COURS 1 : INTRODUCTION A L ECONOMIE. LE CONSOMMATEUR

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1 Université Pierre et Marie Curie Licence Informatique Cours LI Industrie Informatique et son Environnement Économique Responsable : Jean-Daniel Kant (Jean-Daniel.Kant@lip6.fr) COURS 1 : INTRODUCTION A L ECONOMIE. LE CONSOMMATEUR 1 Qu est-ce que l économie? Avant de commencer, il est effectivement utile de poser quelques définitions. 1.1 Economie Etymologie : du grec oikos, maison et nomos, gérer, administrer. Etymologiquement, l économie est l art de bien administrer une maison, de gérer les biens d une personne, puis par extension d un pays. Plus généralement, l économie est une science sociale qui étudie, entre autres : la production, la distribution, et la consommation des biens et des services ; les moyens matériels d existence de l homme ; les systèmes d échange quelles que soient leurs structures ; l allocation des moyens rares. L économie est étudiée par les sciences économiques et prend appui sur des théories économiques. La définition de l économie n est pas consensuelle. Ses contours et son contenu varient en fonction des auteurs et des courants de pensée. Le point de vue de Galbraith est intéressant car il pose d emblée les bonnes questions : Alfred Marshall disait que l économie n était rien d autre que l étude de l humanité dans la conduite de sa vie quotidienne. J ajouterai à cela l étude du rôle des organisations, de la manière que les hommes ont de faire appel aux grandes entreprises, aux syndicats et aux gouvernements pour satisfaire leurs besoins économiques ; l étude des buts poursuivis par ces organisations dans la mesure où ils s accordent ou s opposent à l intérêt général. Et enfin la manière de faire prévaloir l intérêt de la collectivité 1. Concilier les intérêts particuliers, qu il s agisse de particuliers ou d entreprises, avec ceux de la collectivité est effectivement un des problèmes cruciaux de nos sociétés, et que tente d aborder la science économique. 1. Tout savoir, ou presque, sur l économie de John Kenneth Galbraith et Nicole Salinger, Points Seuil, 1978, p

2 La science économique comprend plusieurs branches, suivant les objets auxquels elle s intéresse : économie du travail, de la finance, industrielle,... Une distinction importante, portant à la fois sur l objet et la méthode, est souvent opérée entre macroéconomie et microéconomie. 1.2 Macroéconomie La macroéconomie 2 (dont le terme est introduit en 1933 par l économiste norvégien Ragnar Frisch) est l approche théorique qui étudie l économie à travers les relations existant entre les grands agrégats économiques, comme le Produit Intérieur Brut (PIB), qui mesure la valeur totale de la production d un pays au cours d une année, mais aussi le revenu, l investissement, la consommation, le taux de chômage, l inflation etc. Certaines de ses relations sont de type comptable, découlant de la façon dont les agrégats sont définis. Par exemple, il y a égalité entre les ressources et les emplois des produits d une économie nationale : P IB + importations = consommation + investissement + variation des stocks + exportations On en déduit une façon (dites par les dépenses) de calculer le PIB : P IB = consommation + investissement + variation des stocks + exportations importations On voit que si la balance commerciale (exportations importations) est déficitaire (< 0), le PIB diminue et donc la croissance, qui est généralement mesurée par la variation du PIB. avec Une façon plus courante de calculer le PIB est de mesurer directement la production : PIB = Somme des Valeurs Ajoutées + TVA + Droits et Taxes sur les Importations Subventions sur les Produits Valeur ajoutée = Valeur des biens et services produits - valeur des consommations intermédiaires + Marges commerciales Les consommations intermédiaires sont les dépenses réalisées pour produire les biens (e.g. matières premières) et qui seront détruites à la production. Les marges commerciales sont la valeur des ventes de marchandises revendues en l état moins leur valeur d achat. D autres modèles décrivent des comportements, comme la fonction de consommation de Keynes. Pour tester leur modèles, les macroéconomistes font appel à l économétrie pour récupérer des données statistiques issus du monde réel. Ces données concernent en général des populations d individus et non des individus particuliers. C est pourquoi les modèles macroéconomiques utilisent des moyennes de comportement d individus, ou leur résultantes, d où la qualification de macro. 2. Cf. Dictionnaire d Analyse Economique de Bernard Guerrien, 3ème édition, La Découverte, 2002, pp

