PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS INTRODUCTION De ombreuses situatios pratiques peuvet être modélisées à l aide de variables aléatoires qui sot régies par des lois spécifiques. Il importe doc d étudier ces modèles probabilistes qui pourrot ous permettre par la suite d aalyser les fluctuatios de certais phéomèes e évaluat, par exemple, les probabilités que tel évéemet ou tel résultat soit observé. La coaissace de ces lois théoriques possède plusieurs avatages sur le pla pratique : Les observatios d u phéomèe particulier peuvet être remplacées par l expressio aalytique de la loi où figure u ombre restreit de paramètres (1 ou, raremet plus). La loi théorique agit comme modèle (idéalisatio) et permet aisi de réduire les irrégularités de la distributio empirique. Ces irrégularités sot souvet iexplicables et provieet de fluctuatios d échatilloage, d imprécisio d appareils de mesure ou de tout autre facteur icotrôlé ou icotrôlable. Des tables de probabilités ot été élaborées pour les lois les plus importates. Elles simplifiet cosidérablemet les calculs. Ce cours présete trois distributios discrètes : la distributio biomiale, la distributio géométrique et la distributio de Poisso. Puis il aborde deux distributios cotiues : la distributio expoetielle et la distributio ormale. Il importe de bie compredre quelles sot les situatios cocrètes que l o peut modéliser à l aide de ces distributios. Vieet efi trois distributios théoriques dot la foctio est pas de modéliser mais de servir d outils das les problèmes d estimatio et de test. 1. DISTRIBUTION BINOMIALE ( distributio discrète fiie) 1.1. VARIABLE DE BERNOULLI OU VARIABLE INDICATRICE 1.1.1. Défiitio : Ue variable aléatoire discrète qui e pred que les valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et q = 1- p est appelée variable de BERNOULLI. Exemple : Ue ure cotiet deux boules rouges et trois boules vertes. O tire ue boule de l ure. La variable aléatoire X = ombre de boules rouges tirées est ue variable de Beroulli. O a : P(X = 1) = /5 = p P(X = 0) = 3/5 = q J-P LENOIR Page 37

Plus gééralemet, o utilisera ue variable de Beroulli lorsqu o effectue ue épreuve qui a que deux issues : le succès ou l échec. Ue telle expériece est alors appelée épreuve de Beroulli. O affecte alors 1 à la variable e cas de succès et 0 e cas d échec. 1.1.. Distributio de probabilités x 0 1 f(x) = p(x = x) q p 1.1.3. Paramètres de la distributio E(X) = 0.q + 1.p = p. V(X) = E(X ) - E(X) = (0 q + 1 p) - p = p - p = pq. E(X) = p V(X) = pq 1.. DISTRIBUTION BINOMIALE 1..1. Situatio cocrète a) O effectue ue épreuve de Beroulli. Elle a doc que deux issues : le succès avec ue probabilité p ou l échec avec ue probabilité q. b) O répète fois cette épreuve. c) Les épreuves sot idépedates etre elles, ce qui sigifie que la probabilité de réalisatio de l évéemet «succès» est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Das cette situatio, o s itéresse à la variable X = ombre de succès au cours des épreuves. 1... Distributio de probabilités Appelos X i les variables de Beroulli associées à chaque épreuve. Si la i ème épreuve doe u succès X i vaut 1. Das le cas cotraire X i vaut 0. La somme de ces variables comptabilise doc le ombre de succès au cours des épreuves. O a doc : X = X 1 + X +... + X. X peut predre ( + 1) valeurs : 0,1,...,. Cherchos la probabilité d obteir k succès, c est-à-dire p(x = k ). La probabilité d'avoir k succès suivis de (-k) échecs est p k q k sot idépedats les us des autres. car ces résultats J-P LENOIR Page 38

La probabilité d'avoir k succès et (-k) échecs das u autre ordre de réalisatio est toujours p k q k. Doc tous les évéemets élémetaires qui composet l évéemet (X =k) ot même probabilité. J-P LENOIR Page 39

Combie y e a-t-il? Autat que de faços d ordoer les k succès par rapport aux (-k) échecs? Il suffit de choisir les k places des succès parmi les possibles et les (-k) échecs predrot les places restates. Or il y a C k maières de choisir k places parmi. Fialemet, o obtiet pour 0 k : p(x = k) =C k p k q k O dit que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètres et p. O ote : X > B(,p). Remarque : L'adjectif biomial viet du fait que lorsqu'o somme toutes ces probabilités, o retrouve le développemet du biôme de Newto : k= 0 k k k p( X = k) = C p q = ( p + q) = k= 0 1 NB : La loi biomiale est tabulée e foctio des paramètres et p. 1..3. Paramètres descriptifs de la distributio Nous savos que : X = X 1 +...+ X avec E (X i ) = p pour 1 i. Doc : E(X) = E(X 1 ) +...+ E(X ) = p. Les variables X i sot idépedates et Var(X i ) = pq pour 1 i. Doc : Var(X) = Var(X 1 ) +...+Var(X ) = pq. E(X) = p Var(X) = pq σ(x) = pq Remarque : La formule doat l espérace semble assez aturelle. E effet, le ombre moye de succès (qui correspod à la sigificatio de l espérace) est ituitivemet égal au produit du ombre d essais par la probabilité de réalisatio d u succès. 1..4. Propriétés de la distributio biomiale Forme de la distributio biomiale La représetatio graphique de la distributio de la loi biomiale est habituellemet présetée sous la forme d u diagramme e bâtos. Puisque la loi déped de et p, ous auros diverses représetatios graphiques si ous faisos varier et/ou p comme c est le cas pour les figures suivates. J-P LENOIR Page 40

