Régimes transitoires des systèmes du second ordre ; Oscillateurs harmoniques et oscillateurs amortis. Table des matières.

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1 Table des matières Chapitre 8 Régimes transitoires des systèmes du second ordre ; Oscillateurs harmoniques et oscillateurs amortis. 1 Trois problèmes, une équation Le circuit LC Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort Pendule simple L oscillateur harmonique L équation différentielle de l oscillateur harmonique Résolution de l équation différentielle de l oscillateur harmonique Retour sur le circuit LC Retour sur la masse suspendu au ressort (travaux dirigés) Retour sur le pendule simple Deux exemples d oscillateurs amortis Le circuit RLC série Masse suspendue à un ressort avec frottement fluide L équation différentielle de l oscillateur amorti Solution générale de l EDL2, comme somme de la solution générale de l EDLH2 et de la solution particulière de l EDL La forme de la solution dépend du facteur de qualité Cas Q < 1 soit > 0 : le régime apériodique Cas Q = 1 soit = 0 : le régime critique Cas Q > 1 soit < 0 : le régime pseudo-périodique Cas Q 1 soit 0 : l oscillateur harmonique très peu amorti Résumé

2 Les prérequis du lycée Fonction exponentielle, fonctions trigonométriques Dérivées, primitives et intégrales Mécanique (système, référentiel, bilan des forces, lois de Newton) Les prérequis de la prépa Signaux sinusoïdaux, période, fréquence, pulsation Lois de Kirchhoff Loi d Ohm, courant à travers un condensateur, tension aux bornes d une bobine Puissance et énergie consommées par un dipôle Équations différentielles 2/34 19 novembre 2014

3 1 Trois problèmes, une équation 1.1 Le circuit LC Description du circuit On branche en série une bobine d inductance L et un condensateur C initialement chargé (u C (t) = E) séparés par un interrupteur. i L C u C À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. Établissement de l équation différentielle (Démo à savoir refaire par coeur) D après la loi des mailles u L (t) + u C (t) = 0 d après l expression de la tension aux bornes d une bobine u L (t) = L di(t) dt et d après l expression du courant traversant un condensateur D où i(t) = C du C(t) dt LC d2 u C (t) dt 2 + u C (t) = 0 En posant la pulsation propre du circuit ω 0 = 1 LC, on trouve d 2 u C (t) dt 2 + ω 2 0u C (t) = 0 L évolution de la tension aux bornes du condensateur soumis à un échelon de tension, dans un circuit LC, est décrite par l équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants d 2 u C (t) dt 2 + ω 2 0u C (t) = 0 où ω 0 = 1 LC est la pulsation propre du circuit, C la capacité du condensateur, L l inductance de la bobine. 3/34 19 novembre 2014

4 1.2 Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Une masse m attachée à un ressort horizontal de constante de raideur k, de longueur à vide l 0 peut se déplacer sans frottement selon l axe Ox. On l écarte de sa position d équilibre x = 0. À l instant t = 0, on lâche la masse, sans vitesse initiale, de la position x = X 0. Bilan des forces Bilan des forces extérieures s appliquant sur la masse m Le poids P = m g = mg u z, La force de rappel élastique (ou force de Hooke) F = k(l l 0 ) u x = kx u x, La réaction normale du support R = R u z, Les frottements, négligés ici. Établissement de l équation différentielle du mouvement (Démo à savoir refaire par coeur) D après le principe fondamental de la dynamique (ou seconde loi de Newton) On projette cette relation sur l axe Ox m a(m) /Rg = P + F + R En posant la pulsation propre ω 0 = k m mẍ = kx, on trouve ẍ + ω 2 0x = 0 L évolution de la position d une masse attachée à un ressort horizontal, sans frottement, est décrite par l équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants où ω 0 = masse. k m ẍ + ω 2 0x = 0 est la pulsation propre du système, k la raideur du ressort, m la masse de la 4/34 19 novembre 2014

