetées (calculer des moyees sur des choux et des carottes e sigifierait pas grad chose). Ce type de procédure aboutit aisi souvet à des tests séquetiels. O a: HR : H : m. m 5. m. -m 5. 0 θ 0 avec θ =m. -m 5. HR : H : m 3. m 4. m 3. -m 4. 0 θ 0 avec θ =m 3. -m 4.. HR3 : H : m. (m 3. +m 4. )/ m. -(m 3. +m 4. )/ 0 θ 3 0 avec θ =m. -(m 3. +m 4. )/ HR4 : H : (m. +m 3. +m 4. )/3>(m. +m 5. )/ (m. +m 3. +m 4. )/3-(m. +m 5. )/>0 θ 4 >0 avec θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )/3-(m. +m 5. )/. θ, θ, θ 3, θ 4 sot des paramèt populatioels qui sot égaux à des additios de deux ou plusieurs moyees podérées avec ue somme des podératios ulles. Ils sot appelées cotrastes. Défiitio formelle d'u cotraste: Soit p moyees m i. (i=,..,p). U cotraste θ est ue CL de ces p moyees, soit ue somme podérée de ces moyees telle que la somme des podératios associées soit ulle : p p i i. i = i= i= θ= c m avec c 0. Podératios iterveat das otre exemple: θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )/3-(m. +m 5. )/=/3m. +/3m 3. +/3m 4. -/m. -/m 5. c c3 c4 c c5 p ci 5 = i= O a = c +... + c 0 =/3-/+/3+/3-/=0 De même, pour θ =m. -m 5. : c=c3=c4=0 c= c5=- et +... + c 0 c 5 = Simplificatio des écritu: Pour θ 3 et surtout θ 4, les écritu devieet u peu lourdes. Pour cette raiso et pour faciliter les calculs qui suivrot das les tests, o élimiera les fractios. O a : H0: θ 4 =0 H: θ 4 0 6*θ 4 =0 6*θ 4 0 θ 4 =0 θ 4 0 avec θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )-3(m. +m 5. ) θ 4 est aussi u cotraste (*3-3*=0). Faire so test d égalité à 0 reviet aussi à faire celui d égalité à 0 de θ 4. L u est plus facile à compredre car il est écrit e terme de moyees de

4 moyees, l autre aboutit à des calculs plus aisés. Notos que les formules permettrot de réaliser les tests sur la base des deux, tests qui évidemmet aboutirot toujours aux mêmes coclusios. Notos aussi que ous élimieros le " ' " das ce qui suit, doc que ous poseros e fait θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )-3(m. +m 5. ) Notos efi que la même procédure utilisé sur θ 3 aboutit pour à: H0: θ 3 =0 H: θ 3 0 Avec θ 3 =m. -m 3. -m 4. II... Estimatio poctuelle et tests d hypothèses portat sur u cotraste das u pla S <A p >: Estimatio potuelle: La quatité θ ˆ = p i= c i x i. est ue boe estimatio de θ. C'est-à-dire qu'elle doe la meilleure idée de la vraie valeur de θ (vraie valeur icoue car corpodat à celle qui serait obteue si l'esemble (la populatio) des sujets mesurables étaiet effectivemet mesurés). Cette quatité doera e particulier ue idée de la situatio de par rapport à 0 (<0; >0; 0), ce qui sera utile pour les tests. Exemple: das l'exercice sur les cotextes: x i. : 8 7, 8,8 9,6 Pour θ =m. -m 5 : θ ˆ = x. x5. =-9,6=,4. Pour θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )-3(m. +m 5. ): θ ˆ 4 = (x. + x3. + x 4. ) 3(x. + x5. ) =x(8+7,+8,8)-3x(+9,6)=43, Cosistace (accord) des estimatios avec l'hypothèse alterative d'u test (H): θˆ doe ue première idée d'u rejet évetuel de H0 au profit de H. ˆ = Par exemple θ, 4 état différet de 0 est plutôt cogruet avec H : θ 0, ce qui permet de laisser la possibilité d'u RH0. De même, θ ˆ 4 = 43, état supérieur à 0 est cogruet avec H : θ 4 >0. Ici aussi u RH0 sera possible. Notos qu'au cas où il 'y aurait pas cosistace etre l'estimatio θˆ et H, la coclusio au test serait immédiate: α*>0,; e aucu cas il e pourrait y avoir rejet de H0. Test : Quel que soit le type de test (ui ou bilatéral), o fera comme si c'était u test bilatéral ie: H0 : θ=θ 0 H :θ θ 0 (θ 0 est ue costate et e gééral θ 0 =0) Statistique utilisée das le test: O pose e plus:

5 p *) θ = c ex: i= i θ = 0 + + 0 + 0 + ( ) = = + ( 3) + + + ( 3) = 30 θ 4 (ˆ θ θ **) cm θ = θ ex: cm θ = (ˆ θ θ0 ) θ cm θ 4 = (ˆ4 θ θ0 ) θ 4 0 ) 0(,4 0) = 0(43, 0) = 30 =8,8 6,08 O utilise alors le même pricipe à savoir comparer la variace expliquée par ue source de variatio (ici celle associée au cotraste) avec ue variace dûe aux sources de variatio o cotrôlées (ou o mesurables) das l'expériece. cm θ la statistique utilisée est doc f=. cm Avec α*=p H0 (T f obs ) et R α =]C α, + [ où T est ue FS(,N-p) sous H0 (et si N et égalité des variaces sot correctes). remarque: O voit ici le même type d'idice qu'e ANOVA. Ceci etraîe les mêmes règles décisioelles qu'e ANOVA: -Si f obs <, α*>0,: il 'y a pas de rejet de H0. -+ f obs > et plus c'est sige que H0 est icorrecte. Cas d'u test uilatéral: O rejettera H0 si: a) α* 0, b) θˆ est cogruet avec H E vertu du fait qu'u α*(uilatéral) est égal au α*(bilatéral)/, le α* du test uilatéral sera obteu e divisat par celui obteu par la procédure bilatérale.