O peut effectuer plusieurs remarques à propos de ces diagrammes. a) La forme de la distributio est symétrique si p = 1/, quelque soit. b) Elle est dissymétrique das le cas où p 1/. Si p est iférieur à 0.50, les probabilités sot plus élevées du côté gauche de la distributio que du côté droit (asymétrie positive). Si p est supérieur à 1/, c est l iverse (asymétrie égative). c) La distributio ted à deveir symétrique lorsque est grad. De plus, si p 'est pas trop voisi de 0 ou 1, elle s'approchera de la distributio de la loi ormale que l'o verra plus loi das ce chapitre. Somme de deux variables biomiales Si X Si X Si X 1 1 1 B(, p) B(, p) et X sot idépedates alors X 1 + X > B( 1 +, p). Cette propriété s iterprète facilemet: si X 1 représete le ombre de succès e 1 épreuves idetiques idépedates et X e épreuves idépedates etre elles et J-P LENOIR Page 41

idépedates des premières avec la même probabilité de succès que les premières, alors X 1 + X représete le ombre de succès e 1 + épreuves idetiques et idépedates. J-P LENOIR Page 4

. DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE ( distributio discrète déombrable).1. SITUATION CONCRÈTE a) O effectue ue épreuve de Beroulli. Elle a doc que deux issues : le succès avec ue probabilité p ou l échec avec ue probabilité q = 1 - p. b) O répète l épreuve jusqu à l apparitio du premier succès. c) Toutes les épreuves sot idépedates etre elles, ce qui sigifie que la probabilité de réalisatio de l'évéemet «succès» est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Das cette situatio, o s itéresse à la variable X = ombre de fois qu il faut répéter l épreuve pour obteir le premier succès. Remarque : O est doc das les mêmes hypothèses que pour la loi biomiale, mais le ombre d épreuves est pas fixé à l avace. O s arrête au premier succès... DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS L esemble des valeurs prises par X est : 1,, 3,... O cherche la probabilité d avoir recours à épreuves pour obteir le premier succès : Ce succès a ue probabilité de réalisatio de p. Puisque c est le premier, il a été précédé de (-1) échecs qui ot chacu eu la probabilité q de se produire. État doé l idépedace des épreuves, o peut dire que la probabilité de réalisatio de (-1) échecs suivis d u succès est le produit des probabilités de réalisatio de chacu des résultats. Doc : p(x = ) = q -1 p O dit que la variable aléatoire X suit ue loi géométrique de paramètre p. O ote : X > G(p). Remarque : l'appellatio géométrique viet du fait qu'e sommat toutes les probabilités, o obtiet ue série géométrique. E effet : N 1 1 p p( 1 p) = p ( 1 p) = = 1 ( 1 p) 1 1.3. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION O admet que : J-P LENOIR Page 43

E( X ) = 1 1 p Var( X ) = = p p q p Remarque : O peut iterpréter l expressio de l espérace de faço ituitive. E effet e épreuves, o s atted à obteir p succès et par coséquet, le ombre moye d épreuves etre deux succès devrait être : p = 1. p.4. PROPRIÉTÉ REMARQUABLE DE LA DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE La propriété la plus importate de la loi géométrique est sas doute d'être "sas mémoire ". E effet, la loi de probabilité du ombre d'épreuves à répéter jusqu'à l'obtetio d'u premier succès das ue suite d épreuves de Beroulli idetiques idépedates est la même quel que soit le ombre d'échecs accumulés auparavat. O compred ituitivemet que cela découle de l idépedace des épreuves qui sot toutes idetiques. C'est la seule loi discrète qui possède cette propriété. 3. DISTRIBUTION DE POISSON ( distributio discrète déombrable) La loi de Poisso est attribuée à Simeo D. Poisso, mathématicie fraçais (1781-1840). Cette loi fut proposée par Poisso das u ouvrage qu il publia e 1837 sous le titre : «Recherche sur la probabilité de jugemets e matière crimielle et e matière civile». 3.1. SITUATION CONCRÈTE Beaucoup de situatios sot liées à l étude de la réalisatio d'u évéemet das u itervalle de temps doé (arrivée de cliets qui se présetet à u guichet d'ue baque e ue heure, apparitios de paes d'u réseau iformatique e ue aée, arrivée de malades aux urgeces d'u hôpital e ue uit,...). Les phéomèes aisi étudiés sot des phéomèes d'attete. Pour décrire les réalisatios das le temps d'u évéemet doé, o peut : soit chercher le ombre de réalisatios de l évéemet das u itervalle de temps doé qui est distribué suivat ue loi de Poisso. soit chercher le temps etre deux réalisatios successives de l évéemet qui est distribué suivat ue loi expoetielle ( voir 4 ). La loi de Poisso peut être iterprétée comme u cas limite d'ue loi biomiale et la secode comme u cas limite d'ue loi géométrique. Formulos les hypothèses suivates relativemet à la réalisatio de l évéemet qui ous itéresse. J-P LENOIR Page 44

(1) Les ombres de réalisatios de l évéemet au cours d itervalles de temps disjoits sot des variables aléatoires idépedates, c est-à-dire que le ombre de réalisatios au cours d u itervalle de temps est idépedat du ombre de réalisatios au cours d itervalles de temps atérieurs. () La probabilité pour que l évéemet se réalise ue fois, au cours d u petit itervalle de temps Δt, est proportioelle à l amplitude de l itervalle et vaut αδt, où α est ue valeur positive que l o suppose costate tout au log de la période d observatio. (3) Il est très rare d observer plus d ue fois l évéemet au cours d u petit itervalle de temps Δt, c est-à-dire que la probabilité pour que l évéemet se réalise plus d ue fois au cours de l itervalle de temps Δt est égligeable. Les hypothèses (1), (), (3) caractériset ce qu'o appelle u processus de Poisso. α est ue costate du processus qui représete le ombre moye de réalisatios par uité de temps et que l o appelle l itesité du processus. Sous ces hypothèses, la variable aléatoire X = «ombre de fois où l évéemet cosidéré se réalise au cours d u itervalle de temps de durée t» est distribuée suivat ue loi de Poisso de paramètre λ = αt. 3.. DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS Nous cherchos à détermier la loi de probabilité de la variable X = «ombre de réalisatios d u évéemet doé pedat u itervalle de temps t», sachat que le ombre moye de réalisatios de cet évéemet par uité de temps est α. Or, ous coaissos déjà la loi de probabilités de la variable Y = «ombre de réalisatios d u évéemet de probabilité p doé au cours de essais». Il s agit d ue loi biomiale B(, p). Pour compredre la relatio etre ces deux lois, divisos l itervalle de temps de logueur t, e t petits itervalles de temps disjoits de logueur Δt = pour assez grad. L hypothèse (3) du processus ous permet d affirmer que das chacu de ces petits itervalles il y a pricipalemet que deux possibilités : l évéemet se réalise ue fois ou e se réalise pas (cela sera d autat plus vrai que est grad). Das chaque itervalle, la variable «ombre de réalisatios de l évéemet» est ue variable de Beroulli. L hypothèse () du processus ous permet d affirmer que das chacu de ces petits itervalles, la probabilité de réalisatio de l évéemet est costate et égale à t t αδt = α. Les variables de Beroulli ot doc toutes le même paramètre p = α. J-P LENOIR Page 45

