Package CAPUSHE pour le logiciel R

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Flavien Beauregard
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1 1 / 44 Package CAPUSHE pour le logiciel R Vincent Brault (1,2) & Jean-Patrick Baudry (3) & Cathy Maugis-Rabusseau (4) & Bertrand Michel (3) 1 Université Paris-Sud 11 2 INRIA Saclay Île de France Projet SELECT 3 LSTA Paris 6 4 Institut de Mathématiques de Toulouse maugis/capushe.html 22 mai 2012

Paris-Sud 11 2 INRIA Saclay Île de France Projet SELECT 3 LSTA Paris 6 4 Institut

2 2 / 44 Plan 1 Théorie 2 Heuristique de pente 3 Package CAPUSHE DDSE Djump Capushe

3 3 / 44 Introduction

4 4 / 44 Plan 1 Théorie 2 Heuristique de pente 3 Package CAPUSHE DDSE Djump Capushe

5 5 / 44 n-échantillon X 1,..., X n de R d Paramètre d intérêt s S Fonction de contraste γ : S R d R telle que s argmin t S E X [γ(t, X)]

6 6 / 44 Contraste empirique t S, γ n (t) = 1 n L estimateur ŝ de s : ŝ argmin t S γ n (t). n γ(t, X i ) i=1

7 7 / 44 Famille de modèles (S m ) m M de dimension respective D m Modèle oracle : m argmin m M E X [ l ( s, ŝm )] où l (s, t) = E X [γ(t, X)] E X [γ(s, X)]

8 8 / 44 Famille de modèles (S m ) m M de dimension respective D m Modèle oracle : m argmin m M E X [ l ( s, ŝm )] où l (s, t) = E X [γ(t, X)] E X [γ(s, X)] crit(m) = γ n (ŝ m )

9 9 / 44 Famille de modèles (S m ) m M de dimension respective D m Modèle oracle : m argmin m M E X [ l ( s, ŝm )] où l (s, t) = E X [γ(t, X)] E X [γ(s, X)] Fonction de pénalité pen : M R + telle que le modèle m minimisant le critère pénalisé associé crit(m) = γ n (ŝ m ) + pen(m) ait un risque E X [ l(s, ŝ m ) ] proche de celui de l oracle.

pénalité pen : M R + telle que le modèle m minimisant le critère pénalisé associé

10 10 / 44 Exemple : mélange gaussien s est la densité inconnue de l échantillon. S m ensemble des mélanges sphérique avec m composantes. X m p i N (µ i, σ i I 3 ) i=1 4m + (m 1) paramètres D m est le nombre de paramètres libres. La fonction de contraste est γ(θ) = log f (X; θ) ŝ m = θ maximisant θ log f (X 1,..., X n ; θ S m )

X m p i N (µ i, σ i I 3 ) i=1 4m + (m 1) paramètres D m est le nombre de

11 11 / 44 Plan 1 Théorie 2 Heuristique de pente 3 Package CAPUSHE DDSE Djump Capushe

12 12 / 44 Forme de la pénalité pen shape La pénalité à choisir est de la forme pen(m) = κ pen shape (m) Baudry, J.-P., Maugis, C. & Michel, B. (2011) Pour les mélanges gaussiens : pen shape (m) = κd m

13 13 / 44 Heuristique de pente Birgé et Massart (2006) pen min (m) = κ min pen shape (m) telle que crit κ (m) = γ n (ŝ m ) + κ pen shape (m) sélectionne un modèle avec une complexité déraisonnable si κ < κ min raisonnable si κ > κ min

14 14 / 44 Pénalité optimale pen opt (m) = scoef pen min (m) = scoef κ min pen shape (m)

15 15 / 44 Djump C m(κ) la complexité du modèle minimisant le critère crit κ ( ) κ C m(κ) doit faire un saut au voisinage du κ min

16 16 / 44 DDSE γ n (ŝ m ) γ n (s) E X [l(s, s m )] κ min pen shape (m)

17 17 / 44 Plan 1 Théorie 2 Heuristique de pente 3 Package CAPUSHE DDSE Djump Capushe

18 18 / 44 Données

19 19 / 44 Plot

20 20 / 44 Plot

21 21 / 44 Commande

22 22 / 44 Commande

23 23 / 44 Commande

24 24 / 44 Validation

25 25 / 44 Validation

26 26 / 44 Validation

27 27 / 44 Validation

28 28 / 44 Validation

29 29 / 44 Plot

30 30 / 44 Plot

31 31 / 44 C tresh

32 32 / 44 C tresh

33 33 / 44 C AreaJump

34 34 / 44 C AreaJump

35 35 / 44 Commande

36 36 / 44 Commande

37 37 / 44 Commande

38 38 / 44 Commande

39 39 / 44 Commande

40 40 / 44 Commande

41 41 / 44 Plot

42 42 / 44 Plot

43 43 / 44

44 44 / 44 Birgé, L. et Massart, P. (2001). Gaussian model selection. Journal of the European Mathematical Society, 3(3) : Birgé, L. et Massart, P. (2006). Minimal penalties for gaussian model selection. Probability Theory and Related Fields, 138(1-2) : Lebarbier, E. (2005). Detexting multiple change-points in the mean of gaussian process by model selection. Signal Processing, 85(4) : Massart, P. (2007). Concentration Inequalities and Model Selection. École d été de Probabilités de SAint-Flour Lecture Notes in Mathematics. Springer. Maugis, C. et Michel, B. (2009). A non-asymptotic penalized criterion for gaussian mixture model selection. ESAIM : P & S URL http ://hal.inria.fr/docs/00/28/50/31/pdf/rr-6549.pdf Baudry, J.-P., Maugis, C. and Michel, B. (2011) Slope Heuristics : Overview and Implementation. Statistics and Computing, Vol 22(2),

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