A- Conditionnement. Quang-Thai NGO Ch 02. Difficulté ** Importance *** Objectifs

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1 Ch02 : Calcul de probabilité Le monde dans lequel nous vivons n est pas toujours prévisible : on ne peut connaître le temps qu il fera dans un mois; on ne peut savoir quels seront les numéros gagnants du prochain tirage du loto. C est à partir des problèmes de jeux de hasard que se définissent les concepts et les premières approches de la science de probabilité au milieu du XVII ème siècle. Ces travaux montrent que même le hasard respecte certaines lois et c est l objet de ce qui suit. Difficulté ** Importance *** Objectifs Probabilité conditionnelle, notion d indépendance Savoir construire un arbre pondéré et exploiter sa lecture graphique Savoir utiliser la formule des probabilités totales Lois de probabilité et variable aléatoire Reconnaître le schéma de Bernoulli, loi binomiale I) Probabilité conditionnelle La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d une expérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d un évènement. On utilise la probabilité conditionnelle à chaque fois qu il y a une question de probabilité du type «sachant que». A- Conditionnement Activité 1: Dans une classe TES de 30 élèves, la répartition de la LV1 allemand est donnée par le tableau suivant LV1\Elèves Filles Garçons Totaux Allemand Autres Totaux On choisit au hasard un élève parmi les 30 élèves. On considère les évènements suivants : A = «l'élève choisi fait de l'allemand en LV1» F = «l'élève choisi est une fille». 1 ) Calculer P(A) et P(A F) et interpréter les résultats. 2 ) Quelle est la probabilité P A (F) que l élève soit une fille sachant qu elle fait allemand en LV1? 3 ) Comparer P A (F) et P(A F) P(A) Propriété Soit Ω un ensemble fini et P une loi de probabilité sur Ω. On considère un évènement A tel que P(A) 0. L application P A de Ω dans [0,1] définie par : B Ω, P A (B) = P(A B), est une probabilité. P(A) Définition Soient A et B deux évènements d un même univers tel que P(B) 0. La probabilité conditionnelle de l évènement A sachant que l évènement B est réalisé se note P B (A) et on a : P(A B) P B (A) = P(B) Remarque : On dispose immédiatement de la relation : P B (B) = 1. Exemple : On choisit une carte au hasard dans un jeu de cartes. 1 ) Quelle est la probabilité d obtenir un cœur sachant que la carte est rouge? 2 ) Quelle est pa probabilité d obtenir une carte rouge sachant que c est un cœur? 3

2 Il y a cartes : 16 rouges dont cœurs et carreaux; 16 noires dont piques et trèfles. On a : P(rouge) = 16, P(coeur) = D où : P rouge (coeur) = P(coeur rouge) P(rouge) et P(coeur rouge) = =. 16 = et P 16 coeur(rouge) = P(coeur rouge) = P(coeur) = 1. La probabilité conditionnelle suit les règles et lois de probabilités vues dans les classes antérieures. On a en particulier : Propriété (opérations sur les évènements) Soit A, B et C trois événements d un univers Ω avec P(B) P B (A) 1 - P B (A ) = 1 P B (A) - P B (A C) = P B (A) + P B (C) P B (A C) - Si A C =, alors P B (A C) = P B (A) + P B (C). Exemple : On choisit une carte au hasard dans un jeu de cartes avec équiprobabilité. 1 ) P rouge (9 ) = 1 P rouge (9) = 1 2 = ) P pique (Roi Noir) = P pique (Roi) + P pique (Noir) P pique (Roi Noir) = = 1 3 ) P pique (Roi As) = P pique (Roi) + P pique (As) = = 2 B-Evènements composés et arbres pondérés La relation définissant la probabilité conditionnelle peut s écrire de la manière suivant : P(A B) = P(B) P B (A). Cette écriture s appelle la formule des probabilités composées. Propriété (Formule des probabilités composées) Soit A et B deux événements d un même univers Ω avec P(A) 0 et P(B) 0. On a : P(A B) = P(B) P B (A) = P(A) P A (B) Exemple : On choisit une carte au hasard dans un jeu de cartes avec équiprobabilité. 1 ) P(Coeur Rouge) = P(Rouge) P rouge (Coeur) = 16 = ) P(Coeur Rouge) = P(Coeur) P Coeur (Rouge) = =. Lorsqu on est en présence d une situation de conditionnement, il est conseillé d'établir un arbre de choix. On fait quelques rappels : 4

3 Définition En probabilité, il existe deux types d arbres : 1 ) On utilise un arbre simple pour dénombrer toutes les issues possibles. 2 ) On utilise un arbre pondéré pour dénombrer toutes les issues possibles, en précisant la probabilité de réalisation de chaque issue. Exemple : Une expérience aléatoire peut être schématisé par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d un poids qui est une probabilité : Pour obtenir P(A B), on multiplie les probabilités des branches suivies. Propriété (Règles d utilisation d un arbre pondéré) 1 ) Loi des nœuds : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud vaut 1. 2 ) Loi des chemins : La probabilité d'une issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. Exemple : On choisit une carte au hasard dans un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné". Donc R G est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". Alors : et P(R) = = 2 5 = 0,4 P(R G) = = 3 10 = 0,3. Donc la probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G) = On peut retrouver intuitivement ce résultat. P(R G) P(R) = 0,3 0,4 = 3 4 = 0,75 En effet, sachant que le résultat est une boule rouge, on a 15 chances sur 20 qu'il soit marqué Gagné. 5