L hypothèse (1) du processus ous permet d affirmer que les variables de Beroulli sot idépedates. La somme de ces variables de Beroulli idépedates de même paramètre α t est ue variable qui suit la loi biomiale B(, α t ) et qui représete approximativemet le ombre de réalisatios de l évéemet das l itervalle de temps t. Si o choisit de plus e plus grad, o a de plus e plus d'itervalles, la probabilité de réalisatios de évéemet das chaque itervalle est de plus e plus petite et la distributio B(, α t ) se rapproche de plus e plus de la distributio que l o cherche à détermier, c est- à-dire de la distributio de Poisso de paramètre αt. Coclusio : O peut cosidérer la loi de Poisso de paramètre λ comme la loi limite d ue loi biomiale B(, α t t ) lorsque ted vers l ifii, le produit des paramètres α restat toujours costat égal à αt = λ. Nous allos ous appuyer sur cette caractérisatio pour détermier sa foctio de desité. Si Y suit ue loi B(, λ ), o sait que : p Y k C k λ k λ k ( = ) = ( ) ( 1 ). λ k! λ ( 1 ) + k 1 k 1 λ λ [... ] ( 1 ) doc : p( Y = k) = k = k! ( k)! k! λ λ k k ( 1 ) ( 1 ) - Chaque terme du produit etre crochets ted vers 1 lorsque ted vers l ifii. Il y a k termes, c est-à-dire u ombre fii. Doc le crochet ted vers 1. - lim ( 1 λ k ) = 1 doc : lim ( 1 λ ) = 1. + + λ λ l( 1 ) -De plus : lim ( ) lim e λ 1 = = e + + (e utilisat la cotiuité de l expoetielle et lim l( 1 λ ) = lim ( λ ) = λ) + + Doc pour assez grad : p( Y = k) k λ e k! λ. Défiitio : La distributio de Poisso de paramètre λ est celle d ue variable discrète X qui pred ses valeurs das N selo la foctio de desité : O écrit : X > P(λ). e λ k λ f( k) = p( X = k) = k N k! J-P LENOIR Page 46

Remarque : Il existe des tables doat la foctio de desité et la foctio de répartitio de la loi de Poisso e foctio des différetes valeurs de λ (pour λ 15). J-P LENOIR Page 47

3.3. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION La loi P(λ) est la loi limite de la loi B(, λ ) lorsque ted vers l ifii. Or l espérace mathématique de la loi B(, λ )est λ = λ. λ λ Sa variace est (1- ), quatité qui ted vers λ lorsque ted vers l ifii. O aura doc lorsque X > P(λ) : E( X) = λ Var(X) = λ σ(x) = λ 3.4. PROPRIÉTÉS DE LA DISTRIBUTION DE POISSON 3.4.1. Allure de la distributio O effectuer plusieurs remarques à propos de ces diagrammes. E gééral, le diagramme est dissymétrique par rapport à λ avec étalemet vers la droite. Les valeurs élevées d ue variable de Poisso sot peu recotrées. A mesure que λ augmete, la forme de la distributio ted à deveir symétrique et s approche de celle de la loi ormale que ous traiteros plus loi das ce chapitre. Cela est vérifié pour λ 10 et même acceptable pour λ 5. J-P LENOIR Page 48

3.4.. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso La loi biomiale déped de deux paramètres et p. Bie qu il existe quelques tables, elle est est pas simple à utiliser. La loi de Poisso e déped que d u paramètre ce qui la red doc plus pratique. Il faut doc avoir toujours préset à l esprit que, lorsque les coditios le permettet, o peut avoir itérêt à remplacer ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Lorsque est grad et p petit, de telle faço que le produit p = λ reste petit par rapport à, la loi biomiale B(, p) peut être approchée par la loi de Poisso P(λ)(revoir ce qui a été dit sur ce sujet das le paragraphe : «Distributio de probabilités»). Cette approximatio s appliquat lorsque p est petit, la loi de Poisso est appelée la loi des évéemets rares. E pratique, l'approximatio est valable si : >0 et p 0.1 et p 5. > 0 O approche la loi B(,p) par la loi P(p) dès que p 5 p 01. RÈGLE IMPORTANTE : Lorsqu o approche ue loi par ue autre, o choisit le ou les paramètres de la loi approchate de maière que l espérace (et la variace lorsqu o a suffisammet de paramètres)de la loi approchate soit égale à l espérace (et la variace)de la loi approchée. Comparaiso des distributios J-P LENOIR Page 49