6 Rappel sur les régles de décisios utilisées e psycho e foctio de α*: α* est le risque que l'o pred de rejeter H0 à tort. E gééral e psycho, o a les règles suivates: O coclut à u rejet de H0 si α* 0,05: il y a au plus 5% de chaces de se tromper e faisat ue telle coclusio, càd qu'o est très sûr de celle-ci. O pese que H0 est très probablemet icorrecte si α* ]0,05;0,[. Cepedat ceci est cosidéré comme e pouvat pas aboutir à ue stricte coclusio. O parle das ce cas d'u rejet tedaciel de H0 ou d'u résultat sigificativemet tedaciel. O e rejette pas H0 si α*>0,: Avec plus de 0% de chaces de se tromper e RH0, la démostratio est cosidérée comme isuffisate pour coclure que H0 soit icorrecte. Applicatio : sur l'exercice rappel das divers cotextes: p=5; =0; N=50. x i. : 8 7, 8,8 9,6 cm =3,9465 HR : H0 : θ =0 H : θ 0 avec θ =m. -m 5. θ ˆ = x. x5. =-9,6=,4 θ = + ( ) = cmθ f obs = avec cm θ cm = (ˆ θ θ0 ) 0(,4 0) = =8,8 θ 8,8 et doc f obs = 0,905 3,9465 f obs < NR H0 et α*>0, : l hypothèse selo laquelle les performaces sot équivaletes das les deux cotextes est plausible. HR : H0 : θ =0 H : θ 0 avec θ =m 3. -m 4. ˆ θ = x3. x 4. =7,-8,8=-,6 θ = + ( ) = cmθ f obs = avec cm θ cm = (ˆ θ θ0 ) 0(,6 0) = =,8 θ,8 et doc f obs = 0,4007 3,9465 f obs < NR H0 et α*>0, : l hypothèse se lo laquelle les performaces sot équivaletes das les deux cotextes est plausible. HR3 : H0 : θ 3 =0 H : θ 3 0 avec θ 3 =m. -(m 3. +m 4. ) θ ˆ 3 = x. - (x 3. + x 4. ) =x8-7,-8,8=0 f obs =0 : e aucu cas o e pourra rejeter H0 remarque : le fait que 3 ˆθ soit ul sigifie que les deux moyees observées qui sot opposées das le cotraste (moyee même opposée à moyee(photo, imagié) sot égales. Si cellesci sot égales ceci sigifie qu il est absolumet impossible sur la base de cette iformatio de coclure que ces deux moyees soiet différetes sur le pla populatioel (ie sur u très grad ombre de sujets).

7 Pour mémoire, = + ( ) + ( ) = 6 θ 3 HR4 : H0 : θ 4 0 H : θ 4 >0 avec θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )-3(m. +m 5. ) O mèe e fait le test: H0 : θ 4 =0 H : θ 4 0 θ ˆ 4 = (x. + x3. + x 4. ) 3(x. + x5. ) =x(8+7,+8,8)-3x(+9,6)=43, θ 4 = 3x + x( ) = 30 cm θ 4 = (ˆ4 θ θ0 ) θ f obs = cmθ 4 cm 4 6,08 = 3,9465 0(43, 0) = 30 9,476 6,08 f obs valeur observée d ue FS(,45) α*=p H0 (T f obs )<0,00. Ceci est la coclusio au test bilatéral: H0 : θ 4 =0 H : θ 4 0 Pour le test uilatéral, c'est-à-dire celui d'itérêt, o otera qu'état doé que α* 0, et que θ ˆ4 = 43, est cogruet avec H : θ 4 >0, il y a rejet de H0. le α* de ce test état égale à la moitié de celle du test bilatéral, ous avos pour le test uilatéral: α*<0,00/=0,0005. O peut coclure, avec très peu de risques de se tromper à de meilleu performaces de rappel das les cotextes appropriés. II...3 Gééralisatio à d aut plas équilibrés: Tout ceci se gééralise aux aut plas vus das le chapitre précédet, aux quelques adaptatios près qui sot les suivates : Il faudra remplacer :. Pour tous types de pla, par le ombre de mesu servat à calculer les moyees observées corpodates. exemples: pla S <A p xb q >. des cotrastes peuvet être réalisés sur trois types de moyees: -les m ij. : les x ij. état calculés sur la base de mesu (le "." remplace le derier idice qui est l'idice "sujets") das le f, sera remplacé par (pas de chagemet doc). -les m i.. : les x i.. état calculés sur la base de q mesu (les "." remplacet l'idice associé à B, qui a q modalités et le derier idice qui est l'idice "sujets" ) das le f, sera remplacé par q. -les m.j. : les x.j. état calculés sur la base de p mesu (les "." remplacet l'idice associé à A, qui a p modalités et le derier idice qui est l'idice "sujets" ) das le f, sera remplacé par p.

8 Pour les plas à mesu répétées, le cm sera remplacé par le cm servat de base de comparaiso das l ANOVA pour tester l effet das lequel itervieet les moyees présetes das le cotraste. De plus les ddl de la Fischer serot remplacés par les ddl du cm utilisé à la place de cm. Exemples théoriques: Pla S <A p >xb q : -Si cotrastes sur les m i.. das u pla S <A p >xb q. Les m i.. iterveat das le test d'effet pricipal de A, o utilisera à la place de cm, cm S<A>. qui a p(-) ddl. -Si cotrastes sur des m.j. das u pla S <A p >xb q. Les m.j. iterveat das le test d'effet pricipal de B, o utilisera à la place de cm, cm S<A>B. qui a p(q-)(-) ddl. -Si cotrastes sur des m ij. das u pla S <A p >xb q. Les m ij. iterveat (implicitemet da les otatios) das le test d'effet d'iteractio de A et B, o utilisera à la place de cm, cm S<A>B. qui a p(q-)(-) ddl. Pla S xa p xxb q : -m i.. cm AS. qui a (p-)(-) ddl. -m.j. cm BS. qui a (q-)(-) ddl. -m ij. cm ABS. qui a (p-)(q-)(-) ddl. Remarque : *) Il existe des procédu particuliè pour les plas o équilibrés. **) E fait, état doé les problèmes spécifiques posés par les observatios répétées, o utilise e gééral des carrés moyes ecore plus spécifiques aux déomiateurs des f (carré moye d erreur spécifiques à chaque comparaiso). Les procédu proposées ici e sot doc qu'ue itroductio à ce type de procédu et e foctioet e réalité correctemet que das les situatios où les observatios collet parfaitemet aux suppositios préalables écessai à l'aalyse statistique de ce gere de doées. II...4 Elémets de logique : des cotrastes particuliers et coseillés, les cotrastes orthogoaux : Soiet les deux esembles de cotrastes suivats sur l exercice "cotextes de rappel" : Esemble : θ = m3. m4. (imag - photo) θ = m m m (même opposé à (image + photo réuis)) 3. 3. 4. Esemble : θ θ 5 = m = m 3.. m m 4. 3. (imag - photo) (même opposé à imagié) Supposos que les tests sur ces cotrastes soiet meés séquetiellemet ie o teste d abord θ puis θ 3 ou θ 5 selo l esemble ; das les deux cas il s agit de motrer que les trois coditios même, photo et imagié coduiset aux mêmes performaces de rappel. Das l esemble, o fait imag=photo puis regroupat ces deux coditios si le test va das ce ses, o fait même=(imag, photo). Das l esemble, o fait imag=photo puis même=imag, ce qui sur le pla logique devrait meer aux mêmes coclusios que sur l esemble.

