Barème approximatif, pour une note sur 20 : pb 1 : 10 points ; pb 2 10 points ; pb 3 : 10 points

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1 TSI 2 DS MACHINE DITHERME ET FLUIDE EN ECOULEMENT PERMANENT 2 heures 3 oct 8 Si vous avez eu entre 0 et 5 au premier DS vous pouvez choisir de traiter le problème (cours et TD déjà faits en classe), puis quelques questions du problème 2 ou du problème 3. Le vrai sujet de DS est constitué des problèmes 2 et 3. Barème approximatif, pour une note sur 20 : pb : 0 points ; pb 2 0 points ; pb 3 : 0 points Premier problème Ex : On étudie une pompe à chaleur, machine ditherme cyclique dans laquelle le fluide R34a est l agent thermique. On considère que les températures des sources, constituées de masses d eau contenues dans deux seaux en plastique, varient au cours de l expérience. On suppose également que toutes les évolutions sont réversibles. À la date t=0, on met en marche la pompe à chaleur alors que les deux seaux contiennent chacun me = 4 kg d eau à la même température T0. On note ce la capacité thermique massique de l eau. ) a) faire un schéma de principe de la machine b) Appliquer le premier principe au fluide R34a pour un cycle infinitésimal. c) Appliquer le second principe au fluide R34a pour un cycle infinitésimal. 2) a) Exprimer le transfert thermique élémentaire Qf reçu par le fluide de la part de la source froide en fonction de me, ce et dtf, où dtf est la variation élémentaire de température de la source froide. b) Exprimer le transfert thermique élémentaire Qc reçu par le fluide de la part de la source chaude en fonction de me, ce et dtc, où dtc est la variation élémentaire de température de la source chaude. c) En déduire la relation : dt f + dt c = 0 T f T c d) déterminer la température finale atteinte par l eau dans les deux seaux. Ex 2 Centrale TSI 202 Démonstration Premier principe industriel L hypothèse suivante sera adoptée dans la suite du problème : le régime de fonctionnement de la machine est permanent. 0(t) 0(t+dt) B B B B A A A A Pe Ps D D D D C C C C (t) (t+dt) Le volume de contrôle A BCD définit le système machine ouvert 0. La masse de fluide gazeux contenue dans ce volume est notée m0(t) à la date t et m0(t+dt) à la date t+dt. Le fluide s écoule du réservoir de pression Pe au réservoir de pression Ps (Pe > Ps) : pendant la durée dt, une masse me (contenue dans le volume AA D D) entre par l ouverture de section Se et une masse ms (contenue dans le volume BB C C) sort par l ouverture de section Ss.

2 Le système fermé considéré pour cette étude occupe à l instant t le volume ABCD et à l instant t + dt le volume A B C D. Pour les fluides entrant et sortant, u, h et v désignent respectivement l énergie interne massique, l enthalpie massique et le volume massique. Les grandeurs d échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont : le transfert thermique massique q, le travail massique utile wu fourni à l intérieur de la machine par des pièces mobiles (ailettes ou pistons). a) Établir un bilan de masse pour le système entre les instants t et t + dt. En déduire une relation simple entre me et ms. b) Déterminer en fonction de Pe, Ps, ve et vs le travail wp exercé par les forces de pression sur le système entre les instants t et t + dt. c) En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système entre les instants t et t+dt, établir le premier principe pour un fluide en écoulement permanent, en faisant intervenir les grandeurs massiques. Ex 3. Echangeur de chaleur à deux flux de gaz 2 2 Un flux de gaz de débit massique Dm entre dans l échangeur au niveau avec une température T et une pression P, et ressort au niveau 2 avec une température T2 et la même pression P. Dans le même temps un gaz identique, de même débit Dm, entre dans l échangeur au niveau avec une température T et une pression P, et ressort au niveau 2 avec une température T 2 et la même pression P. Les deux gaz sont en contact thermique étroit dans l échangeur sans pour autant se mélanger. L échangeur est calorifugé de façon que toute la chaleur perdue par l un des gaz soit gagnée par l autre. On néglige les variations de l'énergie potentielle de pesanteur et de l'énergie cinétique. Déterminer la relation entre les températures T, T2, T, T 2. Ex 4 De l azote, assimilé à un gaz parfait diatomique (masse molaire M = 28g/mol, =,4) s écoule en régime permanent dans une turbine avec un débit massique Dm = 5kg/s. A l entrée : pression Pe = 4 bar, vitesse ce = 0m/s A la sortie : pression Ps = bar, vitesse cs = 50m/s La turbine fournit à l extérieur une puissance de 00 kw, le gaz sortant à une température T2 égale à la température extérieure de 298 K. a) Dans l hypothèse où la transformation subie par l azote est isotherme, quelle est la puissance thermique Pth reçue par le gaz? b) calculer la variation d entropie par seconde de l azote, en déduire la création d entropie par seconde pour la turbine.