3.4.3. Somme de deux lois de Poisso Si X Si X Si X P( λ ) 1 1 P( λ et X sot idépedates 1 ) alors X 1 +X > P(λ + λ ) 1 3.5. IMPORTANCE PRATIQUE DE LA LOI DE POISSON Le physicie et le techologue recotret la loi de Poisso das de ombreuses circostaces. 3.5.1. Le comptage e radioactivité, microaalyse x, aalyse sims 1... U détecteur compte le ombre de particules qu il reçoit pedat u temps de comptage t 0. Ce ombre k obéit à ue loi de Poisso dot le paramètre λ est le produit du flux moye de particules α pedat le temps de comptage t 0. X > P(αt 0 ) k t ( t ) p( X = k) = e α α 0 0 k! Coséquece : L espérace mathématique de X est αt 0 et l écart-type sur X est αt 0. Il e résulte que la variabilité de X (quotiet de l'espérace sur l écart-type) deviet très grade quad le ombre moye de coups est petit. Si les valeurs prises par X sot proches de 10 correspodat à ue espérace αt 0 proche de 10, l écart-type valat αt 0 est proche de 3, ce qui doe ue variabilité de 30%. Ceci est parfaitemet visible sur le «profil SIMS» préseté sur le graphique de la page suivate. Le bruit deviet importat lorsque X est etre 10 et 15. Das la mesure du possible, l expérimetateur sera alors ameé à augmeter le temps de comptage pour augmeter les valeurs de X. 3.5.. Cotrôle de qualité O effectue u cotrôle de qualité sur des composats fabriqués par ue uité de productio. U composat est réputé bo (ou mauvais) lorsqu il satisfait (ou o) à des spécificatios. Le critère de choix est doc qualitatif. Le taux moye de rebuts (pièces mauvaises) est appelé p. O effectue u tirage de pièces. La probabilité de trouver k pièces mauvaises das cet échatillo de taille est doée par ue loi de Poisso (il s agit ici de la loi des évéemets rares : la loi biomiale est approchée par la loi de Poisso). X > P(p) 1 S.I.M.S. : Secodary Ios Mass Spectrometry : méthode permettat ue aalyse quatitative des impuretés das ue masse solide. U faisceau d ios primaires abrase le matériau. Parmi les atomes arrachés à la cible, certais sot ioisés (ios secodaires). Ils sot triés e masse au moye d ue diflexio magétique et comptés pedat des itervalles de temps t 0 au cours du processus d abrasio. O obtiet aisi le profil de cocetratio de l impureté das le matériau. J-P LENOIR Page 50

p X k e p k ( p) ( = ) = k! σ X p Lorsque p est petit, le rapport E( X) = p = 1 deviet grad et la variabilité sur p k red le cotrôle imprécis. Ceci explique que, das u cotrôle de qualité, la taille des échatillos tirés de la populatio des pièces fabriquées doit être au mois de l ordre de 100. 3.5.3. Déombremet d évéemets surveat das u espace délimité La loi de Poisso permet de modéliser aussi bie le ombre d évéemets surveat pedat u temps doé que le ombre d évéemets surveat das u espace délimité. Par exemple, si o appelle X le ombre de particules bombardat ue cible de surface S soumise à ue irradiatio de fluece F( e m - ) : X > P(FS) p X k e FS FS k ( ) ( = ) = k! FS est doc aalogue au αt 0 du paragraphe 3.5.1. La loi de Poisso sert doc aussi à décrire des phéomèes de localisatio spatiale et o plus seulemet temporelle, c est-à-dire qu elle modélisera aussi bie le ombre d accidets qui peuvet surveir e ue matiée que le ombre d accidets qui peuvet surveir sur ue sectio doée d autoroute. PROFIL S.I.M.S. ombre de particules détectées par secode temps J-P LENOIR Page 51

4. DISTRIBUTION EXPONENTIELLE (distributio cotiue) 4.1. SITUATION CONCRÈTE d abrasio ( m ) O se place das le cas d'u phéomèe d'attete décrit au paragraphe 3 et o s itéresse à la variable aléatoire qui représete le temps d'attete pour la réalisatio d u évéemet ou le temps d'attete etre la réalisatio de deux évéemets successifs. Si o se place das le cas où l itesité α du processus de Poisso est costate, ce temps d attete suit ue loi expoetielle de paramètre α. Exemple : Lorsque l évéemet attedu est la mort d u idividu (ou la pae d u équipemet), α s appelle le taux de mortalité (ou le taux de pae). Dire qu il a ue valeur costate, c est supposer qu il y a pas de vieillissemet (ou pas d usure s il s agit d u équipemet), la mort ou la pae iterveat de faço puremet accidetelle. 4.. DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS O veut détermier la loi de la variable T= «temps d attete etre la réalisatio de deux évéemets successifs» où le ombre moye de réalisatios de l évéemet par uité de temps est α. Pour cela, ous allos procéder comme das le paragraphe 3 : Si t est la logueur de l itervalle de temps sur lequel dure otre étude, ous le divisos e petits itervalles de logueur t. Appelos X la variable aléatoire représetat le ombre d itervalles de temps que l o doit laisser s écouler pour obteir la réalisatio de l évéemet suivat. Chaque itervalle possédat la même probabilité α t de voir l évéemet se produire, X suit, par défiitio, la loi géométrique de paramètre α t. Le temps d attete T est alors le produit de ce t ombre d itervalles par le temps de chaque itervalle. T = X O cherche p(t>t 0 )= p(x> t t 0 )...et lorsque ted vers l ifii o obtiet + αt 0 αu p( T > t ) = e = α e du. 0 t0 Ceci ous permet d affirmer que la foctio de desité de la variable T est f ( x) = αe αx si x>0. Défiitio : La loi expoetielle de paramètre α décrit la distributio d'ue variable cotiue X qui e pred que des valeurs positives selo la foctio de desité : f( x) = αe αx x > 0 J-P LENOIR Page 5

O ote X > Exp(α) 4.3. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION O viet de voir que la loi expoetielle est la loi limite d ue loi géométrique. O a : T t X où X suit la loi géométrique de paramètre α t. t Or E T E X t 1 1 ( ) = ( ) = = αt α et V ( ) = t ar T Coclusio : αt 1 αt ( ) 1 α si est grad E(T) = 1 α Var(T) = 1 α σ( T ) = 1 α Remarque : O peut très facilemet retrouver ces résultats e effectuat u calcul direct à partir de la foctio de desité e utilisat les formules de défiitio de l espérace et la variace (peut-être pourriez-vous le faire à titre d exercice?) 4.4. PROPRIÉTÉS DE LA DISTRIBUTION EXPONENTIELLE a) Comme la loi géométrique, la loi expoetielle est sas mémoire. C'est la seule loi cotiue qui possède cette propriété. Elle proviet bie etedu du fait que le paramètre α est costat. b) Ue somme de variables idépedates de même loi expoetielle de paramètre α 'est pas ue variable de loi expoetielle mais ue variable qui suit ue loi gamma de paramètres et α. Ue telle loi est aussi appelée loi d ERLANG d'ordre. Elle représete le temps d'attete requis avat qu'u évéemet se réalise fois. c) La loi expoetielle est aussi courammet utilisée das les problèmes de datatio e géochroologie. 5. DISTRIBUTION NORMALE ( distributio cotiue) Du poit de vue historique, la ature et l importace exceptioelle de cette loi furet presseties e 1773 par Abraham de Moivre lorsqu il cosidéra la forme limite de la loi biomiale. E 177, Simo Laplace l étudia das sa théorie des erreurs. Mais c est seulemet e 1809 pour Carl Friedrich Gauss et e 181 pour Simo Laplace qu elle prit sa forme défiitive. C est aisi qu o l appelle tatôt loi de Laplace, tatôt loi de Gauss, tatôt loi de Laplace- J-P LENOIR Page 53