9 Pour θ, o a vu 3 choses : -d ue part les moyees observées état les meilleu estimatios que l o puisse faire des moyees populatioelles, o a mˆ 3. = x3. et mˆ 4. = x 4. et doc θ est estimé par θ ˆ = mˆ 3. mˆ 4. = x3. x 4. =7,-8,8=-,6. ˆθ iterviet das les calculs associés à so test d égalité à 0. - -H0 : θ =0 est pas rejetée. Réfléchissos à ce que sigifie ce derier poit sur le pla logique : H0 o rejetée => o cosidère que les perf das les cotextes imagié et photo sot les mêmes logiquemet ces deux cotextes e devraiet e former qu u qui opératioaliserait le fait qu ue représetatio du cotexte, qu elle soit metale ou imagée, coduit à des performaces similai. S ils e formet qu u, ceci sigifie qu à la place de ces deux coditios, ous e devrios e cosidérer qu ue seule (par exemple facilitatio par représetatio) les 0+0 observatios das ces cotextes devraiet être regroupées sous cette coditio et les moyees das les coditios imagié et photo devraiet être égales et estimées par la même quatité, la moyee sur les 0 observatios relevat de ces deux cotextes ie o devrait avoir : Nouvelle estimatio de la moyee das imagié : x3. + x 4. 7, + 8,8 mˆ 3. = (4 + 5 +... + 9 + 4) = = = 8 0 et mˆ 3. = mˆ 4. avec mˆ 4. la ouvelle estimatio de la moyee das le cotexte photo. Passos alors à otre deuxième cotraste : er esemble : θ 3 =m. -(m 3. +m 4. ) θ 3 doit être estimé par θˆ 3 = mˆ. - (mˆ 3. + mˆ 4. ) mˆ = =8 d après ce qui précède. Comme la coditio même est pas ecore Or 3. mˆ 4. iterveue, o a mˆ. = x. =8. Et doc θˆ 3 = 0. O voit que l o obtiet le même résultat que das le test qu o a meé sur θ 3 sas se poser de questios d ue ouvelle estimatio de m 3 et m 4 du fait du résultat au test sur θ. Pour l esemble ( θ,θ 3 ), le résultat au test fait sur θ a aucu impact sur celui réalisé sur θ 3 : les résultats sot les mêmes quel que soit le résultat au test sur θ. ème esemble : θ 5 =m. -m 3. L estimatio de θ 5 est logiquemet θ ˆ 5 = mˆ. - mˆ 3. Si o pred e compte le résultat au test sur θ, alors o a mˆ3. = 8, et doc θ ˆ5 = 8 8 = 0. Si ous avios pas pris e compte le résultat au test sur θ (comme ous l aurios fait à partir des coaissaces des seuls paragraphes précédets celui-ci), alors mˆ3. = 7, et doc θ ˆ5 = 8 7, = 0,8, ce qui est pas exactemet la même chose que das le cas précédet. Notos alors que ˆθ 5 va iterveir das le test sur θ 5. Avec ces deux estimatios différetes, o pourrait doc très bie avoir u résultat au test lui-même différet (ce est cepedat pas le cas ici).

0 E résumé et si o est logique, das l esemble ( θ,θ 5 ), le résultat au test réalisé sur θ a ue icidece sur celui réalisé esuite sur θ 5. Qu est-ce qui différecie ces deux esembles de cotrastes? Esemble : m. m. m 3. m 4. m 5. θ 0 0-0 θ 3 0 - - 0 O voit que la somme des produits des coefficiets associés est ulle: 0x+0x0+x(-)+(-)x(- )+0x0=0. Deux cotrastes possédat cette propriété sot dits orthogoaux. Esemble : m. m. m 3. m 4. m 5. θ 0 0-0 θ 3 0-0 0 Das ce cas 0x+0x0+x(-)+(-)x(0)+0x0=- 0 : les deux cotrastes e sot pas orthogoaux. Défiitio formelle de l orthogoalité des cotrastes (plas équilibrés): Soit deux cotrastes : p p i i i = i= θ= c m avec c 0. i= p p i i i = i= p et θ = c'm avec c' 0. i= Ces deux cotrastes serot dits orthogoaux si i i= c c' =0 Rem : ceci se gééralise à d aut types de pla, par ex emple si p q p q ij ij ij = i= j= θ= c m avec c 0 i= j= orthogoal à θ si c c' 0. p q i= j= ij ij = p q i p q ij ij ij = i= j= et θ = c' m avec c' 0 alors θ est i= j= Propriété fodametale : Si (k) cotrastes sot orthogoaux, alors les questios auxquelles ils tetet de répodre e sot pas reliées. La répose à l ue d etre elles a doc aucue icidece sur la répose à ue autre d etre elles. Le cotraire se produit das le cas de cotrastes o orthogoaux. Corrolaire : Il faudrait doc le plus possible utiliser des cotrastes orthogoaux. Ce est cepedat pas toujours possible : les questios auxquelles s itéset les expérimetateurs e sot pas toujours formulables à l aide de tels cotrastes. Solutio : ) Faire les choses correctemet ie ré-estimer les moyees et les cotrastes chaque fois qu est cou le résultat à u test. C est compliqué et de plus il maque ecore quelques élémets de logique dot o trouvera les débats das Had&Taylor (987) : Multivariate aalysis of variace ad repeated measu chez Chapma et al. 987. ) Utiliser uiquemet ce que l o appelle des comparaisos complètes (CC) : Ue CC sur ue VI à p modalités est u esemble de (p-) cotrastes tel qu aucu de ces cotrastes e

puisse s écrire comme somme podérée (combiaiso liéaire) des aut. Ici aussi o se reportera à Had & Taylor pour compredre la logique de la procédure. Notos que pour les plas à partir de VI, c est la solutio imposée par spss : forcer les utilisateurs à défiir pour toute VI ue CC. Ça euie profodémet les utilisateurs qui s y perdet rapidemet mais cela est sesé éviter qu ils e fasset importe quoi. 3) Faire comme si : c est la solutio la plus classiquemet recotrée. Il faut cepedat être averti qu elle aboutit sur des résultats peu sûrs. C est u peu comme si, après avoir déclaré que les cotextes imagié et photo coduisaiet à des performaces différetes, o meait malgré tout le test H0 : même=(imag U photo). Réuir image + photo aurait alors pas grad ses puisqu il est clair que ce sot deux choses bie différetes. S il y avait pas rejet de imagié=photo, alors e pas réuir esuite ces deux cotextes pour le test suivat est ue erreur logique du même ordre. La validité des coclusios est alors très faible. Remarque : avec p coditios, u esemble de cotrastes peut coteir au plus p- cotrastes orthogoaux. Exemple : Exercice cotextes : m. m. m 3. m 4. m 5. θ 0 0 0 - θ 0 0-0 θ 3 0 - - 0 θ 4-3 -3 θ : θ : 0x0+x0+0x+0x-+-x0=0 => θ : θ u jeu de cotrastes orthogoaux. II...5 Des cotrastes orthogoaux particuliers : ceux utilisés e aalyse de tedace : Ici, o a ue VI dot les modalités sot régulièremet espacées. Par exemple le temps : t ms, t ms, 3t ms,. Ou ecore ue itesité soore d Dbls, d Dbls, ou ecore ue dose d u produit dose, doses, 3 doses, O peut se poser la questio de savoir si la croissace des moyees est liéaire e foctio des modalités : *m p. *m. *m. Si elle est quadratique :

