Hyperstatisme et mobilité. } i =1 Pour le schéma ci-contre soit (L) la liaison équivalente : {T L }={T L 1 } {T L 2

Transcription

1 Hyperstatisme et mobilité 1- Rappels Liaisons en parallèle S1 L L 1 L 2 L 3 S2 Le torseur d'action mécanique de la liaison équivalente (L) est égal à la somme des torseurs d'action mécanique de chaque n {T L}= {T L liaison. i } i =1 Pour le schéma ci-contre soit (L) la liaison équivalente : {T L}={T L 1 }{T L 2 }{T L 3 }{T L } ELLE PEUT ETRE HYPERSTATIQUE Le degré d'hyperstatisme h de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle est égale au nombre total N s d'inconnues des torseurs d'actions mécaniques des liaisons, moins le nombre r s de relations indépendantes entre ces inconnues. h=n S r S si h= => la liaison est isostatique si h> => la liaison est hyperstatique d'ordre h Mobilité : le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle est égale à 6 -moins le nombre r s m=6 r S si m = la liaison équivalente est complète si m > la liaison équivalente est dite mobile à m degrés de liberté Exemple : Pour l'exemple ci-dessus nous avons trouvé : T L 1 = O { Y 1 M 1 Z 1 N 1 T L 2 = O {X 2 T L= O {X 2 Y 1 M 1 Z 1 N 1 Nombre d'inconnues dans {T L 1 } et {T L 2 } : X2, Y1, Z1, M1, N1 => soit 5 inconnues => Ns =... Nombre de relations indépendantes qu'il est possible d'écrire : 5 (c'est le nombre de composantes non nulle du torseur {T L} ) : rs =... Degré d'hyperstatisme h de la liaison équivalente : h=n S r S => h = 5 5 = => la liaison équivalente est... Degré de mobilité : m = 6... =... => la liaison équivalente a... degré de liberté (...) Liaisons en série Déterminer le torseur statique de la liaison équivalente aux deux liaisons en série entre (S ) et (S 2). L1 : Liaison plane de normale O, z L2 : Liaison rotule de centre O Remarque : OH=h z H L 2 L e S L1 S1 S2 S S2 REVISIONS Page 1 11/22 jgb - revisions.sxw

2 1- Écriture des torseurs en O Les torseurs statiques de ces deux liaisons s'écrivent en O dans la base O,x,y,z : { { T L 1 = T L 2 = O O Donc le torseur statique de la liaison équivalente s'écrit : { T L e = O Conclusion : les deux liaisons (L 1) et (L 2) sont équivalentes à : une liaison de normale et de centre 2- Écriture des torseurs en H Les torseurs statiques de ces deux liaisons s'écrivent en H dans la base O,x,y,z : { { T L 1 = T L 2 = H H Si on néglige le poids du solide S1 par rapport aux efforts mis en jeu, on peut écrire qu'il est en équilibre sous l'action deux actions représentées par les deux torseurs T L 1 et T L 2 ; on peut donc écrire : T L 1 T L 2 = soit T L 1 = T L 2. Cette égalité induit les six équations suivantes : /X : /Y : /Z : /N : /M : /N : Donc le torseur statique de la liaison équivalente s'écrit : { T L e = H Conclusion : les deux liaisons (L 1) et (L 2) sont équivalentes à : une liaison de normale et de centre 2- Exercice : Montrer que le système de bridage représenté sur la figure ci-dessous réalise entre (1) et (2) une liaison équivalente à une liaison libre. 3 L2 6 5 L5 L L6 L3 L1 REVISIONS Page 2 11/22 jgb - revisions.sxw

3 Compléments 1- Coordonnées de points Soit les points A, B, C, D dont les coordonnées exprimées dans le repère (en mm) O,x,y,z sont : OA=1 x1 y OB=1 x 1 y OC=5 x1 y 1 z OD=5 y 1 z Q1- Placer les points sur le dessin ci-dessous : z 1 z y x -1-1 Q2- Écrire les coordonnées de ces points en utilisant la notation ci-dessous : OA= OB= OC= OD= Q3- Donner les coordonnées de DC, CD, BA, BC DC= CD= BA= BC= Q- Donner les valeurs des normes des vecteurs ci-dessous : DC = OC = BC = REVISIONS Page 3 11/22 jgb - revisions.sxw