5 1.3 Pendule simple Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Un point matériel M de masse m est accroché au bout d un fil inextensible de longueur l. L autre extrémité du fil est fixe dans le référentiel de l observateur. O θ À t = 0, le point est lâché avec la vitesse angulaire initiale Ω 0 de la position θ = 0. M Bilan des forces Bilan des forces extérieures s appliquant sur la masse m Le poids P = m g = mg u z, La tension T du fil, Les frottements, négligés ici. Établissement de l équation différentielle du mouvement (Démo à savoir refaire par coeur) D après le théorème de l énergie mécanique et par définition de l énergie mécanique de m dt = 0 E m = E c + E p p = 1 2 ml2 θ2 mgl cos θ + C d où de m dt = 0 ml 2 θ θ + mgl θ sin θ = 0 En éliminant la solution triviale θ = 0 (pas d oscillation), et en se plaçant dans l hypothèse des petites oscillations (θ 1) et en posant la pulsation propre ω 0 = g on obtient l θ + ω 2 0θ = 0 5/34 19 novembre 2014

6 Les oscillations de faible amplitude d un pendule simple sont décrites par l équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants θ + ω 2 0θ = 0 où ω 0 = g l est la pulsation propre du système, g l accélération de la pesanteur, m la masse du pendule. 2 L oscillateur harmonique 2.1 L équation différentielle de l oscillateur harmonique Trois problèmes distincts de physique peuvent être décrit par une même équation différentielle. Définition : Cette équation différentielle linéaire d ordre 2 est appelée équation différentielle de l oscillateur harmonique. Par conséquent : Exemple Définition : On appelle oscillateur harmonique à une dimension tout système physique dont la grandeur y évoluant dans le temps (tension, courant, position, angle...) est décrite par une équation différentielle linéaire d ordre 2 de la forme d 2 y(t) dt 2 + ω 2 0y(t) = C où ω 0 est appelée pulsation propre du système, et C est un réel. Une masse ponctuelle oscillant sans frottement à l extrémité d un ressort horizontal. Une masse ponctuelle oscillant sans frottement à l extrémité d un ressort vertical. Le pendule d une horloge dans le cas d oscillations de faible amplitude. Vibrations d un diapason. Vibrations des atomes : à l échelle atomique, on modélise les liaisons par des ressorts. On rencontre également des oscillateurs harmoniques en électricité (circuit LC). 2.2 Résolution de l équation différentielle de l oscillateur harmonique Comme pour les équations différentielles linéaires d ordre 1, la solution générale y d une équation différentielle linéaire d ordre 2 est la somme de la solution générale y 0 de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2, et d une solution particulière y 1 de l équation différentielle linéaire d ordre 2 : y : t y 0 (t) + y 1 (t). 6/34 19 novembre 2014

7 La solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation ω 0 la pulsation propre du système y 0 : t Y 0 cos(ω 0 t + ϕ) où Y 0 est l amplitude et ϕ la phase à l origine, toutes deux des réels à déterminer à partir des conditions initiales. La solution générale y 0 peut également se mettre sous la forme y 0 (t) : t A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) où A et B sont deux réels à déterminer à partir des conditions initiales. Ces deux formes sont équivalentes : Y 0 = A 2 + B 2 et tan ϕ = B A La solution particulière de l équation différentielle linéaire d ordre 2 avec second membre, est la constante y 1 (t) : t C. ω Retour sur le circuit LC Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales L évolution de la tension u C aux bornes du condensateur est décrite par l équation différentielle linéaire d ordre 2 (Démo à savoir refaire par coeur) d 2 u C (t) dt 2 + ω 2 0u C (t) = 0 7/34 19 novembre 2014

8 La solution générale est de la forme t 0, u C (t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t), (A, B) R 2 Première condition initiale : à t = 0 le condensateur est initialement chargé. Par continuité de la tension aux bornes de C, elle vaut u C (0 + ) = E à t = 0 + u C (t = 0 + ) = 0 A cos(ω 0 0) + B sin(ω 0 0) = E A = E Deuxième condition initiale : à t = 0 le courant traversant la bobine (et donc le circuit) est nul. Par continuité du courant traversant la bobine, i est également nul à t = 0 + i(t = 0 + ) = 0 C du C(t) dt = ω 0 CE sin(ω 0 0) + ω 0 CB cos(ω 0 0) + 0 = 0 B = 0 D où t 0, u C (t) = E cos ω 0 t La tension aux bornes du condensateur est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude E et de pulsation ω 0. On obtient l expression du courant à partir de l expression de la tension } t 0, u C (t) = E cos ω 0 t C t R, i(t) = C du C(t) t 0, i(t) = L E sin ω 0t dt Le courant traversant le circuit est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude pulsation ω 0. Il est en quadrature avance sur la tension aux bornes de C. C L E et de même 8/34 19 novembre 2014

