Gain, niveaux de puissance et de tension et rapport signal sur bruit

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1 Chapitre 5 Gain, niveaux de puissance et de tension et rapport signal sur bruit Capacités exigibles : Définir, utiliser et mesurer des grandeurs exprimées en db, dbv, dbm, dbu. Identifier à l aide de la densité spectrale de puissance les différents types de bruit. Calculer un rapport signal sur bruit. I. Gain en décibel : L ensemble des notions abordées dans le I, II et III de ce chapitre sont explicitées dans la vidéo suivante : «Chapitre 05 Grandeurs en décibel et en décibelx» A. Fonction log et réciproque : La fonction f(x) = log (x) s appelle la fonction logarithme décimal. Sa représentation graphique est la suivante : On remarque que : Si x > 1 alors log(x) > 0 Si x < 1 alors log(x) < 0 Si x = 1 alors log(x) = 0 Cette fonction est la fonction réciproque de la fonction g(x) = 10 x Pour tout réel strictement positif x et tout réel a: log(x) = a x = 10 a Propriétés : Pour tout entier relatif n, log(10 n ) = n 1

2 Pour tout réel strictement positif x et y : log(xy) = log(x) + log (y) log ( x ) = log(x) log (y) y log(x n ) = n log(x) log(x) = log (y) x = y Intérêt en Physique : En physique, on utilise la fonction logarithme décimal pour sa propriété log(10 n ) = n. En effet, si une grandeur mesurée peut varier de à 10 25, on utilise le log de cette grandeur, qui lui ne varie que de 25 à 25. On réduit ainsi fortement son échelle de variation. Qu est ce que l échelle logarithmique? Par exemple, la fréquence du signal d entrée (et donc sa pulsation) peut varier sur un large intervalle de valeurs (de 0 Hz à plusieurs dizaines de MHz). Si on veut étudier le comportement fréquentiel d un système linéaire, une échelle linéaire n est pas du tout adaptée à notre étude. On préfère utiliser un axe logarithmique : deux distances identiques sur cet axe ne sont pas égales. f(hz) Cette échelle est donc plus adaptée à des variations sur plusieurs ordres de grandeur de la fréquence (et donc de la pulsation) du signal. On peut aussi utiliser un axe représentant le logarithme de la fréquence, sur un axe linéaire : 0 log f Cette échelle est aussi, plus adaptée à des variations sur plusieurs ordres de grandeur de la fréquence (et donc de la pulsation) du signal. 6 B. Qu est-ce qu un quadripôle? Un quadripôle est un système électrique comportant quatre bornes de liaison avec l extérieur : deux bornes reliées à un signal d entrée deux bornes fournissant un signal de sortie. 2

3 Quadripôle e(t) tension d entrée du quadripôle, en volt s(t) tension de sortie du quadripôle, en volt i e (t): intensité entrante du quadripôle, en ampère i s (t): intensité sortante du quadripôle, en ampère Quelques exemples de quadripôles : Un transformateur de tension (chargeur de téléphone), un filtre passe-bas, un câble Ethernet, l ensemble antenne émettrice et antenne réceptrice Définition : Les signaux étudiés étant périodiques, on définit : P e = e i e et P s = s i s P e : puissance active ( ou moyenne ) reçue par le quadripôle, en watt P s : puissance active ( ou moyenne ) fournie par le quadripôle, en watt C. Gain en puissance : Soit un système/quadripôle soumis à une puissance P e en entrée et délivrant une puissance P s en sortie. On définit le gain en puissance du quadripôle/système, noté G db, dont l unité est le décibel, de symbole db : Si G db 0, alors le quadripôle se comporte comme un amplificateur de puissance. Si G db 0, alors le quadripôle se comporte comme un atténuateur de puissance. Le gain en db quantifie D. Gain en tension : La puissance n est pas la grandeur la plus facilement mesurable dans un circuit. On s intéresse ici, aux tensions d entrée et de sortie d un système (grandeurs mesurables directement avec un oscilloscope). Même si les résistances d entrée et de sortie du système sont différentes, on garde comme définition du gain en tension en décibels : U S,eff : tension efficace en sortie du système étudié, en volt. U E,eff : tension efficace en entrée du système étudié, en volt. 3