3 Si elle peut emprunter quelques raisonnements issus de la microéconomie, elle s en diffère par son point de vue global sur l économie, avec une insistance sur la notion de bouclage des différentes parties du système, l importance de la monnaie et des phénomènes globaux fondamentaux comme l inflation et le chômage. La Figure 1 fournit un exemple de schéma macroéconomique. Figure 1 Exemple de flux macroéconomiques. Source : Image:Circulation_in_macroeconomics-fr.svg 1.3 Microéconomie La microéconomie vise à expliquer les phénomènes économiques à partir du comportement des unités de base, microéconomiques, de la société (ou de l économie). Pour cela, le microéconomiste va d abord caractériser ces unités, qu il divise en deux grandes catégories, appelées agents : les consommateurs (ou ménages), et les producteurs (ou entreprises) 3. La microéconomie est une conception de l économie bâtie au 19ème siècle par les économistes dits néoclassiques (Menger, Jevons, Walras,...), eux-mêmes inspirés par Adam Smith, qui pro- 3. Cf. Dictionnaire d Analyse Economique de Bernard Guerrien, 3ème édition, La Découverte, 2002, pp

4 posa le célèbre concept de main invisible avec l idée qu un résultat positif pour une communauté peut découler des actions individuelles, sans que ceux-ci aient délibérément cherché ce résultat (i.e. voulu explicitement œuvrer pour la collectivité). L économie se réduit à des producteurs et des consommateurs individuels, et à des échanges libres entre eux (l Etat par exemple n a pas à intervenir). Ceci reste valable aussi longtemps que l on suppose l absence d externalités ou de biens publics. La microéconomie est utilitariste en ce sens qu elle suppose que les individus sont rationnels dans la mesure où ils cherchent à maximiser leur satisfaction (qu on appelle utilité). Ces agents économiques rationnels évoluent dans une économie de marché régulée par la variation de prix. Pour que la régulation par les prix soit optimale et que les marchés soient ainsi qualifiés d efficients, il est nécessaire de satisfaire les conditions de la concurrence pure et parfaite(cpp) (loyale) : atomicité du marché : il y a une multitude d offreurs et de demandeurs, de manière à ce qu aucun agent individuel ne puisse à lui seul maîtriser les prix ou le niveau de production, infléchir le marché en sa faveur (image de l atome noyé dans la masse). homogénéité des produits : ceux-ci sont semblables, comparables et substituables. Dès lors, la concurrence ne s effectue que par le prix et non pas la qualité du produit libre entrée et sortie du marché, afin de le fluidifier transparence : tout le monde doit disposer de la même information (i.e. toutes les informations sont accessibles à tous les agents). Comme souvent en microéconomie néoclassique, la CPP est purement normative : elle propose un marché idéal qui n existe pas dans la réalité, mais que l on doit s efforcer d approcher si on croit en ses vertus (i.e. celle d une économie libérale). Comme nous les verrons plus loin dans ce cours, ses hypothèses simplificatrices ont l avantage de se modéliser facilement sous forme mathématique, ce qui en facilite grandement l analyse. Elle permet de comprendre certains mécanismes simples, comme la fixation par les prix et fournit un premier cadre qu il faut ensuite critiquer et dépasser pour se rapprocher de la réalité (Cf. cours 11). Enfin, pour terminer cette première présentation de la microéconomie, il faut noter une de ses particularités : son marginalisme, dans le sens où l on ne raisonne pas sur les quantités globales mais plutôt sur des quantités additionnelles (dites marginales). La question est de savoir si à un moment donné un consommateur veut consommer une unité supplémentaire, ou si le producteur veut produire une unité de plus ou embaucher un salarié en plus. On parle alors de microdécisions. Cette vision de l économie portée par la microéconomie nécoclassique, qui met l accent sur la rationalité forte, la concurrence parfaite, l efficience des marchés, les équilibres, une forte mathématisation dont l abstraction s éloigne souvent des réalités reste dominante dans la théorie économique (on parle ainsi de mainstream economics ). Cependant, elle est de plus en plus critiquée. Des mouvements pour une économie alternative se développent 4 et comme nous l esquisserons au dernier cours, l informatique, à travers l économie computationnelle 4. Parmi les critiques et partisans d alternatives, voir par exemple Economie hétérodoxe, par John Kenneth Galbraith coll. Opus, éd. du Seuil, 2007 ; Bernard Maris (et ses antimanuels déjà cités plus haut) ; Bernard Guerrien op. cit., A Guide to What s Wrong with Economics by Edward Fullbrook (Editor), Anthem Press, 2004 ; le mouvement des économistes non autistes qui a publié notamment Petit bréviaire des idées reçues en économie, Les Econoclastes, La Découverte, Citons aussi celui des économistes atterrés : 4

