MP1 - DS n 3bis - (Centrale-Mines) : Électromagnétisme Partie physique Samedi 17 novembre 2018 Durée 2 heure 30

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1 1 Gravimétrie MP1 - Partie physique Samedi 17 novembre 2018 Durée 2 heure 30 Q26. Énoncer le théorème de Gauss appliqué à la gravitation en précisant les analogies entre forces électrostatiques et gravitationnelles. On notera G le champ gravitationnel. La Terre est assimilée à une boule homogène de rayon R T, de centre C et de masse M T uniformément répartie en volume. On repère un point M de l espace dans le système de coordonnées sphériques d origine C, associé à la base locale ( e r, e θ, e ϕ ) et on pose r = CM. Lorsque M est situé à l extérieur de la Terre, on associe à ce point un axe (Oz) (verticale du lieu) dont l origine O est en r = R T et tel que e z = e r. er R T ez O M C Q27. Déterminer l expression du champ gravitationnel G créé par la Terre à une altitude pour r > R T. En déduire sa valeur G(O) = g 0 ez en O. On introduira la masse volumique moyenne µ m de la Terre pour exprimer le résultat. Application numérique : calculer g 0. 1

2 Q28. Donner l expression du champ de gravitation g B (M) créé par une boule homogène de rayon R et de masse volumique µ = µ m + µ en un point M situé à l extérieur de cette boule, en fonction de µ m, µ, G, R, de r (distance de M au centre de la boule) et du vecteur unitaire er (figure 7). Q29. La boule se trouve à une profondeur h dans le sol. Déterminer composante verticale g Bz du champ de gravitation créé par la boule au point M situé sur la surface terrestre, à une distance x de la verticale locale (Oz) (figure 7). Q 30. On note g z la composante verticale du champ de gravitation créé par l ensemble {Terre + boule}. Montrer que l anomalie gravimétrique g = g z g 0, qui fait varier le champ de gravitation apparent à la surface de la Terre et au voisinage de O est identique à la composante verticale g z du champ de gravitation créé par une sphère de masse volumique µ. 2

3 2 Étude d un microphone électrostatique Seule la quatrième partie, portant sur le microphone électrostatique sera étudiée dans ce DS. Oz z 3

4 MP e Oz z e Oz z z U U z z e e e z e S z kz u z h z t u z S z kz u U z Q Q h z t u z U Q Q E E M E M Õ M M Õ E Oz E E M E M Õ M M Q Õ F e IV.A.4) Montrer que la norme de la force électrique subie paroz la membrane s écrit C : S e z F e F e = Q2 E Q. Est-elle attractive ou répulsive? 2Sε 0 U z F e C S e z F e U z U U z U Az e z A U U z U z z e<z <z < Az e z A U U z z U m U e<z <z < z z U U m z e/ e S, k, U m U U U m z z U U m z e/ e S, k, U U m 4

5 z t U t m U t U U t U u t u t U z z t z ξ t ξ t e z ξ t m ξ t t h ξ t t k ξ t αu t ξ u e z U k α k S U e z k α u t u s ωt u t ξ t u t ξ t A jω ξ/u a µ S, µ, f k π m f f u s u t ξ m e/ Conclure. 3 Magnétorésistance On considère un conducteur électrique se présentant sous la forme d une couronne cylindrique d axe Oz, de hauteur h, délimitée par un cylindre intérieur de rayon r 1 et par un cylindre extérieur de rayon r 2. À l aide d une source de tension on impose les potentiels V (r 1 ) = V 1 et V (r 2 ) = V 2. On se place en régime permanent et on néglige les effets de bord, ce qui revient à supposer que le comportement de cette couronne est le même que si elle était infiniment haute. L existence de deux équipotentielles cylindriques permet d émettre l hypothèse que le potentiel ne dépend que de r. Ainsi : V = V (r), V (r) = 1 r ( d r dv ) dr dr et grad V = dv dr 1) Le conducteur n est pas chargé : la densité volumique de charge ρ y est nulle en tout point. Déterminer le potentiel électrique en un point M de ce conducteur. En déduire le champ électrique E en ce même point en fonction de V 1, V 2, r 1, r 2 et r. Dans la suite, on posera E = E(r) u r La couronne cylindrique est placée dans un champ magnétique B = B u z avec B > 0. Le conducteur contient n électrons libres par m 3. On considère de plus le modèle de Drude dans lequel chaque électron de conduction, de vitesse v n est soumis qu à deux type de forces : Les forces électromagnétiques ; 5 ur

6 une force de frottement s exprimant sous la forme F = λ v avec λ > 0 et qui modélise les interactions-collisions entre l électron libre et les ions positifs formant le réseau cristallin du métal. 2) Pour chaque électron, établir en régime permanent (d v /dt = 0 ), la relation entre v, B et E paramétrée par λ et la charge élémentaire e. En déduire l expression, dans la base cylindrique ( u r, u θ, u z ), des coordonnées de v en fonction de e, λ, E(r) et B puis celles du vecteur densité volumique de courant j. 3) Exprimer l intensité du courant électrique traversant une surface équipotentielle de rayon r. En déduire la résistance électrique R de la couronne, en fonction de e, n, λ, B, h, r 1 et r 2. On note R 0 la résistance en l absence de champ magnétique. Exprimer l écart relatif ε = R R 0 R 0 en fonction de e, B et λ. Calculer la valeur numérique de R 0 ainsi que celle de ε pour B = 1,0 mt, r 1 = 1,0 mm, r 2 = 3,0 mm, h = 1,0 mm, n = 1, m 3 et λ = 1, kg.s 1. Commenter l utilisation du phénomène pour la mesure de champs magnétiques. 6