Gauss. O trouve aussi l expressio, cosacrée à ue logue traditio, de loi ormale (ce qui e sigifie pas pour autat que les autres lois soiet «aormales»). Elle jouit d ue importace fodametale car u grad ombre de méthodes statistiques repose sur elle. Ceci est lié au fait qu elle iterviet comme loi limite das des coditios très géérales. Pour faire ressortir toute so importace et sa forme, W.J. Youde, du Natioal Bureau of Stadards, a eu l igéieuse idée de la préseter telle qu elle apparaît ci-dessous. 5.1. SITUATION CONCRÈTE O recotre souvet des phéomèes complexes qui sot le résultat de causes ombreuses, d effet faible, et plus ou mois idépedates. U exemple typique est celui de l erreur commise sur la mesure d ue gradeur physique. Cette erreur résulte d u grad ombre de facteurs tels que : variatios icotrôlables de la température ou de la pressio, turbulece atmosphérique, vibratios de l appareil de mesure, etc...chacu des facteurs a u effet faible, mais l erreur résultate peut e pas être égligeable. Deux mesures faites das des coditios que l expérimetateur cosidère comme idetiques pourrot alors doer des résultats différets. Doc dès que ous serot das ue situatio où la distributio déped de causes e grad ombre et idépedates dot les effets s'additioet dot aucue 'est prépodérate alors ous seros e présece de la distributio ormale. C est le cas, par exemple: E métrologie, pour la distributio des erreurs d observatio. J-P LENOIR Page 54

E météorologie, pour la distributio de phéomèes aléatoires tels que la température et la pressio. E biologie, pour la distributio de caractères biométriques comme la taille ou le poids d idividus apparteat à ue populatio homogèe. E techologie, pour la distributio des cotes des pièces usiées. E écoomie, pour les fluctuatios accidetelles d'ue gradeur écoomique (productio, vetes,...) autour de sa tedace, etc... J-P LENOIR Page 55

5.. DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS Défiitio : Ue variable aléatoire cotiue suit ue loi ormale si l expressio de sa foctio de desité de probabilités est de la forme : 1 x m ( ) 1 f ( x) = e σ x R σ π La loi déped des deux réels m et σ appelés paramètres de la loi ormale. O ote : X > N(m, σ). Remarques : 1. Ue foctio de desité de probabilité état toujours positive, le paramètre σ est doc u réel strictemet positif.. O démotre que f est bie ue foctio de desité de probabilité + car f ( x) dx = 1. Pour le démotrer o utilise que: e dx = π (c est l itégrale de Gauss). 3. La loi ormale état tabulée, cette expressio ous sera de peu d utilité. Il est importat éamois de préciser à quoi correspodet m et σ. + x 5.3. PARAMÈTRES DESCRIPTIFS DE LA DISTRIBUTION O démotre sas problème grâce à l itégrale de Gauss (pourquoi e pas effectuer le calcul à titre d exercice?) que : E(X) = m Var(X) = σ σ(x) = σ 5.4. PROPRIÉTÉS DE LA DISTRIBUTION NORMALE 5.4.1. Forme de la distributio ormale La foctio de desité de probabilités de la loi ormale a la forme d'ue «courbe e cloche». E fait il e s agit pas d ue courbe uique mais plutôt d ue famille de courbes dépedat de m et σ. J-P LENOIR Page 56

O peut effectuer quelques remarques à propos de ces courbes. a) La distributio est symétrique par rapport à la droite d'équatio x = m. Doc l aire sous la courbe de part et d autre de cette droite est égale à 0.5. b) La distributio est d'autat plus étalée que σ est grad. c) L axe des abscisses est ue asymptote et l aire sous la courbe à l extérieur de l itervalle [m-3σ, m+3σ] est égligeable. Pour fixer les idées, o peut idiquer que: p(m-σ<x<m+σ) = 0.686. p(m-σ<x<m+σ)= 0.9544. p(m-3σ<x<m+3σ) = 0.9974. Cela peut être visualisé sur le graphique ci-après. Loi N ( 0, 1 ) J-P LENOIR Page 57

d) σ représete la différece des abscisses etre le sommet de la courbe et le poit d iflexio. e) La logueur à mi-hauteur de la courbe (L.M.H. ou e aglais F.W.H.M. Full Width Half Maximum) vaut.35σ. Cette distace est souvet employée par le spectroscopiste pour détermier expérimetalemet σ. Cette méthode doit cepedat être utilisée avec précautio car il faut s assurer que les «bruits» permettet d observer correctemet le «pied»de la courbe. 5.4.. Somme de deux variables ormales Si Si Si X et N(m, σ ) X N(m, σ ) X 1 1 1 1 X sot idepedates alors X 1 +X > N(m 1 + m, σ 1 + σ ) 5.4.3. Loi ormale cetrée réduite ou loi ormale stadardisée Nous avos vu das le chapitre qu à toute variable aléatoire X,o pouvait associer ue variable dite stadardisée X E ( X ) d espérace ulle et de variace uité (ceci résultait σ( X ) des propriétés de traslatio et de chagemet d échelle). O motre assez facilemet que si o effectue cette trasformatio sur ue variable suivat ue loi ormale, la variable stadardisée suit ecore ue loi ormale mais cette fois-ci de paramètres 0 et 1. La loi stadardisée est appelée loi ormale cetrée réduite otée N(0,1). X m Doc si X > N(m, σ), o pose T = et T > N(0,1). σ O peut résumer la correspodace de la faço suivate: Variable ormale X > N(m, σ) esemble des valeurs prises : R X m T = σ Variable ormale cetrée réduite T > N(0,1) esemble des valeurs prises : R Paramètres : E(X) = m Var(X) = σ Paramètres : E(T) = 0 Var(T) =1 J-P LENOIR Page 58