*m. *m. *m p. Si elle est cubique : *m p. *m. *m. Et évetuellemet au-delà (mais e gééral, pas d idée sur la forme de ce que à quoi cela pourrait corpodre). Pour répodre à ces questios, o peut utiliser des tests d égalité à 0 de cotrastes orthogoaux particuliers dot les coefficiets sot ceux des «polyômes orthogoaux» qui sot fouris sur la table 8, à coté de celle de Hartley. H0 : Pas de tedace x (liéaire, quadratique, cubique, ) H : existece d ue telle tedace Remarque : -avec p coditios, o peut tester p- tedaces différetes. -ci-dessus les moyees croisset avec les modalités ; évidemmet l iverse peut se produire. -les diverses tedaces e sot pas exclusives les ues des aut ie o peut par exemple avoir u mouvemet quadratique au sei d ue tedace liéaire. Exemple : exercice 6 questio : cm =8.75 ; N=4x8=3 p=4 i) H0 : pas de tedace liéaire H : ue tedace liéaire H0 : θ =0 H : θ 0 θ =-3m. -m. + m 3. +3 m 4. = θ ˆ = -3x0,88-5+.5+3x4.38=78 θ 0

3 f obs = θ θ ˆ cm =78.57 f obs à comparer à ue FS(, N-p=8) => α*<0,00. ii) H0 : pas de tedace quadratique H0 : θ =0 H : θ 0 θ =m. -m. - m 3. +m 4. ˆ = 0,88-5-.5+4.38=7.76 θ 4 θ f obs = θ θ ˆ cm =3.764 = f obs à comparer à ue FS(, N-p=8) => α*<0,00. iii) H0 : pas de tedace cubique H0 : θ 3 =0 H : θ 3 0 θ 3 =-m. +3m. -3 m 3. +m 4. = θ ˆ 3 = -0,88+3x5-3x.5+4.38= θ3 0 f obs = θ θ ˆ cm =0.0457 e aucu cas sigificatif : α*>0,00 H : ue tedace quadratique H : ue tedace cubique II...6 Elémets de logique : U des problèmes fodametaux des comparaisos multiple : Les risques d erreur par famille de comparaiso: Rappels : a) Das u test d hypothèses, le seuil du test α est le risque maximal que l o accepte de predre de RH0 à tort. α=0,05 sigifie doc que au maximum das 5% des cas o rejettera H0 à tort. Càd que das 5% des répétitios de l expériece qu o pourrait faire o trouvera u résultat qui e fait y est pas. Le risque de rejeter à tort H0 ou de «première espèce» est le seul risque etièremet cotrôlé das ue procédure de test statistique. b) La puissace d u test fait référece à la probabilité de rejeter H0 quad il le faut. U test est plus puissat qu u autre si, avec u même seuil α, le premier permet de rejeter plus souvet quad il le faut H0. O dit aussi que le premier est plus «libéral» ou mois «coservateur» que le secod : e gros o trouve plus souvet le résultat quad il y est das le premier que das le secod. Puissace et cotrôle de l erreur sot deux choses atagoistes. Ceci se compred bie e caricaturat : si o e voulait predre aucu risque de rejeter H0 à tort, alors il suffirait de décider que quelles que soiet les observatios, o e rejette pas cette hypothèse (α=0): il y aurait alors aucue possibilité de rejeter H0 à tort. Mais das ce cas, même si les observatios allaiet das le ses de H alors H0 e serait pas rejetée. Cette procédure aurait aisi aucue puissace : il serait strictemet impossible de rejeter H0 quad il le faudrait. S assurer doc d u faible risque de première espèce coduit à perdre de la puissace et viceversa.

4 Dès lors les procédu de tests les plus efficaces sot celles qui permettet d équilibrer au mieux risque de première espèce et puissace. Que se passe-t-il si o fait C tests portat sur C cotrastes différets? Alors évidemmet le risque de rejeter au mois ue des hypothèses H0 à tort deviet importat. O appelle ce risque taux d erreur de l esemble (EE). O peut borer EE de deux maiè : O a EE =P(rejeter au mois ue des hypothèses H0 à tort) -[-α] C Cα. La première iégalité s appelle iégalité de Sidak. La secode de Boferroi. Par exemple si o utilisait α=0,05 pour chaque test d u esemble de 5 tests, o aurait : P(rejeter au mois ue des hypothèses H0 à tort) -[-0,05] 5 =0,6 5x0,05=0,5 O voit doc que le risque de predre au mois ue mauvaise décisio e rejetat ue des hypothèses ulles est assez élevé. Et plus le ombre de tests augmete, plus il croît. Commet faire alors pour s e protéger? Predre comme poit de référece EE et s assurer que celui-ci soit au maximum de 0,05 (ou 0,0 ou ) càd predre pour chaque test particulier u seuil α qui permette de vérifier EE 0,05. Dès lors deux choix sot possibles : Approche la plus classique et pratique : celle de Boferroi : predre α=0,05/c (ou 0,0 ou ). D après l iégalité de Boferroi ceci ous assure que EE C0,05/C=0,05. Par exemple avec 5 comparaisos, il faudra predre α=0,05/5=0,0. Approche la plus proche d ue boe approximatio de EE : celle de Sidak : predre α=-(- 0,05) /C. L iégalité de Sidak ous assure que EE -[-(-(-0,05) /C )] C =-[(- 0,05) /C )] C =-(-0,05)=0,05. Par exemple avec 5 comparaisos, il faudra predre α=-(-0,05) /5 =0,00. L approche de Sidak est u tout petit peu mois coservatrice que celle de Boferroi ie o rejettera plus souvet H0 pour u même taux d erreur de l esemble, ce qui est importat pour l expérimetateur. Cepedat la différece est miime à mois que les tests soiet très ombreux. E résumé : Si o fait C tests à la suite, utiliser pour chaque test u seuil soit de α/c soit de -(-α) /C où α désige u seuil classique habituellemet utilisé pour u test d hypothèses uique. Ceci coduit à utiliser des procédu de tests qui sot plus coservatrices que das le cas où l o fait u seul test d hypothèses : éviter de predre des risques de rejeter H0 à tort coduit à la coserver plus souvet qu il e le faudrait. Remarques : -il existe ecore d aut procédu de cotrôle de EE mais ça deviet plus compliqué et celle de Boferroi est largemet acceptée par la majorité des ges (Cf Howell).