3 Deuxième problème : pompe à chaleur - CCP TSI 207 Données : Température intérieure : T0 = 20, 0 C, supposée uniforme Température extérieure : T = 5, 0 C, supposée uniforme Capacité thermique de la pièce : C = 3, J K Puissance développée par la pompe à chaleur : P = 300W Aides au calcul (pour tout le problème, pas seulement pour la partie étudiée) 46/ 4, 2 /46 0, 24 5,0/46 0, 46/5,0 9, 2 52/3 7 3/52 5, ln(3/2) 0, 4 L intérieur de la maison est chauffé grâce à une pompe à chaleur cyclique ditherme, ce qui permet notamment de compenser les pertes thermiques de la maison. L intérieur de la maison tient lieu de source chaude à la température T 0 et l extérieur de la maison tient lieu de source froide à la température T. Le système considéré est alors le fluide caloporteur contenu dans la pompe à chaleur. Les transformations qu il subit sont supposées réversibles. On suppose pour le moment qu il n y a aucune perte thermique entre la maison et l extérieur.. Faire un schéma de principe de la pompe à chaleur en représentant le système fluide, la source chaude, la source froide, le travail W fourni au fluide par le moteur de la pompe à chaleur et les transferts thermiques Q C et Q F, reçus algébriquement par le fluide de la part, respectivement, de la source chaude et de la source froide. On précisera le signe de ces transferts algébriques. 2. Définir l efficacité η d une pompe à chaleur 3. En appliquant les deux principes de la thermodynamique au fluide, exprimer l efficacité de la pompe à chaleur en fonction de T 0 et T. Calculer numériquement η. Le système pris en compte maintenant est l air contenu à l intérieur de la maison. On ne considère comme échanges d énergie que le transfert thermique Q C apporté par la pompe à chaleur et le transfert thermique Q dû aux déperditions d énergies. On ne considère plus le régime comme stationnaire. On cherche ici à évaluer les pertes thermiques. On note Q = a.c.(t T ).dt le transfert thermique algébrique et élémentaire avec l extérieur pendant dt, avec C la capacité thermique de la pièce et a une constante positive. La température de la pièce étant initialement T 0, la pompe est arrêtée. La pièce se refroidit et la température tombe à Tf = 5 C au bout de 3h. 4. Commenter le signe de Q. Qui reçoit effectivement ce transfert thermique? 5. Déterminer l unité de a. 6. En faisant un bilan énergétique sur l intérieur de la maison, la pompe à chaleur étant éteinte, montrer qu on obtient une équation différentielle du premier ordre sur la température de la forme dt(t) dt + a.t(t) = B avec B une constante à déterminer. 7. Résoudre cette équation pour exprimer l évolution de T(t). 8. En déduire l expression de a. Faire l application numérique. Pour la suite, on prendra a = 0 3 USI. Une fois la température Tf atteinte, on met de nouveau en marche la pompe à chaleur. 9. Donner la relation liant la puissance P développée par le moteur de la pompe au travail W fourni par celui-ci pendant une durée dt. 0. Déterminer la nouvelle équation différentielle portant sur T(t). On ne cherchera pas à résoudre cette équation différentielle.

4 Troisième problème : générateur à turbine à gaz E3A PSI 20 Le schéma simplifié du générateur à turbine (figure ) est représenté ci-dessous : prise d air atmosphérique carburant (méthane) évacuation des gaz Figure 4 alternateur 2 3 Compresseur Chambre de combustion arbre de transmission Turbine L énergie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l énergie mécanique est récupérée sur l arbre de transmission de la turbine pour entraîner le compresseur et actionner l alternateur. Les éléments de la turbine à gaz (compresseur, chambre de combustion, turbine, échangeurs thermiques) traversés par le fluide en écoulement sont des systèmes ouverts. A / Premier principe pour un fluide en écoulement permanent Ecrire sans démonstration le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire unidimensionnel d un système à une entrée et une sortie. On fera intervenir des grandeurs massiques que l on prendra soin de définir et de positionner sur un schéma illustratif. B / Cycle de Brayton idéal Le fluide utilisé dans les générateurs à turbine à gaz est l air atmosphérique. Les étapes successives du cycle de Brayton réversible décrit par l air sont les suivantes : 2 : l air atmosphérique s engage en () dans le compresseur où il est comprimé de façon isentropique. 2 3 : l air est ensuite admis dans la chambre de combustion où du gaz naturel est injecté et s enflamme. Le fluide est porté à des températures très élevées de façon isobare, sans apport de travail. Sa composition n est pas modifiée. 3 4 : le gaz chaud subit dans la turbine une détente isentropique. Cette détente est utilisée pour produire un travail mécanique dont une partie sert à faire fonctionner le compresseur alors que l autre actionne l alternateur. A la sortie (4) de la turbine, les gaz d échappement sont évacués vers l atmosphère. 4 : le gaz chaud qui s échappe subit un refroidissement sans apport de travail au contact de la source froide (l air atmosphérique). Le transfert thermique est isobare. La puissance fournie par la turbine est modulée grâce au débit d air envoyé dans le compresseur à l entrée () du dispositif et à la quantité de gaz naturel injecté dans la chambre de combustion. L air atmosphérique, le mélange initial {air-gaz naturel} et les gaz brûlés d échappement sont assimilés à un même gaz parfait. Le rapport de ses capacités thermiques à pression et volume constants est supposé constant et égal à : =,4. Sa capacité thermique massique à pression constante est : p =. c kj.kg.k