5 à base d agents, a un rôle important à jouer pour développer une nouvelle économie moins rationnelle et plus proche du monde réel. 1.4 Relations Micro / Macro La distinction entre macroéconomie et microéconomie a tendance à s estomper quelque peu dans la mesure où les modèles macroéconomiques ont de plus en plus intégré des équations décrivant des comportements inspirés des analyses microéconomiques. Certains économistes estiment que les phénomènes globaux doivent pouvoir s expliquer à partir des comportements des individus et leurs interactions. C est ce qu on appelle rechercher les fondements microéconomiques de la macroéconomie. On retrouve cela notamment pour l étude du marché du travail (travaux de Pierre Cahuc par exemple). Cependant, parvenir à faire des modèles individuels réalistes (i.e. qui sont validés sur des comportements réellement observés) et qui permettent ensuite de faire émerger les phénomènes macroscopiques observés est d une grande difficulté. Là encore, il est possible que les modèles informatiques à bases d agents, et notamment les systèmes multi-agents (issus de l intelligence artificielle distribuée) permettent d y contribuer C est en tout cas tout le sens de mes recherches. Nous en reparlerons un peu à la fin de ce cours. Sinon, pour plus de détails : 5

6 LE CONSOMMATEUR 2 Avertissement En microéconomie, le comportement du consommateur est représenté de manière très simplificatrice : son unique problème consiste à choisir le nombre d unités de chaque bien qu il veut acheter. Pour ce faire, il maximise une fonction (numérique) mesurant sa satisfaction appelée fonction d utilité. Cette simplification amène plusieurs critiques : la satisfaction ne provient pas que de la consommation de biens marchands. D autres satisfactions existent : satisfactions morales, psychologiques, amoureuses, consommation de biens gratuits ou libres (l air!), etc. Ainsi à la notion d utilité devrait-on substituer la notion nettement plus complexe de bien-être 6, le vrai bien-être ressenti par les personnes, pas celui de la théorie néoclassique que l on trouve dans les deux théorèmes de l économie du bien-être 7. de nombreuses variables et facteurs sont négligés dans l analyse microéconomique : l influence du milieu, de l histoire, de la psychologie des acteurs, ainsi que celles des normes sociales, culturelles, et des institutions. Le cadre de l agent représentatif est supposé constant et donc sans influence. Là encore, on est loin de la réalité. par ailleurs, la maximisation - qui est donc un processus d optimisation - dépasse les capacités de calcul et de mémoire (on parle de capacités cognitives) des êtres humains, comme l avait fait remarquer Herbert Simon 8 avec sa théorie de la rationalité limitée. Les modèles du comportement humain doivent ainsi tenir compte de ces capacités limitées qu on les sujets humains : ils ne peuvent examiner l ensemble de toutes les situations et toutes leurs connaissances, ce qui est nécessaire si on veut optimiser. Ils vont plutôt choisir des solutions satisfaisantes ( satisficing chez Simon) : le consommateur se donne un certain niveau d utilité à atteindre et se satisfait de la première option qui atteint ce niveau. Si l on s intéresse à la décision humaine, la psychologie a bien montré que les humains violent systématiquement les principes fondamentaux de la décision utilitariste (i.e fondée sur la maximisation d utilité), avec notamment les travaux pionniers de Kahneman et Tversky. Comme l a proposé Simon, et les chercheurs en psychologie de la décision qui ont suivi 9, des modèles plus proches des décisions existent et devraient être intégrés dans les modèles microéconomiques. Au vu de ces critiques, on peut se demande à quoi bon étudier ce modèle utilitariste, pourquoi les économistes le gardent-ils? Pour deux raisons principales : 6. pour ne pas oser parler de bonheur, notion peut-être trop subjective, mais ceci est une autre histoire 7. Ceux-là sortent du cadre de ce cours, ils font la correspondance entre concurrence parfaite et optimum de Pareto. Cf. Dictionnaire d Analyse Economique de Bernard Guerrien, 3ème édition, La Découverte, 2002, pp Prix Nobel d économie (ou plus exactement Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d Alfred Nobel) en 1978 et un des pères fondateurs de l Intelligence Artificielle! 9. C est le courant de recherche qu on appelle Naturalistic Decision Making. Cela sort complètement du cadre de ce cours, mais pour ceux/celles intéressé(e)s, voici un point de départ : http ://en.wikipedia.org/wiki/naturalistic decision making 6