4 E. Gain et enchainement de quadripôles : intérêt des grandeurs en décibel Soit une succession de n quadripôles : Quadripôle 1 G 1,dB Quadripôle 2 G 2,dB Quadripôle 3 G 3,dB Quadripôle n G n,db Le gain de l ensemble de la chaine de quadripôles est alors : Conclusion : construction des grandeurs en décibel Le gain en puissance (ou en tension) est une grandeur utile lorsque l on étudie des quadripôles et les Grandeur en sortie Grandeur en entrée Grandeur adimensionnée Grandeur en bel Grandeur en décibel Unité P s, en watt P e, en watt U S,eff, en volt U E,eff, en volt II. Niveaux de puissance : A. Niveaux de puissance en dbm: Les db ne sont pas une «véritable». Contrairement au gain en décibel, un niveau de puissance en dbm est une mesure non plus d un rapport de puissance de la sortie par rapport à l entrée). (et Le m de dbm fait référence à milliwatt. Par convention, 0 dbm correspond à la puissance dissipée par 1 mw dans une résistance de 50 Ω. 4

5 Le niveau de puissance, noté N, d un signal peut se mesurer en dbm. Il est défini par : P: puissance moyenne du signal étudié, en watt. P réf = 0,001 W (soit 1 mw): valeur de référence (cette grandeur est un coefficient), N : niveau de puissance ayant pour unité le dbm. Aussi, 3 dbm signifie que l on a 3 db au dessus de 1 mw (soit 2 mw). Conclusion : construction des grandeurs en dbm Les niveaux de puissance sont des grandeurs utiles lorsque l on étudie un signal de puissance active P par rapport à une valeur de référence, notée P réf. Grandeur étudiée Valeur de référence Grandeur adimensionnée Grandeur en belx Grandeur en décibelx Unité P, en mw P réf = P, en W P réf = Les dbm sont une «véritable». Abus de langage fréquent (dans les sujets de BTS) : Il arrive qu on parle de «puissance en dbm» (le mot niveau passe à la poubelle). Ainsi, on peut vous demander de calculer une puissance, dont l unité est le dbm B. Intérêt des dbm : lien avec les db Soit le système suivant : Niveau de puissance en entrée N entrée en dbm Quadripôle G db Niveau de puissance en sortie N sortie en dbm On a alors l égalité suivante : N entrée : Niveau de puissance en entrée, en dbm N sortie : Niveau de puissance en sortie, en dbm G db : gain du quadripôle, en db 5

6 III. Niveaux de tension en dbv, dbmv, dbu et dbμv: A. Définitions : Contrairement au gain en décibel, un niveau de tension en dbx est une mesure d une tension absolue (et non plus d un rapport de tension de la sortie par rapport à l entrée). Le V de dbv fait référence à volt. Le niveau de tension, noté N, est défini par : Si la valeur de référence est U eff,réf = (cette grandeur est un coefficient), alors le niveau de tension N a pour unité le dbv (décibel-volt). Si la valeur de référence est U eff,réf = (cette grandeur est un coefficient), alors le niveau de tension N a pour unité le dbmv (décibel-millivolt). Si la valeur de référence est U eff,réf =, alors le niveau de tension N a pour unité le dbμv. Si la valeur de référence est U eff,réf =, alors le niveau de tension N a pour unité le dbu. Remarques : U eff,réf = 0,775mV correspond à la tension efficace aux bornes d une résistance de 600 Ω soumise à une puissance de 1,00 mw. Pour que votre calcul soit juste, il faut que U eff,réf et U eff soient exprimés dans la même unité. 3 dbv signifie que l on a 3 db au dessus de 1 V 3 dbmv signifie que l on a 3 db au dessus de 1 mv etc. Conclusion : construction des grandeurs Les niveaux de tension sont des grandeurs utiles lorsque l on étudie un signal de tension efficace U eff par rapport à une valeur de référence, notée U eff,réf. Grandeur étudiée Valeur de référence U eff,réf Grandeur adimensionnée Grandeur en belx Grandeur en décibelx Unité U eff, en volt dbv U eff, en volt dbmv U eff, en volt dbμv U eff, en volt dbu Les dbv, dbmv, dbμv et dbu sont des «véritables». 6