5 Le cycle de Brayton est représenté (figure 3) dans le diagramme entropique, où T est la température du gaz et s son entropie massique : T3 T2 T O T isentropique isobare isobare isentropique s Figure 3 T = 300 K P = bar T 3 = 300 K P 2 = 0 bar Posons pour simplifier : P T 2 3 = et P T =. L air est aspiré dans le compresseur à la pression P = bar et à la température T = 300K pour y être comprimé à la pression P2 = 0 bar.. Ecrire la 2 ème identité thermodynamique (expression de dh). Démontrer la loi de Laplace relative au couple (P,T) en précisant ses conditions d utilisation. On rappelle que CPm = R. En déduire T2 et T4 en fonction de, et T. Applications numériques sachant que = 2,0. 2. Exprimer puis calculer le travail utile massique de compression w2 absorbé par le gaz (fourni au gaz par le compresseur) au cours de la transformation adiabatique 2, en fonction de cp, T et. 3. A l issue de la combustion (étape 2 3), la chambre fournit au gaz une énergie thermique massique de combustion q23 qui amène la température de celui-ci à la valeur T3 = 300 K. Exprimer q23 en fonction de cp, T, et. Réaliser l application numérique. 4. Exprimer puis calculer le travail utile massique wt récupéré par la turbine (fourni à la turbine par le gaz) au cours de la transformation 3 4, en fonction de cp,, T et. Le travail wc fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au cours de la transformation 2 : wc = w2. 5. Ecrire le travail utile wa fourni par la turbine pour actionner l alternateur, puis l exprimer en fonction de cp,, T et ; effectuer l application numérique. Facultatif : pour quelle valeur max de (fonction de ) ce travail wa est-il maximal? Comparer max à la valeur numérique de adoptée pour la turbine. 6. Calculer le rapport w c R = qui évalue la répartition entre le travail wc que fournit la turbine au wa compresseur et le travail utile wa qu elle fournit à l alternateur. Commenter. 7. Définir le rendement thermique du générateur à turbine et l exprimer en fonction du paramètre. Calculer pour le travail wa fourni par la turbine à l alternateur et le comparer à celui d un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes. 8. Exprimer puis calculer le transfert thermique massique q4 reçu par le gaz au cours de la phase d échappement 4, en fonction de cp,, T et. Cette énergie thermique est-elle une énergie récupérable? Commenter.