Il faut garder à l esprit que cocrètemet T est le ombre d écarts-type etre la valeur de X et la moyee. J-P LENOIR Page 59

La loi N(0,1) est tabulée à l aide la foctio de répartitio des valeurs positives ; Elle u 1 doe les valeurs de Φ( t) = p( 0 T t) = e du t 0 π pour t>0. Ce ombre représete l aire sous la courbe représetative de la distributio et au dessus de l itervalle [0,t]. Pour cette raiso la table de la loi ormale est aussi appelée table d aires. Cette table e déped d'aucu paramètre, mais permet cepedat de détermier les probabilités de importe quelle distributio ormale! Commet utiliser la table d aires? La première coloe de la table idique les uités et les dixièmes des valeurs de T alors que les cetièmes des valeurs de T se liset sur la lige supérieure de la table. La valeur trouvée à l itersectio de la lige et de la coloe adéquates doe l aire cherchée. a) Je cherche la valeur de p( 0 T 05. ). A l itersectio de la lige «0.5» et de la coloe «0.00» je lis 0.1915. b) Je cherche la valeur de p( 05. T 0 ). J utilise la symétrie de la courbe par rapport à l axe des ordoées et j e coclus que p( 0. 5 T 0 ) = p( 0 T 05. ) = 0.1915 Et que pesez-vous de la valeur de p( 0. 5 < T < 0 )? c) Je cherche la valeur de p(. 4 T 11. ). L aire cherchée correspod à la somme suivate : p(. 4 T 11. ) = p(. 4 T 0) + p( 0 T 11. ) = 0.4875+0.3686=0.8561. d) Je cherche la valeur de p( 10. T. 0). L aire cherchée correspod à la différece suivate : p( 1 T ) = p( 0 T. 0) p( 0 T 10. ) = 0.477-0.3413 = 0.1359 e) Je cherche la valeur t de T telle que p( 0 T t) = 0.4750. C est le problème iverse de celui des exemples précédets. Il s agit de localiser das la table l aire doée et de détermier la valeur de T correspodate. Je trouve : t = 1.96. Remarque : Si la valeur de l aire e peut se lire directemet das les valeurs de la table, o pourra toujours effectuer ue iterpolatio liéaire etre deux valeurs adjacetes ou predre la valeur la plus proche. J-P LENOIR Page 60

5.5. APPROXIMATIONS PAR DES LOIS NORMALES 5.5.1. Théorème cetral-limit (ou de tedace ormale) Théorème : Hypothèses : Soit ue suite de variables aléatoires X 1,X,...,X vérifiat les coditios suivates: (1) Les variables sot idépedates. () Leurs espéraces mathématiques m 1, m,...,m et leurs variaces VarX 1, VarX,..., VarX existet toutes. (3) Pour tout k etre 1 et lim + VarX i= 1 k VarX i = 0. Coclusio : La distributio de la variable somme X= X 1 + X +...+X se rapproche de la distributio ormale lorsque ted vers l ifii. Remarque : C est ce théorème très importat qui ous permet d affirmer que la situatio cocrète éocée au début de ce paragraphe ous met e présece d ue loi ormale. E effet : X 1,X,...,X correspodet aux différets facteurs de fluctuatios. Le grad ombre de causes est assuré par le fait que +. L idépedace parle d elle-même. Additioer les effets reviet à cosidérer la variable somme. Dire qu aucu facteur est prépodérat est traduit par l hypothèse (3) du théorème. E pratique, ceci se vérifie dès que 30. 5.5.. Approximatio de la loi biomiale par la loi ormale Toute variable qui suit ue loi biomiale B(,p) peut toujours être cosidérée comme ue somme de variables de Beroulli idépedates de même paramètre p. X = X 1 +...+ X où X i sot des variables de Beroulli. Les hypothèses du théorème cetral-limit état vérifiées, o peut affirmer que, lorsque ted vers l ifii, la loi biomiale B(,p) ted vers ue loi ormale. La loi ormale qui l approche le mieux est celle qui possède la même espérace p et le même écart-type pq. J-P LENOIR Page 61

Or la distributio biomiale est asymétrique sauf lorsque p = 1/. La distributio ormale, elle, est symétrique. L approximatio sera valable lorsque p 'est pas trop voisi de 0 ou 1 et sera d autat meilleure que p est proche de 1/ et que est grad. J-P LENOIR Page 6

E pratique: 30 O approche la loi B(,p) par la loi N(p, pq ) dès que p 15 q 15 Les problèmes recotrés par cette approximatio et leurs solutios : 1) O remplace ue distributio cocerat u ombre fii de valeurs par ue distributio sur R tout etier. État doé qu'à l'extérieur d'u certai itervalle([m-3σ, m+3σ]) la distributio ormale est presque ulle, cela e pose pas de problèmes. ) O remplace ue distributio discrète par ue distributio cotiue. Il ous faut doc appliquer ce qu'o appelle ue "correctio de cotiuité" : Si o omme X la variable biomiale et Y la variable ormale, o remplacera ue valeur k de X par u itervalle de Y cetré sur k et d amplitude 1, ce qui sigifie que 1 1 l o écrit : p( X = k) = p( k < Y < k + ) Das la pratique lorsque est très grad, cette correctio est pas écessaire. O l effectuera cepedat si o souhaite ue grade précisio. Remarque : Remplacer ue loi biomiale par ue loi ormale simplifie cosidérablemet les calculs. E effet les tables de la loi biomiale dépedet de deux paramètres et les valeurs de das ces tables sot limitées supérieuremet par 0. La loi ormale, elle, après stadardisatio e déped d aucu paramètre. 5.5.3. Approximatio de la loi de Poisso par la loi ormale O démotre qu o peut aussi approcher la loi de Poisso par la loi ormale pour les grades valeurs du paramètre de la loi de Poisso.. La seule qui puisse coveir est celle qui a même espérace et même variace. O approche doc la loi P(λ) par la loi N(λ, λ ). E pratique, cela s applique dès que λ 16. O approche la loi P(λ) par la loi N(λ, λ ) dès que λ 16. J-P LENOIR Page 63

Remarque : La loi de Poisso état elle aussi ue loi discrète, o peut avoir à appliquer la correctio de cotiuité. J-P LENOIR Page 64