4 L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) : C-Formules des probabilités totales Activité 2: Dans une classe on sait qu il y a 60% de garçons dans ce groupe dont 90% sont droitiers. De plus, 95% de filles sont droitière. On choisit au hasard une des personnes de ce groupe, calculer les probabilités suivantes. 1 ) Compléter l arbre des données numériques qui manquent 2 ) Calculer : i. la personne est un garçon droitier ii. la personne est une fille droitière iii. la personne est droitière en exploitant le fait que les évènements G D et G D sont disjoints. 6

5 Définition Ω est l ensemble des évènements élémentaires d une expérience aléatoire. A 1, A 2,, A n désignent des sousensembles de Ω. Dire que A 1, A 2,, A n forment une partition de Ω signifie que les A i sont deux à deux disjoints et A 1 A 2 A n = Ω. Avec cette définition, on peut énoncer les résultats suivants : Propriété (Formule des probabilités totales) A 1, A 2,, A n forment une partition de Ω. Alors : P(B) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) + + P(B A n ) II) Lois de probabilité et variable aléatoire Il s agit ici de rappels de la classe de Première : Définition (variable aléatoire) Une grandeur numérique X prenant, lors d une expérience aléatoire, des valeurs x 1, x 2,, x n avec les probabilités p 1, p 2,, p n est une variable aléatoire. En résumé une variable aléatoire X est une application de l univers Ω dans R. Lorsque l on associe à chaque éventualité de Ω un nombre réel, on dit que l on définit une variable aléatoire sur Ω. Remarque : L ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X se note X(Ω) = {x 1, x 2,, x n }. Exemple : On lance trois fois de suite une pièce bien équilibrée et l on note après chaque lancer si le côté sorti est pile (note P) ou face (noté F). On choisit comme univers : Ω = {(F; F; F; ); (P; F; F); (F; P; F); (F; F; P); (F; P; P); (P; F; P); (P; P; F); (P; P; P)} On définit le jeu qui consiste à gagner 1 à chaque fois que face apparaît et à perdre 1 à chaque fois que pile apparaît. Nous pouvons ainsi associer à chaque résultat de l univers un nombre réel égal au gain relatif (positif ou négatif). 7

6 Au résultat FFF est associé 3. Au résultat FFP est associé 1. Cette association est une variable aléatoire. Définition (loi de probabilité associée à une variable aléatoire) Soit X une variable aléatoire prenant pour valeurs les nombres x 1, x 2,, x n avec les probabilités p 1, p 2,, p n. La loi de probabilité associée à X est la fonction f qui à chaque nombre x i associe la probabilité p i : f: x i f(x i ) = p i Remarque : Pour une loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant les valeurs x 1, x 2,, x n avec les probabilités p 1, p 2,, p n, on note - les événements élémentaires : (X = x i ) - leur probabilité : P(X = x i ) = p i. Généralement, on demandera dans un premier temps las valeurs possibles prises pas la variable aléatoire, préalablement définie par des résultats lors d une expérience aléatoire (le gain par exemple). Puis on demandera de donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X, le mieux est alors de donner le tableau : x i x 1 x 2. x n P(X = x i) p 1 p 2 p n Définition (Fonction de répartition) La fonction de répartition d une variable aléatoire X est la fonction F définie sur les réels par : F(x) = P(X x) Définition (Espérance mathématique d une variable aléatoire) L espérance mathématique d une variable aléatoire X prenant n valeurs x i avec les probabilités p i = P(X = x i) est : E(X) = p 1x 1 + p 2x p nx n. Définition (Variance et écart type d une variable aléatoire) La variance d une variable aléatoire X prenant n valeurs x i avec les probabilités p i = P(X = x i) est : V(X) = p 1( x 1 E(X)) 2 + p 2(x 2 E(X)) p n(x n E(X)) 2. = (p 1x p 2x p nx n 2 ) (E(X)) 2 L écart type de cette même variable aléatoire X est : σ(x) = V(X) Remarque : Généralement pour une expérience aléatoire et une variables aléatoire X définie, on demandera de calculer E(X), puis de dire ce que cette valeur représente. La phrase de réponse doit être rédigée ainsi : «E(X) représente le / la moyen(ne) si l expérience aléatoire est répétée un très grande nombre de fois» L écart type est plus «homogène» avec les valeurs de X et représente le «risque», plus il est grand moins la moyenne des valeurs de X sera proche de E(X) si on ne répète pas l expérience aléatoire un très grand nombre de fois. Exercice Un objet produit en série à un coût de production de 950 Euros. Il peut se présenter à l issue de sa fabrication, un défaut A ou un défaut B ou les deux en même temps. La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabriquant avec les coûts suivants : 100 Euros pour le seul défaut A, 150 Euros pour le seul défaut B et 250 Euros pour les deux défauts A et B. 1 ) On prélève un lot de 1000 objets. Le défaut A est observé sur 200 objets et 10% de ces objets ont aussi le défaut B, 750 objets n ont aucun défaut. Complétez le tableau : Nombres d objets Objets avec le défaut B Objets sans le défaut B Objets avec le défaut A Objets sans le défaut A TOTAL TOTAL...

7 2 ) On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe son prix de revient, c est à dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation. Complétez le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de X : Valeurs de X : x i.... P(X = x i) ) Calculez l espérance mathématique : E(X) =. Que représente E(X) pour l usine? :. 4 ) L usine souhaite faire un bénéfice moyen de 100 par objet. De combien doit être le prix de vente de chaque objet? 9