Mathématiques discrètes Probabilités discrètes Cours 30, MATH/COSC 1056F

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1 Mathématiques discrètes Probabilités discrètes Cours 30, MATH/COSC 1056F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne 27 novembre 2008, Sudbury Julien Dompierre 1

2 Expérience aléatoire et résultat Une expérience aléatoire (ou tout simplement expérience) est une action ou procédure qui produit un des résultats possibles d un ensemble donné de résultats possibles. Un résultat est une issue possible d un simple essai d une expérience aléatoire. Julien Dompierre 2

3 Ensemble fondamental L ensemble fondamental d une expérience aléatoire est l ensemble de tous les résultats possibles issus de l expérience aléatoire. L ensemble fondamental est noté S (pour sample space). Expérience aléatoire Ensemble fondamental Lancer une pièce S = {Pile, Face} Lancer deux pièces S = {(P, P), (P, F), (F, P), (F, F)} Lancer un dé S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Répondre vrai ou faux S = {vrai, faux} Avoir un bébé S = {garçon, fille} Avoir deux bébés S = {(G, G), (G, F), (F, G), (F, F)} Julien Dompierre 3

4 Ensemble fondamental L expérience aléatoire consiste à lancer deux dés. L ensemble fondamental S de tous les résultats possibles est : Julien Dompierre 4

5 Ensemble fondamental L expérience aléatoire consiste à tirer une carte d un jeu de cartes. Comme il y a quatre couleurs (pique, cœur, carreau et trèfle) et treize cartes par couleur (de l as au roi), il y a 52 résultats possibles dans l ensemble fondamental S : Julien Dompierre 5

6 Événement Un événement E est n importe quel sous-ensemble de résultats de l ensemble fondamental S de tous les résultats possibles. Un événement E est dit simple s il est composé d un seul résultat. Un événement E est dit composé s il est composé de deux résultats ou plus. Julien Dompierre 6

7 Probabilités classiques Les probabilités classiques, dans le cas où l ensemble fondamental comporte un nombre fini d éléments, ont été définies par Pierre-Simon Laplace. On suppose que chaque résultat, de l ensemble fondamental de tous les résultats, est équiprobable, c est-à-dire, que tous les résultats ont la même probabilité de se réaliser. Definition La probabilité p(e) d un événement E, qui est un sous-ensemble de l ensemble fondamental fini S de résultats équiprobables, est p(e) = E S. Julien Dompierre 7

8 Règles de probabilité La probabilité d un événement E est un nombre (fractionnaire ou décimale) entre 0 et 1, c est-à-dire 0 p(e) 1. Si un événement E est irréalisable, ce qui implique que cet événement n a aucun élément dans l ensemble fondamental de tous les résultats possibles, alors la probabilité de E est 0. Si un événement est certain, ce qui implique que cet événement a tous les éléments de l ensemble fondamental de tous les résultats possibles, alors la probabilité de E est 1. La somme des probabilités de tous les résultats de l ensemble fondamental des résultats est 1. Julien Dompierre 8

9 Complément d un événement Le complément de l événement E est un sous-ensemble de l ensemble fondamental S et qui contient tous les résultats qui sont dans S mais pas dans E. Le complément de E est noté E. Comme les ensembles E et E sont mutuellement exclusifs et comme E E = S, alors p(e) + p(e) = 1. Ceci implique que p(e) = 1 p(e) et p(e) = 1 p(e). Julien Dompierre 9

10 Événements mutuellement exclusifs Deux événements E 1 et E 2 de la même expérience aléatoire sont des événements mutuellement exclusifs s ils ne peuvent pas avoir lieu en même temps, c est-à-dire qu ils n ont aucun résultat en commun. E 1 E2 S Dans ce cas, l intersection des ensembles E 1 et E 2 est vide. Julien Dompierre 10