7 1. Tout d abord, ce modèle est un moyen simple pour caractériser les fonctions de demande et évaluer l impact des prix sur ces demandes 2. En modélisation, on applique souvent le principe dit du rasoir d Occam 10 ou de parcimonie qui consiste à utiliser le modèle le plus simple possible pour rendre compte d un phénomène, ne pas multiplier inutilement les paramètres, les hypothèses, les composantes du modèle. La décision utilitariste a le mérite de la simplicité, des modèles plus réalistes entraîneraient un nombre trop important de paramètres supplémentaires non indispensables aux yeux des économistes néoclassiques pour effectuer leurs raisonnements. 3. C est ce qui est enseigné majoritairement dans les cursus universitaires en économie (premières années). 3 Fonction d utilité 3.1 Définition Le consommateur (C.) est un agent économique qui cherche à tirer la satisfaction la plus grande possible de sa consommation. S il y a n biens, celle-ci est décrite par un vecteur x = (x 1,.., x j,.., x n ), où x j 0 est la quantité du jème bien qu il consomme. x peut être par exemple le contenu d un caddie dans un supermarché, le fameux panier de la ménagère. Les préférences du consommateur sont caractérisables par sa fonction d utilité, application u de R n + (ou parfois de (R +) n ) dans R, x = (x 1,.., x j,.., x n ) u(x) = u(x 1,.., x j,.., x n ), qui s interprète comme suit : si u(x) > u(y), C. préfère x à y ; si u(x) < u(y), C. préfère y à x ; et si u(x) = u(y), C. est indifférent entre x et y On adopte ainsi une approche ordinale de l utilité : plutôt de demander au consommateur de donner une valeur quantitative absolue à sa satisfaction, on lui demande simplement de dire si relativement il préfère un panier A à un panier B. L ensemble { y R n + : u(y) = u(x) } est la classe d indifférence de x ; lorsque n = 2, la courbe la représentant graphiquement est la courbe d indifférence passant par x, comme sur la Figure 2. Un consommateur est donc indifférent entre tous les paniers de biens représentés sur une même courbe d indifférence. 10. Un principe de raisonnement que l on attribue au moine franciscain et philosophe Guillaume d Occam (XIVe siècle), mais qui était connu et formulé avant lui : Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité (pluralitas non est ponenda sine necessitate). 7

8 3.2 Hypothèses supplémentaires Monotonicité Figure 2 Courbes d indifférences En général, u est une fonction croissante de ses arguments (hypothèse de monotonicité), ce qui signifie que le consommateur est insatiable : plus on lui donne de biens, plus il est content! En conséquence, plus on s éloigne de l origine, plus l utilité croît. Cela implique également que sur une même courbe, la pente soit négative : pour que le consommateur soit indifférent, il faut se diriger vers le Nord-Ouest (diminuer x 1 mais augmenter x 2 ) ou le Sud-Est (la réciproque) car sinon on va soit augmenter les 2, soit les diminuer ensemble et donc augmenter ou diminuer u. La pente des courbes d indifférence est donc négative Convexité des préférences Les courbes d indifférence sont supposées convexes, car on suppose que le consommateur préfère la diversification. Il préfèrera donc un mélange des deux biens x 1 et x 2 que les cas extrèmes A et B de la Figure 3. Lorsque la courbe est convexe, on a bien la propriété que qu un panier combinaison linéaire de A et B et situé sur la droite AB a une plus grande utilité que A ou B. La convexité de la courbe d indifférence se traduit mathématiquement par le fait que u soit quasi-concave, c.-à-d. que pour tout x, y et tout { y R n + : u(y) u(x) } est un ensemble convexe. Pour n = 2 on aura : (x 1, x 2 ) R 4 + λ [0, 1] u(λ.x 1 + (1 λ).x 2 ) min(u(x 1 ), u(x 2 )) Et sur la courbe d indifférence u(x 1 ) = u(x 2 ) donc l équation devient : (x 1, x 2 ) R 4 + λ [0, 1] u(λ.x 1 + (1 λ).x 2 ) [u(x 1 ) = u(x 2 )] 8