6. QUELQUES CONSEILS POUR RÉSOUDRE LES PROBLÈMES Voici, lorsqu elle s applique, ue méthode de travail qui peut guider votre démarche : 1. Suite à l éocé du problème, idetifier correctemet à l aide de mots la variable aléatoire que vous allez cosidérer.. Préciser les valeurs possibles que peut predre cette variable. 3. Idetifier correctemet la loi de probabilité qu elle suit e essayat de recoaître das le problème ue situatio type. 4. Détermier les paramètres de la loi. 5. Utiliser les formules théoriques ou les tables pour détermier les probabilités demadées. Face à de logs calculs et e l absece de tables correspodat à vos ou votre paramètre, peser à approcher votre loi par ue autre. Quelques exercices types : Exercice 1: Supposos qu'ue tetative pour obteir ue commuicatio téléphoique échoue (par exemple, parce que la lige est occupée) avec la probabilité 0.5 et réussisse avec la probabilité 0.75. O suppose que les tetatives sot idépedates les ues des autres. Quelle est la probabilité d obteir la commuicatio si l o peut effectuer trois tetatives au maximum? Solutio : Nous ous itéressos à la variable X = «ombre de tetatives écessaires pour obteir la commuicatio», ce que l o peut cosidérer comme le ombre d essais à faire pour obteir le premier succès. X suit ue loi géométrique de paramètre p = 0.75 O cherche à détermier p( X 3) = p( X = 1) + p( X = ) + p( X = 3) O peut obteir la commuicatio au 1 er essai. O a pour cela ue probabilité p(x = 1) = 0.75. O peut obteir la commuicatio au ème essai. O a pour cela ue probabilité p(x = ) = 0.5 0.75 = 0.1875. O peut obteir la commuicatio au 3 ème essai. O a pour cela ue probabilité p(x = 3) =0.5 0.75 = 0.0469. Fialemet la probabilité d obteir la commuicatio e trois essais maximum est p( X 3 ) = 0.75 + 0.1875 + 0.0469 = 0.9844 soit 98.5 %. Exercice : U fabricat de pièces de machie préted qu'au plus 10% de ses pièces sot défectueuses. U acheteur a besoi de 10 pièces. Pour disposer d'u ombre suffisat de boes pièces, il e commade 140. Si l'affirmatio du fabricat est valable, quelle est la probabilité que l'acheteur reçoive au mois 10 boes pièces? Solutio : Appelos X la variable aléatoire correspodat au «ombre de boes pièces das le lot de 140 pièces». X pred ses valeurs etre 0 et 140. De plus pour chaque pièce, o a que deux évetualités : elle est boe ou elle est défectueuse. La probabilité qu ue pièce soit défectueuse est 0.1. Par coséquet elle est boe avec la probabilité 0.9. O est doc das ue situatio type : X suit la loi biomiale de paramètres = 140 et p = 0.9. J-P LENOIR Page 65

X > B(140,0.9) O veut détermier la probabilité que l acheteur reçoive au mois 10 boes pièces sur les 140, soit p( X 10 ). A priori, il ous faudrait calculer la somme des probabilités p(x = 10) + p(x = 11) +...+ p(x = 140) ce qui serait épouvatablemet log. O essaie doc d approcher la loi biomiale par ue loi tabulée : 30 Comme : p = 16 doc p > 10, o pourra approcher la loi biomiale par ue loi q = 14 doc q > 10 ormale. O choisit la loi ormale qui a la même espérace et le même écart-type. Doc X qui suit la loi B(140, 0.9) sera approchée par Y qui suit la loi N(16, 3.55). Pour remplacer ue loi discrète par ue loi cotiue, il est préférable d utiliser la correctio de cotiuité : p( X 10) p( Y > 119. 5 ). O se ramèe efi à la loi ormale cetrée réduite : T = Y 16. 355. p Y p Y 16 119. 5 16 ( > 119. 5) = ( > ) = p( T > 183. ) = p( T < 183. ) = 05. + Φ( 183. ) = 0. 97 355. 355. Coclusio : l acheteur a 97 chaces sur 100 de recevoir 10 boes pièces sur les 140 achetées. Exercice 3 : Les statistiques atérieures d'ue compagie d'assuraces permettet de prévoir qu'elle recevra e moyee 300 réclamatios durat l'aée e cours. Quelle est la probabilité que la compagie reçoive plus de 350 réclamatios pedat l'aée e cours? Solutio : La variable X qui ous itéresse est le «ombre de réclamatios reçues pedat ue aée». Il s agit du ombre de réalisatios d u évéemet pedat u itervalle de temps doé. X suit doc ue loi de Poisso. Le ombre moye de réalisatios das ue aée est 300. Cette valeur moyee est aussi le paramètre de la loi de Poisso. Doc X suit la loi P(300). O cherche à détermier p(x > 350). Il y a pas de table de la loi de Poisso pour cette valeur du paramètre λ. Il ous faut doc approcher X qui suit la loi de Poisso P(300) par Y qui suit la loi ormale de même espérace et de même écart-type, c està-dire N(300, 300). Ici aussi, o remplace ue loi discrète par ue loi cotiue. Il faut doc appliquer la correctio de cotiuité : p( X > 350) = p( X 351) p( Y > 350. 5 ). O se ramèe fialemet à la loi ormale cetrée réduite : T = Y 300 300. 350. 5 300 p( Y > 350. 5) = p( T > ) = p( T >. 9) = 05. Φ (. 9) = 0. 0017. 300 J-P LENOIR Page 66

La compagie d assuraces a doc 1.7 0 / 00 de chaces de recevoir plus de 350 réclamatios e u a. J-P LENOIR Page 67