5 -Lorsque l o utilise des cotrastes orthogoaux, alors il est admis que l o puisse réaliser les tests aux seuils classiques. C est u autre avatage des cotrastes orthogoaux : les tests utilisables sur ceux-ci sot plus puissats que sur les aut types de cotrastes. -Evidemmet, la plupart du temps de telles procédu coduiset à utiliser des seuils de tests qui e figuret pas das les tables classiques => o utilisera des logiciels et si α* α/c ou α* -(-α) /C pour u test particulier, o rejettera H0. Il existe cepedat u cas où ue table existe : le cas où il existe u groupe cotrôle et où l o souhaite comparer tous les aut groupes à celui-ci. Notatios : * désigera u test sigificatif à 0,05 ; ** à 0,0 et *** à 0,00. sd sigifiera «sigificativemet différet», sd «o sigificativemet différet». II.. Comparaiso de p- moyees à u témoi : le test de Duett : Doc ici, o a u groupe témoi, o dira que c est le p-ème pour simplifier. O souhaite comparer les p- aut coditios à celui-ci. p- tests sur des cotrastes : H0 θ i =0 H :θ i 0 avec θ i =m i -m p pour i=,..,p- (otos que i et p sot utilisés de maière géérique ici, càd peuvet corpodre à des idices complexes comme par exemple ij., pq. das u pla S <A p xb q > ou ijk.,. das u pla S <A p xb q xc r >). Duet a simplemet costruit ue table, dérivée des statistiques F qu o calcule pour faire u cotraste et qui permet de maiteir EE au iveau α pour ces p- tests. Procédure : - o calcule la valeur critique défiie par C α = d α - cmx / y où y est le ombre d observatios destiés à calculer les x i, cm x le cm iterveat au déomiateur qui est variable selo les plas et d α est lu das la table G. - - Les moyees m i corpodat aux moyees observées xi vérifiat cosidérées comme sd. x x i p >C α serot Remarque : - d α déped de α, du ombre de comparaisos faites oté p et du ombre de ddl de cm x, - oté k. Applicatio : Exercice 7 ) x i. : 8 7, 8,8 9,6 cm =3,9467 à 45 ddl =0 groupe cotrôle=même : moyee=8. p=4 ; k=45 ; α=0,0 => d α ]3. ; 3.9[ => C 0.0 = - d α - cm / = ]7.8864 ; 8.0634[

6 R 0.0 =]C 0.0 ; +if[ xi x Même Différet Imagié Photo Placebo Même 6 0,8 0,8 8,4*** La seule moyee vérifiat xi xmême >C 0.0 est celle du groupe placebo : o peut coclure que ces deux groupes diffèret au seuil 0.0. O voit doc bie ici que le cotrôle du taux d erreur de l esemble EE obteu par cette procédure amèe à des tests plus coservateurs : alors qu o aurait aussi rejeter H0 pour la comparaiso opposat même à différet si celle-ci avait pas été itégré à u tel esemble de comparaisos, ce est pas le cas ici. ) groupe cotrôle= même, t, soit m. Groupes/temps t t t3 même 35,5 33,5 33,33 différet,86 4,3 5,58 placebo,38 8,3 8,06 tableaux des différeces xij. x. Groupes/temps t t t3 même. 0.8 différet 0.9 8.84 7.57 placebo 0.77 4.84 5.09 cm S<A>B =0.505 à k=4 ddl. p=pq-=8 comparaisos à faire ; =8. α=0,0 => d α ]3.33 ; 3.4[ => C α = - d α - S A> B cm < / = ].803;.086[ E dehors de même, t3, toutes les moyees peuvet être cosidérées comme différetes du groupe cotrôle. II. Comparaiso à posteriori : Ici l expérimetateur souhaite exploiter ses doées pour tracher d hypothèses suggérées par celles-ci. Il va doc faire u certai ombre de tests qui lui sot suggérés par les doées et auxquels il avait pas pesé au préalable. Le problème est que ceci coduit à u éclatemet des risques d erreur. E effet si o fait certais tests et pas d aut après avoir vu les doées, c est qu o estime que certais e sot pas à faire car o estime que les différeces ou les égalités sot évidetes => implicitemet, o fait tout u tas de comparaisos au préalable, ce qui multiplie d autat les risques de rejeter à tort certaies H0 ou au cotraire de les coserver à tort.

7 Doc lorsque les comparaisos sot plaifiées à l avace la probabilité de commettre au mois ue erreur de première espèce est plus faible que lorsqu elles sot faites à posteriori. Remarque : il est importat de predre cosciece du fait que lorsque l o parle de comparaisos à priori, o pese à u esemble réduit de tests. Si l o pese faire toutes les comparaisos de moyees deux à deux, il importe peu que ceci soit plaifié à l avace ou o Pour des raisos logiques, les méthodes de comparaiso à posteriori sot très ombreuses. E gros o peut différecier 3 cas : -tester l égalité des moyees à. -tester l égalité de groupes de moyees avec le mois de tests possible. -tester des cotrastes suggérés par les doées. Ce qui caractériset toutes ces approches est que les tests faits sot beaucoup plus coservateurs que ceux utilisés pour les comparaisos à priori. Pour maîtriser le risque de déclarer à tort que certais groupes sot différets, o rejettera beaucoup mois souvet qu il e le faudrait les divers H0. Ce qui les différeciet est le cotrôle plus ou mois fort exercé sur EE et la puissace de chacu des tests résultate de ce cotrôle. Les hypothèses expérimetales das ces tests doivet doc plutôt se situer e H ie l iégalité et pas e H0. II.. Le test de la plus petite différece sigificative (Fisher s LSD e aglais) : comparer toutes les moyees à. Ce test requiert au préalable ue valeur sigificative du F de l ANOVA. Par exemple das u pla S <A p >: faire tous les tests H0 : m i. =m i. H : m i. m i. pour tout i et i => C p tests possibles. E fait, o va tout boemet réaliser les C p cotrastes. Supposos que l'o fasse le test: H0 θ=0 H :θ 0 avec θ=m i -m i' θ Notos que ous avos θ =. Et doc cm θ = et fobs = ˆ θˆ H0 si f obs = cm rejettera doc H0 si C cm θ ˆ > ± α. Comme θ ˆ = cm cm θ ˆ θ = cm. O rejettera >C α où C α est tel que P H0 (F>C α )=α et F est FS(, ddl cm =N-p). O C cm θ ˆ > α xi. xi'., ceci amèe à rejeter H0 si que P H0 (F>C α )=α pour F FS(, N-p). C cm C cm θ ˆ> α ou θ ˆ< α x i. x i'. > C α cm, où C α est tel