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7 CORRIGE Problème 2. Le fluide caloporteur décrit une succession de cycles, en échangeant du travail avec un système mécanique et de la chaleur avec deux sources de température T c (source chaude) et T f (source froide). Les signes de W, Q c et Q f sont relatifs au fluide. système mécanique W Fluide caloporteur décrivant des cycles Q c Source chaude maison T 0 Q f Source froide Extérieur T Pour une pompe à chaleur : Q C < 0 : le fluide donne de la chaleur à la maison, afin de la chauffer (ou de compenser les pertes thermiques vers l extérieur) ; Q C est l énergie utile (celle pour laquelle on a installé la machine) Q F >0 : le fluide prend de la chaleur (gratuite) à l extérieur On constate ainsi que le transfert thermique va de la source froide vers la source chaude : cela n est possible que si le fluide reçoit un travail mécanique (de la part d un compresseur) : W > 0 ; c est l énergie coûteuse (consommation d électricité) 2. Efficacité η = énergie utile = Q C énergie coûteuse W 3. er principe appliqué au fluide caloporteur sur un nombre entier de cycles : U = 0 = W + Q C + Q F 2 ème principe appliqué au fluide caloporteur sur un nombre entier de cycles : S = 0 = Q C T C + Q F T F + S création Les transformations sont réversibles donc S création = 0, on obtient Q F Q C = - T F T C = - T η = Q C W = Q C Q C + Q F = T 0 d où η = 20 températures en Kelvin!!!! + Q F /Q C T 0 T 4. la température de la maison est supérieure à celle de l extérieur : T > T d où Q < 0 : la pièce perd de la chaleur, le transfert a lieu de la maison vers l extérieur. 5. unité de a : Q = a.c.(t T ).dt : Q en J, C en JK -, T en K et dt en s, donc a est en s - 6. On applique le er principe à l air (et aux murs et mobilier aussi de la maison), de capacité totale C, entre les instants t et t+ dt : dh = C dt = - a C (T-T ) dt d où dt dt T 0 + at = at 7. évolution de la température : T(t) = T + (T 0 -T ).e -at avec la condition initiale T(0) = T A t f = 3 heures T(t f) = T f, donc a = t f ln T 0 T T f T 0, s - rien à voir avec le résultat de l énoncé 9. travail W fourni par le moteur de la pompe pendant une durée dt : W = P dt 0. la pièce échange deux transferts thermiques : un avec l extérieur, l autre avec la PAC (- Q C) C dt = - a C (T-T ) dt - Q C = - a C (T-T ) dt + η W d où C dt = - a C (T-T ) dt + P dt T T T

8 CORRIGE Problème 3 A / Premier principe pour un fluide en écoulement permanent Faire le schéma du cours : (h s h e) + ½ (c s² - c e ²) + g (z s z e) = w utile + q toutes les grandeurs sont massiques B / Cycle de Brayton idéal compression isentropique chamb combus isobare détente isentropique 2 3 contact ext isobare 4 w i = 0 w i = 0 T = 300 K T 3 = 300 K = T P = bar P 2 = 0 bar P 2 = 0 bar P = bar. 2 ème identité thermodynamique dh = T ds + V dp Pour un gaz parfait dh = n C Pm dt = n R dt nr T et V = P On obtient ds = n R dt - nr dp T P La loi de Laplace s applique à une transformation adiabatique (S ech=0) et réversible (S création =0), d où ds = 0, dt donc = dp, donc ln(t) = ln(p) +cte, donc T = P. e cte T P Finalement T P = CTE relation applicable à un GP subissant une (T) adiabatique et réversible, le coefficient étant constant appliquons cette relation à la transformation -2 : T P = T 2 P 2 donc T 2 = T ( P ) = ( P 2 ) P 2 P remarque sur les puissances : T ² P = T 2² P 2 T P /2 = T 2 P 2 /2 x² = ( x ) 2 finalement : T 2 = T = 600 K ici l exposant est et T 4 = T3 = 650 K λ et non 2. Mais on applique la même règle 2. Travail utile massique de compression w 2 On applique le er principe, en négligeant les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle, la (T) -2 étant adiabatique : h 2 h = w 2 Pour un GP : h 2 h = c P (T 2 T ) On obtient : w 2 = c P T ( ) = 300 kj.kg - travail positif, logique lors d une compression 3. Energie thermique massique de combustion q 23 On applique le er principe, en négligeant les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle, la (T) 2-3 se faisant sans échange de travail indiqué (chambre de combustion) h 3 h 2 = q 23 = c P (T 3 T 2) = c P T ( ) 7 kj.kg - 4. Travail utile massique w T récupéré par la turbine le fluide reçoit de la chaleur, logique puisqu il traverse une chambre de combustion w 34 = c P (T 4 T 3) = c P T ( λ ) = kj.kg- ce travail est donné par le fluide à la turbine Le travail reçu par la turbine est w T = - w 34 = kj.kg - 5. Le travail reçu par la turbine se partage entre travail fourni au compresseur et travail fourni à l alternateur w T = w C + w a = w 2 + w a ATTENTION AUX SIGNES, UNE AN PEUT AIDER A Y VOIR PLUS CLAIR donc w a = w T - w 2 = - c P T ( ) cp T ( ) = kj.kg- λ w a est maximal lorsque dw a = 0, soit = ² ou = τ soit une valeur légèrement supérieure à 2 dλ wc 6. rapport R = 0,9 le travail w c que fournit la turbine au compresseur est légèrement inférieur au travail utile w a qu elle fournit à wa l alternateur. 7. rendement thermique = d où η = w a q 23 = τ ( )+ λ λ τ λ énergie utile = travail fourni à l alternateur énergie coûteuse chaleur fournie par la chambre de combustion / 0,5 8. Transfert thermique massique q 4 Q 4 = c P (T 4 T ) = c P T ( - τ λ ) = kj.kg- Cette énergie est directement récupérable sous forme de chaleur (principe de la cogénération)