9 Figure 3 Convexité des préférences 4 Taux marginal de substitution d un bien à un autre bien 4.1 Variation locale de l utilité avec la consommation Supposons la fonction d utilité u partout différentiable ce qui signifie : (i) qu en tout x et pour tout j = 1,.., n,la dérivée partielle première par rapport à la variable x j existe ; on la note u j (x) et appelle gradient de u en x le vecteur u (x) = (u 1 (x),.., u j (x),.., u n(x)). (ii) que la variation d utilité résultant d une variation de consommation x = ( x 1,.., x j,.., x n ) est u = u(x + x) u(x) = u (x) x + o( x) avec u (x) x = n j=1 u j (x) x j (ce qui s écrit symboliquement, du = n j=1 u j (x)dx j). 4.2 Interprétation graphique u(x 1, x 2 ) = C => du = u 1.dx 1 + u 2.dx2 = 0 La tangente à la courbe d indifférence passant par x est, par définition, la droite lieu des points (x 1 + x 1, x 2 + x 2 ) tels que u 1 (x 1, x 2 ) x 1 + u 2 (x 1, x 2 ) x 2 = 0. Le gradient de u en x est un vecteur normal (= perpendiculaire) en x à la courbe d indifférence passant par x, comme on le voit sur la Figure Utilité marginale d un bien Si seule la quantité consommée du bien 1 varie, de x 1, la variation d utilité se réduit à u = u 1 (x) x u 1 + o( x 1 ) et lim = u x1 0 1 x (x). 1 9

10 u 1 Figure 4 Variation locale de l utilité Une unité supplémentaire du bien 1 augmente donc approximativement l utilité de la quantité (x), qui est dite utilité marginale du bien 1 en x. Il est clair que cette définition s étend à tous les autres biens. 4.4 Taux marginal de substitution d un bien à un autre Considérons des variations x = ( x 1, x 2, 0,.., 0), donc des quantités consommées des biens 1 et 2 uniquement, qui maintiennent le niveau d utilité en x, c est-à-dire telles que u(x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3,.., x n ) = u(x 1, x 2, x 3,.., x n ); u étant différentiable, on a : u(x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3,.., x n ) u(x 1, x 2, x 3,.., x n ) = u 1 (x) x 1 + u 2 (x) x 2 + o( x ) = 0 d où x 2 = u 1 (x) x 1 u 2 (x) + o( x ) x 1.u 2 (x). On définit le taux marginal de substitution (TMS) du bien 2 au bien 1 en x, comme : τ 2,1 (x) = DEF lim x 0 x 2 = u 1 (x). (1) x 1 (x) u 2 Il indique donc dans quelles proportions il faut augmenter (diminuer) la consommation du bien 2 pour compenser une petite diminution (augmentation) de la consommation du bien 1 : x 2 = τ 2,1 (x). x 1 Géométriquement, pour n = 2, le TMS en x est égal à l opposé de la pente de la tangente à la courbe d indifférence passant par ce point ( x 2 x 1 ). Il est clair que cette définition s étend à tout couple de biens. 10