4 Modélisation des actions mécaniques 1-Produit Vectoriel Dans une base orthonormée directe x,y,z on donne : V 1 x 1, y 1, z 1 et V 2 x 2, y 2, z 2, donner les coordonnées du produit vectoriel V 1 V Produit vectoriel - Application Liaisons Schématisation Deg de lib. Paramétrage du torseur des actions mécaniques de S i S k Liaison pivot d axe O x 1 T S i S k = { O X Y M Z N }B On donne ci-dessus les caractéristiques d'une liaison pivot ainsi que la forme du torseur des actions mécaniques exprimées en O. Soit un point M de coordonnées a,b,c dans le repère O, x, y,z, exprimer le torseur T S i S k au point M. Montrer que ce torseur garde la même forme que si M est porté par x ; c'est à dire b= et c=. 3- Extension compression Un vérin hydraulique de bridage (dont le piston a un diamètre de 63 mm) est alimenté par une pression maximale de 15 MPa. On se propose d'étudier la résistance et la déformation de sa tige (en poussant). La tige (de longueur 25 mm et de diamètre 2 mm) est fabriquée avec un acier de limite élastique R e = 15 MPa, de module d'élasticité E= MPa Quelle est la nature de la sollicitation dans la tige? Quelle est la contrainte maximale? REVISIONS Page 11/22 jgb - revisions.sxw

5 Correction 1- Produit vectoriel Expression analytique : Dans une base orthonormée directe x,y, z on donne : V 1 x 1, y 1, z 1 et V 2 x 2, y 2, z 2, le produit vectoriel V 1 V 2 s'exprime par : V 1 Λ V 2 W X 1 X 2 L=y 1 z 2 -z 1 y 2 Y Y 2 = M=z 1 x 2 -x 1 z 2 Z 1 - Z 2 N=x 1 y 2 -y 1 x 2 X 1 X 2 V 1 V 2 =y 1 z 2 z 1 y 2 xz 1 x 2 x 1 z 2 yx 1 y 2 y 1 x 2 z 2 Application { X Le torseur en O s'écrit : T S i S k = Y M ; on l'écrit au point M O Z N M M = M C MC F soit : M b c X Y M c X a Z N a Y b X N a Z = b Zc Y { X b Zc Y donc : T S i S k = Y M c X a Z M Z N a Y b X Pour garder la même forme de torseur il est nécessaire que b Zc Y = donc pour tout X et Y il faut que b=c= ; dans ce cas : 3- Extension Compression 31- Effort sur le piston dû à la pression : F =P S p ( S p section du piston) { X T S i S k = Y M a Z Z M N a Y F=P D2 A.N. F= =676 N 32- Contrainte dans la tige (contrainte de compression) = F = F S t d 2 A.N. = 676 = 33,75 MPa 15 Mpa 2 2 REVISIONS Page 5 11/22 jgb - revisions.sxw

6 Statique - Extrait BTS 23 On étudie la bride de serrage 2 On donne les coordonnées des vecteurs dans la base x, y,z : OC :11,, 2 OB : 8,, (unité : mm) Le problème admet le plan O, x, y comme plan de symétrie pour la géométrie des pièces et les actions qui lui sont appliquées. Le poids des différents éléments du montage est négligeable. L'effort de l'écrou sur la bride a comme norme : 95 N Questions : Isoler la bride 2 et déterminer l'action de la bride 2 sur la pièce au point B Q1- Sans utiliser «l'outil torseur» Q2- En utilisant l'outil torseur Schéma : Z X O(,,) B(-8,,) C(11,,-2) REVISIONS Page 6 11/22 jgb - revisions.sxw

7 Liaisons équivalentes - Extrait BTS Montrer que la liaison équivalente aux liaisons L5, L et L3 est une liaison libre. (Utiliser les torseurs d'actions mécaniques) 2- Exprimer le degré d'hyperstatisme de la liaison équivalente entre la bride 2 et l'ensemble (pièce, semelle 1). Utiliser les torseurs d'actions mécaniques. Résistance des matériaux Cisaillement Pour protéger la transmission de puissance d'une machine, on utilise au niveau de la liaison des arbres 1 et 2 un dispositif de sécurité qui comprend un manchon 3 et deux goupilles et 5. Le diamètre des arbres 1 et 2 est de 2 mm. On fixe la valeur maximale du couple à transmettre à M max = 55 N.m. Les goupilles et 5 ont le même diamètre d, elles sont en acier pour lequel les contraintes de rupture sont r =3 MPa et r =15 MPa. REVISIONS Page 7 11/22 jgb - revisions.sxw

