Adaptation de maillage anisotrope pour des problèmes d aérothermie dans les bâtiments

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1 Adaptation de maillage anisotrope pour des problèmes d aérothermie dans les bâtiments Cécile Dobrzynski Université Bordeaux 1 en collaboration avec P. Frey et O. Pironneau 8/12/2006

2 Introduction : (i) Position du problème Aérothermique dans les bâtiments flux d air et répartition de température. Domaine d étude très vaste : finalité : dimensionnement bouches d air conditionnées, calculs précis des flux d air Groupe de matériaux Masse Conductivité ou application volumique thermique p utile l kg/m 3 W/(m K) Plâtre Plâtre Plaque de carton-plâtre Bois Bois Panneau de fibres Panneau de particules Panneau de particules liées au ciment Matériaux divers En architecture : estimation grossière utilisation du modèle multizone simulation numérique tridimensionnelle

3 Introduction : (ii) Modélisation et techniques de résolution Modélisation : résolution des équations de Navier-Stokes avec une température variable et des modèles de turbulence. Techniques de résolution : CAO 3d, éléments finis, adaptation de maillage, parallélisme.

4 Plan Modélisation et approximation du problème Calcul scientifique Parallélisme Adaptation de maillages Exemples Conclusions

5 Plan Modélisation et approximation du problème Calcul scientifique Parallélisme Adaptation de maillages Exemples Conclusions

6 Modélisation du problème : (i) Navier-Stokes Le flux d air est gouverné par les équations de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles corrigées avec un terme de Boussinesq : u t + u. u +.p ν u = e 3g ρ ρ 0.u = 0 dans Ω où u(x) R 3 est la vitesse, p(x) R la pression cinématique (divisée par la densité ρ), ν la viscosité cinématique. Evaluation du terme de poussée : ρ ρ 0 = αρ 0 (θ θ 0 )

7 Modélisation du problème : (i) Navier-Stokes Conditions aux limites : { u = w sur Γ 1 p + (S.n).n = 0 et (S.n).s = 0 sur Γ 2 avec S = ν( u + u T ), w une vitesse spécifiée, n le vecteur normal et s le vecteur tangent, Γ 1 Γ 2 = Ω où Ω est la frontière. Γ 1 : entrée d air et mur visqueux Γ 2 : sortie d air

8 Modélisation du problème : (ii) Equation d advection-diffusion La température est calculée grâce à une équation d advection-diffusion : θ + u θ κ θ = 0, t où u(x) R 3 est la vitesse, κ le coefficient de diffusion thermique (constant) et θ la température. Conditions aux limites pour la thermique : θ = θ source sur Γ source θ n + a θ + b (θ4 θe) 4 = 0 sur Γ F ourier θ = θ 0 à t = 0

9 Méthodes de résolution Soit δt le pas de temps, on utilise un schéma semi-implicite en temps : u n u n 1 + u n 1. u n 1 + p n ν u n 1 δt = e 3 gαθ n 1. u n = 0 θ n θ n 1 + u n θ n κ θ n δt = 0 Navier-Stokes : méthode de projection de Chorin, résolution du problème de Poisson par un GC. Advection-diffusion : discrétisation de type Galerkin, résolution du système non symétrique par un GMRES préconditionné.

10 Plan Modélisation et approximation du problème Calcul scientifique Parallélisme Adaptation de maillages Exemples Conclusions

11 Parallélisme : (i) méthode parallélisation au niveau des produits matrices-vecteurs outils : décomposition du maillage avec Metis gestion des communications avec MPI nœuds tétraèdres Bi-Pentium4 Xeon ; 2,4 Ghz ; 2 Go de RAM # CPU temps en s. rapport , , ,

12 Parallélisme : (ii) évaluation Indice d efficacité : I n = temps de calcul sur 1 processeur temps de calcul sur n processeurs n perf cas 1 HydreI perf cas 1 HydreII perf cas 2 HydreI perf cas 2 HydreII perf cas 1 HydreI perf cas 1 HydreII perf cas 2 HydreI perf cas 2 HydreII Indice efficacite Indice efficacite nombre de processeurs nombre de processeurs Indice efficacité vs. nombre de processeurs, Navier-Stokes (gauche) et advection-diffusion (droite).

13 Adaptation de maillages : (i) concept But : calculer une solution précise avec un nombre minimal de degrés de liberté ( réduction du temps CPU). i = 0 (T 0, S 0) i + 1 i (T i, S i) (T i+1, S i, M i) (T i, M i) (T i, S i)

14 Adaptation de maillages : (ii) estimateur A partir d un développement de Taylor avec reste intégral, on obtient : u Π h u,k 9 32 max x K où H u = R Λ R 1 avec Λ = diag( λ i ). max e, H u (x) e, e E K En pratique, cet estimateur n est pas facile à évaluer, donc on définit un tenseur de métrique tel que : max e, H u(x) e e, M(K) e x K on peut définir une erreur relative : u Π h u u c max e, M(K) e,,k e E K u

15 Métrique : définitions de base Définition : une métrique M est une matrice symétrique définie positive : M = (a ij (x)) M 3 (R), a ii (x) > 0 et det(m) > 0 une telle matrice M peut se décomposer comme : λ M = R 0 λ 2 0 R λ 3 Définition : le produit scalaire est défini par : u, v R d, u, v M = u, Mv = t u M v R. et la longueur de u est : l M (u) = u M = u, M u.