8 Cαcm Comme la valeur de comparaiso,, est la même quels que soiet les idices i et i' des moyees comparées, c'est la valeur la plus petite à partir de laquelle o rejette les H0 des C p tests réalisés, c est-à-dire que l o cosidère la différece des deux moyees comme sigificativemet différete de zéro c est la PPDS. Remarque : -Les règles d utilisatio des statistiques de cotrastes s appliquet de la même maière ici que précédemmet : selo les plas et les moyees comparées predre à la place de le ombre d observatios servat à calculer les moyees observées ; predre évetuellemet à la place de cm le cm servat de base de comparaiso à ces moyees. -Pour les calculs, peser que C cm α = C α cm Applicatio : exercice 7 : 3) Sur cotextes : x i. : 8 7, 8,8 9,6 cm =3,9467 =0 C α tel que P H0 (F>C α )=α pour F FS à et N-p=45 ddl. C 0.05 ]4 ; 4,08[ et PPDS= C 0.0 ]7,08 ; 7,3[ et PPDS= cm C 0.05 ]5.0554; 5.057[ cm C 0.0 ]6.758; 6.834[ cm C 0.00 ].973 ;.609[ et PPDS= C 0.00 ]8.7464; 8.9757[ xi x i' Même Différet Imagié Photo Placebo Même 6* 0,8 0,8 8,4** Différet 5,* 6,8**,4 Imagié,6 7,6** Photo 9,*** placebo Représetatio graphique : Sur u axe représeter les moyees selo leurs valeurs observées. souliger les moyees qui e sot pas déclarées sigificativemet différetes pour u seuil doé. O pourra partir de la moyee la plus basse, souliger toutes les moyees qui e sot pas déclarées sigificativemet différetes de celle-ci ; passer esuite à la moyee immédiatemet supérieure et aisi de suite.

9 α=0.05 placeb différe t imag même photo α=0.0 placeb différe t imag même photo Remarque : o voit que ce type de test assure aucue trasitivité. Par exemple, o coclut que placebo=même à 0.00 et que même=photo. Par cotre sot déclarés sigificativemet différetes placebo et photo. i) les observatios et la procédure choisie e permettet pas de tirer des coclusios clai : mieux valait faire les choses à priori sur u ombre limité d hypothèses! ii) Evetuellemet les argumets de l expérimetateur permettrot de tracher. 4) sur exercice médicamet x temps : Groupes/temps t t t3 même 35,5 33,5 33,33 différet,86 4,3 5,58 placebo,38 8,3 8,06 xi x i' mêmet mêmet mêmet3 difft difft difft3 plact plact plact3 mêmet, ***,9 ***,39 *** 0,94 *** 9,67 ***,87 *** 6,94 *** 7,9 *** mêmet 0,8 0,9 *** 8,84 *** 7,57 *** 0,77 *** 4,84 *** 5,09 *** mêmet3 0,47 *** 9,0 *** 7,75 *** 0,95 *** 5,0 *** 5,7 *** difft,45 ***,7 *** 0,48 4,55 *** 4,8 *** difft,7 ***,93 *** 6 *** 6,5 *** difft3 3, *** 7,7 *** 7,5 *** plact 4,07 *** 4,3 *** plact 0,5 plact3 cm servat de base de comparaiso aux m ij. =cm S<A>B =0,505 à 4 ddl; =8 observatios utilisées pour chaque moyee observée. C α le plus petit ombre tel que P H0 (F>C α ) α pour F FS à et p(q-)(-)=4 ddl. C 0.05 ]4 ; 4.08[ et PPDS= C C 0.0 ]7.08 ; 7.3[ et PPDS= 0.05 C cms< A> B ]0.7089; 0.759[ 0.0 cms< A> B ]0.943; 0.9583[

0 C 0.00 cm ].973 ;.609[ et PPDS= C S< A> B 0.00 ].64;.586[ E dehors des t, t3 pour les groupes même et placebo et des groupes différet et placebo au temps t, tout est très sigificatif. Remarque! : E fait ce test cotrôle mal le taux d erreur de l esemble dès que l o a plus de trois moyees. EE peut être cosidérable. Bie qu ecore assez largemet utilisé, il est doc décoseillé. Pour comparer des moyees deux à deux, o lui préférera le test de Tukey qui cotrôle très bie EE mais qui du coup est beaucoup plus coservateur. II.. Le test de la plus petite amplitude sigificative ou de Newma-Keul : Ce test cherche à former des groupes de moyees homogèes e utilisat le mois de tests possibles. Pricipe : Soit p moyees à comparer. O va rechercher les familles de moyees adjacetes sd, l adjacece état détermiée sur la base des observatios. Pour cela, o calcule pour chaque famille de t moyees observées adjacetes ( t p) l amplitude. (cette amplitude est simplemet la valeur absolue de la différece etre la plus grade des moyees de la famille et la plus petite). O compare esuite t obs à ue valeur critique PPAS t (la plus petite amplitude sigificative) défiie par PPAS t =q - α cm X /? où q - α est lu das la table de Newma-Keuls, cm X désige le carré moye servat de base de comparaiso aux moyees que l o compare et? le ombre d observatios utilisées pour les moyees observées. Pour limiter le ombre de tests, o e cherchera que les familles de moyees o sigificativemet différetes de taille maximum : par exemple si o a obteu ue famille de 4 moyees o sigificativemet différetes, o e cherchera pas à l itérieur de celles-ci les familles de 3 ou de moyees o sigificativemet différetes. Remarque : q - α déped du seuil α, de la taille t de la famille de moyees cosidérée (p das la table) et du ombre de ddl de cm X (k das la table). Procédure pratique : - o calcule les p- PPAS t : PPAS PPAS 3. PPAS p - O place sur u axe gradué les p moyees observées x. 3- Les moyees théoriques m corpodat aux moyees observées coteues das u itervalle de la forme [ x, x +PPAS t ] coteat exactemet t moyees observées serot cosidérées comme o sigificativemet différetes. O ira de la plus grade valeur de t à la plus petite. Applicatio : exercice 7 : 3) Sur cotextes : x i. : 8 7, 8,8 9,6 cm =3,9467 à 45 ddl =0 tailles possibles de familles : de à 5 : α=0,0.