8 Questions : 1- Calculer l'effort tranchant (T) dans les sections sollicitées au cisaillement. 2- Déterminer le diamètre d des goupilles. Résistance des matériaux Torsion Un arbre cylindrique de diamètre d transmet un couple de moment M=6 Nm. Cet arbre est en acier pour lequel r =51Mpa, e =325 Mpa, e =175 Mpa et G=8 1 MPa. On adopte un coefficient de sécurité s=. Questions : 1- Déterminer le diamètre minimal de cet arbre à partir de la condition de résistance à la limite élastique en torsion. 2- Déterminer l'angle de déformation en degrés entre deux sections distantes de 3 mm si on choisit d=18mm pour le diamètre de l'arbre. Rappels D'après la loi de Hooke pour les contraintes tangentielle (non étudiée dans ce cours), on peut écrire pour une poutre soumise à un moment de torsion M t : M t =G I Si on désigne par M t le moment de torsion et par r le rayon maximal de l'arbre ; la contrainte maximale de torsion s'exprime alors par : max = M t I r avec I = d 32 (cylindre plein) et I = D d 32 (cylindre creux) REVISIONS Page 8 11/22 jgb - revisions.sxw

9 Corrections Liaisons équivalentes - Extrait BTS L 5 L L 5 3 L Trois liaisons en série dont on exprime les torseurs des actions mécanique au point D {X 5 L {X 5 { L 3 T L 5 = Y 5 M 5 T L = Y T L 3 = M 3 D Z 5 N 5 D Z (avec Z 5=k.N 5) X 5 =X = Y 5 =Y = Z T L 53 =T L 5 =T L =T L 3 5 =Z =Z 3 => L 5 =L 3 = Z 5 = Z =Z 3 = M 5 =M 3 = N 5 = Donc : T L 53 =T C'est une liaison libre. 2- D Z 3 L 1 1+pièce 2 L 2 1+pièce L eq 2 T L 1 = C { L 1 Z 1 T L 2 = M C L 2 = M B L 2 CB F L 2 soit : B { L 2 Z 2 L 2 b c { L 2 donc : T L 2 = bc Z 2 C Z 2 Liaisons en parallèle => T L eq =T L 1 T L 2 Donc T L eq est de la forme : T L eq = C d { L eq M eq Z eq Z 2 = bc Z 2 inconnues pour 3 équations => hyperstatique d'ordre 1 il faut une spécification de parallélisme des 2 linéaires rectiligne REVISIONS Page 9 11/22 jgb - revisions.sxw

10 Résistance des matériaux - Cisaillement 1- Calcul de l'effort tranchant dans la section sollicitées au cisaillement : La goupille ( par exemple) possède deux sections cisaillées, situées toutes les deux à la distance R=1mm de l'axe de l'arbre 1. L'effort de cisaillement T dans une section est tel que : M Max =2 T R donc : T = M Max 55 A.N. : T = 2 R =275 N 2- Calcul du diamètre d des goupilles : Si S désigne l'aire de la section cisaillée, la condition de rupture de la goupille s'écrit : T S = r, soit S= T A.N. : S= 275 r 15 S= d 2 =18 mm2 => d = S A.N. : d = 18 =,8 mm Résistance des matériaux Torsion 1- on exprime la contrainte maximale de torsion dans l'arbre : max = M t I r avec M =6 1 3 t Nmm et I = d 32 Condition de résistance à la torsion : max e s donc d 3 16 M s t A.N. : d ,5 e 175 donc I r =d3 16 avec e =175 MPa et s=3,5 => d 18,3 mm 2- Angle unitaire de torsion : M t =G I => = M t G I et I = d 32 = 32 M t A.N. : = G d =7,3 1 5 rad /mm Pour la poutre de longueur l=3mm, la déformation est : =3 7,3 1 5 =,22 rad soit,22 rad =,22 18 =1,25 REVISIONS Page 1 11/22 jgb - revisions.sxw

11 Le Frottement BTS 1999 REVISIONS Page 11 11/22 jgb - revisions.sxw