9 On obtient l expression de la tension aux bornes de la bobine à partir de l expression du courant C t 0, i(t) = E sin ω L 0t t R, u L (t) = L di(t) t 0, u L(t) = E cos ω 0 t dt La tension aux bornes de la bobine est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude E et de même pulsation ω 0. Elle est opposition de phase par rapport à la tension u C (t). Aspect énergétique E C = 1 2 Cu2 C(t) = 1 2 CE2 cos 2 (ωt) E L = 1 2 Li2 = 1 2 L( C L E)2 sin 2 (ωt) = 1 2 CE2 sin 2 (ωt) On constate que E C + E L est constant dans le temps. Si la résistance est nulle, le régime est non amorti. L énergie n est pas dissipée et le système oscille à l infini. Elle est transférée du condensateur à la bobine, puis de la bobine au condensateur... 9/34 19 novembre 2014

10 Les limites du modèle de l oscillateur harmonique : dissipation de l énergie (Prise de note) 2.4 Retour sur la masse suspendu au ressort (travaux dirigés) Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales L évolution de la position x(t) est décrite par l équation différentielle linéaire d ordre 2 (Démo à savoir refaire par coeur) ẍ(t) + ω 2 0x(t) = 0 10/34 19 novembre 2014

11 solution générale est de la forme La t 0, x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t), (A, B) R 2 Première condition initiale : à t = 0 la masse est libérée de la position x(0) = X 0. x(t = 0) = 0 A cos(ω 0 0) + B sin(ω 0 0) = X 0 A = X 0 Deuxième condition initiale : à t = 0 la masse est libérée sans vitesse initiale. ẋ(0) = 0 dx(t) dt = 0 0 ω 0 X 0 sin(ω 0 0) + ω 0 B cos(ω 0 0) = 0 B = 0 D où t 0, x(t) = X 0 cos ω 0 t La position de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude X 0 et de pulsation ω 0. On obtient l expression de la vitesse à partir de la position } t 0, x(t) = X 0 cos ω 0 t t R, v(t) = dx(t) t 0, v(t) = ω 0 X 0 sin ω 0 t dt La vitesse de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude ω 0 X 0 et de même pulsation ω 0. Elle est en quadrature avance sur la position. 11/34 19 novembre 2014

12 Portrait de phase Traçons le portrait de phase v = f(x)). On montre que les équations paramétriques ci-dessous sont des équations d ellipses { x(t) = X0 cos ω 0 t v(t) = ω 0 X 0 sin ω 0 t Or, en pratique, il y a toujours des frottements. L oscillateur s amortit. Son portrait de phase est alors une spirale : vitesse et position tendent vers 0 avec le temps 12/34 19 novembre 2014

13 2.5 Retour sur le pendule simple Résolution de l équation différentielle à l aide des conditions initiales L évolution de l angle θ(t) est décrite par l équation différentielle linéaire d ordre 2 θ(t) + ω0θ(t) 2 = 0 (Démo à savoir refaire par coeur) solution générale est de la forme La t 0, θ(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t), (A, B) R Première condition initiale : à t = 0 la masse est libérée de la position θ(0) = 0. θ(t = 0) = 0 A cos(ω 0 0) + B sin(ω 0 0) = 0 A = 0 Deuxième condition initiale : à t = 0 la masse est libérée avec la vitesse angulaire Ω 0. 13/34 19 novembre 2014