PPAS 5 =q -α PPAS 4 =q -α PPAS 3 =q -α PPAS =q -α cm / p=5 ; k=45 => q -0.0 ]4.8; 4.93[ ; PPAS 5 ]8.6; 8.8[ cm / p=4 ; k=45 => q -0.0 ]4.59 ;4.7[ ; PPAS 4 ]8.; 8.4[ cm / p=3 ; k=45 => q -0.0 ]4.8 ;4.37[ ; PPAS 3 ]7.65; 7.8[ cm / p= ; k=45 => q -0.0 ]3.76 ;3.8[ ; PPAS ]6.7; 6.83[ xi x i' Même Différet Imagié Photo Placebo Même 6 0,8 0,8 8,4 Différet 5, 6,8,4 Imagié,6 7,6 Photo 9, placebo O démarre sur les 5 moyees dot o compare l amplitude à PPAS 5. O voit que pour aller de placebo à photo l amplitude est supérieure à PPAS 5. Les 5 moyees e peuvet doc pas être cosidérées comme o sigificativemet différetes. O e peut doc pas tracer u trait d égalité sous ces 5 moyees. α=0.0 placeb différe t imag même photo O peut esuite costituer deux groupes de 4 moyees adjacetes: de placebo à même et de différet à photo. O compare alors les amplitude de ces deux groupes à PPAS 4. Pour le premier amplitude=8,4 > PPAS 4. Ce groupe e peut doc pas être cosidéré comme formé de moyees homogèes. O e peut pas tracer u trait d égalité dessous. Pour le secod amplitude=6,8 < PPAS 4. Ce groupe peut doc être cosidéré comme formé de moyees homogèes. O peut tracer u trait d égalité dessous. α=0.0 placeb différe t imag même photo Das le premier groupe des 4 moyees (placebo à même), o peut former groupes de 3 moyees : de placebo à imagié et de différet à même. Les résultats du paragraphe précédet diset que le secod peut être cosidéré comme homogèe. L amplitude du premier est égale à 7,6 et doc plus petite que PPAS 3 : ces trois moyees peuvet être cosidérées comme homogèes et o peut tracer u trait d égalité dessous : α=0.0 placeb différe t imag même photo

O peut s arrêter à ce résultat, car il est alors impossible de former des groupes de deux moyees apparteat pas déjà à u groupe cosidéré comme homogèe. 4) sur exercice médicamet x temps : Groupes/temps t t t3 même 35,5 33,5 33,33 différet,86 4,3 5,58 placebo,38 8,3 8,06 xi x i' mêmet mêmet mêmet3 difft difft difft3 plact plact plact3 mêmet, ***,9 ***,39 *** 0,94 *** 9,67 ***,87 *** 6,94 *** 7,9 *** mêmet 0,8 0,9 *** 8,84 *** 7,57 *** 0,77 *** 4,84 *** 5,09 *** mêmet3 0,47 *** 9,0 *** 7,75 *** 0,95 *** 5,0 *** 5,7 *** difft,45 ***,7 *** 0,48 4,55 *** 4,8 *** difft,7 ***,93 *** 6 *** 6,5 *** difft3 3, *** 7,7 *** 7,5 *** plact 4,07 *** 4,3 *** plact 0,5 plact3 cm servat de base de comparaiso aux m ij. =cm S<A>B =0,505 à 4 ddl; =8 observatios utilisées pour chaque moyee observée. tailles possibles de familles : de à 9 : α=0,05. PPAS 9 =q -α cm / p=9 ; k=4 => q -0.05 ]4.55; 4.63[ ; PPAS 9 ].403;.604[ PPAS 8 =q -α PPAS 7 =q -α PPAS 6 =q -α PPAS 5 =q -α PPAS 4 =q -α PPAS 3 =q -α PPAS =q -α cm / p=8 ; k=4 => q -0.05 ]4.44 ; 4.5[ ; PPAS 8 ].8;.38[ cm / p=7 ; k=4 => q -0.05 ]4.3 ; 4.39[ ; PPAS 7 ].080;.00[ cm / p=6 ; k=4 => q -0.05 ]4.6 ; 4.3[ ; PPAS 6 ].046;.060[ cm / p=5 ; k=4 => q -0.05 ]3.98; 4.04[ ; PPAS 5 ]0.9975;.05[ cm / p=4 ; k=4 => q -0.05 ]3.74 ; 3.79[ ; PPAS 4 ]0.9373; 0.9499[ cm / p=3 ; k=4 => q -0.05 ]3.40 ; 3.44[ ; PPAS 3 ]0.85; 0.86[ cm / p= ; k=4 => q -0.05 ].83 ;.86[ ; PPAS ]0.7093; 0.768[ pt3 pt ptdt dt dt3 mtmt3 mt Ici, état doé les grades différeces existat etre la plupart des moyees, o peut se coteter de regarder à partir des quelques d'etre elles qui sot supérieu à la plus grade des PPAS. Il faut doc les repérer et voir à quelles tailles de famille elles appartieet.

3 xi x i' taille de la famille et taille immédiatemmet supérieure sigificativité de famille et sigificativité mt3 et mt 0,8 / 0,05 3 / s (dt3 ou mt e plus) dt et pt 0,48 / 0,05 3 / s (pt ou dt e plus) pt et pt3 0,5 / 0,05 3 / s (pt e plus) Au seuil 0,05. pt3 pt ptdt dt dt3 mtmt3 mt Remarques : -Pas plus que le test précédet, celui-ci assure de trasitivité etre les résultats obteus. -La table de Newma-Keuls a été costruite de faço à ce que pour chaque famille de moyees testée, le risque de première espèce te iférieur à α. O obtiet aisi u taux d erreur de l esemble EE mieux cotrôlé que das la PPDS. -Cepedat, sauf pour le cas où l o a trois moyees, EE est pas parfaitemet cotrôlé et peut être assez importate (mois que pour la PPDS cepedat). Ce test est doc pas accepté par tous. O lui préfère souvet la procédure de Rya (cf II..3). -Les plas à mesu répétées ou appariées sot tellemet problématiques sur le pla suppositios statistiques écessai aux calculs que les "bos" logiciels de statistiques (type spss) iterdiset das la plupart des cas l'emploi de procédu de comparaisos à posteriori. II..3 Complémets : Les procédu précédetes tet assez imparfaites au regard du cotrôle du taux d erreur de l esemble. Aisi d aut procédu existet. O peut citer parmi les plus courates : a) Le test de la différece frachemet sigificative de Tukey (HSD) : C est exactemet la même procédure que celle du test de Newma-Keuls, à ceci près que la seule valeur de la PPAS cosidérée est celle se référat à la plus grade famille possible soit PPAS p s il y a p moyees coservées. Quelle que soit la taille de la famille cosidérée (de à p) les amplitudes observées sot alors comparées à PPAS p. Pour l exemple sur les cotextes au seuil 0,0, o voit que ceci e chage rie lorsqu o cosidère la famille des 5 moyees. Par cotre, pour les deux familles de 4 moyees, les amplitudes observées état plus petite que PPAS 5 o e pourra pas coclure à la o homogééïté des moyees qui les composet. O obtiedra doc sous forme graphique : α=0.0 placeb différe t imag même photo b) La procédure de Rya : Le test de Tukey permet u cotrôle parfait de EE : o est sûr que la probabilité de se tromper au mois ue fois à tort te iférieure à α. Elle a cepedat les défauts de ses avatages : u