11 Événements mutuellement exclusifs Si E 1 et E 2 sont des événements mutuellement exclusifs de la même expérience aléatoire, alors la probabilité que E 1 et E 2 se réalisent est p(e 1 E 2 ) = E 1 E 2 = 0 S S = 0. Par exemple, soit l expérience aléatoire de lancer un dé. L ensemble fondamental de tous les résultats possibles est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L événement E 1 est d obtenir un nombre impair, E 1 = {1, 3, 5} S. L événement E 2 est d obtenir un 6, E 2 = {6} S. En théorie des probabilités, on dit que les événements E 1 et E 2 sont mutuellement exclusifs parce qu ils n ont aucun résultats en commun. En théorie des ensembles, on dit que les ensembles E 1 et E 2 sont mutuellement exclusifs parce que leur intersection est vide. p(e 1 E 2 ) = E 1 E 2 S Julien Dompierre 11 = S = 0 6 = 0.

12 Règle d addition 1 Quand deux événements E 1 et E 2 de la même expérience aléatoire sont mutuellement exclusifs, la probabilité que E 1 ou E 2 se réalisent est p(e 1 E 2 ) = E 1 E 2 S = E 1 S + E 2 = p(e 1 ) + p(e 2 ). S Par exemple, soit l expérience aléatoire de lancer un dé. L ensemble fondamental de tous les résultats possibles est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L événement E 1 est d obtenir un nombre impair, E 1 = {1, 3, 5} S. L événement E 2 est d obtenir un 6, E 2 = {6} S. p(e 1 E 2 ) = E 1 E 2 S = E 1 S + E 2 = 3 S = 4/6. Julien Dompierre 12

13 Principe d inclusion-exclusion Quand deux événements E 1 et E 2 ne sont pas mutuellement exclusifs, on doit soustraire un des deux résultats communs aux deux événements puisqu il a été compté deux fois. E 1 E 2 = E 1 + E 2 E 1 E 2 E 1 E 1 E 2 E 2 Julien Dompierre 13

14 Règle d addition 2 Quand deux événements E 1 et E 2 ne sont pas mutuellement exclusifs, la probabilité que E 1 ou E 2 se réalisent est p(e 1 E 2 ) = E 1 E 2 = E 1 + E 2 E 1 E 2 S S = p(e 1 ) + p(e 2 ) p(e 1 E 2 ). Note : Cette règle est aussi vraie quand les deux événements sont mutuellement exclusifs, puisque E 1 E 2 est égale à zéro dans ce cas. Cependant, il est important de bien comprendre la différence entre ces deux cas. Julien Dompierre 14

15 Exemple de la règle d addition 2 Par exemple, soit l expérience aléatoire de lancer un dé. L ensemble fondamental de tous les résultats possibles est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L événement E 1 est d obtenir un nombre impair, E 1 = {1, 3, 5} S. L événement E 2 est d obtenir un nombre plus grand que 4, E 2 = {5, 6} S. Comme E 1 E 2 = {1, 3, 5} {5, 6} = {5}, les événements E 1 et E 2 ne sont pas mutuellement exclusifs. p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) p(e 1 E 2 ) = = 4 6. Julien Dompierre 15

16 Principe d inclusion-exclusion pour trois ensembles E 1 E 2 E 3 = E 1 + E 2 + E 3 E 1 E 2 E 1 E 3 E 2 E 3 + E 1 E 2 E 3. E 1 E1 E 2 E 2 E 1 E 2 E 3 E 1 E 3 E 2 E 3 E 3 Julien Dompierre 16

17 Principe d inclusion-exclusion pour quatre ensembles E 1 E 2 E 3 E 4 = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 E 1 E 2 E 1 E 3 E 1 E 4 E 2 E 3 E 2 E 4 E 3 E 4 + E 1 E 2 E 3 + E 1 E 2 E 4 + E 1 E 3 E 4 + E 2 E 3 E 4 E 1 E 2 E 3 E 4 Julien Dompierre 17

18 Principe d inclusion-exclusion pour n ensembles Soient E 1, E 2,...,E n, n ensembles finis. Alors E 1 E 2 E n = E i + 1 i n 1 i<j n 1 i<j<k n E i E j E i E j E k + + ( 1) n+1 E 1 E 2 E n Julien Dompierre 18