14 θ(0) = Ω 0 dx(t) dt = Ω 0 0 ω 0 B cos(ω 0 0) = Ω 0 B = Ω 0 ω 0 D où t 0, θ(t) = Ω 0 ω 0 sin ω 0 t L angle de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude Ω 0 ω 0 et de pulsation ω 0. On obtient l expression de la vitesse angulaire à partir de la position t 0, θ(t) = Ω 0 ω 0 cos ω 0 t dθ(t) t R, θ(t) = t 0, θ(t) = Ω0 cos ω 0 t dt La vitesse angulaire de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d amplitude Ω 0 et de même pulsation ω 0. Elle est en quadrature avance sur la position. Remarques l Dans l approximation des faibles oscillations, la période d oscillation T = 2π ne dépend pas de g l amplitude. Cette amplitude ne dépend pas de la masse du système, mais uniquement de la longueur l du pendule. Application 1 : Battre la seconde Déterminer la longueur de la corde permettant au pendule de battre la seconde. Les limites du modèle de l oscillateur harmonique : apparition d une non-linéarité Pour de petites vitesses initiales, l amplitude reste faible, les angles petits, et la période d oscillation ne dépend pas de l amplitude. 14/34 19 novembre 2014

15 Pour de grandes vitesses initiales, l amplitude devient importante, les angles ne sont plus petits et l équation différentielle n est plus linéaire : la période d oscillation dépend de l amplitude. Pour de faibles amplitudes, le portrait de phase est une ellipse. Mais pour de grandes amplitudes, le portrait de phase s allonge lorsqu on quitte le domaine linéaire. 15/34 19 novembre 2014

16 3 Deux exemples d oscillateurs amortis Nous venons de voir que l oscillateur harmonique n est qu un modèle idéalisé de la réalité. Des deux hypothèses linéarité du système système non dissipatif nous allons abandonner la seconde dans cette partie. 3.1 Le circuit RLC série Description du montage RLC série On branche en série un générateur de f.e.m.e, un interrupteur, un résistor de résistance R et, une bobine d inductance L et un condensateur C initialement déchargé. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. u R R i E L C u C u L Établissement de l équation différentielle vérifiée par la tension u C (t) (Démo à savoir refaire par coeur) 16/34 19 novembre 2014

17 D après la loi d additivité des tensions Or d après la loi d Ohm E = u R (t) + u C (t) + u L (t) u R (t) = Ri(t) et d après l expression du courant traversant un condensateur i(t) = C du C(t) dt et d après l expression de la tension aux bornes d une bobine u L = L di dt. D où on obtient l équation différentielle linéaire d ordre 2 décrivant le comportement de la tension u C d 2 u C dt 2 + R L du C dt + 1 LC u C(t) = 1 LC E On pose ω 0 = 1 LC la pulsation propre du système, et Q = Lω 0 obtient ainsi la forme canonique. = 1 R RCω 0 le facteur de qualité. On d 2 u C + ω 0 du C dt 2 Q dt + ω 2 0u C (t) = ω 2 0E. 17/34 19 novembre 2014

18 Définition : Le circuit RLC est un circuit linéaire du second ordre car son évolution est décrite par une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficient constant, dont la forme canonique est d 2 u C + ω 0 du C dt 2 Q dt Il est caractérisé par deux grandeurs Sa pulsation propre ω 0 = 1 LC Son facteur de qualité Q = Lω 0 R = 1 RCω 0 + ω 2 0u C (t) = ω 2 0E 3.2 Masse suspendue à un ressort avec frottement fluide Description du système On se placera dans le référentiel terrestre R g que l on supposera galiléen. Une masse m attachée à un ressort horizontal de constante de raideur k, de longueur à vide l 0 peut se déplacer selon l axe Ox. On l écarte de sa position d équilibre x = 0. À l instant t = 0, on lâche la masse, sans vitesse initiale, de la position x = X 0. Bilan des forces Bilan des forces extérieures s appliquant sur la masse m Le poids P = m g = mg u z, La force de rappel élastique (ou force de Hooke) F = k(l l 0 ) u x = kx u x, La réaction normale du support R = R u z, Les frottements fluides de la forme f = α v = αẋ u x. Établissement de l équation différentielle du mouvement (Démo à savoir refaire par coeur) D après le principe fondamental de la dynamique (ou seconde loi de Newton) On projette cette relation sur l axe Ox m a(m) /Rg = P + F + R En posant la pulsation propre ω 0 = mẍ = kx αẋ k m, et le facteur de qualité Q = ω 0 m α ẍ + ω 0 Q ẋ + ω2 0x = 0 on trouve 18/34 19 novembre 2014