11 Le TMS représente donc un taux d échange entre deux biens, qui permet de rester sur la même courbe d indifférence. Il dépend donc uniquement des préférences qui produisent cette courbe et non du choix de la fonction d utilité en soi. Remarquons que puisque les courbes sont convexes, le TMS du bien j au bien i décroît lorsque la quantité de i augmente. C est bien le cas de la Figure 4 (i = 1, j = 2) : il faut diminuer la quantié de x 2 en y par rapport à x pour rester sur la courbe, et la pente de la tangente est plus faible en y qu en x. 5 Revenu et ensemble de budget 5.1 Contrainte de revenu Le consommateur n a hélas pour lui pas de revenu illimité : il dispose d un budget borné, la somme maximale qu il peut dépenser à un instant donné, qu on appelle son revenu. Il dispose donc d un revenu R > 0 qui lui donne la possibilité d acheter des quantités, x j, des différents biens à des prix unitaires p j > 0 (j = 1,.., n) ; R et les p j sont exprimés dans une même unité monétaire. La valeur totale de ses achats ne pouvant dépasser son revenu, ses choix doivent appartenir à son ensemble de budget n B = B(p, R) = x Rn + : p.x = p j x j R (2) j=1 n j=1 p jx j = R est l hyperplan de budget (la droite de budget si n = 2). Les x B sont les consommations réalisables. Maximisation de l utilité dans l ensemble de budget Le consommateur doit résoudre le problème d optimisation sous contrainte suivant : MAX u(x 1,.., x j,.., x n ) n j=1 p jx j R x j Résolution graphique pour n = 2 Pour résoudre le problème de façon graphique, il suffit de représenter la droite de budget (d équation p 1.x 1 +.x 2 = R) et les courbes d indifférence sur le même graphique, comme sur la Figure 5. On sait que les paniers au dessus de la droite de budget ne sont pas accessibles au consommateur. D après l hypothèse de monotonicité, le consommateur cherche toujours à avoir plus de bien, donc il va saturer son budget. On doit donc être sur la droite de budget à l optimum. A et B sont bien sur cette droite mais ne procurent pas la plus grande utilité. C est le point C, situé sur le point de tangence entre une courbe d indifférence et la droite de budget, qui fournit la décision optimum : il maximise l utilité et le budget. 11

12 Figure 5 Optimisation du budget 5.3 Résolution algébrique pour n = 2 On doit résoudre le système : Max x 1,x 2 U(x 1, x 2 ) (A1) R = p 1.x 1 +.x 2 (A2) (3) De (A2) on déduit que : x 2 = R p 1 x 1 (4) En substituant dans (A1), on peut alors maximiser U en fonction de la seule variable x 1, soit : du dx 1 = u 1(x) = 0 (5) or 11 du = u 1.dx 1 + u 2.dx 2 (6) De (4), on déduit : d où donc (5) devient : L équation (9) appelle deux remarques : dx 2 = p 1.dx 1 (7) du = u 1.dx 1 u 2. p 1.dx 1 (8) u 1 u 2. p 1 = 0 u 1 p 1 = u 2 u 1 u pour alléger la suite, on écrira u j au lieu de u j(x) = p 1 (9) 12

13 Tout d abord, la forme gauche de l équation exprime que le vecteur (u 1, u 2 ) (c est à dire le gradient de l utilité) est orthogonal au vecteur (1, p 1 ) qui est le vecteur directeur de la droite de budget : on retrouve le résultat graphique exposé en 5.2 plus haut : la droite de budget est tangente à la courbe d utilité à l optimum. Les deux formes droites de l équation montre qu à l optimum les utilités marginales pondérées par les prix sont égales, ou si l on préfère que le rapport des utilités marginales est égal au rapport des prix. A l optimum, le consommateur définit les quantités de biens qui maximisent sa satisfaction. La demande apparaît donc comme une fonction des prix et du revenu du consommateur. C est ce qu on appelle les fonctions de demande, qui feront l objet du cours Bonus : Résolution générale (méthode de Lagrange) Si u est continue et deux fois dérivable, on applique alors les conditions de Kuhn et Tucker et on obtient donc à l optimum : u [ j (x) + λp j µ j = 0 (j = 1,.., n) λ R ] n j=1 p jx j = 0 (S2) µ j x j = 0 (j = 1,.., n) λ > 0 u étant quasi-concave, l optimum est un maximum global. λ > 0, d où n j=1 p jx j = R : une solution optimale est nécessairement sur l hyperplan de budget. Il se peut que x j = 0 pour certains j (optimum en coin ). En revanche, si x j > 0, alors µ j u j = 0 et (x) = λ. D où : p j Des conditions nécessaires pour qu une solution positive (x >> 0) et soit optimale sont que les utilités marginales soient proportionnelles aux prix : u j (x) p j = cte, ce qu on écrit encore : u (x) p. Ce sont aussi des conditions suffisantes d optimalité si de plus x est sur l hyperplan de budget. 13