Exercice :4 Le ombre moye de cliets qui se présetet à la caisse d'u supermarché sur u itervalle de 5 miutes est de 10. Quelle est la probabilité qu'aucu cliet e se présete à la caisse das u itervalle de deux miutes?(deux méthodes possibles) Solutio 1 : Cosidéros la variable aléatoire X = «ombre de cliets se présetat à la caisse das u itervalle de deux miutes». Nous recoaissos ue situatio type et la variable X suit ue loi de Poisso. Vu qu e moyee 10 cliets se présetet e 5 m, l itesité du processus α est de cliets par miute : α =. Or le paramètre de la loi de Poisso est λ = αt 0 t 0 état ici miutes. D où λ = 4. O cherche à calculer : p(x = 0). D après la formule du cours : 4 0 e 4 4 p( X = 0) = = e = 0. 018. 0! Solutio : Cosidéros à préset la questio sous u autre agle e s itéressat au temps d attete Y etre deux cliets. Le cours ous dit que la loi suivie par ue telle variable est ue loi expoetielle. So paramètre α est l itesité du processus de Poisso soit ici α =. Y suit doc la loi Exp(). Sa foctio de desité est f( x) = e x pour x positif exprimé e m.o e déduit + que x x [ ] + 4 p( Y ) = e dx = e = e = 0. 018 7. DISTRIBUTIONS DÉRIVANT DU MODÈLE GAUSSIEN Les distributios que ous allos étudier sot importates o pas pour représeter des modèles théoriques de séries statistiques comme les précédetes, mais e raiso du rôle qu'elles jouet das les problèmes d'estimatio ou de tests que ous verros par la suite. Pour l istat leurs défiitios peuvet sembler complexes, otammet parce que la otio de «degrés de liberté» a pas ecore été précisée. Pour le momet, il importe simplemet de coaître leur défiitio et de savoir lire les tables correspodates. 7.1. LA DISTRIBUTION DU χ DE PEARSON Elle a été découverte e 1905 par le mathématicie britaique Karl Pearso (1857-1936) qui travailla égalemet sur les problèmes de régressio avec le gééticie Sir Fracis Galto. Cette distributio (qui se prooce khi-deux) est très importate pour tester l'ajustemet d'ue loi théorique à ue distributio expérimetale( test du χ ) et pour détermier la loi de la variace d u échatillo. J-P LENOIR Page 68

7.1.1. Défiitio Si X 1,X,...,X sot variables aléatoires idépedates qui suivet toute la loi ormale cetrée réduite, alors la quatité X = X 1 +X +...+X = X i est ue variable aléatoire distribuée selo la loi de χ à degrés de liberté. O ote : X > χ 7.1.. Forme de la distributio i= 1 L expressio de la desité de probabilités état très compliquée et d aucu itérêt pour ous, ous e la doos pas ici. La distributio du χ est cotiue à valeurs positives et présete u étalemet sur le côté supérieur. Elle e déped que du ombre de degrés de liberté. 7.1.3. Paramètres descriptifs E(X) = V(X) = 7.1.4. Somme de deux variables qui suivet ue loi du χ Si X Si X Si X 1 χ χ p et X sot idépedates 1 alors X 1 +X > χ + p J-P LENOIR Page 69

7.1.5. Approximatio par ue loi ormale A mesure que augmete, la loi du χ costater sur le graphique ci-dessous. ted vers la loi ormale, comme o peut le E pratique, o peut cosidérer que pour 30 o peut remplacer la loi du khi- deux à degrés de liberté χ par la loi ormale N (, ). 7.1.6. Utilisatio de la table de χ Pour des raisos de commodité, au lieu de doer la table des foctios de répartitio des variables aléatoires χ pour les différetes valeurs de, o doe, e foctio de (ombre de degrés de liberté) et d ue probabilité α que l o peut choisir, la valeur χ α, défiie par : P( χ > χ α, ) = α; α est u seuil et a e fait ue sigificatio particulière das les problèmes d estimatio et de tests. Il sera défii ultérieuremet. 7.. LA DISTRIBUTION DE FISCHER-SNEDECOR Cette distributio fut découverte par l aglais Fisher e 194 puis tabulée par Sédecor e 1934. Elle iterviedra lors des comparaisos des variaces de deux échatillos (test d'hypothèse F). 7..1. Défiitio Si χ 1 et χ sot deux variables aléatoires idépedates qui suivet toutes les deux χ1 1 ue loi de khi-deux de degrés de liberté respectifs 1 et, alors la quatité F = est ue χ variable aléatoire qui suit la loi de Fischer-Sedecor à 1 et degrés de liberté. J-P LENOIR Page 70

O ote : F > F 1,. Cette variable e pred que des valeurs positives. 7... Forme de la distributio O 'écrit pas ici l'expressio de la foctio de desité, compliquée et iutile pour ous. Les formes de distributio dépedet de 1 et et sot dissymétriques. A mesure que les valeurs 1 et augmetet, la loi de Fischer ted vers ue loi ormale. 7..3. Utilisatio de la table de la distributio de Fisher Les valeurs tabulées de la variable F dépedet d u seuil α que l o peut choisir et des ombres de degré de liberté 1 et. La table doe la valeur F α, 1, défiie par : p( F > Fα,, ) = α 1. Remarque : Il faut faire attetio à l ordre de 1 et. 1 représete le ombre de degrés de liberté du umérateur et celui du déomiateur et e peuvet être itervertis. 7.3. LA DISTRIBUTION DE STUDENT ( pseudoyme de V.S GOSSET - 1908) 7.3.1. Défiitio Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, la première état distribuée selo ue loi ormale cetrée réduite N(0,1) et la deuxième selo ue loi de khi-deux à degrés de liberté χ. J-P LENOIR Page 71

X La quatité T = est ue variable aléatoire qui suit ue loi de Studet à degrés de Y liberté. O écrit T > T J-P LENOIR Page 7

7.3.. Allure de la distributio. La desité de probabilité est de forme complexe et ous 'e auros jamais besoi. La distributio est symétrique par rapport à l'origie et u peu plus aplatie que la distributio ormale cetrée réduite.elle e déped que de la valeur qui est so ombre de degrés de liberté. 7.3.3. Paramètres descriptifs O a E(T) = 0 si >1 et Var(T) = si > 7.3.4. Approximatio par la loi ormale A mesure que augmete, la distributio de Studet à degrés de liberté se rapproche de plus e plus de celle de celle de la loi ormale cetrée réduite. E pratique : si T > T pour 30, o pourra écrire que T > N(0,1). 7.3.5. Tables de la loi de Studet Les valeurs tabulées de la variable T dépedet d u seuil α que l o peut choisir et du ombre de degré de liberté. La table doe la valeur t α, défiie par : p( T > t α, ) = α. J-P LENOIR Page 73