19 L évolution de la position d une masse attachée à un ressort horizontal, avec frottements fluides, est décrite par l équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ẍ + ω 0 Q ẋ + ω2 0x = 0 k où ω 0 = est la pulsation propre du système, Q = ω m 0 m le facteur de qualité, k la raideur α du ressort, m la masse de la masse, α le coefficient de frottements. 4 L équation différentielle de l oscillateur amorti Ces deux problèmes sont décrits par la même équation différentielle linéaire d ordre 2. Nous appelerons cette équation différentielle l équation différentielle de l oscillateur amorti. Définition : On appelle système linéaire du second ordre tout système dont l évolution peut être décrite par une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficient constant, dont la forme canonique est Il est caractérisé par deux grandeurs Sa pulsation propre ω 0 Son facteur de qualité Q d 2 y dt + ω 0 dy 2 Q dt + ω2 0y = C Remarques En sciences industrielles, vous trouverez une autre forme canonique d 2 y dt + 2ξω dy 2 0 dt + ω2 0y = C avec ξ = 1 le coefficient d amortissement. 2Q Deux matières, deux notations, pourquoi? Parce qu on n étudie pas la même chose. En physique, on met l accent sur la qualité d un oscillateur (sa précision, sa faible dissipation) ou d un filtre (bande passante étroite). En SI, on met l accent sur la stabilité du système et sur le dépassement de la consigne, qui dépendent de son amortissement. Application 2 : Pendule amorti Mettre l équation différentielle du pendule amorti sous forme canonique : ml 2 θ + αl 2 θ + mglθ = Solution générale de l EDL2, comme somme de la solution générale de l EDLH2 et de la solution particulière de l EDL2 Comme pour les équations différentielles linéaires d ordre 1, la solution générale y d une équation différentielle linéaire d ordre 2 est la somme de la solution générale y 0 de l équation différentielle 19/34 19 novembre 2014

20 linéaire homogène d ordre 2, et d une solution particulière y 1 de l équation différentielle linéaire d ordre 2 : y(t) : t y 0 (t) + y 1 (t). 4.2 La forme de la solution dépend du facteur de qualité Le polynôme caractéristique associé La solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 dépend du facteur de qualité. Pour déterminer sa forme, nous allons rechercher les racines du polynôme caractéristique de l équation différentielle. Définition : Soit l équation différentielle linéaire d ordre 2 ÿ + ω 0 Q ẏ + ω2 0y = 0. On appelle polynôme caractéristique associé, le trinôme en r r 2 ω 0 Q r + ω2 0 Convergence ou divergence des solutions : la stabilité du système (anticipation de la spé) (Prise de notes) On s assurera d abord que tous les coefficients du polynôme ont le même signe. Dans le cas contraire, les solutions seront divergentes : le système est instable. Ce cas sera étudier en détail en deuxième année. Nous nous limiterons ici au cas des systèmes stables. Recherche des racines du polynôme caractéristique Le discriminant du polynôme caractéristique vaut On distingue alors 3 cas Q < 1 2 Q = 1 2 = ω2 0 Q 2 4ω2 0 = ω 2 0 ( ) 1 Q 4. 2 soit > 0 : le trinôme possède deux racines réelles r 1 = ω ( ) Q Q 4 2 et r 2 = ω 0 2 soit = 0 : le trinôme possède une racine réelle double ( ) 1 1 Q + Q 4 2 r 0 = ω 0 Q > 1 soit < 0 : le trinôme possède deux racines complexes conjuguées 2 r 1 = ω ( Q j 1Q ) et r 2 2 = ω ( Q + j 1Q ) 2 où j est l imaginaire pur de module 1 et d argument π. 2 20/34 19 novembre 2014