7 B. Lien entre un niveau de tension en dbv, dbmv et dbμv: Par définition, on a : N dbv + = N dbmv N dbmv + = N dbμv N dbv + = N dbμv C. Intérêt des dbv, dbmv etc : lien avec les db Soit le système suivant : Niveau de tension en entrée N entrée en dbv Quadripôle G db Niveau de tension en sortie N sortie en dbv On a alors l égalité suivante : N entrée : Niveau de tension en entrée, en dbv N sortie : Niveau de tension en sortie, en dbv G db : gain du quadripôle, en db Cette égalité reste correcte si les niveaux de tension sont en dbv, dbmv, dbu et dbμv. IV. Rapport signal sur bruit ( ou SNR db, signal to noise ratio): L ensemble des notions abordées dans la suite de ce chapitre sont explicitées dans la vidéo suivante : «Chapitre 05 Rapport signal sur bruit» A. Bruits et parasites : Lors de la transmission/de la conversion/de la synthèse d un signal, il est toujours affecté de petites fluctuations plus ou moins importantes. Ces fluctuations, dont les origines peuvent-e tre diverses, sont appelées bruit. Il ne faut pas confondre deux phénomènes distincts : Les perturbations extérieures (par exemple, les parasites électromagnétiques) Le bruit, dû à une cause interne au système. On peut éliminer Le bruit qui se superpose au signal contenant l information peut e tre dû à : une erreur lors de la synthèse du signal (voir TP 05) une erreur lors de la conversion analogique-numérique (voir chapitre à ce sujet ) un phénomène aléatoire, provenant de causes internes liées aux dipôles utilisés. 7

8 B. Comment calculer un rapport signal sur bruit? Le rapport signal sur bruit est une grandeur utile lorsque l on souhaite mesurer la qualité d une synthèse, d un encodage ou d une transmission d un signal. Puissance moyenne (ou active) normalisée d un signal : La puissance moyenne normalisée < P(t) > d un signal périodique u(t) est définie comme la puissance moyenne délivrée par le signal dans un conducteur ohmique de résistance de R = 1 Ω (ce nombre est un coefficient). Son unité est le volt au carré, noté V 2 P signal =< P(t) > = U eff,signal 2 donc P R signal = U eff,signal : valeur efficace du signal, en volt P signal : puissance moyenne normalisée du signal, en V 2 Puissance moyenne (ou active) normalisée d un bruit : La puissance moyenne normalisée < P(t) > d un bruit b(t) est définie comme la puissance moyenne délivrée par le bruit dans un conducteur ohmique de résistance de R = 1 Ω (ce nombre est un coefficient). Son unité est le volt au carré, noté V 2 U eff,bruit : valeur efficace du bruit, en volt P bruit : puissance moyenne normalisée du bruit, en V 2 P bruit = U eff,bruit 2 donc P R bruit = ATTENTION : En prenant une valeur de 1 Ω, la résistance «disparaît» des formules littérales : dire qu une puissance est en volt au carré est rigoureusement faux, mais ici, cette erreur est tolérée. Rapport signal sur bruit : Le rapport signal sur bruit, noté SNR (Signal to Noise Ratio), est défini par : Avec : P bruit = U eff,bruit 2 et P signal = U eff,signal 2 U eff,signal : valeur efficace du signal, en volt U eff,bruit : valeur efficace du bruit, en volt P signal : puissance moyenne normalisée du signal, en V 2 P bruit : puissance moyenne normalisée du bruit, en V 2 SNR : rapport signal sur bruit, sans unité 8

9 Si la puissance moyenne normalisée du bruit est nul, alors le rapport signal sur bruit est infini. Si la puissance moyenne normalisée du bruit est égale à la puissance moyenne normalisée du signal, alors le rapport signal sur bruit est égal à 1. Si la puissance moyenne normalisée du bruit est inférieure à la puissance moyenne normalisée du signal, alors le rapport signal sur bruit est supérieur à 1. Plus le rapport signal sur bruit est élevé, plus la puissance moyenne normalisée du bruit est faible devant celle du signal. SNR L échelle linéaire étant peu adaptée, on utilise plus fréquemment, le rapport signal sur bruit en décibel. Rapport signal sur bruit en db : Le rapport signal sur bruit, noté SNR db, indique la marge, en décibel (noté db), qui sépare la puissance moyenne (ou valeur efficace) du signal «utile» à celle du bruit. avec P bruit = U eff,bruit 2 et P signal = U eff,signal 2 P signal : puissance moyenne normalisée du signal, en V 2 P bruit : puissance moyenne normalisée du bruit, en V 2 U eff,signal : valeur efficace du signal, en volt U eff,bruit : valeur efficace du bruit, en volt SNR db : rapport signal sur bruit, en décibel (noté db). Si le bruit est nul, alors le rapport signal sur bruit est infini. Si valeur efficace du bruit est égale à la valeur efficace du signal, alors le rapport signal sur bruit est nul. Si valeur efficace du bruit est plus grande que la valeur efficace du signal (ce qui sous entend un très fort bruit), alors le rapport signal sur bruit est négatif. Plus le rapport signal sur bruit est élevé, plus la valeur efficace du bruit est faible devant celle du signal. SNR db La détermination de P signal ou de U eff,signal ne pose pas de souci, mais la détermination de P bruit ou de U eff,bruit s avère souvent complexe, selon la nature d un bruit. La suite du chapitre a pour but de déterminer P bruit ou U eff,bruit pour un bruit aléatoire. 9