4 tel cotrôle aboutit à redre les tests très coservateurs et, résultat des courses, aboutit souvet à e pas rejeter des hypothèses ulles qui devraiet l être. Rya a proposé ue solutio qui cosiste à modifier les seuils α e foctio de la taille de la famille de moyees cosidérée (les seuils variet doc au cours de la procédure). Cette solutio costitue u bo compromis etre le test de Newma-Keuls, trop libéral, et celui de Tukey, trop coservateur. Etat doé que les seuils choisis peuvet être très variables, il existe pas de tables pour cette procédure. O utilisera doc obligatoiremet des ordiateurs dot la documetatio explique e gééral u peu plus e détail la logique de cette procédure c) Le test de Scheffé : Les tests précédets comparet des esembles de moyees pouvat e coteir soit deux (PPDS) soit de deux à p (Newma-Keuls, Tukey, Rya). Le test de Scheffé est dédié à des tests sur des cotrastes plus larges qui auraiet été suggérés par les doées (doc à posteriori, comme toutes les procédu du paragraphe II.). So test cotrôle le taux d erreur de l esemble par rapport à l esemble des cotrastes possibles et pas seulemet, comme das les tests précédets par rapport aux seules comparaisos de pai de moyees. O utilisera doc pas ce test pour comparer des moyees deux à deux. Les calculs sot exactemet les mêmes que pour u cotraste stadard dot o teste l égalité à 0. La seule chose qui chage est que la bore de la régio de rejet R α =]C α ; +[ est détermié o plus à l aide d ue FS(,?) où? est le ombre de ddl du cm servat au déomiateur du f obs mais est égale à (p-)fs(p-,?). Par exemple, pour les cotextes, e supposat que le cotraste comparat les groupes à cotextes facilitateurs avec les aut ait été suggéré par les observatios, ous aurios : HR4 : H0 : θ 4 =0 H : θ 4 0 avec θ 4 =(m. +m 3. +m 4. )-3(m. +m 5. ) θ ˆ 4 = (x. + x3. + x 4. ) 3(x. + x5. ) =x(8+7,+8,8)-3x(+9,6)=43, θ 4 = 3x + x( ) = 30 f obs = t obs =4,48 =9.478 Pour u test à priori, ous aurios utilisé ue FS(, 45), soit C 0.0 ]7.08 ;7.3[ Avec le test de Scheffé, ous utilisos ue FS(4,45) que ous multiplios par p-=4, ce qui ous doe C 0.0 ]4x3.65=4.6 ;4x3.83=5.3[. Das les deux cas, il y a rejet de H0 mais o voit bie qu il est beaucoup plus difficile de rejeter avec le test de Scheffé qu avec le cotraste proposé à priori (o pourra vérifier qu au seuil 0,00 o rejette facilemet avec u cotraste à priori et pas du tout avec le test de Scheffé). Le test de Scheffé est très coservateur : il faut vraimet que les observatios soiet très e désaccord avec H0 pour que cette hypothèse soit rejetée. Notos cepedat que Scheffé a suggéré de réaliser ce test à des seuils plus élevés tels que α=0,.

5 Notos pour fiir qu état doé que les observatios collet très raremet aux suppositios des modèles statistiques, suppositios qui sot écessai pour que le calcul des probabilités ait ue quelcoque validité, utiliser des tests très coservateurs, comme ceux de Scheffé ou de Tukey permet de mieux asseoir ses résultats et doet beaucoup plus de poids à ceux-ci. Cepedat ceci se fait au prix d ue plus grade difficulté à déclarer ces résultats sigificatifs II. Comparaiso à posteriori : Ici l expérimetateur souhaite exploiter ses doées pour tracher d hypothèses suggérées par celles-ci. Il va doc faire u certai ombre de tests qui lui sot suggérés par les doées et auxquels il avait pas pesé au préalable. Le problème est que ceci coduit à u éclatemet des risques d erreur. E effet si o fait certais tests et pas d aut après avoir vu les doées, c est qu o estime que certais e sot pas à faire car o estime que les différeces ou les égalités sot évidetes =>

6 implicitemet, o fait tout u tas de comparaisos au préalable, ce qui multiplie d autat les risques de rejeter à tort certaies H0 ou au cotraire de les coserver à tort. Doc lorsque les comparaisos sot plaifiées à l avace la probabilité de commettre au mois ue erreur de première espèce est plus faible que lorsqu elles sot faites à posteriori. Remarque : il est importat de predre cosciece du fait que lorsque l o parle de comparaisos à priori, o pese à u esemble réduit de tests. Si l o pese faire toutes les comparaisos de moyees deux à deux, il importe peu que ceci soit plaifié à l avace ou o Pour des raisos logiques, les méthodes de comparaiso à posteriori sot très ombreuses. E gros o peut différecier 3 cas : -tester l égalité des moyees à. -tester l égalité de groupes de moyees avec le mois de tests possible. -tester des cotrastes suggérés par les doées. Ce qui caractériset toutes ces approches est que les tests faits sot beaucoup plus coservateurs que ceux utilisés pour les comparaisos à priori. Pour maîtriser le risque de déclarer à tort que certais groupes sot différets, o rejettera beaucoup mois souvet qu il e le faudrait les divers H0. Ce qui les différeciet est le cotrôle plus ou mois fort exercé sur EE et la puissace de chacu des tests résultate de ce cotrôle. Les hypothèses expérimetales das ces tests doivet doc plutôt se situer e H ie l iégalité et pas e H0. II.. Le test de la plus petite différece sigificative (Fisher s LSD e aglais) : comparer toutes les moyees à. Ce test requiert au préalable ue valeur sigificative du F de l ANOVA. Pla S<Ap> : H0 : m i. =m i. H : m i. m i. pour tout i et i => C p tests possibles. E fait, o va tout boemet réaliser les C p cotrastes. t obs est la valeur observée d ue Studet à N-p ddl si H0 est vraie. Ceci amèe à rejeter H0 si x xi'. > Cα cm( ) si le pla est déséquilibré ou ' i. + i cm ecore si x x C i. i'. > α si le pla est équilibré, où C α le plus petit ombre tel que P H0 ( T >C α ) α pour T Studet à N-p ddl (ombre de ddl de cm ). i cm C α est la valeur la plus petite à partir de laquelle o rejette H0 c est-à-dire que l o cosidère la différece des deux moyees comme sigificativemet différete de zéro c est la PPDS. Remarque :