21 Le type de régime En fonction du signe du discriminant du polynôme caractéristique, la solution générale prend trois formes différentes. Q < 1 soit > 0 : le régime sera apériodique (paragraphe 4.3) 2 Q = 1 soit = 0 : le régime sera critique (paragraphe 4.4) 2 Q > 1 soit < 0 : le régime sera pseudo-périodique (paragraphe 4.5) Cas Q < 1 2 soit > 0 : le régime apériodique Forme de la solution Lorsque le polynôme caractéristique possède deux racines réelles, la solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est la somme de deux fonctions exponentielles du temps y 0 : t A exp (r 1 t) + B exp (r 2 t) où A et B sont deux constantes réelles à déterminer à l aide des conditions initiales. Durée du régime apériodique Recherchons l ordre de grandeur du temps caractéristique d établissement du régime établi. Au bout d un certain temps Par conséquent exp (r 1 t) << exp (r 2 t) pour r 2 > r 1 t 1, y 0 (t) = A exp (r 1 t) + B exp (r 2 t) B exp (r 2 t) La durée du régime apériodique est donc de quelques τ A = 1 r 2. Exercice 1 : RLC parallèle Résoudre l exercice du TD. 4.4 Cas Q = 1 2 soit = 0 : le régime critique 21/34 19 novembre 2014

22 Forme de la solution Lorsque le polynôme caractéristique possède une racine double réelle, la solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est le produit d une fonction exponentielle du temps et d une fonction affine du temps y 0 : t (A + Bt) exp ( ω 0 t) où A et B sont deux constantes réelles à déterminer à l aide des conditions initiales. Durée du régime critique La durée du régime critique est donc de quelques τ C = 1 ω 0. On notera que τ C < τ A. 4.5 Cas Q > 1 2 soit < 0 : le régime pseudo-périodique Forme de la solution Lorsque le polynôme caractéristique possède deux racines complexes, la solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est la somme de deux fonctions exponentielles complexes du temps y 0 : t A exp (r 1t) + B exp (r 2t) où A et B sont deux constantes réelles à déterminer à l aide des conditions initiales. Une forme plus aisée pour l interprétation physique Lorsque le polynôme caractéristique possède deux racines complexes, la solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est de la forme ( y 0 : t [A cos (Ωt) + B sin (Ωt)] exp t ) τ où Ω = ω Q est la pseudo-pulsation du système, τ = A le temps caractéristique du 2 Q2 ω 0 système A et B sont deux constantes réelles à déterminer à l aide des conditions initiales. 22/34 19 novembre 2014

23 Durée du régime pseudo-périodique La durée du régime pseudo-périodique est donc de quelques τ P = 2Q ω 0. On notera que τ P > τ C. Application : Exercice 8 : RLC série Terminer l exercice du TD. Interprétation graphique, décrément logarithmique La tension aux bornes du condensateur a la forme d une sinusoïde amortie Définition : La tension u C (t) décroit à chaque pseudo-période : u C (t + T ) = u C (t)e T τ. Ce facteur est constant dans le temps. On pose alors le décrément logarithmique δ tel que δ = ln On obtient donc u C (t + T ) = u C (t)e δ. u C (t) u C (t + T ) = T τ = 2π 4Q2 1 Remarques Cette quantité, mesurable, permet d estimer le facteur de qualité du circuit RLC. Pour une mesure plus précise, on peut utiliser plusieurs pseudo-périodes : nδ = ln u C (t) u C (t + nt ) Portrait de phase Application 3 : portrait de phase Commenter l allure du portrait de phase ci-dessous. 23/34 19 novembre 2014

24 4.6 Cas Q 1 2 soit 0 : l oscillateur harmonique très peu amorti Forme de la solution Ici, le polynôme caractéristique possède toujours deux racines complexes conjuguées, la solution générale de l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 est de la forme ( y 0 : t [A cos (ω 0 t) + B sin (ω 0 t)] exp t ). τ En effet Ω = ω Q ω 0 4 = ω0. La pseudo-pulsation du système est proche de la pulsation 2 2 propre du système. Interprétation graphique, décrément logarithmique Il est alors possible de déterminer rapidement, sur le graphique, la valeur de la pseudo-période et d en déduire la pulsation propre du système. Le décrément logarithmique nous donne la valeur du facteur de qualité. 24/34 19 novembre 2014

25 Application 4 : Décrément logarithmique et détermination du coefficient de frottement Une masse m est attachée à un ressort vertical de raideur k = 10 N.m 1 et de longueur à vide l 0 = 10 cm, fixé au point O. En plus de son poids et de la force de rappel élastique, la masse est soumise à une force de frottement fluide F = h v. Un capteur fournit l évolution de l altitude z(t) de la masse par rapport à sa position d équilibre au cours du temps. 1 À partir du relevé de z(t), déterminer la valeur de la masse m et du coefficient de frottement h. 25/34 19 novembre 2014