16 Adaptation de maillage : (iii) tenseur de métrique soit ε un seuil d erreur, chaque arête e doit vérifier l égalité : ε = c e, M(K) e, e E K e, M(K) e = 1 construction d un maillage unité. soient h min et h max longueurs d arête minimale et maximale, on définit un tenseur de métrique M comme suit : λ M = R 0 λ2 0 R λ3 avec λ i = min(max( λ i c ε, 1 h 2 ), max 1 h 2 min )

17 Adaptation de maillages : (iv) opérations sur les métriques intersecter : M = M 1 M 2 interpoler : M(P ) = ( t M(A) 1 k + (1 t) M(B) 1 k ) k lisser : { MA = M A M B (1 + αl A (AB)) 2 M B = M B M A (1 + αl B (AB)) 2

18 Génération du maillage adapté : modifications locales Algorithme d optimisation basé sur : 1 l analyse des longueurs (insertion, suppression), 2 la qualité des éléments (bascules, bougés). Avantages pour l adaptation : 1 maillage toujours valide, 2 un seul maillage en mémoire, 3 le nombre de modifications décroît à mesure que le nombre d adaptations augmente (cas stationnaire), 4 traitement des problèmes à frontières mobiles.

19 Plan Modélisation et approximation du problème Calcul scientifique Parallélisme Adaptation de maillages Exemples Conclusions

20 Simulation CEA Adaptation de maillage anisotrope utilisant des modifications locales (31e adaptation).

21 Simulation CEA Isosurfaces de la température au temps t = 2, t = 11 et t = 31.

22 Simulation CEA : caractéristiques de la simulation Maillage initial Maillage adapté nb de points nb de tetras ratio aniso prescrits : max 17 ratio aniso obtenus : max 16 ind. eff. 0, < l < % Q < 3 98, 77% Q moy 1, 60 temps maillage 4 min sur 1 proc. temps solveurs 4 h sur 5 proc.

23 2 l ne n 1 V 1 V 2 Simulation RATP : construction du maillage G a i n e 1 G a i n e 2 I n s o n o r i s a n t s i e V o e n t i l a t e u r e n t i l a t e u r C h a m b r e T u i e V o Plan du domaine (données RATP) et géométrie.

24 Simulation RATP Adaptation de maillage anisotrope utilisant des modifications locales.

25 Simulation RATP : caractéristiques de la simulation Maillage initial Maillage adapté nb de points nb de tetras ratio aniso prescrits : max 20 ratio aniso obtenus : max 18 ind. eff. 0, < l < , 46% Q < 3 98, 33% Q moy 1, 66 temps maillage 5 min sur 1 proc. temps solveurs 1 h 15 sur 5 proc.

26 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : géométrie.

27 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : lignes de courant de l écoulement.

28 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : isosurfaces de température au temps t = 2 et t = 26 sec.

29 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : géométrie.

30 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : coupe volumique au temps t = 2 et t = 26 sec.

31 Simulation maison Simulation de climatisation dans une maison meublée : Coupe volumique au temps t = 2 et t = 26 sec (Zoom).

32 Simulation maison

33 Simulation maison : caractéristiques de la simulation Maillage initial Maillage adapté nb de points nb de tetras ratio aniso prescrits : max 14 ratio aniso obtenus : max 13, 84 ind. eff. 0, < l < % Q < 3 96, 92% Q moy 1, 61 temps maillage 5 min sur 1 proc. temps solveurs 15 h sur 8 proc.

34 Plan Modélisation et approximation du problème Calcul scientifique Parallélisme Adaptation de maillages Exemples Conclusions

35 Conclusion Adaptation de maillages : efficacité et robustesse des méthodes de construction de maillages anisotropes par modifications locales, simulations d aérothermique dans les bâtiments : couplage des équations de Navier-Stokes avec une équation d advection-diffusion, accélération du temps de calcul par le parallélisme, validation expérimentale, interface logiciel CAO, optimisation de forme (impact sur le design).

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38 Reconstruction du hessien développement de Taylor de u en P i B(P ) : on pose u i = u + P P i. u(p ) t P P i, H u (P ) P P i 1 2 t P P i, H u (P ) P P i = u i u P P i. u(p ) P P i = t (x i y i z i ), u(p ) = t (α β γ), H u (P ) = on a : a b c b d e c e f 1 2 (ax2 i +2bx i y i +2cx i z i +dy 2 i +2ey i z i +fz 2 i ) = u i u (αx i +βy i +γz i ) résolution par moindres carrés : AX = B, avec t X = ( a b c d e f )