10 C. Densité spectrale de puissance du bruit : Du signal périodique au signal non périodique : Signal périodique alternatif u(t) Bruit b(t) Expression temporelle u(t) = A n cos( 2πnf 1 t + φ n ) P (V 2 ) n=1 (f 1 ; A ) Spectre en puissance (2f 1 ; A2 2 2 ) (3f 1; A ) etc f (Hz) Expression de la puissance normalisée moyenne + P(t) = A n 2 n=1 2 La fonction DSP(f) est appelée densité spectrale de puissance du bruit. Son unité est le V 2 /Hz. La fonction DSP(f) nous permet de déterminer la puissance moyenne normalisée d un bruit. Les signaux aléatoires (le bruit, ici) sont considérés comme des signaux a puissance finie. D. Détermination de P bruit ou de U eff,bruit pour un bruit blanc : Méthode pour déterminer la puissance moyenne normalisée d un bruit blanc à partir de DSP(f) : On cherche à déterminer la puissance moyenne normalisée P bruit sur une gamme de fréquence, notée f = f max f min. On a alors : Il suffit donc pour obtenir la valeur de P bruit, en V 2, de : Repérer sur l axe des abscisses f max et f min. Calculer l aire comprise entre la courbe représentant la fonction DSP(f) et l axe des abscisses, en veillant aux unités. En déduire la valeur de P bruit, qui est égale à celle de l aire, en V 2. 10

11 Méthode pour déterminer la valeur efficace d un bruit blanc, à partir du graphe e n (f) : Les constructeurs de dipôles représentent très souvent la racine carrée de la densité spectrale de puissance, en fonction de la fréquence. La racine carrée de la densité spectrale de puissance est notée ici, e n, dont l unité est V/ Hz ou V. Hz 1/2. A partir d un graphe e n (f), on peut déterminer la valeur efficace du bruit sur une gamme de fréquence, notée f = f max f min. On a alors : Il suffit donc pour obtenir la valeur de U eff,bruit, en V, de : Repérer sur l axe des abscisses f max et f min. Lire la valeur de e n correspondant à ces fréquences et effectuer une éventuelle conversion en V/ Hz. En déduire la valeur de U eff,bruit, en V. E. DSP et les différents types de bruits : Allures des DSP(f) Types de bruits Allure de DSP(f) en échelle linéaire Allure de DSP(f) en échelle logarithmique DSP(f) est une droite parallèle à l axe des abscisses DSP(f) est une droite parallèle à l axe des abscisses DSP(f) est proportionnelle à 1 f DSP(f) est une droite de pente négative Sur le bruit blanc : + Un bruit n est jamais parfaitement blanc sinon P(t) = DSP(f)df = +!! 0 En réalité, on délimite une gamme de fréquences, f = f max f min, pour lesquelles DSP(f) est une constante. 11

12 Chapitre 5 ce qu il faut savoir : Connaitre les propriétés du logarithme décimal dont log(10 n ) = n Savoir que log(x) = a x = 10 a Savoir ce qu est un quadripôle/système. Connaitre les formules du gain. Savoir que le décibel n est pas une véritable unité. Savoir qu un gain en décibel quantifie la variation d une puissance. Savoir que des gains en db s additionnent. Connaitre les formules des niveaux de tension et de puissance. Savoir que les dbv, dbmv, dbu sont des vraies unités Différencier bruits et parasites. Connaitre la formule de SNR et SNR db Connaitre la définition de la puissance moyenne normalisée et son unité. Savoir identifier le type de bruit présent grâce à un graphe. Chapitre 5 ce qu il faut savoir-faire : Savoir utiliser la fonction logarithme décimal (sans calculette pour les nombres simples) Savoir utiliser une échelle linéaire, logarithmique et en log X. Savoir calculer un gain en puissance et en tension (et utiliser les formules réciproques) Savoir calculer un niveau de tension en dbv, dbmv, dbu (et utiliser les formules réciproques) Savoir calculer un niveau de puissance en dbm (et utiliser les formules réciproques) Savoir calculer un rapport signal sur bruit en db et connaître l évolution de ce rapport. Savoir déterminer la puissance moyenne normalisée d un bruit blanc à partir du graphe de sa densité spectrale de puissance. Savoir déterminer la puissance moyenne normalisée d un bruit blanc à partir du graphe de la racine carrée de densité spectrale de puissance. 12