26 4.7 Résumé équation différentielle : Polynôme caractéristique : ÿ + ω 0 Q ẏ + ω2 0y = 0 r 2 + ω 0 Q r + ω2 0 Régime apériodique critique pseudo-périodique Facteur de qualité : Racines : Q < 1 2 soit > 0 Q = 1 2 soit = 0 Q > 1 2 soit < 0 r 1,2 = ω ( ) Q ± Q 4 2 Solution générale : r 0 = ω 0 r 1,2 = ω 0 2 ( 1 4 Q ± j 1Q ) 2 y 0 : t Ae r1t + Be r 2t Temps caractéristique : y 0 : t (A + Bt) e ω 0t y 0 : t [A cos (Ωt) + B sin (Ωt)] e t τ τ A = 1 r 2 τ C = 1 ω 0 τ P = 2Q ω 0 26/34 19 novembre 2014

27 Pseudo-pulsation : Ω = ω Q 2 27/34 19 novembre 2014

28 Le programme : ce qu il faut savoir faire Notions et contenus 1. Oscillateur harmonique Mouvement horizontal sans frottement d une masse accrochée à un ressort linéaire sans masse. Position d équilibre. Capacités exigibles Établir et reconnaître l équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique. La résoudre compte tenu des conditions initiales. Caractériser le mouvement en utilisant les notions d amplitude, de phase, de période, de fréquence, de pulsation. 7. Oscillateurs amortis Circuit RLC série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux. Contrôler la cohérence de la solution obtenue avec la conservation de l énergie mécanique, l expression de l énergie potentielle élastique étant ici affirmée. Mettre en évidence la similitude des comportements des oscillateurs mécanique et électronique. Réaliser l acquisition d un régime transitoire du deuxième ordre et analyser ses caractéristiques. Analyser, sur des relevés expérimentaux, l évolution de la forme des régimes transitoires en fonction des paramètres caractéristiques. Prévoir l évolution du système à partir de considérations énergétiques. Prévoir l évolution du système en utilisant un portrait de phase fourni. Écrire sous forme canonique l équation différentielle afin d identifier la pulsation propre et le facteur de qualité. Connaître la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité. Déterminer la réponse détaillée dans le cas d un régime libre ou d un système soumis à un échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique. 28/34 19 novembre 2014

29 Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, selon la valeur du facteur de qualité. Outils mathématiques 2. Équations différentielles Équations différentielles linéaires à coefficients. Équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants : y + ay + by = f(x) Capacités exigibles Identifier l ordre. Mettre l équation sous forme canonique. (). Utiliser l équation caractéristique pour trouver la solution générale de l équation sans second membre. Prévoir le caractère borné ou non de ses solutions (critère de stabilité). Trouver l expression des solutions lorsque f(x) est constante ou de la forme A.exp(λx) avec λ complexe. Trouver la solution de l équation complète correspondant à des conditions initiales données. Représenter graphiquement cette solution. 29/34 19 novembre 2014

30 TD n 8 - Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 1 : Circuit RLC parallèle Soit un circuit RLC comprenant une source de courant de c.e.m I, un condensateur de capacité C = 1, F, une bobine d inductance L = 1, H, et un résistor de résistance R = 100 Ω en parallèle. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. 1 Déterminer l évolution temporelle de la tension u(t), ainsi que des trois courants i L (t), i R (t) et i C (t). i L i R i C I L R C u Solutions : cf. cours Exercice 2 : Détermination des paramètres d un ressort On considère le portrait de phase d un oscillateur amorti composé d une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une ofrce de frottement fluide λ v ( v étant la vitesse de la masse m et x est l écart à la position d équilibre). L étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. 1 Déterminer la nature du régime de l oscillateur. 2 Déterminer par lecture graphique : la valeur initiale de la position x 0 ; la valeur finale de la position x f ; la pseudo-période T a ; le décrément logarithmique. 3 En déduire le facteur de qualité Q de l oscillateur, sa période pulsation propre ω 0, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ. Faire l application numérique. Exercice 3 : Mécanique : Détermination d un coefficient de viscosité Un sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Déplacée dans un liquide de coefficient de viscosité η, la sphère est soumise à une force de frottement

31 donnée par la formule de Stokes f = 6πηr v, où v est la vitesse de sphère. 1 Écrire l équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire l expression de la pseudopériode T. 2 Dans l air, où les frottements sont négligeables, la période des oscillations est T 0. Déterminer le coefficients de viscosité η du liquide en fonction de m, r, T et T 0. Solutions : 1) ẍ + 2σẋ + ω 2 0x = 0 avec 2σ = 6πηr m et ω 0 = k m, T = 2π ω 2 0 σ 2 ; 2m 2) η = 3r 1 T T 2. Exercice 4 : Mécanique : Suspension d un véhicule On considère un véhicule de masse m. Le système de suspension de ce véhicule peut être représenté par l association d un ressort, de constante de raideur k et de longueur à vide l 0, et d un amortisseur provoquant une force de frottement de type fluide f = λ v. Toute autre source de frottements est négligée. 1 En supposant que le véhicule ne change pas d altitude, déterminer la profondeur maximale h max d un nid de poule à partir de laquelle les roues ne sont plus en contact avec le sol. On négligera le poids du système de suspension et des roues. 2 Établir l équation différentielle du mouvement vertical du véhicule lorsqu il est écarté de sa position d équilibre. 3 Déterminer le coefficient λ pour que le régime d amortissement soit critique. 4 L usure des amortisseurs due au temps entraîne une diminution du coefficient λ d un cinquième de sa valeur initiale : 31/34 19 novembre 2014

32 Qualifier le régime d amortissement dans ce cas. ( λ = λ 1 1 ) 5 5 Un trou dans la chaussée écarte le ressort de sa position d équilibre d une longueur h 0. En considérant que la vitesse verticale est nulle en h 0, résoudre l équation différentielle régissant l évolution du mouvement vertical du véhicule. Déterminer le temps nécessaire pour que les oscillations du véhicule deviennent négligeables. Conclusion. Applications numériques : m = 800 kg ; k = N.m 1 ; l 0 = 50 cm. On considérera les oscillations du véhicule négligeables lorsque leur amplitude maximale est divisée par un facteur e /34 19 novembre 2014

33 Pour s entraîner seul(e) - 8. Régimes transitoires des circuits du second ordre Exercice 5 : Questions de cours 1 Donner la forme canonique d une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficient constant. 2 Donner son polynôme caractéristique. 3 Donner la forme des solutions de cette équation différentielle linéaireen fonction de la valeur du facteur de qualité. 4 Donner le temps caractéristique d amortissement dans chacun des cas. 5 Définir le décrément logarithmique et établir son expression. Solutions : cf. cours Exercice 6 : Circuit RLC sans perte On considère le circuit ci-contre. t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0 et t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l équation différentielle vérifiée par u c (t) puis la résoudre. 3 Faire le bilan énergétique. Montrer que l énergie dans le circuit est constante. 4 Déduire de la question précédente le portrait de phase de l oscillateur associé à la variable q(t). Exercice 7 : Prise en compte de la résistance On considère le circuit ci-contre. L = 10 mh, C = 0, 1 µf t < 0 K 1 est fermé et K 2 est ouvert ; t = 0 on ferme K 2 et on ouvre K 1. 1 Pour t = 0, t = 0 + déterminer u c (t), i(t) et u L (t). 2 Pour t > 0, déterminer l équation différentielle vérifiée par u c (t) en fonction du facteur de qualité et de la pulsation propre. 3 Déterminer la résistance critique RC, en déduite l expression de u c (t) pour le régime critique et déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 4 On suppose R = 80 Ω. Le régime est pseudo-périodique, pourquoi? Déterminer la pseudo-pulsation, le coefficient d amortissement ξ, u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 5 On suppose R = 8000 Ω. Le régime est apériodique, pourquoi? Déterminer u c (t) et un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 6 Comparer suivant les valeurs de R les différentes durées du régime transitoire.

34 Exercice 8 : Circuit RLC série On branche en série un générateur de f.e.m.e, un interrupteur, un résistor de résistance R et, une bobine d inductance L et un condensateur C initialement déchargé. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur. u R R i E L C u C u L 1 Déterminer l évolution temporelle de la tension u c (t). Solutions : cf. cours 34/34 19 novembre 2014